Observables of Macdonald processes
Alexei Borodin, Ivan Corwin, Vadim Gorin, Shamil Shakirov
我们提出了一个框架计算平均值的各种可观的麦克唐纳过程。这导致新的轮廓-积分公式的平均值的一大类的多级观测，以及弗雷德霍姆行列式的平均值的两个不同的单级观测。
We present a framework for computing averages of various observables of Macdonald processes. This leads to new contour--integral formulas for averages of a large class of multilevel observables, as well as Fredholm determinants for averages of two different single level observables.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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We propose periodic Macdonald processes as a $(q,t)$-deformation of periodic Schur processes and a periodic analogue of Macdonald processes. It is known that, in the theory of stochastic processes related to a family of symmetric functions, the Cauchy-like identity gives an explicit expression of a partition function. We compute the partition functions of periodic Macdonald processes relying on the free field realization of the Macdonald theory. We also study several families of observables for periodic Macdonald processes and give formulas of their moments. The technical tool is the free fiel…
Nearest neighbor Markov dynamics on Macdonald processes
Macdonald过程是由Borodin和Corwin（arXiv：1111.4408 [math.PR]）引入的对二维交错粒子阵列的某些概率测度。它们是根据麦克唐纳对称函数的非负特化定义的，并且依赖于两个参数（q，t），其中0<= q，t < 1。我们的主要结果是一个分类的连续时间，最近邻马尔可夫动力学的空间交错阵列上的Macdonald过程很好地发挥作用。分类团结已知的例子，这样的动态，也产生了许多新的。当t = 0时，一个动力学导致一维晶格上的一个新的可积相互作用粒子系统，这是PushTASEP（= long-range TASEP）的q变形。当q = t时，Macdonald过程变成了Okounkov和Reshetikhin的Schur过程（arXiv：math/0107056 [math.CO]）。在这种退化中，我们发现了新的Robinson-Schensted类型的对应关系，这些对应关系在单词和成对的Young tableaux之间，支配着我们的一些动态。
Integrable probability: From representation theory to Macdonald processes
这些是2013年7月康奈尔大学概率暑期学校的一门迷你课程的讲义。主题包括菱形镶嵌的多边形和他们的表示理论的解释，（q，t）-变形导致的麦克唐纳过程，最近邻动力学麦克唐纳过程，他们的限制半离散布朗聚合物，和大时间渐近分析聚合物的分拆函数。
Half-space Macdonald processes
Macdonald过程是对整数分割序列的度量，这些整数分割序列使用Macdonald对称函数的柯西求和恒等式构建。这些测度是揭示许多概率系统的可积性的有用工具，包括Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程及其普适类中的许多其他模型。在本文中，我们开发的结构理论背后的半空间变体的这些模型和相应的半空间麦克唐纳过程。这些过程是使用Littlewood求和恒等式而不是Cauchy恒等式建立的，并且它们的分析比全空间的对应过程要困难得多。我们计算一般半空间麦克唐纳测度的可观测量的矩和拉普拉斯变换。引入新的动态保持这类措施，我们将它们与各种随机过程，特别是在半象限的对数伽马聚合物（它们也与随机六顶点模型在半象限和半空间ASEP）。对于聚合物模型，我们提供了明确的积分公式的拉普拉斯变换的分拆函数。非严格的鞍点渐近性产生定向聚合物自由能收敛到Tracy-Widom GOE、GSE或高斯分布，这取决于边界上权重的平均大小。
Macdonald processes
Macdonald过程是关于划分序列的概率测度，划分序列根据Macdonald对称函数的非负特化和[0，1）中的两个Macdonald参数q，t来定义。我们证明了几个结果，这些过程，其中包括以下内容。(1)我们明确评估这些过程的一个丰富的家庭的可观的期望。(2)在t=0的情形下，我们找到了Macdonald随机划分的最后一部分的分布的q-拉普拉斯变换的弗雷德霍姆行列式公式. (3)我们引入马尔可夫动力学，保持类麦克唐纳过程，并导致新的“可积”的2D和1D相互作用的粒子系统。(4)在一个大的时间限制过渡，并且当q变为1时，这些系统的粒子在晶格上结晶，并且晶格周围的波动收敛于描述半离散布朗定向聚合物的O 'Connell的Whittaker过程。(5)这产生一个弗雷德霍姆行列式的拉普拉斯变换的聚合物分拆函数，并采取其渐近，我们证明KPZ的普遍性的聚合物（自由能波动指数1/3和Tracy-Widom GUE极限定律）。(6)在中等无序标度下，我们恢复了窄楔形初始数据下KPZ方程解的拉普拉斯变换。(7)我们提供了一系列的聚合物矩的轮廓积分公式。(8)这就为求解玻色气体等量子多体系统提供了一种新的方法。
Hitting times of Bessel processes, volume of Wiener sausages and zeros of Macdonald functions
我们推导出的公式的Macdonald函数的某些比率，这是更简单，更容易处理比已知的公式。所得结果在概率论中有两个应用。一个是Bessel过程的首中时分布的L{é}vy测度公式，另一个是偶数维布朗运动的Wiener香肠期望体积的显式形式.此外，该结果还使我们能够写出根为Macdonald函数零点的代数方程。
Macdonald processes, quantum integrable systems and the Kardar-Parisi-Zhang universality class
可积概率已经成为概率论/数学物理/统计力学和表示论/可积系统的一个活跃的研究领域。非正式地，可积概率系统有两个性质：1）可以写出系统的各种有趣的可观测量（或函数）的期望的简洁和精确的公式。2)系统的渐近性和相关的精确公式提供了对无序系统的大普适类和普适标度极限的性质和统计的精确描述。在这里，我们专注于可积的概率系统的例子有关的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）的普遍性类，并解释他们的可积性源于连接与对称函数理论和量子可积系统。
Macdonald denominators for affine root systems, orthogonal theta functions, and elliptic determinantal point processes
Rosengren和Schlosser为七种不可约的既约仿射根系引入了${\it R}_N$ -θ函数的概念，${\it R}_N={\it A}_{N-1}$，${\it B}_{N}$，${\it B}^{\vee}_N$，${\it C}_{N}$，${\it C}^{\vee}_N$，${\it BC}_{N}$，${\it D}_{N}$，$N \in \mathbb{N}$，并给出了Macdonald分母公式。我们证明了，如果${\it R}_N$ -θ函数的变量与$N$适当地缩放，它们构造了7组双正交函数，每个双正交函数具有一个连续的参数$t \in (0, t_{\ast})$与给定的$0< t_{\ast} < \infty$ .按照随机矩阵理论中的标准方法，引入了七类一维单参数（$t \in (0, t_{\ast})$）行列式点过程族，其中相关核用双正交θ函数表示.我们证明了它们是经典行列式点过程的椭圆扩展，经典行列式点过程的相关核由三角函数和有理函数表示。在与$N \to \infty$相关的标度极限中，我们得到了四类具有无穷多个点和参数$t \in (0, t_{\ast})$的椭圆型行列式点过程。我们使用Karlin-McGregor-Lindström-Gessel-Viennot行列式为非碰撞布朗路径给出了Macdonald算子的新表达式，并给出了相…
A Randomized Approximation Algorithm for Doubly Free-Boundary Macdonald Processes
本文针对参数在(0,1)区间的有限双自由边界Macdonald铁路场过程，构造了支持任意条带操作与四种边界类型的随机近似采样器，证明其收敛性并给出误差界，还构建了无大小截断的初始分拆精确拒绝采样器。
Doubly Free-Boundary Macdonald Processes: Reflection Identities and Jack Asymptotics
该研究引入双自由边界麦克唐纳过程，通过反射演算得出多点轮廓公式。在特定标度和数据下有相关极限形状，可观测量收敛到高斯向量，协方差有边界 - 变形分离，还对\(\beta = 1\)时的情况进行刻画，恢复半空间公式。
The recent study by B. De Bruyne, S. N. Majumdar, H. Orland and G. Schehr [arXiv:2110.07573], concerning the conditioning of the Brownian motion and of random walks on global dynamical constraints over a finite time-window $T$, is reformulated as a general framework for the 'microcanonical conditioning' of Markov processes on time-additive observables. This formalism is applied to various types of Markov processes, namely discrete-time Markov chains, continuous-time Markov jump processes and diffusion processes in arbitrary dimension. In each setting, the time-additive observable is also fully…
Filtering equations for partially observable diffusion processes with Lipschitz continuous coefficients
在Lipschitz连续性假设下，给出了部分可观测扩散过程系数在$L_{p}$意义下的滤波密度光滑性的几个结果.我们把通常用形式伴随于非散度型算子的滤波方程改写为散度型，得到了它们。
SPDEs in divergence form with VMO coefficients and filtering theory of partially observable diffusion processes with Lipschitz coefficients
在Lipschitz连续性假设下，给出了部分可观测扩散过程系数在$L_{p}$意义下的滤波密度光滑性的几个结果.我们把通常用形式伴随于非散度型算子的滤波方程改写为散度型，得到了它们。
A Noether Theorem for Markov Processes
诺特定理将量子系统的对称性与其守恒量联系起来，是量子力学的基石。在这里，我们证明了一个版本的诺特定理的马尔可夫过程。在量子力学中，一个可观测量与哈密顿量可交换，当且仅当它的期望值在时间上对每个状态保持不变。对于马尔可夫过程不再成立，但一个可观测量与哈密顿量交换当且仅当它的期望值和标准差在时间上对每个状态都是常数。
Hypoellipticity for filtering problems of partially observable diffusion processes
我们证明了在Hörmander型条件下，部分可观测扩散过程的不可观测分量的系数是无穷可微的，并且可以表示为无穷可微核对先验初始分布的积分.这些结果是从SPDE获得的更一般的结果。本文的主要新颖之处之一是核的存在性和光滑性，另一个是我们允许我们的部分可观测过程的系数是关于时间变量的可测量的。
Joint Extremal Behavior of Hidden and Observable Time Series with an Application to GARCH Processes
研究了实值不可观测过程（Y_t）在相关可观测过程（X_t）的极端事件下的行为。我们的分析是由著名的Gestival模型，它代表了两个这样的序列，即可观察到的日志回报的资产以及隐藏的波动过程的动机。我们的结果补充了Segers（2007）和Smith（1992）对单个时间序列的发现。我们表明，在适当的假设下，他们的尾链作为一个限制过程的概念也适用于我们的设置。在较弱的假设条件下，讨论了极限过程的存在唯一性。最后，我们将我们的结果应用到Gestival（1，1）的情况。
Measure concentration through non-Lipschitz observables and functional inequalities
对于可逆马尔可夫过程的不变概率测度，得到了非高斯浓度估计。我们表明，与适当的李雅普诺夫条件相结合的功能不等式的方法，使我们能够规避经典的Lipschitz假设的可观。我们的方法是一般的，并涵盖扩散以及纯跳马尔可夫过程的无界空间。
Inverse problem in the conditioning of Markov processes on trajectory observables : what canonical conditionings can connect two given Markov generators ?
针对连续时间马尔可夫跳跃与扩散过程，研究两个给定生成元能否由正则约束连接的逆问题，给出充要条件并显式构造对应时间局域轨迹可观测量。
On processes which cannot be distinguished by finitary observation
定义在平稳过程族$C$上的函数$J$是可观测的，如果存在一个函数序列$s_n$，使得对于每个过程$X=(x_n)\in C$概率为$s_n(x_1 ... x_n)\to J(X)$.最近，Ornstein和Weiss证明了一个惊人的结果：如果$C$是非周期遍历有限值过程类，则$C$上唯一可观测的同构不变量是熵.我们用几种方式来强化这一点。我们的主要定理是：如果$X \to Y$是有限熵遍历系统的零熵扩张，而$C$是由$X$和$Y$产生的过程族，则$C$上的每个可观测函数都是常数.这意味着Ornstein和Weiss的结果，并将其推广到许多其他族的过程，例如，它表明，有没有非平凡的可观测同构不变量的过程所产生的Kronecker系统，轻度和强混合零熵系统。它还意味着，任何可观测的同构不变量定义的家庭的过程产生的无理旋转必须是常数的旋转属于一组完整的勒贝格测度。
Stochastic Calculus for Pathwise Observables of Markov-Jump Processes: Unification of Diffusion and Jump Dynamics
本文通过建立马尔可夫跳跃过程路径观测的完整随机微积分，统一了扩散与跳跃动力学，推导了热力学不等式并讨论了饱和条件，同时将框架与量子 unraveling 和开放量子系统 Belavkin 方程联系起来。
Towards an Approximation Theory of Observable Operator Models
本文为无限维随机过程的可观测算子模型建立逼近理论，严格构造内积结构并证明算子连续性，揭示希尔伯特空间化障碍并提出补救方向。
Elliptic Bessel processes and elliptic Dyson models realized as temporally inhomogeneous processes
本文将含参数$D>1$的Bessel过程和含耦合常数$β>0$的相互作用布朗运动的Dyson模型推广到漂移项和相互作用项由Jacobi θ函数的对数导数给出的过程。它们分别被称为椭圆贝塞尔过程（eBES $^{(D)}$）和椭圆戴森模型（eDYS $^{(β)}$）。两者都是在半径为$r >0$的圆$[0, 2 πr)$的圆周上实现的，作为在有限时间间隔$[0, t_*), t_* < \infty$中定义的时间非均匀过程。将它们变换为含时势的薛定谔型方程，证明了eBES $^{(D)}$和eDYS $^{(β)}$可以构造为布朗运动的含时Girsanov变换.在特殊情况下，其中$D=3$和$β=2$，过程的可观测量的定义和过程表示为他们使用的布朗路径缠绕一个圆，并钉在时间$t_*$。我们证明了eDYS $^{(2)}$对任何可观测量都具有行列式鞅表示。然后证明了对于任意有限初始位形，eDYS $^{(2)}$对所有观测量都是决定性的。行列式过程是随机可积系统，因为所有的时空相关函数都是由行列式给出的，行列式由一个称为时空相关核的连续函数控制。
Finite Horizon Decision Timing with Partially Observable Poisson Processes
研究了有限时间内信息到达为Poissonian的决策定时问题。在我们的模型中，决策者希望优化她的行动时间，以最大化她的预期回报。奖励取决于不可观测的马尔可夫环境，有关环境的信息通过（复合）泊松观测过程收集。这种系统的例子出现在投资时机，可靠性理论，贝叶斯政权检测和技术采用模型。我们通过研究一个分段确定性过程的最优停止问题来解决这个问题，该过程给出了不可观测环境的后验似然。我们的方法适合于简单的数值实现，我们提出了几个说明性的数值例子。
A Fenchel-Moreau-Rockafellar type theorem on the Kantorovich-Wasserstein space with Applications in Partially Observable Markov Decision Processes
利用有限支集的所有概率测度的空间可以以两种不同的方式完成，一种生成Arens-Eells空间，另一种生成Kantorovich-Wasserstein空间（Wasserstein-1）空间，利用Arens-Eells空间与Lipschitz函数空间的对偶关系，本文给出了Wasserstein-1上真凸泛函的Fenchel-Moreau-Rockafellar型对偶表示.我们检索对偶运输不等式作为推论，我们提供的例子中，定理可以用来很容易地证明对偶表达式，如著名的Donsker-Varadhan变分公式。最后，我们的结果允许写凸函数作为上确界的所有线性函数的根所产生的共轭对偶，我们适用于该领域的部分可观察马尔可夫决策过程（POMDP）的近似值函数的一个给定的POMDP迭代水平集。这将Smallwood 1973年有限状态空间中使用的方法扩展到状态空间是波兰度量空间的情况。
Partially Observable Risk-Sensitive Markov Decision Processes
本文研究了由部分可观测马尔可夫决策过程（POMDP）在有限和无限时间范围内最小化总成本或折扣成本的确定性等价问题。确定性等效由$U^{-1}(EU(Y))$定义，其中$U$是增函数。与风险中性的决策者相比，这种优化标准考虑了成本的可变性。它包含作为一个特殊的情况下，经典的风险敏感的优化准则与指数效用。我们表明，这个最优化问题可以解决嵌入到一个完全可观察的马尔可夫决策过程与扩展的状态空间的问题，并给出条件下，最优策略存在。状态空间必须由当前未观测状态和累积代价的联合条件分布来扩展。在指数效用的情况下，问题大大简化，我们重新发现在以前的文献中被命名为信息状态。然而，由于我们在这里没有使用任何度量变化技术，我们的方法更简单。一个小的数值例子，即经典的重复赌场游戏与未知的成功概率被认为是说明的确定性当量及其参数的影响。
A functional limit theorem for a dynamical system with an observable maximised on a Cantor set
本文研究了在动态定义的康托集上最大化的大尾观测量，证明了相关点过程的收敛性及函数极限定理，揭示了康托结构与动力学间的关系对观测值聚集的影响。
Using the slowest observable in one-dimensional Markov processes to construct quasi-exactly-solvable generators with two explicit levels
本文从一维满足详平衡条件的马尔可夫过程出发，探讨如何利用最慢可观测量构造具有N=2显式能级的准精确可解生成器，指出该方法在技术和直观上更具优势。
Large deviations at level 2.5 and for trajectories observables of diffusion processes : the missing parts with respect to their random-walks counterparts
本文详细分析了扩散过程与Markov链在level 2.5大偏差含义上的定性差异，通过研究两类随机游走在连续和离散极限下的行为，揭示了经验可观测量在扩散极限下的抑制与投影机制。
Convergence to decorated Lévy processes in non-Skorohod topologies for dynamical systems
该研究提出确定性系统向量值过程向装饰Lévy过程弱收敛的通用框架，适用于多类映射系统，弥补了Skorohod等拓扑无法捕捉漂移细节、不适用部分场景的局限。
Martingale approach for first-passage problems of time-additive observables in Markov processes
该研究提出基于Perron鞅的方法，推导马尔可夫过程时间加性可观测量大区间极限下首通问题的分裂概率、首通时间累积量等表达式，揭示双边界首通统计差异，并用游动- tumble粒子实例验证。
Bayesian quickest detection problems for some diffusion processes
本文研究了检测可观测扩散过程的漂移率变化的贝叶斯问题，该扩散过程具有线性和指数惩罚代价。最佳的报警时间被发现的第一次加权似然比击中随机边界取决于当前的观察。证明的基础上减少到适当的三维最优停止问题和相关的抛物型自由边界问题的分析的初始问题。我们提供封闭形式的价值函数和边界的估计，在一定的非平凡的可观察扩散系数之间的关系。
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