Sobolev versus Hölder local minimizers in degenerate Kirchhoff type problems
本文研究了一类带Kirchhoff型退化非局部项的拟线性椭圆型边值问题的泛函几何。由于退化的非局部项，它是不可能直接使用经典的结果，如一致的先验估计和“Sobolev与Hölder局部极小”类型的结果。我们证明，类似于这些结果是否成立，这取决于如何退化的问题。我们应用我们的研究结果，以显示相关的拟线性方程的解的存在性和多重性，考虑几种不同的非局部项和非线性之间的相互作用。
2019-06-18 math.AP
Fractional p-Kirchhoff equation with Sobolev and Choquard singular nonlinearities
本文研究全空间上含双重非线性项与临界奇异权重的分数阶p-Kirchhoff方程，利用Cerami条件克服慢增长非线性项带来的紧性证明困难，得到非平凡弱解的存在性结果。
2024-10-07 math.AP
On Kirchhoff type equations with critical Sobolev exponent and Naimen's open problems
本文研究了Kirchhoff型$$ \left\{\aligned &-(a+b\int_Ω|\nabla u|^2dx)Δu = λ|u|^{q-2}u + δ|u|^{2}u, &\quad \text{in}\ Ω, \\ &u=0,& \text{on}\ \partialΩ, \endaligned \right. $$的Brezis-Nirenberg问题，其中$Ω\subset \bbr^4$是一个有界区域，其光滑边界$\partialΩ$，$2\leq q<4$和$a$，$b$，$λ$，$δ$是正参数.我们得到了一些新的存在性和不存在性结果，这些结果依赖于上述参数的值，改进了一些已知的结果。本文还讨论了解的渐近性态。
2015-07-19 math.AP
Existence of solutions for a nonlocal Kirchhoff type problem in Fractional Orlicz-Sobolev spaces
本文研究了分数阶Orlicz-Sobolev空间中具有齐次Dirichlet边界条件的椭圆型非局部算子驱动的Kirchhoff型问题{ \small $$ (D_{K,A}) \hspace*{0.5cm} \left\{ \begin{array}{clclc} M\left( \displaystyle \int_{\R^{2N}}A\left( [u(x)-u(y)] K(x,y)\right) dxdy\right) \mathcal{L}^K_A u & = & f(x,u) & \text{ in }& Ω, \hspace*{7cm} u & = & 0 \hspace*{0.2cm} \hspace*{0.2cm} & \text{ in } & \R^N\setminus Ω. \label{eq1} \end{array} \right. $$ }弱解的存在性，其中$\mathcal{L}^K_A$是具有奇异核的非局部算子，$A$是$N$ -函数，$Ω$是具有Lipschitz边界$\partial Ω$的$\R^N$中的开有界子集.
2019-01-16 math.AP
Existence of least energy nodal solution with two nodal domains for a generalized Kirchhoff problem in an Orlicz Sobolev space
本文证明了$$ -M\left(\displaystyle\int_ΩΦ(|\nabla u|)dx\right)Δ_Φu = f(u) \ \ \mbox{in} \ \ Ω, \ \ u=0 \ \ \mbox{on} \ \ \partialΩ, $$型广义Kirchhoff方程具有两个节点区域的节点解的存在性，其中$Ω$是$\mathbf{R}^N$中的有界区域，$M$是一般的$C^{1}$类函数，$f$是具有次临界增长的超线性$C^{1}$类函数，$Φ$是通过设置$ Φ(t)=\int_0^{|t|}ϕ(s)sds$对$t\in \mathbf{R}$定义的，$Δ_Φ$是算子$Δ_Φu:=div(ϕ(|\nabla u|)\nabla u)$ .证明是基于最小化参数和定量变形引理。
2015-11-30 math.AP
On a $p(\cdot)$-biharmonic problem of Kirchhoff type involving critical growth
我们建立了索伯列夫空间$W^{2,p(\cdot)}(Ω)\cap W_0^{1,p(\cdot)}(Ω)$的集中紧性原理，该原理是克服临界Sobolev嵌入缺乏紧性的工具。利用这个结果，我们得到了一类含$p(\cdot)$ -双调和算子和临界增长的Kirchhoff型问题解的存在性和多重性的几个结果.
2020-06-03 math.AP
Existence of positive solutions for nonlinear Kirchhoff type problems in R^3 with critical Sobolev exponent and sign-changing nonlinearities
本文研究了具有临界Sobolev指数的Kirchhoff型非线性问题：- \left（a+b \ds \int_{\R^3}| D u| ^2 \right）Δu+u=f（x，u）+u^{5}，u \in H ^1（\R^3），u>0，$x\in \R^3$其中a，b>0是常数。在对变号函数$f(x,u)$的某些假设下，利用变分方法证明了正解的存在性。我们的主要结果可以看作是He和Zou在[17]中关于非线性Kirchhoff问题\left（\varepsilon^2 a+ \varepsilon b \ds \int_{\R^3}）正解存在性的结果的部分推广|D u| ^2 \right）Δu+V（x）u=f（u），u \in H ^1（\R^3），u>0，$x\in \R^3$，其中$\varepsilon>0$是参数，$V(x)$是正连续势，$f(u)\thicksim |u|^{p-2}u$与$4<p<6$满足Ambrosetti-Rabinowitz型条件。
2013-05-29 math.AP
Kirchhoff equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical nonlinearity
我们考虑下面的Kirchhoff-Choquard方程\[ -M(\|\na u\|_{L^2}^{2})\De u = \la f(x)|u|^{q-2}u+ \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2^*_μ-2}u \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \text{ on } \pa \Om , \]其中$\Om$是$\mathbb{R}^N( N\geq 3)$中具有$C^2$边界的有界区域，$2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$，$1<q\leq 2$，并且$f$是连续实值变号函数.当$1<q< 2$时，利用Nehari流形方法和集中紧性引理，证明了上述问题正解的存在性和多解性.利用山路引理证明了当$q=2$时正解的存在性.
2019-01-31 math.AP
Quasi-periodic solutions for the forced Kirchhoff equation on $\mathbb{T}^d$
本文证明了具有周期边界条件的$d$维强迫Kirchhoff方程具有Sobolev正则性的小振幅拟周期解的存在性.这是高维拟线性方程的第一个此类结果。证明是基于一个Nash-Moser计划在Sobolev类和正则化过程结合多尺度分析，以解决线性化问题的任何近似解。
2018-02-08 math.AP
The global solvability of the Kirchhoff equation with Sobolev data
我们考虑索伯列夫空间中的线性和非线性柯西方程。特别是，我们显示的整体存在性的基尔霍夫方程的初始数据在索伯列夫空间，一个问题，已经开放了80多年。我们的证明是基于一个新的一致估计的解的线性方程与时间相关的系数和一个不动点的论点。作为结果的直接结果，我们还得到了具有Gevrey空间初值的Kirchhoff方程的整体可解性。
2022-09-05 math.AP math.FA
On a critical Kirchhoff-type problem
本文研究了一类含有临界Sobolev指数的Kirchhoff型问题.我们给出了该问题能量泛函序列弱下半连续性和Palais Smale性质的充分条件.
2019-07-12 math.AP
Normalized solutions to a class of Kirchhoff equations with Sobolev critical exponent
本文考虑了在规范约束$\int_{{\mathbb{R}^3}} {{u}^2}=c^2$下的Kirchhoff方程\begin{equation}\label{1}\nonumber - \Bigl(a+b\int_{\R^3} {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}}\Bigl) Δu =λu+ {| u |^{p - 2}}u+μ{| u |^{q - 2}}u \text { in } \mathbb{R}^{3} \end{equation}解的存在性和渐近性质，其中$a\!>\!0$，$b\!>\!0$，$c\!>\!0$，$2\!<\!q\!<\!\frac{14}{3}\!<\! p\!\leq\!6$或$\frac{14}{3}\!<\!q\!<\! p\!\leq\! 6$，$μ\!>\!0$和$λ\!\in\!\R$作为Lagrange乘子出现.在$p$和$q$的范围的两种情况下，涉及Sobolev临界指数$p\!=\!6$，并且相应的能量泛函在$S_c=\Big\{ u \in H^{1}({\mathbb{R}^3}): \int_{{\mathbb{R}^3}} {{u}^2}=c^2 \Big\}$上从下面是无界的。当$2\!<\!q\!<\!\frac{10}{3}$和$\frac{14}{3}\!<\! p\!<\!6$成…
2021-03-15 math.AP
The existence of multi-peak positive solutions for nonlinear Kirchhoff equations
本文研究了基尔霍夫方程$$\begin{cases}-\left(\varepsilon^2 a+\varepsilon b\int_{\mathbb R^3}|\nabla u|^2\right)Δu +u =Q(x)u^{q-1},\quad u>0,\quad x\in {\mathbb{R}^{3}},\\u\to 0,\quad \text{as}\ |x|\to +\infty,\end{cases}$$，其中$a,b>0$是常数，$2<q<6$，$\varepsilon>0$是参数.在适当的假设下，利用Lyapunov-Schmidt约化方法，得到了当$\varepsilon>0$足够小时，上述方程有正的多峰解集中在$Q(x)$的临界点处.我们推广了（Discrete Contin.戴纳姆Systems 6（2000），39- 50）到非线性Kirchhoff方程。
2022-06-28 math.AP
Existence and Concentration Results for the General Kirchhoff Type Equations
我们考虑下面的奇摄动基尔霍夫型方程$$-\varepsilon^2 M\left(\varepsilon^{2-N}\int_{\R^N}|\nabla u|^2 dx\right)Δu +V(x)u=|u|^{p-2}u~\hbox{in}~\R^N, u\in H^1(\R^N),N\geq 1,$$，其中$M\in C([0,\infty))$和$V\in C(\R^N)$是给定的函数。在对$M$非常温和的假设下，我们通过直接的对应论证证明了上述问题的单峰或多峰解$u_\varepsilon$的存在性，集中在$V$的拓扑稳定临界点附近.这对Figueiredo等人在2014年提出的一个未决问题给出了肯定的答案[ARMA，213]。
2022-06-08 math.AP
Concentrating bounded states for fractional Schrödinger-Poisson system involving critical Sobolev exponent
本文研究了一类分数阶Schrödinger-Poisson方程组\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon^{2s}(-Δ)^su+V(x)u+ϕu=f(u)+u^{2_s^{\ast}-1} & \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} \varepsilon^{2t}(-Δ)^tϕ=u^2, u>0& \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} \end{array} \right. \end{equation*}的解的浓度和多重性，其中$s>\frac{3}{4}$，$s,t\in(0,1)$，$\varepsilon>0$是小参数，$f\in C^1(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})$是次临界的，$V:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$是连续有界函数.我们建立了一个正解族$u_{\varepsilon}\in H_{\varepsilon}$，它集中在$Λ$中的$V$的局部极小值附近，称为$\varepsilon\rightarrow0$。利用Ljusternik-Schnirelmann理论，我们还利用位势$V$达到最小值的集合的拓扑结构得到了多解.
2019-06-26 math.AP
Existence and concentration of positive solutions for nonlinear Kirchhoff type problems with a general critical nonlinearity
本文研究了一类Kirchhoff型方程$$-\varepsilon^2 M \left(\varepsilon^{2-N} \int_{\mathbb{R}^N} | \nabla u|^2\, \mathrm{d} x\right) Δu+V(x)u = f(u),\ x \in \mathbb{R}^N,\ \ N\ge2, $$，其中$M \in C(\mathbb{R}^+,\mathbb{R}^+)$，$V\in C(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^+)$和$f(s)$是临界增长的.本文在一定条件下构造了一个集中于$V$的局部极小值的定域束缚态解为$\varepsilon\to 0$，它是关于$f(s)$，$M$和$V$ .特别地，不需要$f(s)/s$的单调性和Ambrosetti-Rabinowitz条件。
2017-03-15 math.AP
On the critical $p$-Kirchhoff equation
研究了一类具有临界Sobolev指数的$p$ -Kirchhoff型非局部椭圆型方程.首先给出了（PS）条件成立的充分条件。然后，我们利用莫尔斯理论的工具，特别是基于Fadell-Rabinowitz上同调指数的上同调局部分裂和特征值的概念，证明了一些解的存在性和多重性结果.
2021-08-11 math.AP
Signed and sign-changing solutions for a class Kirchhoff-type problem involving the fractional p-Laplacian with critical Hardy nonlinearity
本文研究了一类具有Sobolev和Hardy非线性项的非局部分数p-Laplacian算子的Kirchhoff方程在亚临界和临界增长下三个解的存在性.证明是基于山路定理、Ekeland变分原理和Nehari集上的约束极小化。
2018-11-23 math.AP
On Critical Kirchhoff problems driven by the fractional Laplacian
我们研究了一个由分数Laplacian算子驱动的非局部参数问题，该算子与Kirchhoff型系数相结合，并涉及Sobolev嵌入意义下的临界非线性项。我们的方法是变分和拓扑性质。所得到的结果可以被看作是一个非平凡的扩展到非局部设置的一些最近的贡献已经在文献中。
2021-04-23 math.AP
On the $p$-fractional Schrödinger-Kirchhoff equations with electromagnetic fields and the Hardy-Littlewood-Sobolev nonlinearity
本文研究了带电磁场和 Hardy-Littlewood-Sobolev 非线性的 $p$-分数阶 Schrödinger-Kirchhoff 方程，利用分数阶集中紧致原理证明紧致性，从而确立了非平凡解的存在性。
2024-01-11 math.AP
Existence and multiplicity results for Kirchhoff type problems on a double phase setting
本文在双相框架上研究了两类Kirchhoff型问题。也就是说，找到解决方案的函数空间与Musielak-Orlicz-索伯列夫空间$W^{1,\mathcal H}_0(Ω)$一致，其中模函数$\mathcal H$与所谓的双相算子有关。通过变分方法，我们提供存在性和多重性的结果。
2020-07-31 math.AP
Infinitely many solutions for doubly critical variable-order $p(x)$-Choquard-Kirchhoff type equations via the concentration compactness method
本文研究变光滑度双临界Choquard-Kirchhoff型方程，通过建立新的Sobolev嵌入定理、推广集中紧性引理，结合基于Krasnoselskii亏格的临界点定理，证明了该方程无穷多解的存在性。
2024-07-13 math.AP
Normalized solutions to Kirchhoff equation with the Sobolev critical exponent in high dimensional spaces
本文研究高维空间中具有Sobolev临界指数的Kirchhoff方程的规范化解，通过变分方法获得了纯临界情形下解的存在性、非存在性与多重性，并在次临界情形下证明了正规范化解、局部极小解和山路解的存在性。
2025-09-17 math.AP
On the existence time for the Kirchhoff equation with periodic boundary conditions
本文考虑了Sobolev类中小振幅$\varepsilon$的初值条件下$\mathbb{T}^d$上Kirchhoff方程的Cauchy问题.证明了存在时间的一个下界$\varepsilon^{-4}$，改进了标准局部理论给出的下界$\varepsilon^{-2}$.证明依赖于一个正规形式变换，之前是一个非线性变换，对角化的运营商在最高阶，这是必要的，因为拟线性性质的方程。
2018-05-03 math.AP
High energy solutions for $p$-Kirchhoff elliptic problems with Hardy-Littlewood-Sobolev nonlinearity
本文通过Pohožaev流形和linking定理，证明了带Hardy-Littlewood-Sobolev非线性的p-Kirchhoff椭圆问题在参数范围内存在正高能量解，并研究了极限问题解的径向对称性。
2023-06-18 math.AP
Quantitative truncation estimates for fractional Hardy-Sobolev optimizers
讨论了一类在原点集中质量的函数族截断的一般稳定性问题，并给出了分数阶Hardy-Sobolev不等式在整体优化器框架下的一个具体例子.在这个简短的说明中，我们指出了一些定量的稳定性估计，在处理临界$p-q$分数方程有用。
2019-07-16 math.AP
Infinitely many solutions to Kirchhoff-Boussinesq-type equations on Riemannian manifolds
该研究针对闭黎曼流形上的Kirchhoff-Boussinesq型方程，在对称性假设下证明了临界非线性项的多等变解与次临界非线性项的基态解存在性，还得到高阶Sobolev空间的Gagliardo-Nirenberg插值不等式与等价范数。
2026-08-28 math.AP
On polyharmonic Kirchhoff double phase problems without AR-conditions
Indian Institute of Technology Jodhpur（印度理工学院乔德普尔分校）
研究一类由双相算子驱动的多调和Kirchhoff问题，在弱于Ambrosetti-Rabinowitz条件下，通过变分方法和模估计获得解的存在性与多重性。
2026-07-01 math.AP
Kirchhoff type elliptic equations with double criticality in Musielak-Sobolev spaces
本文研究了Musielak-Sobolev空间中具有双临界性的Kirchhoff型椭圆方程，利用基于山路定理的变分技术证明了其弱解的存在性。
2022-05-14 math.AP
On an effect of inhomogeneous constraints for a maximizing problem of the Sobolev embedding associated with the space of bounded variation
本文考虑了有界变差空间上Sobolev型嵌入的极大化问题。我们表明，虽然最大化问题遭受的消失和集中现象的非紧性，存在一个最大化的指数范围。此外，我们证明了任何最大化必须由球上的特征函数给出。
2019-05-19 math.AP
The bifurcation diagram of an elliptic Kirchhoff-type equation with respect to the stiffness of the material
研究了一个超线性次临界变分的依赖于实参数$λ$的Kirchhoff型方程.非局部项迫使与能量泛函相关的某些纤维映射具有两个临界点。这表明多重的解决方案，实际上，我们表明存在一个局部极小值和山路型解决方案。我们刻画了当$λ\ge λ_0^*$时局部极小值具有非负能量的第一个参数$λ_0^*$。此外，我们还刻画了极值参数$λ^*$，如果$λ>λ^*$，那么基尔霍夫方程的唯一解是零函数。事实上，$λ^*$可以用Sobolev嵌入的最佳常数来表征。我们还研究了当$λ\downarrow 0$。
2019-04-27 math.AP
On Choquard-Kirchhoff Type Critical Multiphase Problem
针对含 Choquard 非局部项和广义临界增长项的 Kirchhoff 型变指数多相方程，论文借助空间嵌入、集中紧性与 HLS 型不等式证明弱解的存在性与多重性。
2025-01-07 math.AP
A fractional Kirchhoff problem involving a singular term and a critical nonlinearity
本文考虑如下临界非局部问题$$ \left\{\begin{array}{ll} M\left(\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}}dxdy\right)(-Δ)^s u = \displaystyle\fracλ{u^γ}+u^{2^*_s-1}&\quad\mbox{in } Ω,\\ u>0&\quad\mbox{in } Ω,\\ u=0&\quad\mbox{in } \mathbb{R}^N\setminusΩ, \end{array}\right. $$其中$Ω$是$\mathbb R^N$的开有界子集，具有连续边界，维数$N>2s$具有参数$s\in (0,1)$，$2^*_s=2N/(N-2s)$是分数阶临界Sobolev指数，$λ>0$是实参数，指数$γ\in(0,1)$，$M$模拟Kirchhoff型系数，而$(-Δ)^s$是分数阶Laplace算子.特别是，我们涵盖了微妙的退化的情况下，即当基尔霍夫函数$M$是零在零。通过结合变分方法和适当的截断参数，我们给出了两个解的存在性。
2017-03-22 math.AP
Solutions concentrating around the saddle points of the potential for Schrödinger equations with critical exponential growth
本文研究了非线性薛定谔方程$$ -ε^2Δu+V(x)u=f(u),\ u\in H^1(\mathbb R^2), $$，其中$$ -ε^2Δu+V(x)u=f(u),\ u\in H^1(\mathbb R^2), $$具有Trudinger-Moser型临界增长.利用变分技巧，构造了正解$u_ε$集中在位势$V(x)$的鞍点附近的正解$ε\rightarrow 0$ .我们的结果完成了在\cite{MR2900480}和\cite{MR3426106}中所作的分析，其中薛定谔方程在$\mathbb R^N$，$N\geq 3$中分别在亚临界和临界情况下在Sobolev嵌入意义下进行了研究。此外，我们放松的单调性条件的非线性项$f(t)/t$连同一个紧凑性假设的潜在$V(x)$，施加在\cite{MR3503193}。
2018-03-21 math.AP
Fractional Kirchhoff problem with critical indefinite nonlinearity
研究一类具有临界非线性项的分数阶Kirchhoff方程\begin{equation*} M\left(\int_Ω|(-Δ)^{\fracα{2}}u|^2dx\right)(-Δ)^α u= λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^*_α-2}u\;\; \text{in}\; Ω,\;u=0\;\textrm{in}\;\mathbb R^n\setminus Ω, \end{equation*}正解的存在性和多解性，其中$Ω\subset \mathbb R^n$是光滑有界区域，$ M(t)=a+\varepsilon t, \; a, \; \varepsilon>0,\; 0<α<1, \; 2α<n<4α$和$ \; 1<q<2$ .这里，$2^*_α={2n}/{(n-2α)}$是分数临界Sobolev指数，$λ$是正参数，系数$f(x)$是允许改变符号的实值连续函数。利用基于Nehari流形技巧思想的变分方法，结合次线性项和超线性项的影响，证明了我们的主要结果。
2017-12-19 math.AP
Ground states for the double weighted critical Kirchhoff equation on the unit ball in $\mathbb{R}^3$
本文研究三维单位球上双加权临界Kirchhoff方程基态存在性，考虑退化与非退化情形，分析μ符号的影响，采用Nehari流形与山路定理开展研究。
2024-11-02 math.AP
On a critical Kirchhoff problem in high dimensions
本文考虑如下Kirchhoff问题$$ \left\{\aligned -\bigg(a+b\int_Ω|\nabla u|^2dx\bigg)Δu&= λu^{q-1} + μu^{2^*-1}, &\quad \text{in }Ω, \\ u&>0,&\quad\text{in }Ω,\\ u&=0,&\quad\text{on }\partialΩ, \endaligned \right.\eqno{(\mathcal{P})} $$，其中$Ω\subset \bbr^N(N\geq4)$是有界区域，$2\leq q<2^*$，$2^*=\frac{2N}{N-2}$是临界Sobolev指数，$a$，$b$，$λ$，$μ$是正参数.利用变分方法，在参数$a$，$b$，$λ$，$μ$的进一步条件下，对所有的$N\geq4$，得到了$(\mathcal{P})$的存在性和不存在性结果，部分地改进了文献中的一些已知结果.此外，我们对$N=4$和$q>2$的结果，以及我们以前的工作\cite{HLW15,HLW151}，给出了Neimen的公开问题[J. Differential Equations，257（2014），1168- 1193]的几乎肯定的答案。
2016-05-23 math.AP
Multiplicity and concentration of solutions for a fractional $p$-Kirchhoff type equation
本文研究了分数阶$p$-Kirchhoff方程\begin{eqnarray*} \varepsilon ^{sp}M\left( {\varepsilon ^{sp - N}}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{{{{\left| {u(x) - u(y)} \right|}^p}}}{{{{\left| {x - y} \right|}^{N + sp}}}}dxdy\right)(-Δ)_p^su + V(x){u^{p - 1}} = {u^{p_s^* - 1}}+f(u),\ \ u>0, \ \mbox{in}\ {\mathbb{R}^N}, %u \in {W^{s,p}}(\mathbb{R}^N), \end{eqnarray*}，其中$\varepsilon>0$为参数，$M(t)=a+bt^{θ-1}$，$a>0$，$b>0$，$θ>1$，$(-Δ)_p^s$表示分数阶$p$-Laplacian算子，$0<s<1$和$1<p<\infty$，$N>sp$，$θp<p_s^*$，其中$p_s^*=\frac{Np}{N-sp}$为分数阶临界Sobolev指数，$f$是一个亚临界增长的超线性连续函数，$V$是一个正的连续势。利用罚函数法和Ljusternik-Schnirelmann理论，研究了足够小的$\varepsilon>0$方程非…
2021-12-29 math.AP
Multiple positive solutions for degenerate Kirchhoff equations with singular and Choquard nonlinearity
本文研究了以下Kirchhoff-Choquard问题：\begin{equation*} \begin{array}{cc} \displaystyle M\left( \iint\limits_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}}\,dxdy\right) (-Δ)^s u = \fracλ{u^γ} + \left( \int\limits_Ω \frac{|u(y)|^{2^{*}_{μ,s}}}{|x-y|^ μ}\, dy\right) |u|^{2^{*}_{μ,s}-2}u \;\text{in} \; Ω, %\quad \quad u > 0\quad \text{in} \; Ω, \quad \quad u = 0\quad \text{in} \; \mathbb{R}^{N}\backslashΩ, \end{array} \end{equation*}其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的有$C^2$边界的开有界区域，$N > 2s$和$s \in (0,1)$正弱解的存在性、多解性和正则性. $M$模型基尔霍夫型系数，特别是退化的情况下，基尔霍夫系数M是零在零。$(-Δ)^s$是分数Laplace算子，$λ> 0$是实参数，$γ\in (0,1)$和$2^{*}_{μ,s} …
2021-06-21 math.AP
Ground states and semiclassical states of nonlinear Choquard equations involving Hardy-Littlewood-Sobolev critical growth
研究了一类具有Hardy-Littlewood-Sobolev临界非线性项的非线性Choquard方程基态解的存在性。我们的结果补充了Moroz和Van Schaftingen以前的结果，其中考虑了亚临界情况。然后，我们专注于半经典状态的存在性，并通过使用截断参数的方法，我们建立的存在性和浓度的单峰解决方案集中在薛定谔电位的最小值，普朗克常数为零。结果是鲁棒的意义上，非线性不需要满足单调性条件，也不是Ambrosetti-Rabinowitz条件。
2016-11-09 math.AP
Normalized solution for Kirchhoff equation with upper critical exponent and mixed Choquard type nonlinearities
本文研究了具有混合Choquard类型非线性和上临界指数的Kirchhoff方程的归一化解存在性，通过在L^2约束下进行精细能量估计恢复紧性，并克服双重非局部项困难，推广了Wang等人关于低指数区间的结果。
2025-09-18 math.AP
Strongly Singular Nonlocal Kirchhoff-Type Equations with Variable Exponents: Existence, Regularity, and Renormalized Solutions
Mutah University（穆塔大学）
本文解决非局部Kirchhoff型方程变量指数下的强奇异问题，通过五个原创定理建立完整理论，涵盖存在性、正则性和重正化解构造。
2026-03-28 math.AP
Critical growth fractional Kirchhoff elliptic problems
本文研究了下列分数阶Kirchhoff-Choquard问题：\begin{equation*} \begin{array}{cc} \displaystyle M\left( \|u\|^2\right) (-Δ)^s u = \dsλf(x)|u|^{q-2}u + \left( \int\limits_Ω \frac{|u(y)|^{2^{*}_{μ,s}}}{|x-y|^ μ}\, dy\right) |u|^{2^{*}_{μ,s}-2}u \;\text{in} \; Ω, u > 0\quad \text{in} \; Ω, \,\, u = 0\quad \text{in} \; \mathbb{R}^{N}\backslashΩ, \end{array} \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的开有界区域，$N > 2s$和$s \in (0,1)$，这里$M$模型为$M(t) = a + bt^{\te-1}$形式的Kirchhoff型系数，其中$a, b > 0$是给定的常数. $(-Δ)^s$是分数拉普拉斯算子，$λ> 0$是实参数。本文利用变分方法研究了${q} \in (1,2^*_s)$和$\te \geq 1$解的存在性. %，我们还考虑了当$\te > 2^*_{μ,s}$用于$2< q < 2^*_{s}$时…
2022-12-11 math.AP
Longer lifespan for many solutions of the Kirchhoff equation
本文研究了$d$维环面$\mathbb T^d$上的Kirchhoff方程$$ \partial_{tt} u - Δu \Big( 1 + \int_{\mathbb T^d} |\nabla u|^2 \Big) = 0 $$及其初值为$u(0,x)$，$\partial_t u(0,x)$，大小为$\varepsilon$的Sobolev类Cauchy问题.在五阶动力学的有效方程，在以前的论文中获得的准线性规范形式，包含共振对应的非平凡项的能量估计。这种共振不能通过调整外部参数来避免（简单地说，因为基尔霍夫方程不包含参数）。本文在初值上引入了非共振条件，并证明了相应解的寿命的一个下界$\varepsilon^{-6}$（标准局部理论给出$\varepsilon^{-2}$，三次项的规范形式给出$\varepsilon^{-4}$）.证明依赖于这样一个事实，即在这些非共振条件下，在大的时间间隔上的有效方程的“叠加”的增长率小于（由一个因子$\varepsilon^2$）比其先验估计的基础上的正常形式的三次条款。满足这样的非共振条件的初始数据集包含几个非平凡的例子，在本文中讨论。
2020-11-05 math.AP
Generalized noncooperative Schrödinger-Kirchhoff-type systems in $\mathbb{R}^N$
本文研究含一般变指数临界增长椭圆算子的非合作 Schrödinger-Kirchhoff 型系统，结合极限指标理论、加权变指数 Sobolev 集中紧性原理与对称临界性原理，证明其存在无穷多解。
2024-02-23 math.AP math.FA
General fractional Sobolev Space with variable exponent and applications to nonlocal problems
本文将变指数分数Sobolev空间$W^{s,p(x,y)}$推广到一般分数情形$W^{K,p(x,y)}$，其中$p$是变指数，$s\in (0,1)$和$K$是合适的核.我们关心的是空间$W^{K,p(x,y)}$的一些定性性质（完备性、自反性、可分性和稠密性）。此外，我们证明了这些空间到变指数Lebesgue空间的连续紧嵌入定理。作为应用，我们讨论了一类非局部$p(x,.)$ -Kirchhoff型问题的非平凡解的存在性.进一步，我们建立了一个椭圆型积分微分算子变分问题解的存在唯一性定理，该变分问题是由$\mathcal{L}^{p(x,.)}_K$构成的。
2019-11-27 math.AP
On compactness in the Trudinger-Moser inequality
本文研究了二维Moser非线性方程在弱收敛条件下的连续性。与Sobolev不等式中的临界非线性不同，Sobolev不等式中的临界非线性在任何点都缺乏弱连续性，Moser泛函只有在Moser族中的一个集中函数序列的例外情况下才不是弱连续的（直到平移，其余的在Sobolev范数中消失）。该论点是基于弱收敛缺陷的结构描述，类似于Solimini为Sobolev不等式建立的剖面分解，但涉及特定于二维情况的规范算子。
2013-03-30 math.AP
Critical growth double phase problems: the local case and a Kirchhoff type case
本文研究了由双相算子控制且包含临界非线性的 Brezis-Nirenberg 型问题，在 Musielak-Orlicz Sobolev 空间中利用变分方法证明了局部及 Kirchhoff 型情形的紧致性与存在性结果，并给出了 Pohožaev 型不存在性结论。
2024-06-04 math.AP
Almost Global Solutions of Kirchhoff Equation
本文研究原始Kirchhoff方程，通过为无外部参数的无穷维可逆向量场构建有理标准型，证明了几乎任意小初值在Sobolev、Gevrey和解析空间中的几乎全局存在性与稳定性。
2025-05-02 math.AP
Normalized solutions to Kirchhoff type equations with a critical growth nonlinearity
本文研究带临界增长非线性项的Kirchhoff型方程的归一化解，在二维指数临界增长和高维Sobolev临界增长情形下，利用变分方法证明了归一化山路型解与基态解的存在性，并讨论了非存在性。
2024-10-21 math.AP
Higher topological type semiclassical states for Sobolev critical Dirac equations with degenerate potential
本文研究了带退化势的Sobolev临界Dirac方程\begin{align*} -\textnormal{i} \eps α\cdot \nabla u + a βu + V(x) u=|u|^{q-2} u + |u| u \quad \mbox{in} \,\, \R^3, \end{align*}的半经典态，其中$u:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{C}^4$，$2<q<3$，$\eps>0$是小参数，$a>0$是常数，$α=(α_1, α_2, α_3)$，$α_j$和$β$是$4 \times 4$ Pauli-Dirac矩阵.我们构造了一个无限序列的高能量的高拓扑型半经典态，它们集中在简并势$V$的局部极小点附近。解是从高维对称链接结构的极小极大特征得到的，对应于紧性条件失效的能级处的基本能量泛函的临界点。我们的方法是变分的，这主要依赖于惩罚方法和爆破参数以及局部类型Pohozaev恒等式。
2022-09-05 math.AP
Normalized ground states for Kirchhoff equations in ${\mathbb{R}}^{3}$ with a critical nonlinearity
本文研究了一类具有组合幂非线性项\begin{equation*} -\left(a+b\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u(x)|^{2}\right) Δu =λu+|u|^{p-2}u+u^{5}\quad \ \text{for some} \ λ\in\mathbb{R},\quad x\in\mathbb{R}^{3}, \end{equation*}和给定$L^{2}$ -范数质量\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{3}}u^{2}=c^{2} \end{equation*}的Kirchhoff型方程在Sobolev临界情形下基态的存在性，证明了该方程对任何$c>0$，$a,b >0$和$\frac{14}{3}\leq p< 6,$都有一对解$(u_{c},λ_{c})\in S(c)\times \mathbb{R}$，其中$S(c)=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3}):\int_{\mathbb{R}^{3}}u^{2}=c^{2}\}.$ \textbf{Keywords:} Kirchhoff型方程;临界非线性项;归一化基态\noindent{AMS Subject Classification:\, 37L05; 35B40; 35B41.}
2021-03-12 math-ph math.AP math.MP
A Generalized Representation Formula for Systems of Tensor Wave Equations
本文将Klainerman和Rodnianski的Kirchhoff-Sobolev参数推广到具有附加一阶项的张量波方程组。我们还提出了一个不同的推导，更好地突出了这样的表示公式完全支持过去的零锥。这一推广是将克莱纳曼和罗德年斯基的爱因斯坦真空时空的击穿判据结果推广到爱因斯坦-麦克斯韦和爱因斯坦-杨-米尔斯时空的关键组成部分。
2010-05-25 math.AP
Properties of the minimizers for a constrained minimization problem arising in Kirchhoff equation
设$a>0,b>0$和$V(x)\geq0$是$\mathbb R^2$中的强制函数。本文研究了在适当的加权Sobolev空间$\mathcal{H}$上的约束极小化问题：\begin{equation*} e_{a}(b):=\inf\left\{E_{a}^{b}(u):u\in\mathcal{H}\ \mbox{and}\ \int_{\mathbb R^{2}}|u|^{2}dx=1\right\}, \end{equation*}其中$E_{a}^{b}(u)$是\begin{equation*} E_{a}^{b}(u)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb R^{2}}[|\nabla u|^{2}+V(x)u^{2}]dx+\frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb R^{2}}|\nabla u|^{2}dx\right)^{2}-\frac{a}{4}\int_{\mathbb R^{2}}|u|^{4}dx. \end{equation*}在$\mathcal{H}$上定义的Kirchhoff型能量泛函。对于某些$a^{\ast}>0$，如果$b=0$和$a\geq a^{\ast}$，则$e_{a}(b)$没有极小化元，但如果$b>0$，则$e_{a}(b)$对任何$a\geq0$都有极小化元。本文的目的是研究$e_{a}(b…
2020-07-17 math.AP math.FA
