On linear topological spaces (linearly) homeomorphic to $R^\infty$
Taras Banakh
我们证明了每一个可以表示为有限维可度量化矩阵的直接极限的无限维（局部凸）线性拓扑空间与空间$R^\infty=\dlim R^n$（线性）同胚.
We prove that every infinite-dimensional (locally convex) linear topological space that can be expressed as a direct limit of finite-dimensional metrizable compacta is (linearly) homeomorphic to the space $R^\infty=\dlim R^n$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
When is $X\times Y$ homeomorphic to $X\times_l Y$?
我们确定了一类线性序拓扑空间$X$，它可以满足$X\times X$同胚于$X\times_l X$的性质，或者可以嵌入到具有所述性质的线性序空间中.我们用部分结果证明了这些结论的正确性。
Free topological inverse semigroups as infinite-dimensional manifolds
设$K$是拓扑逆Clifford半群的完备拟簇，包含所有拓扑半格.证明了$K$类中$X$的自由拓扑逆半群$F(X,K)$是$R^\infty$ -流形当且仅当$X$没有孤立点且$F(X,K)$是$R^\infty$ -流形的收缩元.我们由此得到：对于$R^\infty$ -流形的任何收缩$X$，自由拓扑逆半群$F(X,K)$是$R^\infty$ -流形当且仅当空间$X$没有孤立点.证明了对于无孤立点的$R^\infty$ -流形的任意同伦等价收缩$X,Y$，自由拓扑逆半群$F(X,K)$和$F(Y,K)$是同胚的.这允许我们构造非同胚空间，其自由拓扑逆半群是同胚的。
On Topological Groups of Automorphisms on Unions
研究有限个紧致连通线性有序子集并集上的同胚双射群，证明其在逐点收敛拓扑下构成拓扑群。
Diffeomorphism groups of non-compact manifolds endowed with the Whitney C^infty-topology
设M是一个无边界的非紧连通n-流形，DD（M）是M的C^ \infty -同态群，具有Whitney C^ \infty -拓扑，DD_0（M）是DD（M）的单位连通分支，它是M的紧支集的N-同态群DD_c（M）\subset DD（M）中的一个开子群.证明了对于一个拓扑型由DD_0（M）的同伦型唯一确定的l_2-流形N，DD_0（M）同胚于\times IR^ \infty.例如，当n = 1，2或n = 3且M可定向不可约时，DD_0（M）同胚于1_2 \times IR^ \infty.我们还证明了对任何具有非空边界\partial N的紧致连通n-流形N，群DD_0（N-\partial N）同胚于DD_0（N; \partial N）\times IR^ \infty，其中DD_0（N; \partial N）是N的不移动边界\partial N的点的复同态群DD（N; \partial N）的单位连通区.
A universal coregular countable second-countable space
Hausdorff拓扑空间$X$称为$\textit{superconnected}$（分别为：$\textit{coregular}$）如果对于任何非空的开集$U_1,\dots U_n\subseteq X$，它们的闭包的交集$\bar U_1\cap\dots\cap\bar U_n$不为空（分别是补$X\setminus (\bar U_1\cap\dots\cap\bar U_n)$是正则拓扑空间）。共正则超连通空间的一个典型例子是拓扑向量空间$\mathbb Q^{<ω}=\{(x_n)_{n\inω}\in \mathbb Q^ω:|\{n\inω:x_n\ne 0\}|<ω\}$在有理数域$\mathbb Q$上的投影空间$\mathbb Q\mathsf P^\infty$。空间$\mathbb Q\mathsf P^\infty$是等价关系$\mathbb Q^{<ω}\setminus\{0\}^ω$的商空间当且仅当$\mathbb Q{\cdot}x=\mathbb Q{\cdot}y$。证明了每个可数次可数共正则空间同胚于$\mathbb Q\mathsf P^\infty$的一个子空间，拓扑空间$X$同胚于$\mathbb Q\mathsf P^\infty$当且仅当$X$是可数的，次可数的，且允许一个闭集的减序列$(X_n)_{n\inω}$使得（i）…
Homomorphisms of the lattice of slowly oscillating functions on the half-line
研究半直线上慢振荡函数向量格同态空间的结构，证明零同态的特殊性，并给出该空间与半直线乘积空间加一点同胚的刻画。
On topological classification of normed spaces endowed with the weak topology or the topology of compact convergence
本文从无限维拓扑的观点研究赋范空间上的弱拓扑。除了赋范空间$X$上的弱拓扑（与对偶空间$X^*$的有限子集上的一致收敛拓扑一致），我们还考虑了$X^*$的紧子集上的一致收敛拓扑$c$.已知该拓扑与$X$的有界子集上的弱拓扑一致，但与后者不同，该拓扑具有更好的拓扑性质（例如，是可分层的）。证明了对于赋可分范数空间$X,Y$，$(X,weak)$，$(Y,weak)$是序列同胚的当且仅当$\mathcal W(X)=\mathcal W(Y)$，其中$\mathcal W(X)$是与$(X,weak)$的闭有界子集同胚的拓扑空间类.此外，如果$X,Y$是与它们的超平面同构且具有可分的Banach空间，则空间$(X,weak)$和$(Y,weak)$是序列同胚的当且仅当空间$(X,c)$和$(Y,c)$是同胚的.为了证明这一结果，我们证明了：对于同构于其超窗格且具有可分对偶的赋范空间$X$，空间$(X,c)$（或. $(X,weak)$）（依序）同胚于$X$的弱单位球$B$与具有可数Hamel基和最强线性拓扑的线性空间$\mathbb R^\infty$的乘积$B\times\mathbb R^\infty$。
Countable Successor Ordinals as Generalized Ordered Topological Spaces
拓扑空间$L$称为线性序拓扑空间（LOTS），只要在$L$上存在线性序$\leq$，使得$L$上的拓扑由具有$a < b$和$a, b \in L \cup \{ -\infty, +\infty \}$的形式为$(a, b)$的开集生成。拓扑空间$X$称为广义序空间（GO-空间），只要$X$拓扑可嵌入LOTS。主要定理：设$X$是Hausdorff拓扑空间.假设$X$的任何连续图像是GO-空间。则$X$同胚于一个可数后继序数（具有序拓扑）。反之亦然。
On homeomorphism groups of non-compact surfaces, endowed with the Whitney topology
证明了对任意非紧连通曲面$M$，赋予Whitney拓扑的$M$的紧支撑同胚群$H_c(M)$同胚于$R^\infty\times l_2$或$Z\times R^\infty\times l_2$ .
Algebraic and topological properties of some sets in $l_1$
对于序列$x \in l_1 \setminus c_{00}$，可以考虑序列$\sum_{n=1}^{\infty} x(n)$的所有子和的集合$E(x)$。Guthrie和Nymann证明了$E(x)$是以下类型的集合之一：（I）闭区间的有限并;（C）与康托集同胚;（MC）与$\sum_{n=1}^\infty b(n)$的子和的集合$T$同胚，其中$b(2n-1) = 3/4^n$和$b(2n) = 2/4^n$。通过$I$、$C$和$MC$，我们表示所有序列$x \in l_1 \setminus c_{00}$的集合，使得$E(x)$具有相应的性质。本文证明了$I$和$C$是强$\mathfrak{c}$ -代数的，$MC$是$\mathfrak{c}$ -线性的.证明了$C$是$l_1$中的稠密$G_δ$ -集，$I$是真$F_σ$ -集.最后，我们证明了$I$是可空的，而$C$是不可空的。
The topological type of spaces consisting of certain metrics on locally compact metrizable spaces with the compact-open topology
对于可分的局部紧但非紧的可度量化空间$X$，设$αX = X \cup \{x_\infty\}$是以无穷远点$x_\infty$为点的一点紧化。我们用$EM(X)$表示$X$上的容许度量空间，它可以推广到$αX$上的容许度量，并赋予其紧开拓扑。令$ \mathbf{c}_0 \subset (0,1)^\mathbb{N}$是收敛到$0$的序列的空间。本文证明了：若$X$是可分的，局部连通的，局部紧的，但不是紧的，且$X$中存在一个连通集序列$\{C_i\}$，使得对所有的正整数$i, j \in \mathbb{N}$和$|i - j| \leq 1$，$C_i \cap C_j \neq \emptyset$，且对每个紧集$K \subset X$，存在一个正整数$i(K) \in \mathbb{N}$，使得对任何$i \geq i(K)$，$C_i \subset X \setminus K$，则$EM(X)$同胚于$ \mathbf{c}_0$ .
Distinguishing endpoint sets from Erdős space
证明了$f(z)=\exp(z)-1$的朱利亚集在$f$的迭代下逃逸到无穷远的所有端点的集合不同胚于有理希尔伯特空间$\mathfrak E$ .作为推论，我们证明了轨道逃逸到$\infty$或吸引到$0$的所有点$z\in \mathbb C$的集合是路径连通的。我们将这些结果推广到指数族中的许多其他函数。
The topological dimension of radial Julia sets
证明了当$a$属于$f_a$的法图集时，$f_a(z)=e^z+a$的曲折集同胚于无理数空间.这扩展了Vasiliki Evdoridou和Lasse Rempe最近的结果。这意味着$f_a$的径向朱利亚集对所有吸引参数和抛物参数都拓扑维数为零，包括所有$a\in (-\infty,-1]$ .对Fatou函数$f(z)=z+1+e^{-z}$也得到了类似的结果。
Normal systems over ANR's, rigid embeddings and nonseparable absorbing sets
Besthold和Mogilski [ \textit{Characterizing certain incomplete infinite-dimensional absolute retracts}，Michigan Math. J. \textbf{33}（1986），291- 313]关于ANR的强$Z$ -集和吸收集的大部分结果都推广到不可分的情况。证明了如果ANR $X$是局部同伦稠密可嵌入无穷维Hilbert流形中的，并且对于$X$的每个开非空子集$U$，都有$w(U) = w(X)$（其中“$w$”是拓扑权），则$X$本身是同伦稠密可嵌入Hilbert流形中的.证明了当$X$是AR时，它的弱积$W(X,*) = \{(x_n)_{n=1}^{\infty} \in X^ω:\ x_n = * \textup{for almost all} n\}$同胚于具有$E \cong ΣE$的准Hilbert空间$E$.给出了在这种准希尔伯特空间上建模的流形的一个内在特征.
An example regarding Kalton's paper "Isomorphisms between spaces of vector-valued continuous functions"
本文在标题中提到包含以下惊人的结果：设$I$是单位区间和$Δ$的康托集。如果$X$是一个不包含$c_0$的副本的拟Banach空间，而$c_0$同构于一个具有基的空间的闭子空间，并且$C(I, X)$线性同胚于$C(Δ, X)$，则$X$是局部凸的，即，Banach空间本文证明了Kalton的结果是尖锐的，它给出了非局部凸拟Banach空间X的基是$C(I, X)$和$C(Δ, X)$同构的.我们的例子是相当具体的，实际上在所有情况下X同构于$C(Δ, X)$，如果$K$是有限覆盖维的度量紧。
Subspaces of interval maps related to the topological entropy
对于$a\in [0,+\infty)$，研究了从$[0,1]$到其自身的所有拓扑熵大于等于$a$（大于$a$ ;小于等于$a$;小于$a$）的连续映射在上确界度量下的函数空间$E_{\geq a}$（$E_{>a}$ ; $E_{\leq a}$ ; $E_{<a}$）.证明了空间$E_{\geq a}$和$E_{>a}$同胚于Hilbert空间$l_2$，空间$E_{\leq a}$和$E_{<a}$是可收缩的.此外，由所有分段单调映射构成的$E_{\leq a}$和$E_{<a}$的子空间在其中分别是同伦稠密的.
A note on rectifiable spaces
本文首先讨论了$l_{2}^{\infty}$同胚于可求长空间或仿拓扑群的问题。然后，我们主要讨论了局部紧可求长空间，证明了局部紧可分可求长空间是$σ$-紧的，从而肯定地回答了A.V.Arhangel的skirt和M.M. Choban的问题[关于可求长空间的代数，拓扑应用，157（2010），789 - 799]。其次，证明了可求长空间$X$是强Fr $\acute{e}$ chet-Urysohn当且仅当$X$是$α_{4}$-序列空间.此外，我们还讨论了可求长空间的度量化，从而部分回答了\cite{LFC2009}中提出的一个问题。最后，我们考虑了可求长空间的积，改进了\cite{A2005, A2007, A2009, Liu2009}中的一些结果。
On unitary representability of topological groups
本文证明了$\mathscr{L}_\infty$ - Banach空间$E$的加法群$(E^\ast,τ_k(E))$，若拓扑$τ_k(E)$在$E$的紧子集上一致收敛，则拓扑同构于某个Hilbert空间的酉群的子群（是\emph{unitarily representable}）.这与证明拓扑群$(E^\ast,τ_k(E))$对于某些$κ$一致同胚于$\ell_2^κ$的子集相同。作为直接结果，交换von Neumann代数的预表示或交换$C^\ast$ -代数的预表示在紧子集上的一致收敛一致收敛拓扑中是酉可表示的。紧空间上的自由局部凸空间（以及自由阿贝尔拓扑群）的酉表示也是如此。上述事实不能推广到非交换冯诺依曼代数或一般施瓦茨空间。
Spaces of maps into topological group with the Whitney topology
设X是局部紧的Polish空间，G是非离散的Polish ANR群。用C（X，G）表示具有Whitney拓扑的连续映射f：X \to G的拓扑群，用C_c（X，G）表示具有紧支集的映射的子群.如果X是紧的且非离散的，则空间C（X，G）是l_2-流形。本文证明了：若X是非紧的且不是端离散的，则C_c（X，G）是（R^ \infty \times l_2）-流形，且（C（X，G），C_c（X，G））局部同胚于l_2的盒幂和小盒幂对.
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