In a 1998 paper with H. Lakser, the authors proved that every finite distributive lattice $D$ can be represented as the congruence lattice of a finite \emph{semimodular lattice}.
Some ten years later, the first author and E. Knapp proved a much stronger result, proving the representation theorem for \emph{rectangular lattices}.
In this note we present a short proof of these results.
Congruences of fork extensions of slim semimodular lattices
对于一个细的、平面的、半模格$L$和覆盖正方形~ $S$，G.~ Czédli和E. T.~ Schmidt引入了分叉扩张$L[S]$，它也是一个纤细的平面半模格。我们研究了$L$的同余何时扩张到$L[S]$。引入了$L[S]$的并不可约同余$\boldsymbolγ(S)$.我们确定它何时是新的，在这个意义上，它不是由$L$的并不可约同余生成的。当它是新的时，我们非常详细地描述同余$\boldsymbolγ(S)$。主要结果如下：\emph{In the order of join-irreducible congruences of a slim, planar, semimodular lattice $L$, the congruence $\boldsymbolγ(S)$ has \emph{at most two covers.}}
Notes on planar semimodular lattices. VIII. Congruence lattices of SPS lattices
在本文中，我发现了一个SPS格$L$（slim，planar，semi-modular，其中“slim”是指不存在~ $\mathsf M_3$子格）的同余格的一个新性质Con $L$，它具有多个$2$元素：\emph{there are at least two dual atoms in Con$L$}。因此三元链不能表示为SPS格的同余格，补充了G.切德利
Using the Swing Lemma and Czédli diagrams for congruences of planar semimodular lattices
平面半模格$K$是\emph{slim}，如果$\mathsf{M}_3$不是~$K$的子格.在最近的一篇论文中，G. Czédli发现了四个新的性质的同余格的超薄，平面，半模格，包括\emph{No Child Property}：\emph{Let~$P$ be the ordered set of join-irreducible congruences of $K$. Let $x,y,z \in P$ and let $z$ be a~maximal element of $P$. If $x \neq y$, $x, y \prec z$ in $P$, then there is no element $u$ of $P$ such that $u \prec x, y$ in $P$.}我们正在应用我的Swing引理，2015年，和一种类型的标准化图的Czédli的，以验证Czédli的四个性质。
Using the Swing Lemma and $\mathcal{C}_1$-diagrams for congruences of planar semimodular lattices
平面半模格$K$是\emph{slim}，如果$\mathsf{M}_{3}$不是~ $K$的子格.在最近的一篇论文中，G. Czédli发现了四个新的性质的同余格的超薄，平面，半模格，包括\emph{No Child Property}：\emph{Let~$\mathcal{P}$ be the ordered set of join-irreducible congruences of $K$. Let $x,y,z \in \mathcal{P}$ and let $z$ be a~maximal element of $\mathcal{P}$. If $x \neq y$ and $x, y \prec z$ in $\mathcal{P}$, then there is no element $u$ of $\mathcal{P}$ such that $u \prec x, y$ in $\mathcal{P}$.}我们正在应用我的Swing引理，2015年，和一种类型的标准化图的Czédli的，以验证他的四个性质。
Congruences and prime-perspectivities in finite lattices
在有限格中，一个同余通过一个通过\emph{intervals of arbitrary size}的同余透视序列从一个素区间扩展到另一个素区间，这是J.Jakubík在1955年的一个结果。本文引入了\emph{prime-perspectivity}的概念，并证明了素透视引理：一个同余通过一个素透视序列通过\emph{prime ntervals}从一个素区间扩展到另一个素区间.一个平面半模格是\emph{slim}，如果它不包含$\mathsf{M}_3$子格。我介绍了摆动引理，一个非常强大的版本的素投射引理的超薄，平面，半模格。
Revisiting Faigle geometries from a perspective of semimodular lattices
1980年，美国Faigle在与有限半模格双射对应的偏序集上引入了一类有限几何。他的结果几乎被遗忘在格理论。在这里，我们简化了这些几何的公理化，我们称之为Faigle几何。为了证明它们的有用性，我们给出了Grätzer和E. Knapp（2009）断言每个瘦半模格$L$都有一个与$L$长度相同的瘦矩形格的保同余扩张。作为Faigle几何的另一个应用，我们给出了G. Grätzer和E. W. Kiss在1986年的结果（也被M. Wild于1993年提出的，本文作者和E. T. Schmidt在2010年），每个有限半模格$L$都有一个与$L$长度相同的几何格的扩张。
Length-preserving extensions of semimodular lattices by lowering join-irreducible elements
我们证明了，如果$e$是有限长的半模格$L$的一个连接不可约元，且$L$中的$h<e$使得$e$不覆盖$h$，则通过取$L$的一个保长半模扩张$K$但不改变连接不可约元的其余部分，$e$可以“降低”到$h$的一个覆盖.利用我们的“降低构造”，我们证明了半模格的保长半模扩张的一个一般定理，它推广了G. Grätzer和E. W. 03 The Dog（1986）Wild（1993）和G. Czédli和E. T. Schmidt（2010）对几何格的扩展，甚至是E. T.关于高维矩形格的施密特。我们的方法提供了更短的证明这些结果比原来的。为了获得本文中使用的主要工具，我们将有限半模格和Faigle几何之间的双射对应扩展到有限长度的半模格和更大的一类几何之间的类似对应。
