Brownian Limsup分形的Fourier维数

分数阶布朗运动驱动的粗糙微分方程的分形维数

Fractal Dimensions of Rough Differential Equations Driven by Fractional Brownian Motions

本文研究了具有Hurst参数$H>\frac{1}{4}$的分数布朗运动驱动的粗糙微分方程的分形性质。特别地，我们证明了当$d<\frac{1}{H}$满足时，解的样本路径的豪斯多夫维数为$\min\{d,\frac{1}{H}\}$，水平集$L_x=\{ t\in[ε,1]: X_t=x\}$的豪斯多夫维数为$1-dH$且概率为正

Spectral heat content on a class of fractal sets for subordinate killed Brownian motions

We study the spectral heat content for a class of open sets with fractal boundaries determined by similitudes in $\mathbb{R}^{d}$, $d\geq 1$, with respect to subordinate killed Brownian motions via $α/2$-stable subordinators and establish the asymptotic behavior of the spectral heat content as $t\to 0$ for the full range of $α\in (0,2)$. Our main theorems show that these asymptotic behaviors depend on whether the sequence of logarithms of the coefficients of the similitudes is arithmetic when $α\in [d-\b,2)$, where $\b$ is the interior Minkowski dimension of the boundary of the open set. The m…

The Seneta-Heyde scaling for supercritical super-Brownian motion

We consider the additive martingale $W_t(λ)$ and the derivative martingale $\partial W_t(λ)$ for one-dimensional supercritical super-Brownian motions with general branching mechanism. In the critical case $λ=λ_0$, we prove that $\sqrt{t}W_t(λ_0)$ converges in probability to a positive limit, which is a constant multiple of the almost sure limit $\partial W_\infty(λ_0)$ of the derivative martingale $\partial W_t(λ_0)$. We also prove that, on the survival event, $\limsup_{t\to\infty}\sqrt{t}W_t(λ_0)=\infty$ almost surely.

几何对单侧布朗环境中不连通分形集上扩散过程极限行为的影响

Geometric influence on the limiting behavior of diffusion processes in one-sided Brownian environments on disconnected fractal sets

本文研究单侧布朗环境中不连通分形集上的扩散过程，发现其扩散或捕获行为由几何参数r和N决定，概率由豪斯多夫维数刻画。

一个随机过程在哪里遇到分形障碍？

Where does a random process hit a fractal barrier?

给定$\mathbb{R}$上的布朗路径$β(t)$，从$1$开始，a.s.存在奇异时间集$T_β$，使得从$0$开始的独立布朗运动的$β$的首中时以概率1在$T_β$中。提出了随机过程命中测度的几个问题。

Brownian motion在$l$级Sierpinski垫片上的标度极限：分形到欧几里得的交叉

Scaling limit for Brownian motions on the $l$-level Sierpinski gaskets: The fractal to Euclidean crossover

本文证明了$l$级Sierpinski垫片上的典型扩散经重标度后收敛到初始三角形上的Brownian motion，并建立了转移密度的局部中心极限定理，核心是借助瓶颈间的欧几里得混合推导Poincaré不等式。

简单嵌套分形上的反射布朗运动

Reflected Brownian motion on simple nested fractals

证明了一类平面简单嵌套分形在任意大小的复形上的反射扩散的存在性。这样的过程是作为一个折叠投影的自由布朗运动从无界分形。我们给出了尖锐的必要几何条件下，这个投影可以很好地定义的分形。通过各种具体的例子来说明它们。本文首先构造了反射过程的转移概率密度的一个适当形式，并证明了它是一个满足Chapman-Kolmogorov方程的连续、有界、对称的函数。这为我们提供了反射过程的进一步的正则性，如Markov性、Feller性和强Feller性

分形图上生成树的计数

Counting Spanning Trees on Fractal Graphs

利用谱抽取方法和Kirchhoffs矩阵树定理的一个修正形式，定理（3.4）给出了一个关于在一个分枝分形上的全对称自相似结构的逼近图的生成树个数的封闭形式的解.计算的实例包括Sierpinski垫片，一种非p.c.f. Sierpinski Gasket、Diamond分形和Housebasket的类似物。对于每一个例子，我们都找到了渐近复杂性常数，在完全对称的假设下，证明了渐近复杂性常数的limsup和liminf是存在的。

一维Liouville布朗运动的谱表示与Liouville布朗漂移

Spectral representation of one-dimensional Liouville Brownian Motion and Liouville Brownian excursion

本文应用线性扩散的谱理论研究了一维Liouville布朗运动和Liouville布朗运动离给定点的距离。作为应用，我们估计了一维Liouville布朗运动水平集的分形维数以及Liouville布朗运动和Liouville布朗运动的各种概率渐近行为.

关于某些随机集的宏观分形几何

On the Macroscopic Fractal Geometry of Some Random Sets

本文主要研究现代和古典概率理论中出现的各种随机集的宏观分形行为。除其他事项外，它在这里示出的布尔覆盖过程的宏观行为是类似的Mandelbrot分形渗流的微观结构。其他的，更具技术挑战性的，本文的结果包括：（一）计算的宏观维数的一个大家庭的Lévy过程的图形;和（二）确定的宏观单分形的极值的对称稳定过程。作为（i）的结果，将表明布朗运动的图的宏观分形维数不同于其微观分形维数。因此，不可能有尺度的论点，允许一个推导出宏观几何从微观。第（ii）项扩展了Khoshnevisan，Kim和Xiao \cite{KKX}最近关于布朗运动极值的工作，使用不同的方法。

Sierpinski地毯上的布朗运动

Brownian motion on the Sierpinski carpet

我们证明了，标量倍，只存在一个局部正则狄利克雷形式的广义谢尔宾斯基地毯是不变的地毯的局部对称性。因此，对于每一个这样的分形的布朗运动的法律是唯一确定的和拉普拉斯算子是很好地定义。

标度不变Poisson随机分形模型相变的存在性

The existence phase transition for scale invariant Poisson random fractal models

本文研究了标度不变随机分形模型相变的存在性。我们确定的精确值的临界点，这种相变的所有模型满足一些弱的假设。此外，我们还证明了对于一个大子类，分形模型在临界点处处于空相。这类模型包括标度不变泊松布尔模型和布朗环汤。与文献中早期的结果相反，我们不需要将注意力限制在开集生成的随机分形模型上。

自相似分形的鞅维数的上估计

Upper estimate of martingale dimension for self-similar fractals

研究了强局部Dirichlet型扩散过程鞅维数$d_m$的上估计.通过对自相似分形上的自相似Dirichlet型应用一般策略，证明了后临界有限自相似集上的自然扩散的$d_m=1$和Sierpinski地毯上的布朗运动的谱维数决定了$d_m$.

α-时间布朗运动的重对数律

Laws of the iterated logarithm for α-time Brownian motion

我们引入一类迭代过程称为$α$ -时间布朗运动的$0<α\leq 2$。这些都是通过采取布朗运动和取代的时间参数与对称$α$稳定的过程。我们证明了这类过程的Chung型重对数律，它是\cite{hu}中关于迭代布朗运动的重对数律的推广。当$α=1$它采取以下形式$$ \liminf_{T\to\infty}T^{-1/2}(\log \log T) \sup_{0\leq t\leq T}|Z_{t}|=π^{2}\sqrt{λ_{1}} a.s. $$其中$λ_{1}$是柯西过程的第一个特征值在时间间隔$[-1,1].$我们还定义了本地时间$L^{*}(x,t)$和范围$R^{*}(t)=|\{x: Z(s)=x \text{for some} s\leq t\}|$为这些过程的$1<α<2$。证明了存在普适常数$c_{R},c_{L}\in (0,\infty) $使得$$ \limsup_{t\to\infty}\frac{R^{*}(t)}{(t/\log \log t)^{1/2α}\log \log t}= c_{R} a.s. $$ $$ \liminf_{t\to\infty} \frac{\sup_{x\in \RR{R}}L^{*}(x,t)}{(t/\log \log t)^{1-1/2α}}= c_{L} a.s. $$

吸引平面上三维布朗运动的分形结构

Fractal structure of a three dimensional Brownian motion on an attractive plane

考虑一个三维布朗粒子，它被一个平面吸引，平面的吸引力与某个无量纲参数$α$成正比。研究了吸引面上和吸引面上的粒子在立方晶格中所访问的格点的分形空间结构。我们计算的分形维数的访问网站的集合在三维和有吸引力的平面上，作为吸引力的强度的函数$α$。我们还研究了吸引平面上最近邻访问站点的簇的大小分布的标度特性，并计算了相应的标度指数$τ$作为$α$的函数。还针对不同的$α$值计算了围绕簇的曲线的分形维数，在极限$α\rightarrow\infty$中，其趋向于平面布朗运动的外周界的分形维数，即，自避免随机游走（SAW）我们发现所有测量的指数都显着取决于吸引力的强度。

在缺项小波级数的分形支撑内构建自相似子集以进行其多重分形分析

Constructing self-similar subsets within the fractal support of Lacunary Wavelet Series for their multifractal analysis

针对Hausdorff维数与上盒维数匹配的分形，提出在内部构建具有可控自相似性的拟Cantor子集的新方法，用于在经典质量传递原理失效时估计相交集合的维数下界，并应用于计算缺项小波级数的递增多重分形谱。

随机汤，地毯和分形维数

Random soups, carpets and fractal dimensions

研究了一类由Poissonian标度不变和平移不变点过程诱导的随机连通平面分形集的性质。利用二阶矩方法，证明了它们的豪斯多夫维数是确定的，并且等于它们的期望维数.我们还估计了它们的低强度限制行为。这特别适用于“共形循环系综”定义通过泊松云的布朗循环的期望维数已计算的施拉姆，谢菲尔德和威尔逊。

分形域上的反射随机游动

Reflecting random walk in fractal domains

本文证明了在任何有界区域D中的反射布朗运动都可以用在$(2^{-k}\mathbb{Z}^d)\cap D$的“极大连通”子集上的简单随机游动来近似为$k\to\infty$，其中$(2^{-k}\mathbb{Z}^d)\cap D$的“极大连通”子集的填充内部在D内部。

布朗边界的维数大于1

The dimension of the Brownian frontier is greater than 1

考虑一个有限时间的平面布朗运动。路径的边界或“外边界”是补的无界分量的边界。Burdzy（1989）证明了边界具有无限长。我们通过证明边界的豪斯多夫维数严格大于1来改进这一点。(It已经证明布朗边界具有维数$4/3$，但这仍然是开放的。）证明使用琼斯的旅行商定理和自相似的平铺平面的分形瓷砖称为戈德堡群岛。

Levy过程或分数阶布朗运动驱动的二维随机Navier斯托克斯方程解的稠密性

Existence of a density of the 2Dim Stochastic Navier Stokes Equation driven by Levy processes or fractional Brownian motion

本文主要研究二维环面$\mathbb{T}$上由Lévy噪声或分数布朗运动驱动的Navier斯托克斯方程的解过程所诱导的概率测度的正则性.本文主要研究在Lévy过程的特征测度或分形布朗运动的Hurst参数的条件下，$u(t)$在任意有限维$F\subset L^2(\mathbb{T})$上的投影规律关于$F$上的勒贝格测度是绝对连续的.

带漂移的布朗运动的Minkowski维数

Minkowski dimension of Brownian motion with drift

本文研究了具有任意c{à}dl{à}g漂移$f$的$\R^d$中布朗运动的图像和图形的分形性质。证明了$A\subseteq [0,1]$上$B+f$的象和图的Minkowski维数都是a.s. constants.然后，我们表明，对于所有的$d\geq 1$的闵可夫斯基维数的$(B+f)(A)$至少是最大的闵可夫斯基维数的$f(A)$和$B(A)$。我们也证明了类似的结果的图。对于线性布朗运动，如果漂移$f$是连续的，并且是$A=[0,1]$，则图的相应不等式实际上是等式。

Koch界面上的斜布朗扩散

Skew Brownian diffusions across Koch interfaces

考虑平面斜布朗运动（BM）穿越预分形Koch界面$\partial Ω^n$并在$\overline{Ω^n} \cup Σ^n= Ω^n_\varepsilon$上运动.研究了当$Σ^n$的厚度和偏度系数以不同的速率为零时，相应的乘性可加泛函的渐近性质.

分形上单参数非不动点扩散族的退化极限

Degenerate limits for one-parameter families of non-fixed-point diffusions on fractals

已知Sierpinski垫片支持称为渐近一维扩散的奇异随机过程。这个过程显示出局部各向异性，因为在微观尺度上有一个占主导地位的首选运动方向，但在宏观尺度上，我们看到全局各向同性，因为这个过程将表现得像分形上的正则布朗运动。在本文中，我们分析了这种过程的微尺度行为，我们称之为非不动点扩散，为一类分形，并表明，有一个自然的极限扩散与小尺度渐近。这个极限过程不再存在于原始分形上，而是由另一个分形支持，这是在对主要的微尺度运动方向执行短路操作后原始集合的Gromov-Hausdorff极限。我们建立了一般情况下重标度扩散的弱收敛性，并利用它来回答Hattori（1994）提出的关于Sierpinski垫片上渐近一维扩散过程的紫外极限的问题.

集指标分数布朗运动的平稳性和自相似性

Stationarity and Self-similarity Characterization of the Set-indexed Fractional Brownian Motion

集索引分数布朗运动（SifBm）已经由Herbin-Merzbach（2006）定义，用于作为度量测度空间的子集的索引。本文证明了SifBm是增量平稳性的一个加强定义。平稳性的这个新定义允许通过它的分形性质来得到这个过程的完整表征：sifBm是唯一一个自相似且具有平稳增量的集合索引高斯过程。利用SifBm是唯一的集指标过程，其在任意增路上的投影是一维分数布朗运动的事实，研究了SifBm定义在自相似参数0<H<1/2时的局限性，并举例说明.当索引集合是完全有序的时，sifBm可以被定义为0<H<1。

在嵌套分形上带有泊松随机环境的从属布朗运动的IDS

IDS for subordinate Brownian motions in Poisson random environment on nested fractals

本文研究了在嵌套分形上带有泊松随机环境的从属布朗运动的IDS奇异性，通过将随机势能转化为合金型势能，拓展了伯恩斯坦函数的应用范围。

一类随机分形谱的中心极限定理

Central limit theorems for the spectra of classes of random fractals

本文讨论了具有随机分形边界的实直线的某些开子集的谱渐近性和随机分形--连续随机树的谱渐近性。在具有随机分形边界的开子集的情况下，我们几乎肯定地建立了渐近性中二阶项的存在性，然后确定何时将存在一个中心极限定理，该定理捕获围绕该极限的波动。我们将展示从一类随机分形产生的狄利克雷分布的例子，因为这是一个相对简单的设置，其中有一组将和将不会是一个中心极限定理。布朗连续随机树也可以看作是由狄利克雷分布产生的随机分形。一阶项的谱渐近几乎肯定是已知的，在这里，我们表明，有一个中心极限定理描述的波动，虽然积极的方差产生的中心极限定理是开放的。在这两种情况下，这些分形可以通过一般的Crump-Mode-Jagers分支过程来描述，我们利用这种连接来建立我们的中心极限定理的高阶项的谱渐近。我们的主要工具是一个中心极限定理这样的一般分支过程，我们证明的条件下，比以前已知的弱。

反射分式布朗运动的Erdös-Révész型重对数律

An Erdös-Révész type law of the iterated logarithm for reflected fractional Brownian motion

设$B_H=\{B_H(t):t\in\mathbb R\}$是具有Hurst参数$H\in(0,1)$的分数布朗运动.对于平稳存储过程$Q_{B_H}(t)=\sup_{-\infty<s\le t}(B_H(t)-B_H(s)-(t-s))$，$t\ge0$，我们提供了一个易于处理的准则，用于评估对于任何正的非减函数$f$，$\mathbb P(Q_{B_H}(t) > f(t)\, \text{ i.o.})$是否等于0或1.使用这个准则，我们发现，对于一个家庭的功能$f_p(t)$，使$z_p(t)=\mathbb P(\sup_{s\in[0,f_p(t)]}Q_{B_H}(s)>f_p(t))/f_p(t)=\mathscr C(t\log^{1-p} t)^{-1}$，对于一些$\mathscr C>0$，$\mathbb P(Q_{B_H}(t) > f_p(t)\, \text{ i.o.})= 1_{\{p\ge 0\}}$。因此，对于$ξ_p (t) = \sup\{s:0\le s\le t, Q_{B_H}(s)\ge f_p(s)\}$、$p\ge 0$、$\lim_{t\to\infty}ξ_p(t)=\infty$和$\limsup_{t\to\infty}(ξ_p(t)-t)=0$ a.s.作为补充，我们证明了$ξ_p(t)$上的一个Erdös-R…

布朗运动的IFSM表示及其在模拟中的应用

IFSM representation of Brownian motion with applications to simulation

目前有几种方法可用于模拟布朗运动的路径。特别地，BM的路径可以使用过程的增量的性质来模拟，如在欧拉方案中，或者作为随机游动的极限，或者通过L2分解，如Kac-Siegert/Karnounen-Loeve级数。本文首先提出了一个IFSM算子，它的不动点是BM的轨线。然后，我们使用该过程的表示来模拟其轨迹。由此产生的模拟轨迹是自仿射的，连续的和分形的建设。这一事实产生更现实的轨迹比其他计划的意义上，他们的几何形状更接近一个真正的BM的轨迹。然后，BM的IFSM轨迹可以用于生成随机微分方程的更真实的解。

分形渗流模型中连通性的普适性

Universal Behavior of Connectivity Properties in Fractal Percolation Models

为了更好地理解分形渗流中的连通性相变，我们引入并研究了一类维数d大于或等于2的连续分形渗流模型。这些包括一个规模不变版本的经典（泊松）布尔模型的随机几何和（d=2）的布朗循环汤介绍了劳勒和沃纳。该模型导致随机分形集的连通性取决于一个参数λ。本文主要研究随机分形集全不连通的相和随机分形集含有大于一点的连通分量的相之间的过渡。特别是，我们表明，有连接的组件大于一个点在唯一的值的lambda分开的两个阶段（称为临界点）。我们证明，这样的行为也发生在Mandelbrot的分形渗流在所有尺寸d大于或等于2。我们的研究结果表明，它是一个通用的功能，独立的尺寸或模型的精确定义，基本上是一个后果的规模不变性。此外，对于d=2，我们证明了大于一个点的连通分量的存在意味着存在一个唯一的，无界的连通分量。

厄米布朗运动的Laplace原理与自由熵I：凸泛函情形

A Laplace Principle for Hermitian Brownian Motion and Free Entropy I: the convex functional case

本文是旨在证明Voiculescu自由熵的$\limsup$和$\liminf$变体一致的系列文章的一部分。这是基于一个拉普拉斯原理（意味着一个大偏差原则）的厄米布朗运动在$[0,1]$。在当前的文件中，我们表明，微观状态自由熵$χ(X_1,...,X_m)$和非微观状态自由熵$χ^*(X_1,...,X_m)$一致的自伴变量$(X_1,...,X_m)$满足Schwinger-Dyson方程的次二次，下有界，严格凸的潜力与Lipschitz导数充分逼近的非交换多项式。我们的结果是基于Dupuis-Ellis弱收敛方法的大偏差，其中一个显示拉普拉斯原理在获得一个随机控制制定指数泛函。在非交换的情况下，超积分析取代弱收敛的随机控制问题。

Weierstrass 桥

Weierstrass Bridges

本文引入分数维 Wiener-Weierstrass 桥，通过卷积构造并分析其变差，揭示两种样本路径性质，证明其非半鞅且协方差为分形，并推广至一般高斯鞅桥。

阻力型随机过程的时变

Time-changes of stochastic processes associated with resistance forms

给出了一个关于Gromov-Hausdorff-淡拓扑并满足一致体积加倍条件的阻力形式序列，证明了相应的布朗运动和局部时的收敛性.作为推论，我们得到了时变过程的收敛性。我们的主要结果包括Liouville布朗运动的标度极限，Bouchaud陷阱模型和随机电导模型的树和自相似分形。对于后两个模型，我们表明，在某些假设下的限制过程是一个FIN扩散的相关空间。

由缓和分数布朗运动驱动的Vasicek模型中参数估计量的渐近性质

Asymptotic properties of parameter estimators in Vasicek model driven by tempered fractional Brownian motion

本文推导了由缓和分数布朗运动驱动的Vasicek模型中未知漂移参数最小二乘估计量的渐近分布，延续了此前关于该估计量强相合性的研究。

随机游动与转子游动之间的插值

Interpolating between random walk and rotor walk

我们引入了一个家庭的随机过程的整数，取决于一个参数$p \in [0,1]$和插值之间的确定性转子行走（p=0）和简单的随机游动（p=1/2）。这个p-转子行走不是马尔可夫链，但它具有局部马尔可夫性质：对于每个$x \in \mathbb{Z}$，$x$的连续退出序列是马尔可夫链。本文的主要结果确定了p-转子行走的标度极限。初始转子。极限过程采用$\sqrt{\frac{1-p}{p}} X(t)$的形式，其中$X$是双扰动布朗运动，即对于所有$t \in [0,\infty)$，它满足隐式方程\begin{equation} X(t) = \mathcal{B}(t) + a \sup_{s\leq t} X(s) + b \inf_{s\leq t} X(s) \end{equation}。这里，$\mathcal{B}(t)$是标准布朗运动，$a,b<1$是分别取决于$\mathbb{N}$和$-\mathbb{N}$上的初始转子的边缘的常数。Chaumont和Doney [CD 99]证明了上述方程有一个路径唯一解$X(t)$，并且该解几乎必然是连续的，并且适合于布朗运动的自然过滤。此外，还有$\limsup X(t) = +\infty$和$\liminf X(t) = -\infty$ [CDH 00]。这最后一个结果，连同本文的主要结果，意味着p-转子行走是经常性的任…

Fractal geometry of the space-time difference profile in the directed landscape via construction of geodesic local times

The Directed Landscape, a random directed metric on the plane (where the first and the second coordinates are termed spatial and temporal respectively), was constructed in the breakthrough work of Dauvergne, Ortmann, and Virág, and has since been shown to be the scaling limit of various integrable models of Last Passage percolation, a central member of the Kardar-Parisi-Zhang universality class. It exhibits several scale invariance properties making it a natural source of rich fractal behavior. Such a study was initiated in Basu-Ganguly-Hammond, where the difference profile i.e., the differenc…

傅里叶限制与加性布朗表层

Fourier restriction for the additive Brownian sheet

本文研究了加性布朗表层生成的分形表面的傅里叶限制问题，提出了新的估计方法，并给出了更强的限制估计。

二维布朗运动和随机游动的覆盖时

Cover Times for Brownian Motion and Random Walks in Two Dimensions

设T（x，r）表示二维环面上布朗运动以x为中心的半径为r的圆盘的首中时。证明了sup_{x} T（x，r）/|卷筒r| ^2 --> 2/pi，因为r --> 0。这同样适用于任何光滑的、紧连通的、二维的、具有单位面积且无边界的黎曼流形上的布朗运动。因此，我们证明了Aldous（1989）的一个猜想，即一个简单的随机游动覆盖格环面Z_n ^2上所有点所需的步数渐近于（2n log n）^2/pi。确定这些渐近性是在覆盖完成之前分析未覆盖站点集合的分形结构的重要步骤;到目前为止，这种结构仅在物理学文献中进行了非严格的研究。我们还建立了一个由凯斯滕和雷韦斯提出的猜想，该猜想描述了Z ^2上简单随机游动覆盖半径为n的圆盘所需步数的渐近性。

二维简单随机游走的分形：蒙特卡罗研究

Fractals of Simple Random Walks in Two Dimensions: A Monte Carlo Study

研究通过蒙特卡罗方法分析二维离散时间简单随机游走形成的簇的分形几何，发现簇质量随尺度的变化关系及壳层分形维度，揭示了对数分形特性及化学距离的标度行为。

分数阶布朗运动积分的单侧小偏差

Unilateral Small Deviations for the Integral of Fractional Brownian Motion

我们考虑高斯随机过程$x(t)$，$x(0)=0$在一个大的时间间隔$(0,T)$，$T\gg 1$上不超过一个固定的正水平的路径.这种事件的概率$p(T)$通常是在$\infty$处具有指数$θ$的规则变化函数。在应用中，该参数可以提供有关从属于$x(\cdot)$的过程的分形特性的信息。因此，$θ$的估计是一个重要的理论问题。在这里，我们考虑的过程$x(t)$的导数是分数布朗运动与自相似参数$0<H<1$。对于这种情况下，我们产生了新的计算证据，有利于关系$\log p(T)=-θ\log T(1+o(1))$和$θ=H(1-H)$。$θ$的估计值在$0.1\le H\le 0.9$范围内的0.01以内。对于手头的问题的分析结果仅对于马尔可夫情形是已知的，即，关于$H=1/2$我们指出$x(t)$的其他统计数据，其小值具有与$\log$尺度中的$p(T)$相同的概率。

一种新的分形维数：拓扑豪斯多夫维数

A new fractal dimension: The topological Hausdorff dimension

本文引入度量空间的一个新的维数概念，即拓扑豪斯多夫维数。它是由拓扑维数和豪斯多夫维数的定义的非常自然的组合定义的。拓扑豪斯多夫维数的值总是介于拓扑维数和豪斯多夫维数之间，特别地，这个新维数是豪斯多夫维数的一个非平凡的下估计.我们研究了这个新的维数概念的基本性质，将它与其他著名的维数概念进行了比较，确定了它对于Sierpinski地毯，von Koch雪花曲线，Kakeya集，布朗运动的轨迹等经典分形的值。作为我们的第一个应用，我们推广了Chayes的著名结果，Chayes和Durrett关于Mandelbrot分形渗流过程极限集连通性的相变。他们证明，某些曲线出现在极限集时，通过一个关键的概率，我们证明，实际上“厚”家庭的曲线出现，其中粗略地说，这个词厚的意思是曲线可以参数化的自然方式由一组大豪斯多夫维数。证明这一点基本上是一个较低的估计拓扑豪斯多夫维数的极限集。为了完备性，我们还给出了一个上估计，并得出结论：在非平凡情形下，拓扑豪斯多夫维数几乎必然严格小于豪斯多夫维数.最后，作为我们的第二个应用，我们证明了拓扑豪斯多夫维数是正确的概念来描述一般连续函数（在Baire范畴的意义下）的水平集的豪斯多夫维数定义在一个紧凑的度量空间。

随机轨迹中表观分形维数的有限尺寸占据标度

Finite-size occupancy scaling of apparent fractal dimensions in stochastic trajectories

针对有限随机轨迹中分形维数估计的有限尺寸标度问题，提出基于球箱占据模型的偏差校正方法，通过归一化局部斜率坍塌实现跨模型类的误差降低。

多分数随机过程的模拟与分析（R包Rmfrac）

Simulation and Analysis of Multifractional Stochastic Processes with R Package Rmfrac

本文介绍了Rmfrac包，用于模拟和分析多分数过程，提供Hurst函数估计、局部分形维数计算及可视化功能。

临界高斯自由场符号分形的分形维数

Fractal dimension of critical Gaussian free field sign clusters

本文研究低维瞬态加权图上临界高斯自由场符号分形的宏观等价性，证明其尺度极限的豪斯多夫维数为 $1+d/2$，并给出二点穿越估计。

度量测度空间上的爱因斯坦关系

The Einstein Relation on Metric Measure Spaces

本文在度量测度空间上回顾了联系Hausdorff、局部游走和谱维数的爱因斯坦关系，证明了三种分形维数在双Lipschitz同构下的不变性，并探讨了非Lipschitz映射对维数的扭曲影响。

迭代图系统（I）：随机游走与扩散极限

Iterated Graph Systems (I): random walks and diffusion limits

本文研究了由边迭代图系统生成的广义分形图上的随机游走与扩散极限，证明了缩放后的简单随机游走在Gromov-Hausdorff-Prokhorov-Skorokhod拓扑下收敛于极限扩散，当电阻维度为正时与布朗运动一致，同时解决了Hambly和Kumagai提出的DHL渗流簇问题。