arXiv 1302.57912013-02-23math.CV

调和映射卷积的单叶性与单向凸性

Univalence and convexity in one direction of the convolution of harmonic mappings

Sumit Nagpal, V. Ravichandran

摘要：

设$\mathcal{H}$表示开单位圆盘中所有复值调和函数$f$的类，并由$f(0)=0=f_{z}(0)-1=f_{\bar{z}}(0)$归一化，并设$\mathcal{A}$是由归一化解析函数组成的$\mathcal{H}$的子类。对于$ϕ\in \mathcal{A}$，设$\mathcal{W}_{H}^{-}(ϕ):=\{f=h+\bar{g} \in \mathcal{H}:h-g=ϕ\}$和$\mathcal{W}_{H}^{+}(ϕ):=\{f=h+\bar{g} \in \mathcal{H}:h+g=ϕ\}$为$\mathcal{H}$的亚家族。本文给出了调和卷积$f_1*f_2$是单叶的且在一个方向上是凸的条件，如果$f_1 \in \mathcal{W}_{H}^{-}(z)$和$f_2 \in \mathcal{W}_{H}^{-}(ϕ)$ .如果是$f_1 \in \mathcal{W}_{H}^{-}(z)$和$f_2 \in \mathcal{W}_{H}^{+}(ϕ)$，则进行类似的分析。最后给出了用卷积方法构造单叶调和映射的例子。

英文摘要：

Let $\mathcal{H}$ denote the class of all complex-valued harmonic functions $f$ in the open unit disk normalized by $f(0)=0=f_{z}(0)-1=f_{\bar{z}}(0)$, and let $\mathcal{A}$ be the subclass of $\mathcal{H}$ consisting of normalized analytic functions. For $ϕ\in \mathcal{A}$, let $\mathcal{W}_{H}^{-}(ϕ):=\{f=h+\bar{g} \in \mathcal{H}:h-g=ϕ\}$ and $\mathcal{W}_{H}^{+}(ϕ):=\{f=h+\bar{g} \in \mathcal{H}:h+g=ϕ\}$ be subfamilies of $\mathcal{H}$. In this paper, we shall determine the conditions under which the harmonic convolution $f_1*f_2$ is univalent and convex in one direction if $f_1 \in \mathcal{W}_{H}^{-}(z)$ and $f_2 \in \mathcal{W}_{H}^{-}(ϕ)$. A similar analysis is carried out if $f_1 \in \mathcal{W}_{H}^{-}(z)$ and $f_2 \in \mathcal{W}_{H}^{+}(ϕ)$. Examples of univalent harmonic mappings constructed by way of convolution are also presented.

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