Geodesic period integrals of eigenfunctions on Riemannian surfaces and the Gauss-Bonnet Theorem
利用Gauss-Bonnet定理和Rauch和Toponogov的三角比较定理证明了在紧致负曲率Riemann曲面上，若$λ$为特征函数的频率，则特征函数$e_λ$在测地线上的周期积分以$O((\logλ)^{-1/2})$的速率趋于零.如\cite{CSPer}中所讨论的，如果曲率为$\ge0$，则在常曲率情况下不可能得到这样的结果。尽管如此，我们还表明，这些范围的周期积分是有效的，提供的曲率积分的所有测地球的半径$r\le 1$被捏从上面的$-δr^N$为一些固定的$N$和$δ>0$。这允许，例如，曲率是非正的和消失的有穷级在有限数量的孤立点。当然，上述结果也适用于适当类型的准模。
2017-03-29 math.AP math.CA math.DG
Restriction of toral eigenfunctions to totally geodesic submanifolds
我们估计了标准平坦环面$\mathbb{T}^d$，$d\ge2$上Laplace-Beltrami算子的本征函数的全测地子流形的约束的$L^2$范数.我们减少了获得正确的界限，在一些$ν$ -横向带的交叉点的球上的晶格点计数。此外，我们还证明了任意余维的有理全测地子流形的正确界。特别地，我们验证了Bourgain-Rudnick关于有理超平面的$L^2$ -限制估计的猜想.在$\mathbb{T}^2$上，我们证明了闭测地线的一致$L^2$约束界.在$\mathbb{T}^3$上，我们得到了全测地子流形的显式$L^2$限制估计，改进了Burq-Gérard-Tzvetkov，Hu，Chen-Sogge的相应结果.
2019-11-26 math-ph math.AP math.CA
Restriction of eigenfunctions to totally geodesic submanifolds
本文讨论了紧黎曼流形$(M,g)$上的本征函数$ϕ_j$的两类限制：第一，将其限制到子流形$H \subset M$上，并将其限制$γ_H ϕ_j$推广到$H$的本征函数$e_k$上.然后，我们傅立叶限制$γ_H ϕ_j$的$H$的特征值的一个短的间隔。$M$的拉普拉斯本征值表示为$λ_j^2$，$H$的拉普拉斯本征值表示为$μ_k^2$。傅立叶系数是可忽略的，除非$H$ -特征值位于间隔$μ_k \in [-λ_j, λ_j]$中。短窗口的形式为$|μ_k - c λ_j| < ε$。目标是获得$γ_H ϕ_j$的傅立叶系数的渐近性和估计值，并了解它们如何随$c$而变化。在与E. L. Wyman和Y. Xi，我们得到了$(μ_k, λ_j)$上的和在$0 < c < 1$的这样的窗口中的渐近性。在这篇文章中，我们得到了'边'渐近$c=1$和$H$是全测地线。数量级和前导系数与$c<1$情况非常不同。特别地，它们取决于$H$的维度。我们解释了如何桥接批量结果和边缘结果。
2022-06-11 math.AP
Explicit bounds on integrals of eigenfunctions over curves in surfaces of nonpositive curvature
设$(M,g)$是具有非正截面曲率的紧致黎曼曲面，$γ$是$M$中的闭测地线.设$e_λ$是Laplace-Beltrami算子$Δ_g$的$L^2$ -归一化本征函数，其中$-Δ_g e_λ= λ^2 e_λ$。Sogge、Xi和Zhang利用Gauss-Bonnet定理证明了$$ \int_γe_λ\, ds = O((\logλ)^{-1/2}),$$是对一般$O(1)$界的改进。我们证明，对于各种曲线，该积分都具有相同的衰减，其中$M$具有非正截面曲率。这些曲线$γ$的测地曲率逐点避开与$γ$相切的无限半径圆的测地曲率。
2018-05-29 math.AP
Eigenfunction concentration via geodesic beams
在这篇文章中，我们开发了新的技术研究浓度的拉普拉斯本征函数$ϕ_λ$作为他们的频率，$λ$，增长。该方法包括通过将$ϕ_λ$分解为穿过点$x$的测地线束的叠加来控制$ϕ_λ(x)$。每个光束被定位在以测地线为中心的管上的相空间中，测地线的半径收缩比$λ^{-\frac{1}{2}}$稍慢。我们控制$ϕ_λ(x)$的$L^2$ -质量的$ϕ_λ$在每个测地管，并得出一个纯粹的动力学声明，通过它可以研究$ϕ_λ(x)$。特别是，我们得到的估计$ϕ_λ(x)$通过分解的一组测地线管到那些是非自循环的时间$T$和那些。这种方法允许在$T$方面对$L^\infty$规范、$L^p$规范、逐点外尔定律和子流形平均值的可用界限进行定量改进。
2020-09-21 math-ph math.AP math.MP
Improvements for eigenfunction averages: An application of geodesic beams
设$(M,g)$是光滑紧致黎曼流形，$\{ϕ_λ\}$是拉普拉斯特征函数的$L^2$归一化序列，$-Δ_gϕ_λ=λ^2 ϕ_λ$ .给定一个光滑子流形$H \subset M$的余维$k\geq 1$，我们发现对$(M,H)$的条件，即使当$H=\{x\}$，其中$$ \Big|\int_Hϕ_λdσ_H\Big|=O\Big(\frac{λ^{\frac{k-1}{2}}}{\sqrt{\log λ}}\Big)\qquad \text{or}\qquad |ϕ_λ(x)|=O\Big(\frac{λ^{\frac{n-1}{2}}}{\sqrt{\log λ}}\Big), $$作为$λ\to \infty$。这些条件不需要对流形$M$进行全局假设，而是与$H$的单位法丛中的递归方向集的结构有关。我们的研究结果扩展了所有以前已知的条件，保证改善的平均值，包括那些上的超规范。例如，我们表明，如果$(M,g)$是一个表面与Anosov测地线流，然后有数学上改进的平均值为任何$H\subset M$。我们还找到了比没有共轭点，保证$\sqrt{\log λ}$的$L^\infty$规范的特征函数的改进弱的条件。我们的研究结果是使用测地线梁技术，这产生了一个机制，获得一般的定量改善的平均值和超规范。
2021-09-10 math.AP math.SP
Geodesic bi-angles and Fourier coefficients of restrictions of eigenfunctions
本文研究紧致黎曼流形的Laplace本征函数$ϕ_j$到子流形$H \subset M$的限制的傅里叶系数的联合渐近性.我们固定了一个数$c \in (0,1)$，研究了稀疏和$$ N^{c} _{ε, H }(λ): = \sum_{j, λ_j \leq λ} \sum_{k: |μ_k - c λ_j | < ε} \left| \int_{H} ϕ_j \overline{ψ_k}dV_H \right|^2 $$的渐近性，其中$\{λ_j\}$是$\sqrt{-Δ}_M,$的特征值，$\{(μ_k, ψ_k)\}$是$\sqrt{-Δ}_M,$的特征值.本征函数，$\sqrt{-Δ}_H$。内和表示$ N^{c} _{ε, H }(λ)$的“跳跃”，并反映测地线c-双角的几何形状，其中一条腿在$H$上，第二条腿在$M$上，具有相同的端点和相容的初始切向量$ξ\in S^c_H M, π_H ξ\in B^* H$，其中$π_H ξ$是$ξ$到$H$的正交投影。当$\frac{|π_H ξ|}{|ξ|} = c$。本文还研究了$μ_k$中的光滑和，并给出了跳跃的精确估计。跳跃本身可以跳跃$ε$变化，在某些值的$ε$相关的周期性在c-双角几何。球面的子球面和环面的某些子环面说明了这些跳跃。结果改进了前一篇文章（arXiv：2011.11571）的结果，其中内部和在$k: | …
2023-01-21 math.AP
Kakeya-Nikodym averages and $L^p$-norms of eigenfunctions
本文给出了二维紧致无边界黎曼流形$M$上的Laplacian的平方根的本征函数的$L^p$ -范数$2<p<6$小于本征值$λ$的自然幂的充要条件.确保这一点的条件是，当$λ$较大时，它们在任意单位测地线的$O(λ^{-1/2})$邻域上的$L^2$范数较小（例如，对于$S^2$上的最高权重球谐函数，情况并非如此）。证明利用高斯引理和事实，即双线性振荡积分在Hörmander的Carleson-Sjölin定理的证明中变得越来越好，远离对角线。我们的研究结果是有关最近的工作Bourgain谁表明，$L^2$平均测地线的本征函数是小的自然电源的本征值$λ$提供的$L^4(M)$规范同样小。我们的结果意味着QUE不能保持在一个紧凑的二维无边界黎曼流形$(M,g)$，如果$L^p$ -范数是饱和的，对于一个给定的$2<p<6$。我们还表明，本征函数不能有一个最大的$L^2$ -质量集中沿单位部分的测地线是不顺利关闭的速率。
2010-06-14 math.AP math.CA math.DG
Restrictions of the Laplace-Beltrami eigenfunctions to submanifolds
我们给出了黎曼曲面上Laplace Beltrami算子的本征函数曲线的限制的$L^p$范数（$2\leq p \leq +\infty$）的估计。如果曲线是测地线，我们表明，在球体上，这些估计是尖锐的。如果曲线具有非零的测地曲率，我们可以改进我们的结果。我们还展示了我们的方法如何适用于高维流形。
2006-10-17 math.AP math.SP
Growth of high $L^p$ norms for eigenfunctions: an application of geodesic beams
该研究提出了保证紧黎曼流形上高能拉普拉斯本征函数在$p>p_c$时$L^p$估计定量改进的局部动力学条件，首次仅靠动力学假设实现此类改进，并给出了达到改进上界的本征函数的结构定理。
2021-03-18 math.AP math.SP
Sharp endpoint estimates for eigenfunctions restricted to submanifolds of codimension 2
Burq-Gérard-Tzvetkov和Hu建立了将特征函数限制在子流形上的$L^p$估计（$2\le p\le \infty$）。估计是尖锐的，除了在端点的对数损失$L^2$估计余维2的子流形。长期以来，人们一直认为端点处的日志丢失一般可以消除，而问题仍然存在。因此本文主要研究这种情形下本征函数的尖端点约束估计。Chen和Sogge去掉了三维流形上测地线的对数损失。本文将他们的结果推广到高维情形，证明了余维为2的全测地子流形的对数损失是可以消除的。此外，在三维流形上，我们可以去除具有非零测地曲率的曲线以及更一般的有限型曲线的对数损失。三维问题本质上与平面曲线上的希尔伯特变换和一类由Phong-Stein，Ricci-Stein，Pan，Seeger，Carbery-Pérez研究的奇异振荡积分有关。
2020-06-18 math.AP math.CA math.DG
Integrals of eigenfunctions over curves in surfaces of nonpositive curvature
设$(M,g)$是具有非正截面曲率的紧致二维黎曼流形.令$Δ_g$是对应于$M$上的度量$g$的Laplace-Beltrami算子，并且令$e_λ$是具有本征值$λ$的$Δ_g$的$L^2$归一化本征函数，即\[ -Δ_g e_λ= λ^2 e_λ. \]我们证明了\[ \left| \int_{\mathbb R} b(t) e_λ(γ(t)) \, dt \right| = o(1) \quad \text{ as } λ\to \infty \]，其中$b$是光滑的，$\mathbb R$和$γ$上的composite支持函数是一条由弧参数化的曲线，长度，其测地曲率$κ(γ(t))$避免每个$t \in \operatorname{supp} b$的两个临界曲率$\mathbf k(γ'^\perp(t))$和$\mathbf k(-γ'^{\perp}(t))$。$\mathbf k(v)$表示在$-v$方向上沿着测地线射线取到无穷远的圆心的圆的曲率。
2017-04-26 math.AP
Integral curvature estimates and geodesic limits for stable abelian Higgs fields
Bocconi University（博科尼大学）；Imperial College London（帝国理工学院）
本文证明闭三维流形上稳定阿贝尔希格斯临界点序列的极限界面为有限条光滑闭浸入测地线，基于差异积分界推导弥散曲率积分估计。
2026-10-07 math.AP math.DG
Improved critical eigenfunction restriction estimates on Riemannian manifolds with constant negative curvature
我们证明了具有常负曲率的三维紧致黎曼流形上本征函数的$L^2$测地约束估计可以得到对数改进。我们获得了$L^2$限制界限的$(\logλ)^{-\frac12}$增益，这改进了Burq、Gérard和Tzvetkov、Hu、Chen和Sogge的相应界限。我们通过采用Chen和Sogge，Blair和Sogge，Xi和作者开发的方法来实现这一点。本文给出了三维双曲空间上波核的一个显式公式，改进了Chen和Sogge的Hadamard参数核估计.我们证明了详细的振荡积分估计折叠奇异的Phong和Stein，并使用庞加莱半空间模型建立各种衍生物的距离函数限制在测线段上的通用覆盖$\mathbb{H}^3$的界限。
2017-04-22 math.AP math.CA math.DG
Rational integrals of 2-dimensional geodesic flows: new examples
本文研究了具有线性分子和分母的2-曲面上的黎曼度量，其测地流允许有理动量首次积分。构造了度量和这种积分的显式例子。很少有超可积系统被发现有一个多项式和一个有理积分是功能独立的哈密顿量。
2021-06-20 math.AP math.DG math.DS
Quantum Limits of the Laplacian perturbed along a geodesic on $\mathbb{S}^{2}$
Universidad Politécnica de Madrid, ETSI Navales（马德里理工大学，航海工程学院）
研究在赤道上由测度扰动的二维球面拉普拉斯-贝尔特拉米算子本征态的高频行为，发现奇异delta势导致半经典测度不具测地流不变性，能量渐近集中于赤道半球。
2026-06-09 math.AP math.SP
Local high-degree polynomial integrals of geodesic flows and the generalized hodograph method
针对二维曲面测地流的动量高次多项式第一积分问题，将其转化为半 Hamilton 拟线性偏微分方程组，并利用广义速端曲线法构造了次数3、4、5的局部可积示例。
2025-08-28 math.AP math.DG math.DS
Integral geometry of tensor fields on a class of non-simple Riemannian manifolds
本文研究了具有非必要凸边界和可能的共轭点的紧致黎曼流形$M$上张量场的测地X射线变换$I_Γ$.我们假设$I_Γ$是已知的测地线属于一个开放的集合$Γ$的边界上的端点。证明了一般s-内射性和稳定性估计，条件是对任何$(x,ξ)\in T^*M$，在$Γ$中存在一条通过$x$法向于$ξ$的无共轭点测地线.
2006-11-16 math.AP math.DG
Inverse kinematic problem and boundary rigidity of Riemannian surfaces
给定一个具有未知黎曼度量的边界带边流形的紧致流形。问题是从所有闭测地线（运动学数据）的长度知识中重构一类共形度量中的度量。一个积分不等式，这意味着唯一性和稳定性的问题。如果不知道共形类，由于信息的缺乏，唯一的重建是不可能的。本文证明了在一个紧曲面上，所有测地线长度的列表足以唯一地确定一个黎曼度量，该曲面的边界直到一个固定边界的自同构。研究了积分几何中的一些相关问题。关键词：测地线，走时，共轭点，测地流，速端图，测地线积分变换。
2012-06-03 math.AP math.DG
The geodesic flow of a generic metric does not admit nontrivial integrals polynomial in momenta
任何光滑的测地流都可以用光滑积分局部积分。我们表明，一般这失败，如果我们需要，此外，积分是多项式（或更一般地说，解析）的动量。因此，我们得到，一个通用的实解析度量不承认，甚至局部，一个实解析积分。
2015-10-06 math-ph math.AP math.DG
Looping directions and integrals of eigenfunctions over submanifolds
设$(M,g)$是一个无边界的紧致$n$维黎曼流形，$e_λ$是Laplace-Beltrami算子关于度量$g$的$L^2$归一化本征函数，即\[ -Δ_g e_λ= λ^2 e_λ\qquad \text{ and } \qquad \| e_λ\|_{L^2(M)} = 1. \].这是众所周知的（例如证明Zelditch在更大的一般性），\[ \int_Σe_λ\, dμ= O(λ^\frac{n-d-1}{2}). \]我们表明这一界改善$o(λ^\frac{n-d-1}{2})$提供了一套循环方向，\[ \mathcal{L}_Σ = \{ (x,ξ) \in SN^*Σ: Φ_t(x,ξ) \in SN^*Σ\text{ for some } t > 0 \} \]已衡量零作为一个子集的$SN^*Σ$，在这里$Φ_t$是测地流上的共球丛$S^*M$和$SN^*Σ$是单位余法丛$Σ$。
2017-10-02 math.AP
Quantum limits of perturbed sub-Riemannian contact Laplacians in dimension 3
本文研究三维紧致黎曼曲面单位切丛上亚黎曼拉普拉斯算子的亚椭圆自伴扰动，证明在大特征值极限下特征函数集中于量子化水平集并满足守恒性质。
2023-06-19 math.AP math.SP
On Kakeya-Nikodym averages, $L^p$-norms and lower bounds for nodal sets of eigenfunctions in higher dimensions
我们将第二作者\cite [定理1.1]{soggekaknik}的结果推广到维数$d \geq 3$，它将$2<p<\frac{2(d+1)}{d-1}$的本征函数的$L^p$ -范数的大小与收缩管中关于单位长度测地线的$L^2$ -质量的量联系起来。证明使用双线性振荡积分估计李\cite{leebilinear}和一个可变系数变量的“$\veps$删除引理”陶和巴尔加斯\cite{tv1}。我们还使用Hörmander的\cite{HorOsc} $L^2$振荡积分定理和Cartan-Hadamard定理表明，在非正曲率的假设下，特征函数$e_\la$的$L^2$ -范数在宽度为$\la^{-\frac12}$的单位长度管上趋于零。使用我们的主要估计，我们推断，在这种情况下，$L^p$规范的本征函数的上述范围内的指数是相对较小的。其结果是，我们可以稍微改善已知的下界节点集的尺寸$d\ge3$的Colding和Minicozzi \cite{CM}在特殊情况下（可变）非正曲率。
2013-01-30 math.AP math.CA math.DG
Geodesic tomography problems on Riemannian manifolds
这篇博士论文是关于积分几何反问题的。测地线射线变换是一种沿着测地线对函数的线积分进行编码的算子。本文建立了这些信息唯一稳定地决定一个函数的条件。作为论文的一部分，建立了一种新的计算机层析成像的数值模型。论文的引言部分介绍了与计算机断层扫描相关的反问题和数学模型。主要介绍了积分几何问题的定义、相关文献综述以及本文的主要结果。给出了积分几何中重要的开放问题的列表。论文的四篇文章（arXiv：1705.10126，arXiv：1901.03525，arXiv：1906.05046，arXiv：1909.00495）现已发表在各种期刊上，文件的内容自2019年11月11日以来没有更新。这四条从本文件中略去，本文件只包含导言部分。扩展摘要以英文和芬兰文提供。
2020-10-21 math.AP math.DG math.FA
On logarithmic improvements of critical geodesic restriction bounds in the presence of nonpositive curvature
本文研究了非正曲流形上本征函数和拟模对测地线段的限制的$L^p$范数在高频极限下的增长上界。这使Chen和Sogge以及Xi和Zhang的结果更加尖锐，这些结果表明问题的关键是建立距离函数在覆盖流形上的混合偏导数的界，该覆盖流形限制为测地线段。本文的创新之处在于发展了复盖流形上弧长的第三变分公式，使得这些混合偏导数可以用坐标自由表示。
2016-07-19 math.AP math.CA math.SP
Integrable magnetic geodesic flows on 2-surfaces
本文研究了具有一个附加的首次积分的2-曲面上的磁测地流，该积分在固定的能级上与哈密顿量无关。考虑了两种情况：存在二次动量积分的情况和有理动量积分的分子和分母均为线性的情况。在这两种情况下，出现了偏微分方程的某些半哈密顿系统。在本文中，我们构造这些系统的精确解（一般来说，本地的）：在第一种情况下，通过广义速端法，在第二种情况下，通过勒让德变换和分离变量的分离变量法。
2022-05-25 math.AP math.DG math.DS
Averages of eigenfunctions over hypersurfaces
设$(M,g)$是紧致光滑黎曼流形，$\{ ϕ_h \}$是具有亏测度$μ$的拉普拉斯本征函数的$L^2$ -归一化序列.设$H$是光滑超曲面.我们的主要结果是：当$μ$是$\textit{not}$与$H$共形集中时，对$H$的本征函数限制及其法向导数对$H$的限制有积分收敛到0，如$h \to 0^+$ .
2018-01-22 math.AP math.SP
Improved critical eigenfunction restriction estimates on Riemannian surfaces with nonpositive curvature
证明了在非正曲率的紧致黎曼曲面上，可以得到特征函数的改进的$L^4$测地约束估计。我们实现这一点，通过调整Sogge的战略，证明改进的关键$L^p$估计。首先将Blair和Sogge的改进的$L^2$约束估计与Bérard的经典改进的$L^\infty$估计相结合，得到了一个改进的弱型$L^4$约束估计.然后，我们升级到一个强的弱估计，通过使用改进的Lorentz空间的Bak和Seeger估计。该估计将Burq、Gérard、Tzvetkov和Hu的$L^4$约束估计提高了$(\log\logλ)^{-1}$的幂。此外，在紧双曲曲面的情况下，我们得到了进一步的改进，$(\logλ)^{-1}$应用的想法，从最近的工作陈，Sogge和布莱尔，Sogge。我们能够计算各种常数，出现在工作中的陈和Sogge明确，证明详细的振荡积分估计和提升计算的通用覆盖$\mathbb H^2$。
2016-03-09 math.AP
