Singularly continuous spectrum of a self-similar Laplacian on the half-line
我们研究了自相似拉普拉斯算子的谱，它在整数半直线$\mathbb{Z}_+$上产生所谓的“$pq$随机游走”。利用谱抽取的方法，证明了当$p\neq \frac{1}{2}$满足时，Laplacian的谱型是奇连续的。这作为一个玩具模型，用于产生奇异的连续谱，这可以推广到更复杂的设置。我们希望它能为Fibonacci和其他弱自相似模型提供更多的见解。
2016-05-23 math-ph math.DS math.MP
Hyperfunctions and Spectral Zeta Functions of Laplacians on Self-Similar Fractals
我们研究了分形微分算子的谱zeta函数，例如无界（即，无限）Sierpinski垫片和与半直线上分形自相似测度相关联的自相似Sturm-Liouville算子。在后一种情况下，C. Sabot发现了这个算子的谱与多个复变量的有理映射的迭代之间的关系，称为重整化映射。我们得到一个因式分解的频谱zeta函数的这样一个运营商，表示在狄拉克δ超函数，几何zeta函数，zeta函数与相应的重整化映射的动力学，被看作是一个多项式函数的复平面（在第一种情况下）或（在第二种情况下）作为一个多项式的复投影平面。我们的第一个主要结果推广到无界Sierpinski垫片上的分形Laplacian的情况，第二作者得到的分形弦的谱zeta函数的因子分解公式，后来由A。”赵云信誓旦旦的说道。有限）Sierpinski垫片和其他一些可抽取分形。此外，我们的第二个主要结果将这些因式分解公式推广到与分形Sturm-Liouville算子相关的多个复变量的重整化映射。作为推论，在[0，1]上的自相似测度是Lebesgue测度的特殊情况下，我们得到了Riemann zeta函数在复射影平面上的多项式动力学表示，从而将A.捷夫
2012-09-12 math-ph math.MP
Spectral zeta functions of fractals and the complex dynamics of polynomials
我们得到的公式的光谱zeta函数的拉普拉斯算子的对称branched分形，如Sierpinski垫片，和一个分形拉普拉斯算子的间隔。这些公式包含一种与多项式相关的新型zeta函数（有理函数也可以出现在此上下文中）。证明了该zeta函数对极点包含在等差数列中的半平面有亚纯延拓。作为一个例子，证明了黎曼ζ函数是一个二次多项式的zeta函数，它与区间上的拉普拉斯算子相联系。Sierpinski垫片的谱zeta函数是多项式的zeta函数和几何部分的乘积;前者的极点被后者的零点抵消。M.L.发现了类似的产物结构。自相似分形弦的Lapidus。
2005-08-16 math-ph math.DS math.MP
Approximation of fractals by discrete graphs: norm resolvent and spectral convergence
我们证明了一类具有任意Borel正则概率测度的后临界有限分形上的Laplacian的范数收敛结果，它可以用具有相应离散概率测度的有限维图Laplacian序列来逼近.作为结果，拉普拉斯算子的其他函数（热算子、谱投影等）在算子范数下也收敛。并推导出谱和本征函数在能量范数下的收敛性。
2018-09-07 math-ph math.FA math.MP
Energy and Laplacian on Hanoi-type fractal quantum graphs
本文研究紧度量空间上的势理论和谱分析，我们称之为分形量子图。这些空间可以表示为一个（可能是无限的）1维区间和一个完全不连通（可能是不可数的）紧集的并集，它粗略地表示连接点的集合。经典的量子图和分形空间，如河内吸引子，其中包括。首先证明了Hanoi吸引子上的阻力形式的存在性，然后建立了Hanoi吸引子上的弱自相似测度对应的Laplacian特征值计数函数的热核估计和上下界.这些估计和边界严重依赖于分形的长度和体积缩放因子之间的关系。然后，我们陈述并证明了一般分形量子图上存在电阻形式的一个充分必要条件。最后，我们将我们的谱结果推广到一大类弱自相似分形量子图。
2015-07-31 math-ph math.FA math.MG
One-dimensional wave equations defined by fractal Laplacians
Georgia Southern University（佐治亚南方大学）；Hunan Normal University（湖南师范大学）；University of Connecticut（康涅狄格大学）
本文研究了一维由一类分形拉普拉斯算子定义的波动方程，通过自相似身份离散化方程并利用有限元和中心差分法得到弱解的数值近似，证明了数值解收敛于弱解并获得收敛率估计。
2014-06-01 cs.NA math-ph math.AP
Gaps labeling theorem for the Bubble-diamond self-similar graphs
本文针对 bubble-diamond 分形图，利用谱抽取技术为概率图拉普拉斯算子提供了 Bellissard 间隙标记定理，并通过动力系统轨道描述了间隙标记，证明了极限图谱通常为纯点谱。
2023-09-09 math-ph math.MP
A regularized representation of the fractional Laplacian in n dimensions and its relation to Weierstrass-Mandelbrot type fractal functions
我们证明了分数拉普拉斯算子（FL）是具有{ \it自相似}粒子间相互作用的谐波系统的主要特征算子。我们表明，FL代表的“{ \it分数连续极限}”的离散“自相似拉普拉斯”，这是从一个离散弹簧模型的Hamilton的变分原理。我们从广义自相似弹性势导出了FL的正则表示，它包含偶数阶对称有限差分算子的卷积，扩展了FL的标准表示，进一步导出了FL的正则表示$-(-Δ)^{\fracα{2}}$，它保持$α\in \R \geq 0$ .我们给出了一个明确的证明，正规化表示的FL给整数幂$\fracα{2} \in \N\_0$的分布表示的标准拉普拉斯算子$Δ$，包括平凡的单位操作$α\rightarrow 0$。我们证明，自相似{ \it谐波}系统是{ \it所有}由这个{ \it正则化表示FL}，因此可以被认为是自相似性的特征足迹在分布意义上。
2015-01-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On the viscous Burgers equation on metric graphs and fractals
研究了Sierpinski垫片上Burgers方程的一种形式，该垫片是p.c.f.的原型。自相似分形一种可能性是将Burgers方程实现为与标量函数的Laplacian相关联的半线性热方程，就像在单位区间上一样。在这里，我们提出了第二个，不同的配方如下从科尔-霍普夫变换，并与拉普拉斯算子的向量场。这两个方程之间的差异可以理解为度量图上拉普拉斯算子的不同顶点条件。对于第二个公式，我们证明了解的存在唯一性，并验证了对初始条件的连续依赖性。我们还证明了Sierpinski垫片上的解决方案可以近似在一个弱意义上的近似度量图的相应方程的解决方案。这些结果是一个更大的程序讨论分形空间上的非线性偏微分方程的一部分。
2017-12-14 math-ph math.AP math.FA
Approximation of fractals by manifolds and other graph-like spaces
利用拟酉等价的概念，在类图度量测度空间和离散加权图上定义了能量形式之间的距离。我们将这个结果应用于度量图和图状流形（例如嵌入度量图的小邻域）作为度量测度空间，其能量形式与规范拉普拉斯算子相关联，例如，度量图上Kirchhoff Laplacian在流形（有边界）上的（Neumann）Laplacian，用几何量表示相关能量形式的距离。我们在arXiv：1704.00064中表明，在pcf分形上的能量形式的定义中使用的加权图上的能量形式的近似序列在准酉等价中的距离趋于0的意义上收敛。利用拟酉等价的传递性，我们得到了度量图和图流形上的能量形式序列可以逼近pcf分形上的能量形式的结论。特别是，我们表明，有一个序列的域收敛到PCF分形，使相应的（诺依曼）能量形式收敛到分形能量形式。能量形式的拟酉等价蕴涵了相应Laplace算子的预解式之差的范数估计。因此，适当的函数的拉普拉斯是接近的。收敛以及运营商的范数，例如相应的热运营商和频谱投影。对于上述所有例子中的谱和本征函数也是如此。
2018-02-08 math-ph math.FA math.MP
Spectral analysis on infinite Sierpinski fractafolds
一个分形折叠，一个空间，是局部建模在一个指定的分形，是分形等价的流形。对于基于Sierpinski垫片的紧致分形，第一作者证明了如何用有限图拉普拉斯算子的谱来计算拉普拉斯算子的离散谱。第二作者解决了一个类似的问题的情况下，无限爆破的Sierpinski垫片，其中频谱是纯点的无限重数。这两个作品使用的谱抽取的方法，以获得明确的描述的特征值和特征函数。在本文中，我们结合这些早期的作品的想法，得到一个描述的谱分解的拉普拉斯算子的非紧fractafolds。我们的主要抽象结果使我们能够获得一个完全明确的描述的谱分解的分形拉普拉斯算子。对于一些具体的例子，我们把谱分解转化为“Plancherel公式”。我们还提出了3-正则树上的图拉普拉斯算子的一个公式，这似乎是一个新的结果的独立利益。最后讨论了周期分形褶皱和分形场。
2010-11-04 math-ph math.AP math.FA
Existence of a Meromorphic Extension of Spectral Zeta Functions on Fractals
利用Kigami和Lapidus（基于更新理论）的经典结果和Hambly和Kajino基于热核估计和其他概率方法的新结果，研究了自相似分形上Laplacian的谱zeta函数的亚纯扩张的存在性.我们还制定了在现有文献中已分析的例子中成立。
2013-08-05 math-ph math.CV math.FA
Pseudo-differential Operators on Fractals
本文定义并研究了一类分形上的伪微分算子，这类分形包括后临界有限自相似集和Sierpinski地毯。使用次高斯估计的热运营商，我们证明了我们的运营商的内核衰减，并在常数系数的情况下，是光滑的对角线。我们的分析可以扩展到分形的产品。虽然我们的结果适用于更大的一类度量测度空间与拉普拉斯算子，我们用它们来研究椭圆，亚椭圆，拟椭圆算子上的p.c.f.分形，回答了最近一系列论文中提出的一些开放性问题。我们扩展我们的运营商类，包括所谓的Hörmander次椭圆运营商，我们开始研究的波前集和微局部分析p.c.f.分形
2012-07-28 math-ph math.AP math.FA
Physical Consequences of Complex Dimensions of Fractals
最近人们意识到，分形的特点可能是复杂的尺寸，从相应的zeta函数的复杂的极点，我们在这里表明，这些导致振荡行为在各种物理量。我们确定的物理起源，这些复杂的极点的拉普拉斯算子的迭代本征值的指数大退化，并讨论在量子介观系统中的应用，如波动$Σ^2 (E)$的水平数的振荡，作为一个校正随机矩阵理论中得到的结果。我们提出了明确的表达这些振荡的钻石分形，也研究了层次晶格的家庭。
2009-12-04 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech hep-th
Spectral convergence of non-compact quasi-one-dimensional spaces
考虑一类非紧流形$X_\eps$（"graph-like manifolds“）逼近度量图$X_0$，并建立了度量图上的相关自然算子，即（Neumann）Laplacian $\laplacian {X_\eps}$和广义Neumann（Kirchhoff）Laplacian $\laplacian {X_0}$的收敛结果.特别地，我们证明了预解式、谱投影和特征函数的范数收敛性。因此，基本光谱和离散谱也收敛。流形和度量图都不需要是紧的，我们只需要一些自然一致性假设。我们提供的例子流形的光谱间隙中的基本频谱，离散特征值的差距，甚至接近分形谱流形。收敛结果将在一个完全抽象的设置处理操作在不同的空间，也适用于其他几何情况。
2006-01-02 math-ph math.MP
On the negative spectrum of the hierarchical Schrödinger operator
本文研究了最简单分形Dyson等级格上薛定谔算子的谱理论。对于未扰动算子，即，Dyson Laplacian的一个例子。研究了层次拉普拉斯算子扰动下的正谱。由于所考虑的运营商的谱维数可以是一个任意的正数，该模型允许一个连续的相变从经常性的瞬态潜在的马尔可夫过程。本文还研究了这种转变。
2012-06-18 math-ph math.MP
Random Matrices in 2D, Laplacian Growth and Operator Theory
自从60年前Wigner和Dyson首次将其应用于核相互作用的研究以来，随机矩阵理论（RMT）已经发展成为应用数学中的一个独立领域，现在对理论物理的许多部分都至关重要，从凝聚态到高能。到目前为止所获得的基本结果主要依赖于一维随机矩阵理论（谱的维数，或平衡概率密度）。在过去的几年里，这个理论已经扩展到了二维的情况，甚至是分形的，维数在1到2之间。在本文中，我们回顾了这些最新进展，并指出了该理论可以应用的一些物理问题。
2008-05-04 cond-mat.mes-hall cond-mat.soft math-ph
IDS for subordinate Brownian motions in Poisson random environment on nested fractals
University of Warsaw（华沙大学）；Wrocław University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫科技大学）
本文研究了在嵌套分形上带有泊松随机环境的从属布朗运动的IDS奇异性，通过将随机势能转化为合金型势能，拓展了伯恩斯坦函数的应用范围。
2026-02-25 math-ph math.FA math.MP
Essential selfadjointness of the graph-Laplacian
我们研究与这种无限图$G$相关的算子理论，这种无限图出现在电网络、分形、统计力学甚至互联网搜索引擎中。我们的重点是确定的光谱数据的自然拉普拉斯算子与图形的问题。该算子$Δ$将不仅依赖于$G$，而且依赖于在$G$中的边上定义的规定的正实值函数$c$。在电网络模型中，该函数$c$将确定每个边的电导数。我们证明了相应的Laplace算子$Δ$是自动本质自伴的。这意味着$Δ$被定义在希尔伯特空间$l^{2}% (G^{0})$中的稠密子空间$\mathcal{D}$上（在具有有限支撑的顶点集$G^{0}$上的所有实值函数的稠密子空间）。结论是算子$Δ$的闭包在$l^{2}(G^{0})$中是自伴的，特别是它具有唯一的谱分辨率，由无限半直线的Borel子集上的投影值测度决定.证明了我们的图Laplace算子$Δ=Δ_{c}$一般具有连续谱.对于给定的具有电导函数$c$的无限图$G$，我们建立了一个具有周期边界条件的有限图系统，使得有限图族的有限谱将以$G$的Laplace算子作为其极限.
2008-02-01 math-ph math.MP
Tridiagonal substitution Hamiltonians
考虑一维整数格上一类离散Jacobi算子族，其Laplacian项和位势项由一个本原可逆双字母替换调制。我们研究了能谱和能谱类型，能谱的分形结构和分形维数，积分态密度的精确维数，以及能隙结构。我们提出了一个审查以前的结果，一些应用程序，和开放的问题。我们的研究主要是基于轨迹映射的动力学。这项工作是一个类似的结果Schroedinger运营商的延伸，虽然我们得到的一些结果不同的定性和定量的Schroedinger运营商。这种扩展的非平凡性在于相关的迹映射的动力学，因为人们试图将迹映射的形式主义从薛定谔上循环扩展到雅可比上循环。事实上，这里考虑的Jacobi算子在某种意义上是一个测试项目，因为许多其他模型可以通过相同的技术进行攻击，我们对此进行了广泛的讨论。
2014-06-08 math-ph math.MP math.SP
Dispersion Relations and Wave Operators in Self-Similar Quasi-Continuous Linear Chains
我们构造自相似函数和线性算子，推导出拉普拉斯算子和达朗伯波算子的自相似变体。自相似性作为一种对称性质的迫切性要求引入非局域粒子间相互作用。我们推导出一个自相似线性波算子，描述具有空间自相似分布的非局部粒子间弹簧的无限长的准连续线性链的动力学。非局域谐振子-粒子相互作用的自相似性导致了具有自相似性和分形特征的Weierstrass-Mandelbrot函数形式的色散关系。我们还推导出一个连续近似的自相似拉普拉斯算子的分数阶积分和收益率在低频制度的幂律频率依赖的振子密度。
2009-07-28 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.MP
