Convergence of the empirical spectral distribution function of Beta matrices
设$\mathbf{B}_n=\mathbf {S}_n(\mathbf {S}_n+α_n\mathbf {T}_N)^{-1}$，其中$\mathbf {S}_n$和$\mathbf {T}_N$是两个独立的样本协方差矩阵，维度为$p$，样本量分别为$n$和$N$。这就是所谓的Beta矩阵。本文着重研究了$\mathbf {B}_n$的极限谱分布函数和线性谱统计的中心极限定理。特别地，我们不要求$\mathbf {S}_n$或$\mathbf {T}_N$可逆。也就是说，我们可以处理$p>\max\{n,N\}$和$p<n+N$。因此，我们的结果涵盖了许多重要的应用程序，不能简单地推导出相应的多元$F$矩阵的结果。
2015-07-29 math.PR
Gaussian fluctuations for linear spectral statistics of Wigner beta ensembles
随机矩阵理论是数学物理和统计学中的一个重要课题，在现代物理学和多元分析中有着广泛的应用。研究了Wigner β系综线性谱统计量的高斯涨落。首先建立了Wigner四元数矩阵LSS的中心极限定理，然后给出了Wigner $β$系综的一般中心极限定理.
2018-01-10 math.PR
Real roots of hypergeometric polynomials via finite free convolution
本文利用乘性和加性有限自由卷积将超几何多项式分解为基本块，分析其所有根为实数的条件，并给出其渐近零点分布与自由概率中若干经典律的自由卷积之间的关系。
2024-05-02 math.CA math.PR
The mean spectral measures of random Jacobi matrices related to Gaussian beta ensembles
导出了随机Jacobi矩阵的平均谱测度的一个显式公式。该矩阵可以被认为是高斯β系综（G $β$ E）矩阵的极限，因为矩阵大小$N$在$N β$是常数的约束下趋于无穷大。
2015-04-27 math.PR math.SP
Jacobians and rank 1 perturbations relating to unitary Hessenberg matrices
在最近的工作Killip和Nenciu给随机递归的特征多项式的某些酉和真正的正交上Hessenberg矩阵。相应的特征值p.d.f.是典型群的β-推广。左开放是直接计算某些雅可比。我们提供所寻求的直接计算。此外，我们展示了如何乘法秩1扰动的酉Hessenberg矩阵提供了一个联合本征值p.d.f推广的圆形β-合奏，我们展示了这个联合密度是如何与已知的循环合奏之间的相互关系。将联合密度投影到实数线上导致根据圆形雅可比β系综分布的具有零的多项式的随机三项递归的推导。
2005-05-25 math.PR
Hypergeometric Multiple Orthogonal Polynomials and Random Walks
Lima和Loureiro最近发现的阶跃线上的超几何多重正交多项式是随机游动多项式。证明了相应的Jacobi矩阵及其转置可以归一化为两个相互对偶的随机阵，它们是非负矩阵，描述了更高的递推关系。利用阶跃线上的Christoffel-Darboux公式和非齐次递推关系的Poincaré理论，证明了两个随机阵在大$n$极限下通过转置相关.这些随机游动超越了生与死，因为它们描述了一个链，其中允许转移到前两个状态，或在对偶中转移到后两个状态.给出了这些新的马尔可夫链相应的Karlin-McGregor表示公式.给出了马尔可夫链是常返链或瞬态链时超几何参数的区域。本文给出了相应的第Ⅰ型和第Ⅱ型Markov矩阵的纯生因子和纯死因子的随机分解，找到并研究了12个一致Jacobi矩阵和相应的Toeplitz型Jacobi矩阵的随机游动，以及它们的随机或半随机阵（有汇和源），它们描述了出生和死亡之后的马尔可夫链.这些均匀随机的情况下，这是一个经常性的随机游动，是唯一的超几何多重随机游动具有一致的随机因子分解。给出了相应的权值、Jacobi和Markov转移阵以及II型多重正交多项式序列。给出了连接它们之间的随机一致元组和它们之间的半随机一致元组的Christoffel变换链。
2021-07-17 math-ph math.CA math.MP
Kshirsagar--Tan independence property of beta matrices and related characterizations
本文给出了一元β分布的一个新的独立性，它与Kshirsagar和Tan关于β矩阵的结果有关.相反，通过这个独立性的一个特征的单变量贝塔法律证明。还得到了一类包含beta矩阵的$2\times2$随机矩阵的相关刻画.主要的技术挑战是一个涉及求解相关函数方程的问题。
2008-10-24 math.PR math.ST stat.TH
Bernstein-Type Bounds for Beta Distribution
本文为Beta分布建立了尖锐的Bernstein型指数集中不等式，通过由超几何表示导出的二阶中心矩递推改进已有次高斯和次伽马界。
2023-02-06 math.PR math.ST stat.AP
A Random Difference Equation with Dufresne Variables revisited
杜弗伦定律（独立随机变量与伽玛和贝塔分布的乘积定律）作为某些马尔可夫链$ X_n $在$ R$上的平稳分布出现，定义为：\begin{equation} X_n = A_n ( X_{n-1} + B_n ) \end{equation}其中$ X_0 , (A_1,B_1),...,(A_n,B_n) $是独立的，$(A_i,B_i)'$是同分布的。本文推广了一个明确的例子，其中$A$是两个独立的$β_{a,1} , β_{b,1} $和$B \sim γ_1 $或$ γ_2 $的乘积。关键词：贝塔，伽玛和杜弗兰分布，马尔可夫链，平稳分布，超几何微分方程，泊松过程。
2014-10-07 math.PR
Eigenvalue Statistics for CMV Matrices: From Poisson to Clock via Circular Beta Ensembles
本文研究了系数随机衰减的CMV矩阵（一种离散的一维Dirac型算子）。在温和的假设下，我们确定的本地特征值统计的自然缩放限制。对于快速减小的系数，特征值具有刚性间距（就像时钟上的数字）;在缓慢减小的情况下，特征值根据泊松过程分布。对于一定的临界衰变率，我们得到了随机矩阵理论的圆β系综。温度β^{-1}表示为耦合常数的平方。
2006-07-31 math-ph math.MP math.PR
On generalized Cauchy-Stieltjes transforms of some Beta distributions
我们将某些特殊β分布（正交多项式的超球型母函数）的广义Cauchy-斯蒂尔切斯变换表示为某种测度的幂Cauchy-斯蒂尔切斯变换.对于合适的功率参数值，后一个测量结果是一个概率测度和它的密度是使用马尔可夫变换写下来。被丢弃的值给出了一个否定的答案变形的自由概率，除非对功率参数的限制。得到了一种特殊的对称分布，它介于Wigner分布和反正弦分布之间.它的时刻表示通过一个终止超几何级数Catalan和移位Catalan数之间的插值。对于功率参数的小值，计算自由累积量。讨论了无限对称群的变形表示论和变形Bozejko卷积的有趣的opne问题。
2009-01-31 math.PR math.RT
The spectral measures of random Jacobi matrices related to beta ensembles at high temperature and Dirichlet processes
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）；Faculty of Mathematics Mechanics Informatics, University of Science, Vietnam National University（越南国立大学科学大学数学力学信息学院）；Global Center for Science and Engineering, Waseda University（早稻田大学全球科学与工程中心）
本文研究了高温下β集合随机雅可比矩阵的谱测度，证明其收敛于狄利克雷过程并提供显式谱测度的例子。
2026-01-20 math-ph math.MP math.PR
On the sub-Gaussianity of the Beta and Dirichlet distributions
我们得到了β分布的次高斯性的最优代理方差，从而证明了Elder（2016）最近提出的上界。我们提供了不同的证明技术对称（围绕其平均值）的情况下，非对称的情况下。后一种情况下的技术依赖于研究被称为汇合型超几何函数的Beta矩母函数所满足的常微分方程。因此，我们得到了最佳代理方差的狄利克雷分布，这显然是一个新的结果。我们还提供了一个新的证明的最佳代理方差的伯努利分布，并讨论在这种情况下的代理方差关系的log-Sobolev不等式和运输不等式。
2017-09-25 math.PR math.ST stat.TH
Continuum limits of random matrices and the Brownian carousel
我们发现，在任何位置远离光谱边缘，高斯酉系综和它的一般β兄弟的特征值收敛到正弦_β，一个平移不变点过程。这个过程具有布朗旋转木马的几何描述，布朗旋转木马是双曲平面中布朗运动的确定性函数。布朗转盘是随机矩阵连续极限的一种描述，它为分析极限点过程提供了一种方便的方法。我们证明了Sine_beta的带隙概率在带隙大小和$β$中是连续的，并计算了它在大带隙下的渐近性。此外，布朗旋转木马的随机微分方程版本在β =2处表现出相变。
2009-01-21 math-ph math.MP math.PR
On the mean Density of States of some matrices related to the beta ensembles and an application to the Toda lattice
本文研究高温区域β系综相关三对角随机矩阵，证明经验谱分布收敛并显式计算平均态密度，应用于Toda晶格Lax矩阵。
2021-02-02 math-ph math.MP math.PR
The density of eigenvalues seen from the soft edge of random matrices in the Gaussian beta-ensembles
我们的特点是“拥挤”的现象附近的最大特征值$λ_{\max}$随机$N \times N$矩阵属于高斯$β$合奏随机矩阵理论，特别是高斯正交（$β=1$），酉（$β=2$）和辛（$β= 4$）合奏。我们专注于两个不同的量：（i）$λ_{\max}$附近的态密度（DOS），$ρ_{\rm DOS}(r,N)$，这是位于距离$r$的本征值的平均密度（或从$λ_{\max}$看到的本征值密度）和（ii）前两个最大本征值之间的间隙的概率密度函数，$p_{\rm GAP}(r,N)$。使用启发式参数以及数值模拟，我们概括了最近对厄米特情况（对应于$β= 2$）的精确分析研究。我们还讨论了这两个量在统计物理模型中的一些应用。
2015-05-31 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Limits of spiked random matrices I
给定来自加标总体的大的高维样本，已知顶部样本协方差特征值表现出相变。我们证明了在秩为1的尖峰实Wishart设置及其一般beta模拟中，最大特征值在相变附近具有渐近分布，证明了Baik，Ben Arous和Péché（2005）的猜想。我们还处理移动平均高斯正交和β系综。这样的结果是全新的，在真实的情况下，在复杂的情况下，我们加强现有的结果，提供最佳的缩放假设。我们得到了半直线上已知的极限随机薛定谔算子，但边界条件现在取决于微扰。我们得到了几个特征的极限定律中，β出现作为一个参数，包括一个简单的线性边值问题。这种PDE描述恢复了beta= 2，4时的已知显式公式，特别是对这些Tracy-Widom分布的Painlevé表示给出了一个新的简单证明。
2011-09-16 math-ph math.MP math.PR
