Beta矩阵的Kshirsagar-Tan独立性及相关刻画

熵独立性I：分数对数凹分布和高温Ising模型的修正Log-Sobolev不等式

Entropic Independence I: Modified Log-Sobolev Inequalities for Fractionally Log-Concave Distributions and High-Temperature Ising Models

我们引入了一个概念，称为熵的独立性，这是一个熵的高维扩展谱概念的模拟。非正式地，背景分布$μ$对元素的基集合的$k$大小的子集的熵独立性表明，对于任何（可能随机选择的）集合$S$，随机均匀绘制的$S$的单个元素的相对熵最多携带$S$的相对熵的$O(1/k)$分数。熵独立性是谱独立性概念的类似物，如果用熵代替方差的话。我们使用熵的独立性，以获得紧密的混合时间界，克服了有损性质的马尔可夫链的谱分析指数大小的状态空间。在我们的主要技术结果中，我们展示了导出熵收缩的一般方法，也称为熵收缩。修正的log-Sobolev不等式，从谱的概念向下向上随机游动。我们发现，谱独立的分布在任意外部领域自动意味着熵的独立性。为了得到我们的结果，我们与熵的独立性的多项式的属性：$μ$是熵独立的，正是当一个转换版本的生成多项式的$μ$是上界由其线性切线;这一属性是隐含的所述变换，这是由先前的工作是局部等价于谱独立的。我们应用我们的结果，以获得紧修改的log-Sobolev不等式和混合时间的多步向下行走分数对数凹分布。作为我们的旗舰应用，我们建立了紧混合时间的$O(n\log n)$的Glauber动力学的伊辛模型，其相互作用矩阵的本征谱的长度小于$1$，改善了先前的二次依赖$n$。