Deterministic Distributed Edge-Coloring via Hypergraph Maximal Matching
我们提出了一个确定性的分布式算法，计算$(2Δ-1)$边着色，甚至列表边着色，在任何$n$节点图与最大程度$Δ$，在$O(\log^7 Δ\log n)$轮。这就回答了\emph{distributed graph algorithms}在20世纪80年代末提出的一个长期悬而未决的问题，即要求使用多周期时间算法。参见，例如，Barenboim和Elkin的分布式图着色书中的开放问题4。之前最好的回合复杂度是Panconesi和Srinivasan的$2^{O(\sqrt{\log n})}$ [STOC'92]和Fraigniaud、Heinrich和Kosowski的$\tilde{O}(\sqrtΔ) + O(\log^* n)$ [FOCS'16]。我们的确定性列表边着色的一个推论也提高了随机化的复杂性$(2Δ-1)$边着色聚$(\log\log n)$轮。关键的技术成分是一个确定性的分布式算法\emph{hypergraph maximal matching}，我们相信这将是超越这一结果的兴趣。在任意秩为$r$的超图中，每个超边最多有$r$个顶点，每个超图有$n$个节点和最大度$Δ$，该算法在$O(r^5 \log^{6+\log r } Δ\log n)$轮中计算最大匹配.这种超图匹配算法及其扩展导致了一些其他的结果。特别地，用于具有有界邻域独立性的图的多对数时间确定性分…
2017-04-10 cs.DS
Randomly coloring graphs of bounded treewidth
考虑了对最大度为$Δ$的图的真$k$ -染色随机均匀抽样的问题.我们描述了一个新的马尔可夫链的采样着色，并表明，它迅速混合图的有界树宽，如果$k\geq(1+ε)Δ$，任何$ε>0$。
2017-08-08 cs.DS
Approximation Algorithms for Matroid-Intersection Coloring with Applications to Rota's Basis Conjecture
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；Pomona College（波莫纳学院）
本文提出多项式时间算法，对多Matroid交集着色问题进行近似，改进了Matroid交集着色的上界，并为罗塔基础猜想提供了构造性证明。
2026-10-30 cs.DS math.CO
Explicit and Implicit Dynamic Coloring of Graphs with Bounded Arboricity
图着色是计算机科学中的一个基本问题。我们研究的完全动态版本的问题，其中图正在进行边插入和删除，我们希望保持一个顶点着色与每次插入和删除后的小更新时间。我们展示了如何保持一个$O(α\lg n)$染色与多对数更新时间，其中$n$是在图中的顶点数和$α$是当前荫度的图。这改进了Solomon和Wein（ESA'18）的结果，他们维护了$O(α_{\max}\lg^2 n)$着色，其中$α_{\max}$是所有更新上图的最大荫度。此外，在Barba等人的一个下界的启发下，我们开始了隐动态着色的研究。Barba等人表明，当顶点颜色被显式存储时，具有多对数更新时间的动态算法不能保持任何函数$f$的$f(α)$ -着色，即，对于每个顶点，颜色被明确地存储在存储器中。以前，所有动态算法都保持显式着色。因此，我们建议研究隐式着色，即，数据结构仅需要提供高效的查询过程以返回顶点的颜色（而不是显式地存储其颜色）。我们提供了一个算法，打破了下限，并保持一个隐式的$2^{O(α)}$ -着色与多对数更新时间。特别是，这产生了第一个动态$O(1)$ -染色的图与常数荫度，如平面图或图形与有界树宽度，这是不可能使用显式着色。我们还展示了如何动态地保持一个分区的图的边缘到$O(α)$森林与多对数更新时间。我们相信这种数据结构是独立的利益，并可能在未来有更多的应用。
2020-02-24 cs.DS
On Happy Colorings, Cuts, and Structural Parameterizations
我们研究了最大快乐顶点和最大快乐边问题。前一个问题是集群化的一个变体，其中一些顶点已经被分配到集群。第二个问题给出了多路未切割的自然推广，这是经典多路切割问题的补充。由于聚类和切割问题在理论和实践中的基础性作用，它们一直受到人们的广泛关注。我们建立了一个新的这两类问题之间的连接，通过提供最大幸福顶点和节点多路切割之间的减少。此外，我们还研究了最大快乐点和最大快乐边的结构和距离平凡参数化。在这些方向上获得的结果回答了四个作品中明确提出的问题：Agrawal '17，Aravind等人'16，Choudhari和Reddy '18，Misra和Reddy '17。
2019-07-14 cs.DS
Edge Coloring with Minimum Reload/Changeover Costs
在边着色图中，当遍历具有不同颜色的连续边时，遍历成本发生在沿着路径的顶点处。遍历成本的值仅取决于遍历边的颜色。这一概念导致了两个全球成本的措施，即\emph{reload cost}和\emph{changeover cost}，已在文献中研究，并在电信，运输网络，和能源分配网络的各种应用。以前的工作集中在边着色图作为输入的一部分的问题。在本文中，我们制定并专注于两对问题，旨在找到一个边着色的图，以尽量减少重新加载和转换成本。第一对问题的目的是找到一个适当的边着色，使一组路径的重新加载/转换成本最小化。第二对问题的目的是找到一个适当的边着色和生成树，使重新加载/转换成本最小化。我们提出了几个硬度的结果，以及多项式时间可解的特殊情况。
2016-07-22 cs.DS
Proper colorings of a graph in linear time using a number of colors linear in the maximum degree of the graph
本文提出了一种在最大度数线性时间内完成图着色的算法，适用于颜色数目大于3.637Δ+1的情况。
2025-12-30 cs.CC cs.DS math.PR
Maximum Partial List H-Coloring on P_5-free graphs in polynomial time
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）；Institute of Informatics, University of Warsaw（华沙大学信息学研究所）；Institute of Mathematical Sciences, Chennai（金奈数学科学研究所）；University of Bergen（卑尔根大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院离散数学组）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文提出在P_5-free图上最大部分列表H着色问题的多项式时间解法，解决了相关开放性问题并改进了现有算法复杂度。
2026-03-05 cs.CC cs.DS
On the Parameterized Complexity of the Maximum Edge Coloring Problem
我们研究了无线网络中的信道分配问题所引发的边着色问题的参数化复杂性。对于一个整数q>1和一个图G，目标是找到一个具有最大颜色数的图G的边的着色，使得图的每个顶点最多看到q种颜色。这个问题对于q>1是NP难的，并且已经从近似的角度得到了很好的研究。我们主要关注的是q=2的情况，这在理论上已经很复杂，而且与实际相关。我们展示了固定参数易于处理的算法的标准和双参数，并为后者的问题，结果是基于一个线性顶点核。
2013-06-12 cs.DM cs.DS
Hierarchical and Modularly-Minimal Vertex Colorings
上图是遗传良有色图，即，图的每个诱导子图的贪婪顶点着色仅使用最小必要的颜色数$χ(G)$。我们表明，贪婪着色是一个特殊的情况下，更一般的层次顶点着色，最近被引入系统发育组合学。用模分解树代替余树将层次着色的概念推广到任意图。证明了对于$G$的每个强模$M$，每个图都有一个满足$|σ(M)|=χ(M)$的模极小着色$σ$.这，特别是，表明模块化最小着色提供了一个有用的设备，设计有效的着色算法，某些遗传图类。对于上图，层次染色与模极小染色是一致的。作为一个副产品，我们得到了一个简单的线性时间算法来计算$P_4$ -稀疏图的模极小染色。
2020-04-14 cs.DM cs.DS math.CO
On the Complexity of Maximum Clique Algorithms: usage of coloring heuristics leads to the 2^(n\5) algorithm running time lower bound
最大团问题（Maximum Clique Problem，MCP）是Karp在1972年提出的21个NP完全问题之一。近年来出现了大量求解MCP的精确方法（Babel，Wood，Kumlander，Fahle，Li，Tomita等）。其中大部分是分支定界算法，它们利用Balas和Yu提出的分支规则，基于着色算法来建立团数的上界。它们之间的区别主要在于顶点预排序和顶点着色方法。目前的分支定界算法的最坏情况下的运行时间分析方法不允许提供严格的上限。这激发了对此类算法的下界的研究。利用着色算法证明了一类MCP算法的2^（n\5）下界.
2013-03-11 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating Maximum Edge 2-Coloring by Normalizing Graphs
本文研究最大边2-着色问题（ME2C），针对具有完美匹配、无爪图及次三次图等特殊图类，分别给出了1.625和1.5近似比的多项式时间算法，突破了此前1.5的UG困难界限。
2025-03-05 cs.DM cs.DS
Small Maximal Independent Sets and Faster Exact Graph Coloring
证明了对任意n-顶点图G和整数参数k，至多存在3^{4k-n}4^{n-3 k}个极大独立集I \subset G，其中|I| <= k，并且所有这些集都能在O（3^{4k-n} 4^{n-3 k}）内列出.当n/4 <= k <= n/3时，这些边界是紧的。因此，我们证明了如何计算图的精确色数，时间复杂度为O（（4/3 + 3^{4/3}/4）^n）~= 2.4150^n，改进了Lawler（1976）的算法，时间复杂度为O（（1+3^{1/3}）^n）~= 2.4422^n.
2000-11-06 cs.DS math.CO
Deterministic Distributed Edge-Coloring with Fewer Colors
本文提出了一个确定性分布式算法，在该模型中，只要最大度为$Δ=\tildeΩ(\log n)$，就可以在多项式时间内计算$(1+o(1))Δ$ -边着色。对于较小的$Δ$，我们给出了一个多阶时间$3Δ/2$ -边染色.这些是第一个确定性算法去$2Δ-1$颜色的天然屏障之下，他们显着改善最近的polyacromic-time $(2Δ-1)(1+o(1))$ -边着色的Ghaffari和苏[SODA'17]和$(2Δ-1)$ -边着色的Fischer，Ghaffari和库恩[FOCS'17]，积极回答了后者的主要开放问题。我们的算法的关键技术成分是一个简单而新颖的逐步包装明智地选择近最大匹配，其中每一个成为一个颜色类。
2017-11-15 cs.DC cs.DS
Spatial Mixing of Coloring Random Graphs
研究了具有固定$d$的随机图$G(n, d/n)$的真$q$ -着色的强空间混合（相关衰减）性质.关于最大度有界图的强空间混合染色及其相关模型已经得到了广泛的研究。然而，对于具有有界平均度的典型图类，如$G(n, d/n)$，一个简单的反例表明，着色不表现出强空间混合的概率很高。然而，我们发现，$q\geαd+β$与$α>2$和足够大的$β=O(1)$，具有高概率适当的$q$ -着色的随机图$G(n, d/n)$表现出强的空间混合相对于一个任意固定的顶点。这是第一个强空间混合的结果，染色的图与无界的最大程度。我们对强空间混合的分析建立了一个块式相关衰减，而不是标准的点式衰减，这本身可能是有趣的，特别是对于具有无界度的图。
2014-02-19 cs.DS math.CO
Solving the minimum sum coloring problem via binary quadratic programming
近年来，二元二次规划（BQP）已被成功地应用于解决多个组合优化问题。本文研究了用BQP模型求解最小和着色问题（MSCP）。为此，我们重铸的MSCP与二次模型，然后通过最近提出的路径重链接（PR）算法设计的一般BQP解决。基于一组MSCP基准测试实例，我们研究了该解决方案的性能与现有的方法相比。
2013-04-22 cs.DM cs.DS
New algorithms for the Minimum Coloring Cut Problem
最小着色割问题的定义如下：给定一个连通图G，G有着色边，找到G的一个边割E'（一个最小的边集，去除这些边会使图不连通），使得E'中的边使用的颜色数最小。在这项工作中，我们提出了两种基于可变邻域搜索的方法来解决这个问题。我们的算法能够找到文献中描述的所有最优解。
2017-04-04 cs.DM cs.DS math.OC
A Complexity Dichotomy for Critical Values of the b-Chromatic Number of Graphs
一个图的$b$ -染色是它的顶点的一个适当的染色，使得每个颜色类包含一个顶点，该顶点至少有一个邻居在所有其他颜色类中。b-着色问题是问一个图$G$是否有一个$b$ -着色与$k$颜色。图$G$的$b$ -色数，记为$χ_b(G)$，是使得$G$允许用$k$色进行$b$ -染色的最大数.我们考虑b-着色问题的复杂性，只要$k$的值接近$χ_b(G)$的两个上界之一：最大程度$Δ(G)$加一，和$m$ -度，表示为$m(G)$，这是定义为最大数量$i$，使$G$有$i$顶点的程度至少$i-1$。我们得到一个二分法的结果表明，对于固定的$k \in \{Δ(G) + 1 - p, m(G) - p\}$，这个问题是多项式时间可解的，只要$p \in \{0, 1\}$，即使当$k = 3$，它是NP-完全的，只要$p \ge 2$。此外，我们考虑参数化的b-着色问题，涉及的最大程度$Δ(G)$的输入图$G$，并给出两个FPT算法。首先，我们证明了决定一个图$G$是否有$b$ -着色与$m(G)$颜色是FPT参数化的$Δ(G)$。其次，我们证明了b-着色是由$Δ(G) + \ell_k(G)$参数化的FPT，其中$\ell_k(G)$表示度至少为$k$的顶点的数目。
2019-02-11 cs.CC cs.DS
Parameterized Complexity of Conflict-free Graph Coloring
给定一个图G，q-开邻域无冲突染色或q-ONCF-染色是顶点染色$c:V(G) \rightarrow \{1,2,\ldots,q\}$，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，$N(v)$中有一个顶点与$N(v)$中的其余顶点唯一着色。当我们用闭邻域$N[v]$代替$N(v)$时，我们称这样的染色为q-闭邻域无冲突染色或简称为q-CNCF-染色。本文研究了当q为常数时输入图是q-ONCF-染色还是q-CNCF-染色的NP-难判定问题。我们将在参数化设置下研究这两个问题。首先，我们研究了这些问题的FPT算法的运行时间界限，当参数树宽。我们改进了现有的上界，并提供了ETH和SETH下运行时间的下界。其次，我们研究了这两个问题的核化复杂性，使用顶点覆盖作为参数。我们证明了$(q \geq 2)$ -着色和$(q \geq 3)$ -着色都不能有多项式核，除非$NP \in coNP/poly$。然而，我们得到了一个多项式核的2-CNCF-染色的顶点覆盖参数化。我们得出一些组合的结果。将$χ_{ON}(G)$和$χ_{CN}(G)$分别表示为ONCF-颜色和CNCF-颜色G所需的最小颜色数。关于$χ_{CN}(G)$的结构参数，如最小顶点覆盖大小，最小反馈顶点集大小和树宽的上界是已知的。据我们所知，只有一个上限$χ_{ON}(G)$的最小顶点覆盖大小是已知的。我们提供了紧界$χ_{O…
2019-05-01 cs.CC cs.DS
Approximately coloring graphs without long induced paths
对于固定的$t$，对于在$t$顶点上不含诱导路的图类，其3-着色问题能否在多项式时间内得到解决是一个公开问题.我们提出了一个算法，给定一个3-着色图没有诱导路径的$t$顶点，计算着色与$\max\{5,2\lceil{\frac{t-1}{2}}\rceil-2\}$许多颜色。如果输入图是无三角形的，我们只需要$\max\{4,\lceil{\frac{t-1}{2}}\rceil+1\}$许多颜色。如果输入图有$n$顶点和$m$边，则算法的运行时间为$O((3^{t-2}+t^2)m+n)$.
2016-06-13 cs.DM cs.DS math.CO
The potential to improve the choice: list conflict-free coloring for geometric hypergraphs
给定一个几何超图（或范围空间）$H=(V,\cal E)$，如果对于每个超边$S \in \cal E$，$S$中至少有一个顶点的颜色不同于$S$中所有其他顶点的颜色，则称其顶点的着色是无冲突的。这个概念的研究是由无线网络中的频率分配问题。我们研究这个概念的列表着色（或选择）版本。在这个版本中，每个顶点都与一组（可接受的）颜色相关联，并且只允许使用其集合中的颜色进行着色。列表着色在无线网络环境中自然出现。我们的主要结果是一个列表着色算法的基础上一个新的潜在的方法。该算法产生更强的唯一最大着色，其中颜色是正整数，并且每个超边的最大颜色唯一出现。作为一个推论，我们为许多几何超图（例如，平面中的盘或伪盘或相对于盘的点）。此外，我们提供了一个算法，这样，给定一个家庭的列表具有适当的大小，计算这样的着色从这些列表。
2010-12-12 cs.CG cs.DM cs.DS
Total Coloring for some classes of Cayley graphs
本文研究某些类Cayley图的全着色问题，验证了全着色猜想，并求得了这些图类的全色数。
2020-07-04 cs.DM cs.DS math.CO
Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
