The distribution of $k$-tuples of reduced residues
Farzad Aryan
1940年，保罗·埃尔德什提出了一个关于还原残基分布的猜想。在这里，我们研究的分布$k$ -元组的减少残基。
In 1940 Paul Erdős made a conjecture about the distribution of reduced residues. Here we study the distribution of $k$-tuple of reduced residues.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Arithmetic progressions of Carmichael numbers in a reduced residue class
修正互质自然数$a,q$。在素数$k$元组猜想的假设下，证明了存在任意长的Carmichael数的等差数列，每一算术级数都位于约化的剩余类$a$ mod $q$中，并且是三个不同的素数的乘积.
The distribution of rationals in residue classes
我们的目的是给出一个帐户的$r$ -元组问题的增加序列的约化分数有界的一个特定的大小和属于一个固定的实区间。我们证明了当长度增长到无穷大时，在某些先验固定的等差数列中，具有相同比率的分量的连续算子的$r$ -元组的比例接近一个极限，这个极限与区间无关.明确给出了极限，并在几个特定实例中进行了完整的描述。
Nonuniform Distributions of Residues of Prime Sequences in Prime Moduli
对于正整数$q$，狄利克雷定理指出，在模$q$的每个约化剩余类中有无穷多个素数。该定理的一个更强的形式指出素数在$φ(q)$约化剩余类中以$q$为模均匀分布。本文研究连续素数序列$(p_n, p_{n+1}, \ldots, p_{n+k})$模$q$的模式.数字证据表明，偏好某些素数模式。例如，模式$(a,a)$模$q$直到$x$的计算频率远小于期望频率$π(x)/φ(q)^2$。我们开始严格地连接Hardy-Littlewood素数$k$元组猜想到素数模式模$q$的频率的一个证明的渐近公式。
A short note on reduced residues
我们解决了一个问题，由于Recamán的最大可能的长度之间的所有等差数列的最小约化剩余系统模$n$，作为$n \to \infty$的下界行为。
Products of Small Integers in Residue Classes and Additive Properties of Fermat Quotients
我们表明，对于任何$\varepsilon > 0$和足够大的立方自由$q$，任何减少剩余类模$q$可以表示为从间隔$[1, q^{1/4e^{1/2} + \varepsilon}]$的$14$整数的产品。的间隔的长度是在下极限什么是可能的最小的二次nonresidue上的Burgess界得到改善之前。我们还考虑了这一结果的几个变化，并给出了应用费马定理。
The distribution of smooth numbers in arithmetic progressions
对于广泛的$x$和$y$，我们表明，${\Cal S}(x,y)$，一组整数低于$x$只低于$y$的素因子组成，是等距分布在约化剩余类$\pmod q$的所有$q<y^{4\sqrt{e}-ε}$。这改善了早期的工作格兰维尔;任何改善这一范围的$q$将有有趣的后果维诺格拉多夫猜想的最小平方非剩余。对于更大的范围内的$q$，我们证明了存在一个大的子群的减少残基，使${\Cal S}(x,y)$是equidistributed内陪集的子群。
Products of two elements of Granville's random model in residue classes
本文在Granville随机素数模型中无条件证明了Erdős-Odlyzko-Sárközy猜想关于模q既约剩余类包含两个素数乘积的类似版本，适用范围扩展到q^Θ（Θ>3/4），并指出模型选择的关键性。
Partitioning the Primes and Efficient Non-trivial Factor Generation using the Least Odd Partition Identity in Conjunction with Dirichlet Linear Progressions and the Reduced Residue System Modulo 18
在这项工作中，我们介绍了数字常数，LOPI，N LOPI是全等LOPI模18，等于最低奇分区单位连同减少剩余系统模18，一个完整的不相交覆盖剩余系统时，考虑在其整个剩余集从0到17。通过对每个LOPI超集的特定LOPI Dirichlet线性级数的卷积，顺序地且唯一地生成6个模18约化剩余同余类的非素元.通过对每个LOPI同余类中的所有合数进行基于序贯因子生成模式的集合生成和完全合数子集生成，多重性成为定义素性度的可能工具。我们证明了一个整数的数字的最低和，偶数或奇数，是一个常数不受限制的分区身份包含每个自然数，并等于模18中的剩余之一。我们把这个常数称为最低奇或偶划分恒等式或LOPI或LEPI。当整数被视为核心LOPI-LEPI值的分区时，无限自然数表示Mod 18的余数，每次向无穷大扩展18个连续循环。LOPI mod 18是一个因子生成系统，它演示了为什么素数不是通过将特定的狄利克雷线性级数卷积到LOPI非素数子集矩阵中生成的，揭示了素数的模式实际上是六个循环模式。在查询这类3，4特殊非素矩阵的重数时，我们提出了基于重数的素数和非素数的另一种定义，其中0是素数，1是次素数，依此类推，并给出了一个Ox，Ox ~ 3有效的确定性算法，描述了因子生成和素性检验的过程.
Unexpected biases in the distribution of consecutive primes
虽然素数序列在约化剩余类（mod $q$）中分布非常好，但在约化剩余类（mod $q$）的允许$ϕ(q)^2$对中连续素数对的分布令人惊讶地不稳定。本文基于Hardy-Littlewood理论对这一现象提出了一种理论解释。然后，将这些结果与数值数据进行比较，观察到的拟合非常好。
On the distribution of sums of residues
我们推广并解决了由Vaughan和Wooley提出的Littlewood和Offord的一个问题的$\roman{mod}\,q$类似物，该问题涉及形式为$\sum_{i=1}^n\varepsilon_ia_i$的$2^n$和的分布，其中每个$\varepsilon_i$是$0$或$1$。对于所有$q$、$n$、$k$，我们确定在所有还原残基$a_i$和由$k$任意残基组成的所有集合$P$上属于$P$的这些和的数目的最大值。
Moments of primes in progressions to a large modulus
本文在素数 k 元组猜想的均匀 q 变体假设下，计算大模数等差数列中素数数量的矩，证明其分布随 φ(q) 大小呈高斯或泊松分布，并发现最小素数服从指数分布且光滑模数存在意外偏差。
Products of primes in arithmetic progressions
本文证明了Erdős素数乘积猜想的三元版本，通过建立素数特征和的乘性稠密模型定理，证明了任意充分大无立方因子整数模数的简化剩余类可表示为三个不超过该整数的素数之积。
The prime number race and zeros of Dirichlet $L$-functions off the critical line. III
我们表明，对于任何$q\ge 3$和不同的减少残留$a,b \pmod q$，存在某些假设的Dirichlet $L$ -功能的零组位于临界线意味着$π(x;q,a)<π(x;q,b)$为一组真正的$x$的渐近密度为1。
Improved Averaged Distribution of $d_3(n)$ in Prime Arithmetic Progressions
研究改进了在素数等差数列中$d_3(n)$的分布指数，利用Petrow-Young子凸性界将分布指数从2/3提升至8/11。
Joint distribution in residue classes of families of polynomially-defined multiplicative functions
本文研究多项式定义乘性函数族在模数剩余类中的联合分布，推广Narkiewicz判别准则并建立模数一致且参数最优的Siegel–Walfisz型结果，应用于欧拉函数、除数函数等并证明其联合渐近等分布。
Linnik's problem for multiplicative functions
研究乘性函数在算术级数中符号变化的最小范围，证明除实Dirichlet特征模q的阻碍外，在约化剩余类中总能找到平方自由整数n1,n2 ≤ q^{2+o(1)}使得h(n1)<0<h(n2)，改进了Liouville函数情形下Ford和Radziwiłł的结果。
Distribution of squarefree integers with double congruence conditions
本文研究无平方因子整数在双重同余条件下的分布，证明了等分布结果并发现偏差现象，提出有数值支持的猜想。
On the distribution of partial quotients of reduced fractions with fixed denominator
本文研究固定分母既约分数连分数部分商的分布性质，推导多种统计量的精确不等式与尾估计，验证其与Gauss-Kuzmin分布的高拟合度，并证明具小部分商和及小最大部分商的既约分数存在。
Generalizations of Menon's arithmetic identity
本文针对Menon算术恒等式，利用初等方法给出了其若干推广形式及证明。
Coefficient choice in Galois-ring lifts of APN permutations: sharp unit-direction spectra and one-term optimal lifts
本文针对奇数$m\ge5$，显式构造了简约APN置换$P_{m,r}$，确定其分歧性质，推导其伽罗瓦环提升的计算方法，还证明了Li-Wang准则并分析了相关映射特性。
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