Balanced Truncation Model Order Reduction For Quadratic-Bilinear Control Systems
讨论了二次双线性大系统的平衡截断模型降阶问题。线性系的平衡截断主要涉及系统的Gramian，即系统的可达性Gramian和可观测性Gramian的计算。Scherpen（1993）将这些Gramian推广到一般的非线性情形，证明了非线性系统的Gramian是状态依赖的非线性Hamilton-Jacobi方程的解。因此，它们不仅难以计算大规模系统，而且难以在模型降阶框架中使用。本文基于QB系统及其Hilbert伴随系统的Volterra级数表示，提出了QB系统的代数Gramian。然后，我们展示了它们与某类广义二次李雅普诺夫方程的关系。此外，我们提出了这些代数Gramian和能量泛函是如何相互关联的。此外，我们刻画了QB系统的可达性和可观测性的基础上提出的代数Gramian。这使得我们能够通过基于Gramian的适当变换来找到那些难以控制和难以观察的状态。截断这样的状态产生降阶系统。此外，我们提出了一个截断版本的Gramian QB系统，并讨论了它们的优势，在模型降阶框架。我们还研究了降阶系统的李雅普诺夫稳定性。最后，我们通过各种半离散的非线性偏微分方程来说明所提出的QB系统的平衡型模型降阶的效率，并显示其与现有的QB系统的矩匹配方法的竞争力。
2017-04-29 math.DS math.OC
Empirical Differential Gramians for Nonlinear Model Reduction
Hiroshima University（广岛大学）；University of Groningen（格罗宁根大学）
本文提出了一种用于具有线性时不变输入向量场分量的非线性系统的经验平衡截断方法。首先定义了微分可达性和可观测性格拉斯曼矩阵，它们是原非线性系统状态轨迹（即初始状态和输入轨迹）的矩阵值函数，但难以作为初始状态和输入的函数找到。本文的主要结果是展示对于固定的轨迹，可以利用变分系统的冲击响应和初始状态响应来计算这些格拉斯曼矩阵的值。因此，可以在不求解非线性偏微分方程的情况下，沿着固定的轨迹进行平衡截断，与传统非线性平衡方法不同。我们进一步开发了一种近似方法，仅需要原非线性系统的轨迹。我们的方法通过沿轨迹的RL网络进行了演示。
2019-10-29 cs.SY eess.SY math.OC
Gramian-Based Model Reduction of Directed Networks
研究了线性有向网络系统的模型降阶问题，其中节点间的互连关系用一般弱连通有向图描述。首先，给出了半稳定系统的伪能控性和伪能观性Gramian的定义，并用类Lyapunov方程刻画了它们的解。然后，我们引入了一个概念的顶点clusterability，以保证有界的近似误差，并使用新提出的Gramians，以方便评估每对顶点的相异性。提出了一种聚类算法，生成一个合适的图聚类，其特征矩阵被用作Petrov-Galerkin约简框架中的投影。所得到的降阶系统保持了弱连通有向网络结构，逼近误差由伪Gramian计算。最后通过数值算例说明了该方法的有效性。
2019-11-11 math.OC
emgr -- EMpirical GRamian Framework Version 5.99
经验Gramian框架的5.99版本-“emgr”-完成了一个开发周期，该开发周期专注于气体网络模型的参数模型降阶，同时保留与先前开发的兼容性，以应用于神经科学网络模型的组合状态和参数降阶。其次，除了默认的MATLAB / Octave实现之外，还添加了有关经验Gramian类型，扰动设计和轨迹后处理的新功能以及Python版本。这项工作总结了这些变化，特别是自“emgr”版本5.4以来，参见Himpe，2018 [Algorithms 11（7）：91]，并给出了最近和未来的应用，例如基于当前特征集的系统生物学中的参数识别。
2022-09-08 cs.CE cs.SY eess.SY
Model Reduction of Semistable Distributed Parameter Systems
研究了半稳定无限维控制系统的模型降阶问题。在这些系统中，我们研究的对象，我们称之为半稳定Gramian，它作为一个推广的普通可控Gramian有效的半稳定系统。这Gramian然后给出几何以及代数表征通过一个李雅普诺夫方程。然后，我们继续表明，在一个交换性的假设有关的原始和减少系统，只要保持半稳定性，我们可以推导出一个先验的误差公式在$\mathcal{H}_2$ -范数方面的痕迹，这Gramian。
2019-03-21 math.OC
Cross-Gramian-Based Dominant Subspaces
Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）；Faculty of Mathematics, Otto von Guericke University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学数学学院）
本文提出了一种基于交叉格拉姆矩阵的主导子空间方法，用于线性输入输出系统的模型降阶，介绍了该方法的先验误差指标，并通过数值例子展示了其高效计算方法。
2019-08-22 cs.NA cs.SY eess.SY
Empirical balanced truncation of nonlinear systems
提出了非线性系统的经验能控性和能观性Gramian的新构造，用于平衡截断模型降阶。新的Gramian是基于线性时变系统的基本解的推广。建立了非线性系统的给定Gramian与线性时不变系统和线性时变系统的标准Gramian之间的关系以及与经验Gramian的先前构造的关系。通过一个测试系统实例说明了新gramian的应用。
2006-06-18 math.DS math.OC
Tree-based solution representations for quadratic bilinear systems and their consequences in model order reduction
University of Rostock（罗斯托克大学）
研究二次双线性系统，提出基于树的解表示框架，分解解为耦合双线性子系统，给出全局解存在条件等。基于此引入相关Gram矩阵，开发平衡截断方法并证明误差界，填补了此类系统Gram矩阵模型降阶分析的理论空白。
2026-07-10 cs.NA math.NA math.OC
Gramians, Energy Functionals and Balanced Truncation for Linear Dynamical Systems with Quadratic Outputs
模型降阶是一种用于构造大规模动力系统的低阶近似的技术。本文研究了具有线性动力学方程和二次输出函数的动力系统的一种基于平衡的模型降阶方法。为此，我们基于希尔伯特空间伴随理论，提出了一种新的代数能观性Gramian。然后，我们建议Gramian满足一个特定类型的广义李雅普诺夫方程，我们调查他们的能量泛函，即可控性和可观性的连接。这使我们能够通过适当的平衡变换找到难以控制和难以观察的状态。这种状态的截断产生降阶系统。最后，基于$\mathcal H_2$能量的考虑，我们，此外，推导出误差界，取决于忽略的奇异值。通过两个半离散的偏微分方程证明了所提出的方法的效率，并与文献中现有的模型降阶技术进行了比较。
2019-09-10 cs.NA math.NA math.OC
Model reduction for fully nonlinear stochastic systems
针对全非线性随机系统，提出无需提升为二次系统或线性化的新型模型降阶框架，通过Lyapunov型算子定义广义Gramian矩阵实现投影降阶，推导存在条件与误差界，拓展平衡截断技术的适用范围。
2025-08-04 cs.NA math.NA math.OC
Complexity reduction of large-scale stochastic systems using linear quadratic Gaussian balancing
本文针对可稳可检测的大规模随机系统，提出基于线性二次高斯平衡的模型降阶方法，利用Gramian识别主导子空间构建降阶模型，证明其保留关键特性并给出先验误差准则，通过数值实验验证。
2023-11-06 cs.NA math.NA math.OC
Spectral Decompositions of Controllability Gramian and Its Inverse based on System Eigenvalues in Companion Form
V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院瓦·阿·特拉佩兹尼科夫控制科学研究所）
本文提出基于系统特征值的可控性格拉姆矩阵及其逆的谱分解方法，用于分析连续线性时不变系统的可控性和可观测性特性。
2025-12-11 cs.SY eess.SY math.OC
Model Reduction for Complex Hyperbolic Networks
我们最近介绍了联合状态和参数约简的联合Gramian [C. Himpe和M.奥伯格大规模控制系统基于交叉格兰姆的状态和参数联合降阶。arXiv：1302.0634，2013]，其在这项工作中被应用以减少对双曲网络建模的参数化线性时变控制系统。该减少包括节点的维度和底层控制系统的参数。具有双曲结构的网络作为大系统的模型有许多应用。一个突出的例子是大脑，它的各个区域的网络结构通常被假设为信息传播的模型。具有许多节点的网络，以及参数化的，不确定的甚至未知的连接需要许多单独的计算成本高的模拟。所提出的模型降阶，使大量的模拟代理网络表现出几乎相同的动态与一个小的误差相比，全阶模型。
2013-10-02 math.DS math.OC
Gramians for a New Class of Nonlinear Control Systems Using Koopman and a Novel Generalized SVD
Brigham Young University（杨百翰大学）
本文提出基于广义SVD的Gramians构造方法，解决非线性系统降阶中输入能量度量不匹配问题，通过点wise norm-preserving输入映射保持因果性并计算可计算的H∞误差证书。
2026-04-05 cs.SY eess.SY math.OC
Model order reduction for discrete time-delay systems with inhomogeneous initial conditions
本文针对具有非齐次初始条件的离散时滞系统，提出基于离散Walsh函数和叠加原理的模型降阶方法，并利用离散Laguerre多项式实现Gramian低秩近似，使平衡截断适用于该类系统。
2024-06-06 math.OC
H2 model reduction of linear network systems by moment matching and optimization
本文研究线性网络系统的模型降阶问题。我们的目标是计算具有相同拓扑结构和最佳w.r.t.的网络的降阶稳定近似。H2模误差逼近我们的方法是基于时域矩匹配框架，在那里我们优化的参数化降阶模型匹配的一组时刻在任意插值点的家庭。低阶模型的参数化是根据自由参数和插值点来进行的。对于这个家庭的参数化模型，我们制定了一个基于优化的模型降阶问题的H2范数的误差近似为目标函数，而保存的一些结构和物理性质产生的约束。这个问题是非凸的，我们把它写在Gramians的最小实现的错误系统。我们提出了两个解决这个问题的方法。第一个解决方案假设误差系统允许块对角可观Gramian，允许一个简单的凸重新制定为半定规划，但在一些性能损失的代价。我们还得到了保证Gramian块对角化的充分条件。第二种解决方案采用了梯度投影法的光滑重新产生（局部）最优插值点和自由参数。电力网络上的方法的潜力示出。
2019-05-19 math.OC
Adversarial Observability and Performance Trade-offs in Optimal Control
Oden Institute for Computational Engineering & Sciences, University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学学院）
本文提出了一种在最优控制中最小化对抗传感器可观察性的反馈控制器，通过半正定规划实现性能与可观察性之间的权衡。
2026-11-13 cs.SY eess.SY math.OC
Energy estimates and model order reduction for stochastic bilinear systems
研究了一类具有双线性漂移和线性扩散项的随机系统。这种高维系统例如在空间中离散随机偏微分方程时出现。我们研究了一种特殊的模型降阶技术，称为平衡截断（BT），以减少空间离散系统的阶数，从而降低计算复杂性。我们引入合适的Gramian系统，并证明能量估计，可用于识别状态，只有很少的系统动力学。当应用BT时，通过从原始系统中移除这些状态来获得简化系统。本文的主要贡献是随机双线性系统BT的一个$L^2$ -误差界。这个结果是新的，即使是确定性双线性方程。为了实现这一目标，我们开发了一种新的技术，这是目前为止在文献中没有。
2018-04-05 math.OC
Optimal H2 moment matching-based model reduction for linear systems by (non)convex optimization
在本文中，我们计算家庭的降阶模型，匹配一个规定的一组时刻的高维线性定常系统。首先，我们完全参数化模型的插值点和自由参数，然后我们固定的插值点集和参数化模型只在自由参数。基于这两种参数化方法，以误差逼近的H ~ 2-范数为目标函数，导出了非凸最优化问题，即，我们寻找最佳的自由参数，甚至插值点，以确定近似模型产生最小的H2-范数误差。此外，我们提供了必要的一阶最优性条件，这些最优化问题给出明确的可控性和可观性Gramian的最小实现的误差系统。利用这些最优性条件，我们提出了求解相应最优化问题的梯度型方法，并给出了收敛性的数学保证。我们还推导出这些问题的凸SDP松弛和分析时，凸松弛是准确的。我们数值说明了我们的结果在几个测试例子的效率。
2018-11-18 math.OC
Type II balanced truncation for deterministic bilinear control systems
在数值求解偏微分方程时，通常需要进行高阶空间离散。模型降阶（MOR）技术通常用于降低空间离散系统的阶数，从而降低计算复杂性。平衡截断法是一种获得降阶模型的特殊MOR技术，它是一种针对确定性线性系而被广泛研究的方法。作为所谓的I型BT，它已经被推广到双线性方程，非线性系统的一个重要子类。我们提供了另一种广义的线性设置双线性系统，这是所谓的II型BT。我们在此上下文中提出的Gramian包含有关控件的信息。事实证明，新方法提供的能量界限不仅在零的小邻域内有效。此外，我们提供了一个$H_\infty$ -误差界，这是迄今为止不知道当应用类型I BT双线性系统。
2017-09-17 math.OC
Data-Driven Combined State and Parameter Reduction for Extreme-Scale Inverse Problems
在这方面的贡献，我们提出了一个加速优化为基础的方法，结合状态和参数减少的参数化线性控制系统，然后用作代理模型在贝叶斯逆设置。根据[Lieberman，Willcox，Ghattas.大规模统计逆设置的参数和状态模型简化，SIAM J. Sci.计算：32（5）：2523-2542，2010]，我们的方法是基于代理模型的构造过程中的广义数据驱动优化泛函和导致整体方法的额外加速的信任区域型解决方案策略的使用。原则上，模型简化过程是基于适当的低维状态和参数空间的离线构造，以及基于通过将底层控制系统投影到简化空间上而获得的所得代理模型的在线反演步骤。在这项工作中提出的推广和增强，以减少整体计算时间，提高精度的降阶模型，从而允许应用到极端规模的问题。为了比较我们的改进方法与原方法的计算效率，我们给出了一个通用模型和一个fMRI连接模型的数值实验。
2014-01-16 math.OC
Balanced Reduction of Nonlinear Control Systems in Reproducing Kernel Hilbert Space
基于机器学习和统计降维的最新进展，提出了一种新的非线性控制系统数据驱动降阶方法。该方法依赖于假设的非线性系统线性行为时，提升到一个高（或无限）维的特征空间，平衡截断可以进行隐式。这导致了一个非线性的减少映射，它可以与属于再生核希尔伯特空间的系统的表示相结合，以给出一个封闭的，减少了顺序的动力系统，它捕获了原始模型的基本输入-输出特性。还提供了说明该方法的实证模拟。
2010-11-12 math.DS math.OC math.ST
Two-stage model reduction approaches for the efficient and certified solution of parametrized optimal control problems
针对参数化线性二次最优控制问题，提出结合系统动力学与最优终末时间伴随状态流形降基近似的两阶段降阶模型，推导后验误差估计器并证明可靠性，数值实验验证了模型精度与计算加速效果。
2024-08-28 cs.NA math.NA math.OC
Optimality-Based Control Space Reduction for Infinite-Dimensional Control Spaces
Universität Konstanz（康斯坦茨大学）
针对时变抛物型PDE的最优控制问题，提出联合控制与状态空间线性模型缩减方法，给出后验误差界并证明自适应算法的收敛性。
2026-06-01 cs.NA math.NA math.OC
Adaptive Reduced Basis Trust Region Methods for Parameter Identification Problems
针对椭圆型偏微分方程参数识别反问题，提出一种自适应降基信赖域方法，在在线阶段自适应构建降维参数空间并结合状态空间降维，有效降低计算复杂度。
2024-10-11 cs.NA math.NA math.OC
