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Heinz不等式的进一步改进

Further refinements of the Heinz inequality

R. Kaur, M. S. Moslehian, M. Singh, C. Conde

备注：
15 pages, to appear in Linear Algebra Appl. (LAA)
发表信息：
Linear Algebra Appl. 447 (2014), 26-37
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摘要：

著名的Heinz不等式证明了$ 2|||A^{1/2}XB^{1/2}|||\leq |||A^νXB^{1-ν}+A^{1-ν}XB^ν|||\leq |||AX+XB|||$对于$X \in \mathbb{B}(\mathscr{H})$，$A,B\in \+$，每个酉不变范数$|||\cdot|||$和$ν\in [0,1]$ .本文利用函数$F(ν)=|||A^νXB^{1-ν}+A^{1-ν}XB^ν|||$的凸性、积分技巧和Hermite-Hadamard不等式的各种改进，给出了Heinz不等式的几个改进.在矩阵的设定下，我们证明了\begin{eqnarray*} &&\hspace{-0.5cm}\left|\left|\left|A^{\frac{α+β}{2}}XB^{1-\frac{α+β}{2}}+A^{1-\frac{α+β}{2}}XB^{\frac{α+β}{2}}\right|\right|\right|\leq\frac{1}{|β-α|} \left|\left|\left|\int_α^β\left(A^νXB^{1-ν}+A^{1-ν}XB^ν\right)dν\right|\right|\right|\nonumber\\ &&\qquad\qquad\leq \frac{1}{2}\left|\left|\left|A^αXB^{1-α}+A^{1-α}XB^α+A^βXB^{1-β}+A^{1-β}XB^β\right|\right|\right|\,, \end{eqnarray*}对实数是$α, β$。

英文摘要：

The celebrated Heinz inequality asserts that $ 2|||A^{1/2}XB^{1/2}|||\leq |||A^νXB^{1-ν}+A^{1-ν}XB^ν|||\leq |||AX+XB|||$ for $X \in \mathbb{B}(\mathscr{H})$, $A,B\in \+$, every unitarily invariant norm $|||\cdot|||$ and $ν\in [0,1]$. In this paper, we present several improvement of the Heinz inequality by using the convexity of the function $F(ν)=|||A^νXB^{1-ν}+A^{1-ν}XB^ν|||$, some integration techniques and various refinements of the Hermite--Hadamard inequality. In the setting of matrices we prove that \begin{eqnarray*} &&\hspace{-0.5cm}\left|\left|\left|A^{\frac{α+β}{2}}XB^{1-\frac{α+β}{2}}+A^{1-\frac{α+β}{2}}XB^{\frac{α+β}{2}}\right|\right|\right|\leq\frac{1}{|β-α|} \left|\left|\left|\int_α^β\left(A^νXB^{1-ν}+A^{1-ν}XB^ν\right)dν\right|\right|\right|\nonumber\\ &&\qquad\qquad\leq \frac{1}{2}\left|\left|\left|A^αXB^{1-α}+A^{1-α}XB^α+A^βXB^{1-β}+A^{1-β}XB^β\right|\right|\right|\,, \end{eqnarray*} for real numbers $α, β$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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