发表机构
Abdullah Al Salem University; Université Marie et Louis Pasteur, CNRS, LmB (UMR 6623)（阿卜杜拉·萨利姆大学; 玛丽和路易·巴斯德大学，法国国家科学研究中心，LmB实验室）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究Bourin提出的交叉Heinz不等式，证明对2×2正矩阵该不等式成立，并揭示高维情形存在维度障碍，确定了精确阈值。
AI 中文摘要
对于正矩阵$A,B$和$0<t<1$，Bourin 询问交叉Heinz表达式 \\[ C_t(A,B)=A^tB^{1-t}+B^tA^{1-t} \\] 是否满足 \\[ \UIN{C_t(A,B)}\le \UIN{A+B} \\] 对每个酉不变范数成立。通往该不等式的最直接途径是将$C_t(A,B)$与普通Heinz表达式 \\[ H_t(A,B)=A^tB^{1-t}+A^{1-t}B^t \\] 进行比较，因为经典Heinz不等式给出$\UIN{H_t(A,B)}\le\UIN{A+B}$。然而，这条途径遇到了真正的维度障碍：已知更强的比较$\UIN{C_t(A,B)}\le\UIN{H_t(A,B)}$对正定$3\times3$矩阵不成立，因此通过分块对角嵌入，在每一维度$n\ge3$中也不成立。我们首先确定这一障碍的精确阈值。对每对正$2\times2$矩阵和每个$0<t<1$，我们证明弱优超关系 \\[ s(C_t(A,B))\prec_w s(H_t(A,B)). \\]
英文摘要
For positive matrices $A,B$ and $0<t<1$, Bourin asked whether the crossed-Heinz expression \[ C_t(A,B)=A^tB^{1-t}+B^tA^{1-t} \] satisfies \[ \UIN{C_t(A,B)}\le \UIN{A+B} \] for every unitarily invariant norm. The most direct route to this inequality is to compare $C_t(A,B)$ with the ordinary Heinz expression \[ H_t(A,B)=A^tB^{1-t}+A^{1-t}B^t, \] because the classical Heinz inequality gives $\UIN{H_t(A,B)}\le\UIN{A+B}$. This route, however, encounters a genuine dimensional obstruction: the stronger comparison $\UIN{C_t(A,B)}\le\UIN{H_t(A,B)}$ is known to fail for positive definite $3\times3$ matrices, and hence, by block-diagonal embedding, in every dimension $n\ge3$. We first determine the exact threshold for this obstruction. For every pair of positive $2\times2$ matrices and every $0<t<1$, we prove the weak-majorization relation \[ s(C_t(A,B))\prec_w s(H_t(A,B)). \]
