Reverse Berlekamp-Massey Decoding
Jiun-Hung Yu, Hans-Andrea Loeliger
我们提出了一个新的算法解码里德所罗门码（最多一半的最小距离）和计算逆$F[x]/m(x)$。该算法在思想和结构上与Berlekamp-Massey算法相似，但它适用于一般的$m(x)$ .
We propose a new algorithm for decoding Reed-Solomon codes (up to half the minimum distance) and for computing inverses in $F[x]/m(x)$. The proposed algorithm is similar in spirit and structure to the Berlekamp-Massey algorithm, but it works naturally for general $m(x)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Inference of unknown syndrome values in the implementation of the Berlekamp-Massey-Sakata algorithm
本文研究在代数几何码中实现Berlekamp-Massey-Sakata算法时缺失校正子值的推断问题，并将其结果用于解决阿贝尔码的校正子校正。
The Berlekamp-Massey Algorithm and the Euclidean Algorithm: a Closer Link
Reed-Solomon码的两种主要解码算法是Berlekamp-Massey算法和Sugiyama等人对欧几里德算法的修改，两者都被设计用于求解关键方程。本文提出了关键方程的另一种形式和一种新的方法来使用欧几里德算法来解决它，从而产生Berlekamp-Massey算法。这导致在一个新的，更简单的，更快的介绍Berlekamp-Massey算法。
A new approach to the Berlekamp-Massey-Sakata Algorithm. Improving Locator Decoding
本文通过确定保证BMS算法最终输出为线性递归关系理想Gröbner基的指标条件，提出改进abelian码定位子译码的新方法。
Inverse-free Berlekamp-Massey-Sakata Algorithm and Small Decoders for Algebraic-Geometric Codes
本文提出了一种新的寻找代数几何码错误定位子的算法，该算法可以消除Berlekamp-Massey-Sakata算法中的有限域除法计算。这种无逆算法在纠正某类错误（包括大多数错误的一般错误）方面提供了充分的性能，并且可以在不确定未知伴随式的情况下对代数曲线上的代码进行解码。此外，我们提出了三种不同的架构，我们的算法可以适用于，我们代表的移位寄存器和开关的控制操作，在每个时钟定时的数值模拟。我们估计的总运行时间和乘法器和移位寄存器的数量在三个架构与传统的代数曲线上的代码的比较的性能。
The Berlekamp-Massey Algorithm via Minimal Polynomials
给出了交换整环$D$上有限序列的一个递归极小多项式定理。这个定理与$D$的任何元素有关。成分是：在$D$，递归的“指标函数”和简单的数学归纳劳伦多项式的算术。取倒数给出了“Berlekamp-Massey定理”，即Berlekamp-Massey算法中出现的多项式的递归构造，相对于$D$的任何元素。递归定理容易产生迭代最小多项式算法由于作者和迭代Berlekamp-Massey算法的一个透明的推导。我们给出了$s$的线性复杂度之和的一个上界，当$s$具有完美的线性复杂度时，这个上界是紧的。这意味着在一个域上，两种迭代算法最多需要$2\lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor$乘法。
Hyperbolic Sets in Incomplete Tables
本文将Berlekamp-Massey-Sakata算法的实现结果推广到含有未知值的不完整数据表上，研究其中的双曲集合。
Simultaneous Partial Inverses and Decoding Interleaved Reed-Solomon Codes
本文介绍了多项式的同时部分逆问题（SPI），并将其应用于超过最小距离一半的交织Reed-Solomon码的译码。虽然与标准关键方程和著名的Padé近似问题密切相关，但SPI问题在几个方面都很突出。首先，SPI问题具有唯一的解（直到比例因子），其满足自然度界。第二，SPI问题可以转换（单项式）成一个等价的SPI问题，其中所有的模都是单项式。第三，SPI问题可以通过Berlekamp-Massey型的有效算法来解决。第四，交织Reed-Solomon码的译码可以根据错误模式的部分逆条件来分析超过最小距离的一半的子场评估码（或子场评估码）：如果满足该条件，则（真）错误定位器多项式是标准密钥方程的唯一解，且可以以许多不同的方式计算，包括著名的多序列Berlekamp-Massey算法和本文的SPI算法。两个最好的性能界限从文献中（施密特-Sidorenko-Bossert界和Roth-Vontobel界）被推广到持有的部分逆条件，从而适用于几种不同的解码算法。
Redundancies of Correction-Capability-Optimized Reed-Muller Codes
本文重点介绍了Reed-Muller码的一些变体，这些变体在Berlekamp-Massey-Sakata算法的多数表决下提高了指定解码性能的速率。给出了新码的冗余度的显式计算公式。
A Decoding Algorithm for Rank Metric Codes
在这项工作中，我们将提出解码算法的秩度量码。首先，我们将研究一种新的Gabidulin码的译码算法，该算法利用Dickson矩阵对应于线性化多项式的性质。我们将在这个过程中使用Berlekamp-Massey算法。我们将展示我们的算法和现有算法之间的差异。除了是一种新的译码算法外，它还可以被修改为一般的扭曲Gabidulin码的译码算法。
The Key Equation for One-Point Codes
对于Reed-Solomon码，关键等式将伴随式多项式-从奇偶检验矩阵和接收向量计算-与两个未知多项式，定位器和评估器相关联。定位器多项式的根标识错误位置。赋值多项式与定位多项式的导数一起通过Forney公式给出误差值。Berlekamp-Massey算法有效地计算两个未知多项式。本章将展示关键方程、Berlekamp-Massey算法、Forney公式以及Horiguchi提出的另一个误差估计公式是如何以自然的方式推广到单点码的。这里提出的算法是基于Kötter的Sakata的算法的适应。
Performance Analysis of Algebraic Soft Decoding of Reed-Solomon Codes over Binary Symmetric and Erasure Channels
本文研究了RS码在擦除信道和二进制对称信道下的代数软译码的译码域。最佳多重数分配策略（MAS）的调查和紧界推导出ASD可以显着优于传统的Berlekamp Massey（BM）解码在这些信道的一个很宽的码率范围。该分析技术还可以扩展到其他信道模型，例如，擦除信道上的RS编码调制。
On interpolation-based decoding of a class of maximum rank distance codes
针对Trombetti和Zhou最近提出的一类最大秩距离码，提出了一种基于插值的译码算法。我们采用的Dickson矩阵的性质与一个给定的秩和修改的Berlekamp-Massey算法的线性化多项式的解码。当误差向量的秩达到唯一的译码半径时，问题转化为求解一个二次多项式，从而保证译码算法具有多项式时间复杂度.
On Rational-Interpolation Based List-Decoding and List-Decoding Binary Goppa Codes
本文利用模上的格罗布纳基，以欧氏算法（EA）代替Berlekamp-Massey算法（BMA）作为初始算法，导出了广义Reed-Solomon（GRS）码的Wu列表译码算法.提出了一种快速构造插值多项式的新方法。我们给出了一个新的应用程序的吴列表解码器的不可约二进制Goppa码的二进制约翰逊半径。最后，我们指出吴算法和Guruswami-Sudan算法（GSA）的控制方程之间的连接，立即导致平等的解码范围和一个对偶的解码所需的参数的选择，无论是在GRS码的情况下，在Goppa码的情况下。
Syndrome Decoding of Reed-Solomon Codes Beyond Half the Minimum Distance based on Shift-Register Synthesis
本文研究和分析了一种新的译码方法，该方法可以译码超过最小距离一半的低速率Reed-Solomon码。与1997年发表的Sudan算法不同，该算法基于多序列移位寄存器综合，易于理解和实现。这种基于移位寄存器的算法的计算复杂性与众所周知的Berlekamp-Massey算法的复杂性具有相同的数量级。此外，错误校正半径与原始苏丹算法的错误校正半径一致，并且在q进制对称信道（QSC）上观察到的实际解码性能与苏丹算法的解码性能几乎相同。推导了新算法的失效概率、差错概率和QSC译码性能的界，并通过实例说明了新算法的性能。
Guessing random additive noise decoding with symbol reliability information (SRGRAND)
针对短码低时延通信需求，本文提出带符号可靠性信息的猜测随机加性噪声解码方案，设计两种解码算法，理论与实验均验证其性能优于多种传统解码方法。
Error-Erasure Decoding of Linearized Reed-Solomon Codes in the Sum-Rank Metric
秩和度量的码在多点网络编码、分布式存储和基于码的密码学的差错控制中有着广泛的应用。线性化Reed-Solomon（LRS）码包含Reed-Solomon码和Gabidulin码作为子类，并且在秩和度量上满足Singleton类上界。我们提出了第一个已知的错误擦除解码器的LRS码释放其全部潜力的多拍网络编码。所提出的基于综合征的Berlekamp-Massey类错误擦除解码器可以校正$t_F$全错误、$t_R$行擦除和$t_C$列擦除，直到在和秩度量中的$2t_F + t_R + t_C \leq n-k$，在$\mathbb{F}_{q^m}$中最多需要$\mathcal{O}(n^2)$操作，其中$n$是码的长度，$k$是码的维数。我们展示了如何建议的解码器可以用来纠正错误的总和子空间度量发生在（非相干）多拍网络编码。
Adaptive Single-Trial Error/Erasure Decoding of Reed-Solomon Codes
代数译码算法通常应用于里德-所罗门码的译码。它们的主要优点是低计算复杂性和可预测的解码能力。许多算法都可以扩展，用于纠正错误和擦除。这使得解码器能够利用从传输信道获得的二进制量化的可靠性信息：具有高可靠性的接收符号被转发到解码算法，而具有低可靠性的符号被擦除。本文研究了Reed-Solomon码的自适应单次试错/擦除译码，即推导出一种自适应擦除策略，使译码后的码字剩余错误概率最小化。我们的结果是适用于任何错误/擦除解码算法，只要它的解码能力可以表示的解码器的能力函数。例子是使用Berlekamp-Massey-或Sugiyama算法的有界最小距离解码和Guruswami-Sudan列表解码器。
On Semigroups Generated by Two Consecutive Integers and Improved Hermitian Codes
通过对一点码的Berlekamp-Massey-Sakata译码算法的分析，提出了两种提高码速率的方法。Feng和Rao提出的一种方法是删除奇偶检验，而这些校验可以通过他们的多数表决算法恢复。第二种方法是将代码设计为仅校正给定权重的几何通用的那些误差向量。在这项工作中，公式给出的厄米特码的冗余优化这些标准以及公式的顺序上的最小距离的限制。结果从分析两个连续整数生成的数值半群。最优厄米特码的冗余度公式纠正了给定数量的错误，回答了Pellikaan和Torres在1999年提出的一个开放性问题。
Algebraic Soft-Decision Decoding of Reed-Solomon Codes Using Bit-level Soft Information
研究了利用比特级软信息的Reed-Solomon码代数软判决译码的性能。首先研究了在擦除信道和二进制对称信道下具有无限代价的代数软判决译码的最优重数分配策略。相应的解码半径计算在封闭的形式和紧界的错误概率。然后将多重数分配策略和相应的性能分析推广到描述混合错误和比特级擦除信道上代数软判决译码的译码区域。所提出的多重性分配策略的比特级解码区域被证明是显着大于传统的Berlekamp-Massey解码。作为应用，提出了一种比特级广义最小距离译码算法。该译码算法在各种信道条件下都优于其它的Reed-Solomon软判决译码算法。此外，由于所提出的比特级广义最小距离解码的简单性，其性能可以使用顺序统计量严格限制。
A Dynamical System-based Key Equation for Decoding One-Point Algebraic-Geometry Codes
仔细研究线性递归序列，我们可以定义一个一元多项式和一个序列的乘法，将其视为具有另一个变量的幂级数，从而产生另一个序列。将此运算推广，得到多元多项式矩阵与幂级数向量的乘法。根据U. Oberst则是由多项式矩阵定义的模的线性映射的核。将这些工具应用于所谓的一点代数几何码的解码中，在证明了作为接收到的字中的错误的一般变换的伴随式阵列是线性递归序列之后，我们构造了一个动力系统。然后，我们证明，这个数组是柯西齐次方程的动力系统的解决方案。Berlekamp-Massey-Sakata算法在解码过程中的目的是确定伴随式阵列，我们已经证明，实际上，该算法解决了关于动力系统的柯西齐次方程。
Early-Stopped Technique for BCH Decoding Algorithm Under Tolerant Fault Probability
本文提出一种基于连续零差异检测的BM算法提前停止技术，以极低译码失败概率为代价显著降低长BCH码译码延迟与复杂度，并在FPGA上验证了可靠性。
Decoding a Class of Affine Variety Codes with Fast DFT
提出了一种基于快速离散傅里叶变换（DFT）和Berlekamp-Massey-Sakata算法的仿射簇码误差值计算方法。我们的程序是由多维DFT和线性递归关系从Grobner基础上实现的，并适用于擦除和错误解码和系统编码。该算法中误差值计算的计算复杂性在许多情况下比用纠错对求解线性方程组的算法复杂。激励的情况下，我们的算法的里德-所罗门码和我们的算法的数值例子的情况下，埃尔米特码的例子也被描述。
On formulas for decoding binary cyclic codes
本文讨论了任意循环码在真最小距离下的代数译码问题。为此，我们使用的经典配方的问题，这是找到错误定位多项式的症状的接收到的字。在BCH码和相关码的情况下，这通常用Berlekamp-Massey算法来完成，但是对于一般情况，没有通用算法来解码循环码。即使是二次剩余码，这是一个很好的代码，具有很强的代数结构的情况下，没有可用的通用解码算法。对于二次剩余码的这种特殊情况，几位作者已经用牛顿恒等式手工计算出了定位多项式的系数公式。这项工作必须对每个特定的二次剩余码进行，并且随着长度的增长越来越困难。此外，它容易出错。我们建议自动化这些计算，使用消除理论和Grbner基地。我们证明，通过计算适当的Grbner基地，一个自动恢复公式的系数的定位多项式，在症状。
An Ordered-Reliability-Bits Chase Decoding Algorithm for BCH Codes
本文提出一种适用于BCH码的低复杂度ORB-Chase译码算法，通过逻辑权重生成TEP和整数早终止准则减少计算量，在接近ML性能的同时大幅降低BM译码调用次数。
GRAND for Rayleigh Fading Channels
猜测随机加性噪声译码（GRAND）是一种适用于短码长和高速率信道码的码无关译码技术。GRAND算法试图通过产生测试误差模式（TEP）来猜测信道噪声，而TEP的顺序是GRAND算法不同变体之间的主要区别。在这项工作中，我们扩展了应用程序的GRAND多径频率非选择性瑞利衰落通信信道，我们称之为衰落-GRAND这种GRAND的变种。所提出的Fading-GRAND使其TEP生成适应底层通信信道的衰落条件，在具有$L$空间分集分支的场景以及没有分集的场景中优于传统的信道码解码器。数值仿真结果表明，在目标误比特率为$10^{-7}$的情况下，Fading-GRAND译码器对BCH码$(127,106)$和BCH码$(127,113)$的译码性能比传统的Berlekamp-Massey（B-M）译码器提高了$\mathbf{0.5\sim6.5}$ dB.类似地，在具有CRC $(128,104)$码和RLC $(128,104)$的$10^{-7}$的目标FER处，Fading-GRAND比GRAND的硬输入变化GRANDAB好$0.2\sim8$ dB。此外，在对应于$10^{-7}$的目标FER的$\frac{E_b}{N_0}$处，Fading-GRAND的平均复杂度是GRANDAB的复杂度的$\frac{1}{2}\times\sim \frac{1}{46}\times$。
Improved Decoding Algorithms for Reed-Solomon Codes
在编码理论中，Reed-Solomon码是最著名和最广泛使用的一类纠错码。在这篇论文中，我们研究和比较两个主要的策略，他们的解码过程中，彼得森-Gorenstein-Zierler（PGZ）和Berlekamp-Massey（BM）解码器，以改善现有的解码算法，并提出更快的新的。特别是，我们研究的PGZ解码器的修改版本，我们将称为快速彼得森-Gorenstein-Zierler（fPGZ）解码算法。这种改进是在1997年通过利用伴随矩阵的Hankel结构提出的。在这篇论文中，我们表明，fPGZ解码算法可以被看作是一个特殊的情况下，BM之一。事实上，我们证明，在执行fPGZ中获得的中间结果是BM解码算法的一个子集。通过这种方式，我们还揭示了伴随式矩阵的前导主子式与BM算法计算的差异之间存在的关系。最后，由于所做的研究的结构上的综合征矩阵和其领先的主要未成年人，我们提高了错误值计算的解码策略研究（特别是我们证明了新的错误值公式的fPGZ和BM解码算法），而且我们状态一个新的迭代公式的PGZ解码器非常适合于集成微芯片上的并行实现。因此，使用线性代数的技术，我们获得了一个并行解码算法的里德-所罗门码与O（e）的计算时间复杂度，其中e是发生的错误的数量，虽然需要相当大数量的基本电路元件。
High-throughput Low-latency Hardware Implementation of BCH Decoders
针对BCH码，提出基于Berlekamp-Massey算法与Chien搜索的常规解码和直接解码的硬件架构，首次实现纠错能力t=4的直接BCH解码器，在FPGA和16nm FinFET上验证，直接解码器在t=2、3及长码长t=4时面积效率更优，16nm下吞吐量达239 Gb/s。
A Groebner-bases approach to syndrome-based fast Chase decoding of Reed--Solomon codes
提出了一种简单的基于伴随式的快速Chase译码算法。这种算法最初由Wu（IEEE Trans. IT，2012年1月）提出，建立在Berlekamp-Massey（BM）算法的性质上。Wu设计了一种快速多项式更新算法来构造错误定位器多项式（ELP），作为某个线性反馈移位寄存器（LFSR）综合问题的解决方案。这导致了一个概念上复杂的算法，分为$8$微妙不同的情况。此外，吴的多项式更新算法并不立即适用于处理评估向量。因此，需要复杂的修改以实现真正的“一次通过”Chase解码算法，即，每个修改的坐标需要$O(n)$操作的Chase解码算法，其中$n$是RS码长度。本文的主要结果是一个概念上简单的综合征为基础的快速大通解码的RS码。我们没有从头开始发展理论，而是使用成熟的Groebner基理论来研究$\mathbb{F}_q[X]$上的模（其中$\mathbb{F}_q$是$q$元素的有限域，对于$q$是素数幂）。基本的观察是，而不是吴的LFSR综合问题，这是更简单地考虑“正确的”最小化问题的一个模块。这个最小化问题的解决方案是一个简单的多项式更新算法，避免了伴随式更新，并与评估向量无缝地工作。因此，我们得到了一个概念上简单的算法的RS码的一遍大通解码。我们的算法是通用的，足以与任何算法，找到一个Groebner基础的解决方案模块的关键方程作为初始算法（包括欧几里德算法），它不仅是绑定到B…
The Ubiquity of Order Domains for the Construction of Error Control Codes
序域是一类由Høholdt、van Lint和Pellikaan引入的交换环，用于简化差错控制码的理论，并使用代数几何的思想。该定义主要是由Berlekamp-Massey-Sakata（BMS）解码算法中使用的结构激发的，其中Feng-Rao多数投票用于未知的伴随式，应用于从曲线构造的单点几何Goppa码。然而，序域是更一般的，和O 'Sullivan已经表明，BMS算法可以适用于解码所有的代码构造从序域的一个适当的推广戈帕的程序曲线。本文首先讨论有限域上函数域的序域与赋值之间的关系。在适当的条件下，我们将看到有限域上的一般射影簇具有射影模型，可以用来构造序域和Goppa型码，BMS算法适用于Goppa型码.然后，我们将给出一个稍微不同的解释盖尔和Pellikaan的外在表征秩序域通过理论的Gröbner基地，并表明他们的结果是有关的存在环面变形的品种。为了说明这些意见的潜在用途，我们提出了一系列新的明确的例子，序域与品种有许多有理点在有限域：埃尔米特超曲面，格拉斯曼，旗品种。
Syndrome-Based Error-Erasure Decoding of Interleaved Linearized Reed-Solomon Codes
针对推广里德-所罗门与加比杜林码的线性化里德-所罗门码，提出垂直与水平交织LRS码的统一伴随式译码器，覆盖错误-删除场景，给出译码条件及失败概率上界并验证紧致性。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。