Tilings of the Sphere by Edge Congruent Pentagons
Ka Yue Cheuk, Ho Man Cheung, Min Yan
我们研究边全等五边形的球体的边到边的平铺，假设有瓷砖的所有顶点的度为3。我们开发的技术的邻域镶嵌和应用该技术完全分类的边缘全等地球地图镶嵌。
We study edge-to-edge tilings of the sphere by edge congruent pentagons, under the assumption that there are tiles with all vertices having degree 3. We develop the technique of neighborhood tilings and apply the technique to completely classify edge congruent earth map tilings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons III: Edge Combination $a^5$
全等等边五边形正好有八个边到边的球体镶嵌：三个五边形细分镶嵌有12、24、60个瓦片;四个地球地图镶嵌有16、20、24、24个瓦片;一个翻转修改的地球地图镶嵌有20个瓦片。
Edge-to-edge Tilings of the Sphere by Angle Congruent Pentagons
研究球面由全等五边形镶嵌时，仅通过角度信息确定镶嵌方式及简化过程对镶嵌特征的影响。
Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons IV: Edge Combination $a^4b$
本文完成了球面由全等多边形构成的边对边密铺的分类，通过分类由四条等边的全等近等边五边形构成的密铺，并整合先前对等边五边形、四边形和三角形的分类结果。
Classification of spherical tilings by congruent quadrangles over pseudo-double wheels (I) -- a special tiling by congruent concave quadrangles
球面的每个简单四边形都是由一个称为伪双轮的图生成的，该图具有两个局部扩展（Brinkmann等人，“Generation of simple quadrangulations of the sphere.离散数学第305卷，第1-3期，第305页。33-54，2005）。因此，对于全等四边形的球面瓦片的分类，我们建议分类那些瓦片是凸的和图是伪双轮的。在本文中，我们证明了一系列的指定的边长伪双轮不允许平铺的全等凸四边形。实际上，我们证明了该系列只允许一个平铺由12个全等凹四边形，使对称的平铺只有三个垂直的2重旋转轴，和平铺似乎是新的。
Tilings of the Sphere by Congruent Quadrilaterals or Triangles
本文完整分类了球面上由全等四边形的边对边铺砌，并给出三角形铺砌的现代分类，连同五边形分类，完成了球面全等多边形铺砌的完整分类。
Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons II: Edge Combination $a^3b^2$
全等五边形与边组合$a^3b^2$的球体有15个边到边的镶嵌：五个单参数的五边形细分镶嵌族，和两个五边形细分镶嵌的三个特殊情况的10个翻转修改。
Rotationally Symmetric Tilings with Convex Pentagons and Hexagons
本文研究具有旋转对称性的平面铺砌，引入一类特定的凸五边形，证明对于任意对称类型 $\mathbf{C}_{n}$ 或 $\mathbf{D}_{n}$ 均存在由该类五边形生成的单面铺砌，且 $n>1$ 时为 $n$ 臂螺旋铺砌，该结论同样适用于凸六边形。
Side-to-side Tiling of the Sphere by Congruent Curvilinear Triangles
该研究分类了球面侧向等边曲边三角形镶嵌，发现其本质是直线三角形镶嵌的变形。
Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons I
我们表明，有没有边到边的瓷砖的领域由全等五边形超过最小的十二面体瓷砖，这样，有一个瓷砖的所有顶点具有3度和边长组合是三个五种可能性。
Convex Pentagon Tilings and Heptiamonds, I
1995年，Marjorie Rice发现了一种有趣的镶嵌方法，使用凸五边形。作者发现了新的性质的平铺凸五边形赖斯使用的发现。结果，发现了许多新的凸五边形镶嵌（镶嵌），凸五边形镶嵌与七角形镶嵌有联系。
Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons I: Edge Combinations $a^2b^2c$ and $a^3bc$
我们开发的基本工具，用于分类全等五边形的球体的边到边的平铺。然后证明了对于边组合$a^2b^2c$，这种镶嵌是三个两参数的五角形柏拉图立体细分族，分别是$12$，$24$和$60$.我们还证明，对于边组合$a^3bc$，这样的平铺是两个独特的双五边形细分的柏拉图固体，$48$和$120$瓷砖。
Convex Pentagon Tilings and Heptiamonds, II
在之前的手稿中，使用属于类型1和类型5的凸五边形瓷砖呈现了新的镶嵌（镶嵌）。凸五边形镶嵌与七边形镶嵌有关。后来，作者找到了Johannes Hindriks的网站，总结了heptiamond tilings（镶嵌）的研究成果。本文介绍了将Hindriks的七边形镶嵌变换为凸五边形镶嵌的结果。由此，提出了许多新的凸五边形镶嵌。
Edge-to-edge Tilings of the Sphere by Angle Congruent Pentagons
本文提出计算球面角度全等五边形边到边铺砌中各顶点角度组合的系统方法，并据此完整刻画了允许两个角度自由连续选择的所有铺砌。
Converting tilings with multiple types of rhombuses to pentagonal tilings
涉及旋转对称平铺与多种类型的菱形，彭罗斯，阿曼，Beenker，或Socolar发现的结果，被转换为平铺与多种类型的五边形。五边形可以是凸的或凹的，并且可以退化成梯形或四边形。如果五边形是凸的，则它们属于Type 2族。
Tiling Problem: Convex Pentagons for Edge-to-Edge Monohedral Tiling and Convex Polygons for Aperiodic Tiling
我们发现，凸五边形，可以产生边到边的单面平铺的平面可以分为八种类型。利用这些结果，还证明了除了“边到边”的匹配条件之外，没有任何单个凸多边形可以是非周期原型。"
Properties of Convex Pentagonal Tiles for Periodic Tiling
凸五边形瓦片是允许单面瓦片的凸五边形。我们证明了一个凸五边形瓷砖，允许一个周期性的瓷砖有一个属性，其中的三个内角的总和是等于360°的五边形。
Tilings of the sphere by congruent quadrilaterals III: edge combination $a^3b$ with general angles
本文完成全等四边形球面对边铺砌三篇分类系列的最后一篇，针对含无理角的 $a^3b$ 四边形，给出单参数双层地球映射铺砌族、翻转修改及5个特殊孤立铺砌。
Isoperimetric Pentagonal Tilings
我们确定了平面的最小周长单位面积的凸五边形，即镶嵌开罗和棱镜五边形，找到无穷多个，并证明了他们最小周长镶嵌之间的凸多边形，最多有五个边。
Tilings of the sphere by congruent quadrilaterals II: edge combination $a^3 b$ with rational angles
本文利用三角 Diophantine 方程完整分类所有角为有理度数的 $a^3b$ 全等四边形球面临边铺砌，给出12个孤立情形、3个无限序列及4种例外铺砌，并发现非临边三角形铺砌。
Convex pentagons and concave octagons that can form rotationally symmetric tilings
在这项研究中，凸五边形，可以形成旋转对称的边到边平铺的性质进行了讨论。因为旋转对称的平铺由通过线对称连接的两个凸五边形生成的凹八边形形成，所以它们被认为等同于具有凹八边形的旋转对称的平铺。此外，在某些情况下，可以使用这些凸五边形形成在中心具有规则多边形孔的平铺状图案。
Pentagons and rhombuses that can form rotationally symmetric tilings
在这项研究中，各种旋转对称的平铺，可以形成使用五边形是相关的菱形进行了讨论。五边形可以是凸的或凹的，并且可以退化成梯形。如果五边形是凸的，则它们属于Type 2族。由于五边形的性质与菱形的性质相对应，因此该研究还解释了五边形与各种菱形镶嵌之间的对应关系。
Convex pentagons that admit $i$-block transitive tilings
允许平面倾斜的凸五边形的分类问题是一个长期未解决的问题。在这篇文章之前，有14种已知的不同类型的凸五边形承认平面的倾斜。其中五种类型允许瓦片传递镶嵌（即关于镶嵌的对称群存在单个传递性类）。其余9种类型不允许瓦片传递镶嵌，但允许2-块传递镶嵌或3-块传递镶嵌;这些镶嵌是由2或3个五边形的簇组成的镶嵌，使得这些簇形成瓦片-2-传递或瓦片-3-传递镶嵌。在这篇文章中，我们提出了一些组合的结果，五边形，承认$i$ -块传递平铺$i \in \mathbb{N}$。这些结果形成了一个自动化的方法来寻找所有的五边形，承认$i$块传递平铺每个$i \in \mathbb{N}$的基础。我们将介绍这个算法的方法和计算机搜索的结果，到目前为止，其中包括一个完整的分类的所有五边形承认1-，2-，和3-块传递镶嵌，其中是一个新的第15类型的凸五边形，承认一个瓷砖-3-传递镶嵌。
Converting non-periodic tilings with Tile(1, 1) into tilings with three types of pentagons, I
本文提出一种转换方法，将 Smith 等人利用替换法构造的 Tile(1, 1) 非周期铺砌转化为三种五边形铺砌，并指出排除任意替换后仅有两种图案，且转换中不细分菱形。
Convex pentagons and convex hexagons that can form rotationally symmetric tilings
在这项研究中，凸六边形的性质，可以形成旋转对称的边到边平铺进行了讨论。由于凸六边形是等边凸平行六边形，因此通过平分六边形生成的凸五边形可以形成旋转对称的非边到边镶嵌。此外，在某些情况下，可以使用这些凸六边形或五边形形成在中心处具有等边凸多边形孔的平铺状图案。
Perimeter-minimizing Tilings by Convex and Non-convex Pentagons
我们研究了Chung等人[CFS]关于凸五边形的周长最小化平面镶嵌的定理中可能不必要的凸性假设。在某些特殊情况下，我们证明了该定理在没有凸性假设的情况下也成立，并为以后的研究提供了方向。
Rational Angles and Tilings of the Sphere by Congruent Quadrilaterals
我们应用丢番图分析通过全等几乎等边四边形（即，边缘组合a3b）。与Cheung，Luk和Yan的完整分类平行，这里实现的方法更系统，适用于其他相关的镶嵌问题。我们还提供了详细的几何数据的平铺。
Density upper bound for congruent and non-congruent hyperball packings generated by truncated regular simplex tilings
本文研究了截断正四面体镶嵌的全等和非全等超球（超球）填充。这些是从$3$和$5$维双曲空间中的Coxeter单纯形镶嵌$\{p,3,3\}$ $(7\le p \in \mathbb{N})$和$\{5,3,3,3,3\}$导出的。我们确定了与上述镶嵌相关的密度超球填充安排。我们利用全等超球求出了堆积密度，并确定了由上述拼接生成的非全等超球堆积的最小密度上界。
Rotationally symmetric tilings with convex pentagons belonging to both the Type 1 and Type 7 families
研究发现同时归属 Type 1 与 Type 7 族的凸五边形可构造边对边连接、含二重与四重旋转对称但无反射对称轴的螺旋铺砌。
Tilings of the sphere by congruent quadrilaterals I: edge combination $a^2bc$
由$a^2bc$类型的全等四边形对球体进行边到边的镶嵌，分类为$3$类：具有$2n$ $(n\ge3)$瓦片的$2$层地球地图瓦片的双参数族的序列，具有$24$瓦片的八面体的四边形细分的单参数族以及用于特殊参数的翻转修改，以及具有$8n$ $(n\ge2)$瓦片以及用于奇数$n$的两个翻转修改的$3$层地球地图瓦片的序列。我们还描述了模量和计算的几何数据。
Classification of spherical tilings by congruent quadrangles over pseudo-double wheels (II)
我们对所有边到边的球面等面体4-对称环进行了分类，使得骨架是伪双轮。为此，我们通过边长余弦的二次方程来表征这些球形平铺。通过分类，我们看到：确实存在两个非全等的边到边球面等面体4-轮，使得骨架是相同的伪双轮，并且瓦片的四个内角的循环表是相同的。这与由全等3-θ确定的每一个边到边的球面镶嵌由骨架和骨架的内角确定形成对比。我们表明，对于一个特定的球形的12面的伪双轮的等角平铺，二次方程有一个双重的解决方案和副本的瓷砖也组织一个球形的非等角平铺在同一个骨架。
Hyperball packings related to octahedron and cube tilings in hyperbolic space
本文研究了截顶正八面体和立方体镶嵌的全等和非全等超球（超球）填充。这些是从$3$维双曲空间$\mathbb{H}^3$中的Coxeter单纯形镶嵌$\{p,3,4\}$ $(7\le p \in \mathbb{N})$和$\{p,4,3\}$ $(5\le p \in \mathbb{N})$导出的.我们确定了$\mathbb{H}^3$中与上述镶嵌相关的全等和非全等超球的密集超球堆积排列及其密度。证明了局部紧全等或非全等超球构形属于具有密度$\approx 0.86145$的规则截顶立方体。这比球和horoball的Böröczky-Florian密度上界大。我们的局部最优的非全等超球填充配置不能扩展到整个双曲空间$\mathbb{H}^3$，但我们确定了可扩展的非全等超球填充安排与密度$\approx 0.84931$的规则立方体平铺。
Spherical tilings by congruent quadrangles over pseudo-double wheels (III) - the essential uniqueness in case of convex tiles
在[B.Gruenbaum，G.C. Shephard，Spherical tilings with transitivity properties，in：The geometric vein，Springer，New York，1981，pp. 65-98]，他们证明了“对于由全等瓦片拼接的每个球面法线瓦片，如果它是同构的，则该图是柏拉图立体、阿基米德对偶、n-π双金字塔（n>2）或n-π多面体（即，2n个面的伪双轮）"。在球面单面镶嵌的分类中，人们自然会问他们的结果的一个“逆问题”：对于上述拓扑的球面单面镶嵌，什么时候镶嵌是等面的？证明了对于任意球面单面四边形镶嵌拓扑上为正六面体，若面数为6或8，若镶嵌面为风筝形、飞镖形或菱形，或镶嵌面为凸形，则镶嵌面为等面体.
Tiling a circular disc with congruent pieces
本文证明了以$k \leq 3$拓扑圆盘为瓦片的封闭圆单位圆盘的任何单面瓦片都具有$k$ -fold旋转对称性。这一结果产生的第一个非平凡的估计有关的最小数量的瓷砖在一个单面瓷砖的圆盘中，不是所有的瓷砖包含的中心，和第一步回答问题的斯坦出现在问题书的克罗夫特，法尔科纳和盖伊在1994年。
Tiling a triangle into a prime number of congruent triangles
研究三角形分割成全等三角形时\(N\)的质数性，证明除特定例外，\(N\)非质数，例外包括等腰、等边、特定直角三角形的特殊分割情况，核心方法未提及，主要贡献是明确了三角形分割与\(N\)质数性的关系。
Packings of Regular Pentagons in the Plane
我们证明了欧氏平面上全等正五边形的每一个填充都有至多$(5-\sqrt5)/3$的密度，约为0.92。更具体地说，本文证明了Henley（1986）和Kuperberg and Kuperberg（1990）的五边形冰射线猜想，该猜想断言全等正五边形在平面上的最优填充是一个双格，由对准的垂直向上指向的五边形列和对准的垂直向下指向的五边形列交替形成。该策略基于对Delaunay三角形面积的估计。我们的策略减少了五边形冰射线猜想，涉及最多四个Delaunay三角形的面积最小化问题。这些极小化问题都是用计算机解决的。证明的计算机辅助部分使用了诸如区间运算、自动微分和中间相遇算法等技术。
On Deformed Dodecahedron Tiling
球面的$12$全等五边形镶嵌只有一种类型。这些镶嵌是等面的。
No Prime Tiling of an Isosceles Triangle
研究等腰三角形的分割问题，发现其不能切成大于三个的全等素数三角形，只有等边三角形能切成三个全等三角形。
Noncongruent equidissections of the plane
Nandakumar问是否有一个平铺的平面由成对的非全等三角形的面积和周长相等。这里得到一个较弱的结果：有一个平铺的平面由成对的非全等面积的三角形，使他们的周长是有界的一些共同的常数。这个问题的几个变体被陈述，其中一些被回答。
Tiling the 4-ball with knotted surfaces
本文证明单位4维球可由三个以上全等的、与任意给定嵌入曲面同痕的正则邻域铺砌，将90年代纽结环面铺砌3维球的结果推广到四维。
Convex Polygons for Aperiodic Tiling
如果一个镶嵌中的所有镶嵌都是全等的，则该镶嵌称为单面镶嵌。如果任意两个凸多边形不相交或共享一个顶点或一条公共边，则称凸多边形拼接为边到边拼接。本文证明了一个能生成边到边单面镶嵌的凸多边形一定能生成周期镶嵌。
The least dense hyperball covering to the regular prism tilings in the hyperbolic $n$-space
在研究了$n$维双曲空间$\mathbb{H}^n$（$n \in \mathbb{N}, n \ge 3)$）中全等超球对正则棱柱镶嵌的稠密填充之后，我们考虑了对偶覆盖问题，确定了最小稠密超球排列及其密度.
Conformal Tilings, Combinatorial Curvature, and the Type Problem
本文研究共形铺砌，证明对n≥7不存在复平面的边对边共形正则n边形铺砌，并揭示组合曲率与底层黎曼曲面万有覆盖类型的关系，基于Stone和Oh的工作给出新证明与应用。
Solutions to the discrete Pompeiu problem and to the finite Steinhaus tiling problem
本文证明欧氏空间$\boldsymbol{\text{R}}^k$（$k\boldsymbol{\text{≥}}2$）非空有限子集$K$相关的离散Pompeiu问题解，推出至少含2个元素的$K$为Jackson集，解答了有限Steinhaus铺砌问题相关结论。
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