A survey of equivariant map algebras with open problems
Erhard Neher, Alistair Savage
本文综述了等变映射代数领域的知识现状，并讨论了这一领域的一些开放性问题。
This paper presents an overview of the current state of knowledge in the field of equivariant map algebras and discusses some open problems in this area.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Goldie ranks of primitive ideals and indexes of equivariant Azumaya algebras
设$\mathfrak{g}$是一个半单李代数.本文建立了一个新的关系，即本原理想$\mathcal{J}\subset U(\mathfrak{g})$的Goldie秩与相应的有限W-代数的不可约表示$V$的维数之间的关系.也就是说，我们证明了$\operatorname{Grk}(\mathcal{J}) \leqslant \dim V/d_V$，其中$d_V$是齐性空间上的适当的等变Azumaya代数的指数。我们还计算$d_V$在表示理论方面。
Extensions and block decompositions for finite-dimensional representations of equivariant map algebras
设有限群作用在一个模式$X$和一个有限维李代数$\mathfrak{g}$上.相应的等变映射代数是从$X$到$\mathfrak{g}$的等变正则映射的李代数。这些代数的不可约有限维表示在P.Senesi以前的工作中进行了分类，其中表明它们都是求值表示和一维表示的张量积。在本文中，我们描述了在$X$是有限型仿射方案和$\mathfrak{g}$是约化的情况下，等变映射代数的不可约有限维表示之间的扩张。这使我们也可以明确地描述块的类别的有限维表示的频谱字符，其定义，我们扩展到这个一般设置。应用我们的结果的情况下，广义电流代数（的情况下，组作用是平凡的），我们恢复已知的结果，但非常不同的证明。对于（扭曲）循环代数，我们恢复已知的结果块分解（再次与非常不同的证明）和新的显式公式的扩展。最后，专门我们的结果的情况下（扭曲）multiloop代数和广义Onsager代数产生以前未知的结果扩展和块分解。
Local Weyl modules for equivariant map algebras with free abelian group actions
设一个有限群作用在一个方案X和一个有限维李代数g上。相应的等变映射代数是从X到g的等变正则映射的李代数。例子包括广义流代数和（扭曲）多圈代数。局部Weyl模在Loop代数和量子仿射代数的有限维表示理论中起着重要的作用。本文将局部Weyl模的定义推广到等变映射代数的情形，其中g是半单的，X是有限型仿射的，群是自由作用在X上的交换群.我们这样做，通过定义扭曲和untwisting函子，这是同构之间的某些类别的表示等变映射代数和他们的untwisted类似物。我们还表明，局部Weyl模的其他性质（例如，他们的特征的同调性质和张量积性质）扩展到更一般的设置考虑在当前的文件。
Irreducible finite-dimensional representations of equivariant map algebras
设一个有限群作用在一个方案X和一个有限维李代数g上。相应的等变映射代数是X到g的等变正则映射的李代数M。我们对这些代数的不可约有限维表示进行了分类。特别是，我们表明，所有这样的表示是张量积的评价表示和一维表示，我们建立的条件，确保他们都是评价表示。例如，如果M是完美的，情况总是如此。我们的结果可以应用到多圈代数，电流代数，Onsager代数，四面体代数。这样做，我们很容易恢复这些代数的不可约有限维表示的已知分类。此外，我们获得了以前未知的分类不可约有限维表示的其他类型的等变映射代数，如广义Onsager代数。
Equivariant Oka theory: Survey of recent progress
我们调查了自2015年以来发表的关于等变Oka理论的最新工作。调查的主要结果如下。约化复李群$G$作用于Stein流形上的等变同构的同伦原理。线性化问题的应用。证明了群丛$\mathscr G$的齐性空间的丛$E$的截面的参数Oka原理，整个约化Stein空间$X$具有约化复群在$E$，$\mathscr G$和$X$上的相容作用。具有群作用的广义主丛分类的应用。最后，基于$G$ -流形是$G$ -Oka的新概念，给出了Gromov Oka原理的等变形式.
Cosets from equivariant W-algebras
本研究构造了一族顶点代数A[𝔤,κ,n]，作为单李代数等变W代数与朗兰兹对偶李代数可积仿射顶点代数张量积的子代数，证明其为仿射顶点代数与主W代数张量积的共形扩张，且水平满足特定关系。
On equivariant maps related to the space of pairs of exceptional Jordan algebras
设$\mathcal{J}$是例外Jordan代数，$V=\mathcal{J}\oplus \mathcal{J}$是例外Jordan代数.我们构造了一个由$8$次齐次多项式定义的从$V$到$\mathrm{Hom}_k(\mathcal{J}\otimes \mathcal{J},\mathcal{J})$的等变映射，使得如果$x\in V$是泛点，则$x$的像是对应于$x$的$\mathcal{J}$的同位素的结构常数.我们还给出了另一种方法来定义对应于$\mathcal{J}$的泛点的同位素从$\mathcal{J}$到三线性形式空间的等变映射。
Equivariant log concavity and representation stability
本文推广了等变对数代数的概念，并对拟阵的Orlik-Solomon代数、定向拟阵的Cordovil代数和超平面排列的Orlik-Terao代数作了等变对数代数的刻划.在李代数$\mathfrak{sl}_n$的Coxeter排列的情况下，我们利用表示稳定性理论给出了这些排列的低次计算机辅助证明。
Endomorphism Algebras of Equivariant Exceptional Collections
本文研究有限群作用于三角范畴时等变例外集合的自同态代数，证明其等于原例外集合自同态代数的斜群代数的基本约化。
Global Weyl modules for equivariant map algebras
等变映射代数是从一个方案（或代数簇）到一个目标有限维李代数（在本文的情况下，我们假设后者是一个简单的李代数）的代数映射的李代数，它们关于有限群的作用是等变的。在本文的第一部分中，我们定义了等变映射代数的全局Weyl模，并给出了一个温和的假设。然后我们确定一个自然作用于整体Weyl模的交换代数A，这导致从A-模范畴到所讨论的等变映射代数的模范畴的Weyl函子。这些定义推广了以前对广义流代数（即无扭映射代数）和扭圈代数给出的定义。在本文的第二部分中，我们限制我们的注意力到等变映射代数，其中所涉及的组是交换的，通过图自同构作用于目标李代数，并自由地（的有理点的集合）的计划。在这些附加的假设下，我们证明了A是n-生成的，并且整体Weyl模是n-生成的A-模.我们还通过Weyl函子定义了局部Weyl模，并证明了这些与直接在以前的论文中定义的局部Weyl模相吻合。最后，我们证明了在非扭曲的情况下，A是类似代数的共不变量的代数。
Equivariant Operators between some Modules of the Lie Algebra of Vector Fields
从光滑流形M的p次微分形式到M的函数的至多为k阶的微分算子空间D（k，p）是M的向量场的李代数上的模，当它具有自然李导数时.本文计算了从D（k，p）到D（k '，p'）的所有等变即交织算子，并得出了微分算子的前模永远不同构的结论.我们还回答了P. Lecomte的一个问题，他观察到在他的一部著作中引入的某些同伦算子对D（k，p）的限制对于k和p的小值是等变的。
$H$-Equivariant Morita equivalences of Loewy-graded comodule algebras
本文证明Loewy分次余模代数在零次部分满足H0-等变Morita等价时，可提升为H-等变Morita等价，并推广到余理想子代数情形，最后讨论Kac-Paljutkin Hopf代数特例。
Equivariant Coherent Sheaves, Soergel Bimodules, and Categorification of Affine Hecke Algebras
本文利用Soergel的范畴仿射Hecke代数给出了Grothendieck分解下的某些等变相干层的描述。作为一个应用，我们推导出这些相干层范畴的范畴的反常层的Bezrukavnikov-云的工作中考虑的关系，推广Arkhipov Bezrukavnikov的结果。此外，我们还证明了Riche层和Bezrukavnikov-Riche层上的弱辫群作用可以提升为严格辫群作用.
Mod p Hecke algebras and dual equivariant cohomology I: the case of $GL_2$
令$F$是p-adic局部域，并且$G=GL_2(F)$。设$\mathcal{H}^{(1)}$是$G$的pro-p Iwahori-Hecke代数，其系数在$\mathbb{F}_p$的代数闭包中.证明了2维超奇异不可约$\mathcal{H}^{(1)}$ -模可以通过$G$的模p Langlands对偶群的旗簇的等变上同调来实现.
Equivariant motivic Hall algebras
本文将Joyce的motivic Hall代数与Green的抛物归纳积相结合，引入了它的一个推广，并给出了它的一个非阿基米德变体，在构造中，我们遵循Dyckerhoff-Kapranov的2-Segal对象及其转移代数结构的形式。我们的主要结果是在任何合适的转移理论下存在一个整合映射，当然包括（解析）等变动机。这使我们能够在新的情况下研究Harder-Narasimhan递推公式。
Equivariant homology theory and twisted Yangian
研究了B/C型Steinberg簇上$G$ -等变同调群的卷积代数$H^{G\times \CC^{*}}_{*}(Z)$，定义了一个映射到$H^{G\times \CC^{*}}_{*}(Z)$的代数$\widetilde{Y}$.与对称对相关联的扭曲杨格数的德林费尔德新实现是$\widetilde{Y}$的商。我们还研究了$G$ -等变情形，证明了扭Yangian是扭流代数的变形。
Heisenberg action in the equivariant K-theory of Hilbert schemes via Shuffle Algebra
本文构造了C^2上点的Hilbert方案的局部等变K-群的和的Ding-Iohara作用和shuffle代数。我们证明了shuffle代数的交换元Ki通过顶点算子作用在这些K-群中Heisenberg代数的正部分{hi}{i>0}上。从而得到海森堡代数本身的作用量。最后，我们对不动点的结构层的基进行了规范化，使得它对应于Fock空间k[h_1，h_2，.]中Macdonald多项式的基.
Equivariant Ehrhart theory, commutative algebra and invariant triangulations of polytopes
本文发展等变Ehrhart理论，通过建立与交换代数的联系并探讨格多胞体存在不变格三角剖分的条件，推广了经典Ehrhart理论以处理有限群作用下的格点计数问题。
Equivariant Quantizations of Symmetric Algebras
设g是李双代数，V是有限维g-模.研究了V的对称代数关于g的量子化包络代数的作用等变的变形。特别是，我们调查这样的量子化得到的量子化的某些李双代数结构的半直积的g和V。我们分类这些结构的重要特殊情况下，当g是复杂的，简单的，拟三角李双代数结构和V是一个简单的g-模。然后，我们引入更一般的概念，co-Poisson模代数和它们的量化，以进一步解决这个问题，并表明，许多已知的例子量化对称代数可以用这种语言来描述。
Orbits and equivariant local systems combinatorics in graded Lie algebras
本文用组合方法刻画四类无限族分次李代数（辛群与特殊正交群各两类）中的轨道、Jordan 块分解、维数、偏序及等变局部系统，为研究分次李代数产生的反常层提供工具。
Equivariant cohomology of incidence Hilbert schemes and loop algebras
令$S$为仿射平面$\C^2$以及适当的$\mathbb T = \C^*$动作。设$\hil{m,m+1}$为关联Hilbert格式。平行于\cite{LQ}，我们构造了一个作用于$\hil{m,m+1}$的中次等变上同调群的直和$$\Wft = \bigoplus_{m=0}^{+\infty}H^{2(m+1)}_{\mathbb T}(S^{[m,m+1]})$$的无限维李代数.该代数与无限维海森堡代数的圈代数有关。此外，我们还研究了$\Wft$的三种不同线性基之间的变换。我们的结果适用于环结构的普通上同调的$\hil{m,m+1}$和环的对称函数在无穷多个变量。
Graded Hecke algebras and equivariant constructible sheaves on the nilpotent cone
本文证明几何分次 Hecke 代数可实现为幂零锥上等变半单纯层复形的自同态代数，并将相应等变可构造层导出范畴等价描述为分次 Hecke 代数直和上的 DG 模导出范畴，从而给出其范畴化。
Equivariant sheaves on some spherical varieties
我们描述范畴的等变向量丛的某些环形球面品种的线性代数条款：向量空间配备过滤，组和李代数行动，并保持这些结构的线性映射。
Strands algebras and the affine highest weight property for equivariant hypertoric categories
证明了Braden-Licata-Proudfoot-Webster引入的等变超环面卷积代数在Kleshchev意义下是仿射拟遗传的，并计算了标准模之间的Ext群.与arXiv：2009.03981的主要结果一起，这意味着关于Ozsvath-Szabo的有边Floer代数的一些新的同调结果，包括这些代数上标准模的存在性。我们证明了标准模之间的Ext群同构于Lipshitz-Ozsvath-Thurston有边链dg代数的一个变体的同调。
The Verlinde algebra is twisted equivariant K-theory
在与M。Hopkins和C. Teleman的研究中，我们找到了紧李群的Verlinde代数的一个新的描述。在这篇文章中，我们描述了扭曲的K-理论，证明了群SU（2）的定理，并利用拓扑域论中的思想激发了一般定理。完整的证据将出现在其他地方。
Homology of equivariant vector fields
设K是紧李群。计算光滑K-流形X上等变向量场李代数的阿贝尔化。我们还计算了层保持光滑向量场的李代数在商X/K上的阿贝尔化。
Quantum flag varieties, equivariant quantum D-modules and localization of quantum groups
设$\Oq(G)$是代数群$G$上的量子化函数的代数，$\Oq(B)$是它的商代数，对应于$G$的博雷尔子群$B$.定义了“$G$的量子旗簇“上的层范畴为$\Oq(B)$ -等变$\Oq(G)$ -模，并证明了这是一个投射范畴.在这个量子化旗簇上构造了一类等变量子$\mathcal{D}$ -模，并在$q$不是单位根的情况下证明了这类模的Beilinson-Bernsteins局部化定理.
Equivariant $K$-theory of the semi-infinite flag manifold as a nil-DAHA module
半无限旗流形的等变$K$ -理论是最近由Kato，Naito和Sagaki发展起来的，它包含了nil-double仿射Hecke代数（nil-DAHA）和$q$ -Heisenberg代数的交换作用.后者的作用生成秩为$|W|$的自由子模，其中$W$是（有限）外尔群。我们证明了这个子模在nil-DAHA下是稳定的，这使得我们可以用$q$ -Heisenberg代数上的$W\times W$矩阵来表示nil-DAHA作用.我们的主要结果给出了一个明确的代数结构，这些矩阵作为一个限制（非零）DAHA在简单的花边型。这种结构表明，乘法的等变标量，当表示的海森堡代数，是由非对称$q$，户田系统介绍的切雷德尼克和作者。
Equivariant derived category of a complete symmetric variety
设G是复代数半单伴随群，X是光滑完全对称G-簇。设L_i是X上的不可约G-等变交上同调复形，L是L_i的直和.设E= Ext（L，L）是L的扩张代数，在X的G-等变导出范畴中计算.设E是微分d=0的dg-代数，E_i = Ext（L，L_i）是E-dg-模.证明了X上C-向量空间层的有界等变导出范畴等价于由E_i生成的E-dg-模的导出范畴的子范畴.
Towards interpolating categories for equivariant map algebras
本文利用弦图语言定义了等变映射代数模的范畴推广，并使用定向 Brauer 范畴 OB 构造了 $\mathfrak{gl}_n \otimes k[t]$-模范畴的候选插值范畴。
Equivariant Zariski Structures
定义了一类新的非交换$k$ -代数（对于$k$是代数闭域），并证明了它包含了量子群的一些重要例子.对于每个这样的代数，分配一个一阶理论来描述合适的对应几何空间的模型。模型理论的结果，这些几何结构的建立（不可数的范畴，量词消除的水平存在公式），并存在一个适当的维数论理论，使他们Zagliki结构。
Equivariant localization in factorization homology and applications in mathematical physics I: Foundations
本文将Francis-Gaitsgory [FG]和Beilinson-Drinfeld [BD 1]的定义推广到等变情形，建立了一类作用于连通代数群$G$的簇上的等变分解代数的理论.我们定义了一个等变类似的因子分解同调，值在模块上$\text{H}^\bullet_G(\text{pt})$，并在情况下$G=(\mathbb{C}^\times)^n$，我们证明了等变局部化定理的因子分解同调，类似于经典的局部化定理[AtB]。建立了$\mathbb{C}^\times$等变因子分解代数与其对不动点子簇限制的滤量子化之间的关系。这些结果提供了一个模型的预测从物理文献中的$Ω$ -背景建设中介绍的[Nek 1]，解释因式分解$\mathbb{E}_n$代数的观察混合全纯拓扑量子场论。在相应的论文[Bu 2]中，我们开发了工具来给出因子分解$\mathbb{E}_n$代数的尺规作图法，并应用它们来定义低维超对称规范理论的全纯拓扑扭曲。此外，我们将上述结果应用于这些例子中，以说明[CosG]和[Beem 4]的预测，并从这个角度解释这些结构之间的关系。
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