Dynamics of Discontinuous Maps Via Closed Relations
Ethan Akin
对于紧度量空间上的不连续映射的动力学，我们利用适当的闭关系描述了一种方法，并将其与不变G-δ子集上的连续动力学和样本路径的紧空间上的连续动力学联系起来.
For the dynamics of a discontinuous map on a compact metric space, we describe an approach using suitable closed relations and connect it with the continuous dynamics on an invariant G-delta subset and with the continuous dynamics on the compact space of sample paths.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Symbolic Dynamics of Odd Discontinuous Bimodal Maps
具有两个不连续的奇分段连续映射的迭代，即，对称不连续双峰映射。介绍了符号动力学。利用捏合理论的工具研究了由这类映射迭代生成的离散动力系统的同调性。当存在马尔可夫矩阵时，该矩阵的谱半径是捏合行列式的最小根的逆。
We studied topological and metric properties of the so-called interval translation maps (ITMs). For these maps, we introduced the maximal invariant measure and study its properties. Further, we study how the invariant measures depend on the parameters of the system. These results were illustrated by a simple example or a risk management model where interval translation maps appear~naturally.
Parametric topological entropy of possibly discontinuous maps in compact Hausdorff spaces and hyperspaces
本文研究紧Hausdorff空间中多值非自治动力系统的多种拓扑熵定义，分析上半连续多值映射与超空间诱导系统参数拓扑熵的关联，通过定义比较简化熵估计并给出示例。
Thermodynamic formalism for discontinuous maps and statistical properties of their equilibrium states
本文提出了一种泛函分析框架，用于研究不连续映射的平衡态存在性、唯一性和统计性质，并通过多个例子展示了其应用范围。
Quasi-compactness and statistical properties for discontinuous systems semi-conjugate to piecewise convex maps with countably many branches
本文研究半共轭于可数分支分段凸映射的不连续斜积系统，证明其转移算子的拟紧性，且存在沿纤维分解为有界变差的不变测度，提出并发展了相关概念。
Dynamics of 1D discontinuous maps with multiple partitions and linear functions having the same fixed point. An application to financial market modeling
本研究分析了一类具有多个分区和共享同一不动点的一维分段线性不连续映射，利用分段线性圆映射证明其有界行为由非双曲周期或准周期轨道组成，并应用于金融市场模型，纠正了将准周期误判为混沌的认知。
From two-dimensional continuous maps to one-dimensional discontinuous maps: a novel reduction explaining complex bifurcation structures in piecewise-linear families of maps
本文提出了一种新的降维方法，通过将二维连续分段线性映射近似为一维不连续映射，揭示了复杂分岔结构的形成机制。
A horseshoe with a discontinuous entropy spectrum
研究了曲面上双曲映射的李雅普诺夫指数熵谱的正则性。众所周知，熵谱是一个凹上半连续函数，它在李雅普诺夫指数集合的内部是解析的。本文构造了一类在李雅普诺夫指数集的边界上熵谱不连续的马蹄形。
Optimization of the closed-loop controller of a discontinuous capsule drive using a neural network
本研究针对非连续胶囊驱动器，以优化开环控制函数为基础构建神经网络闭环控制器，分析其参数鲁棒性并与开环控制对比，为非光滑/非连续系统的控制器设计提供新途径。
Combinatorics and topology of straightening maps II: Discontinuity
我们继续研究$d \ge 3$次多项式族的拉直映射。拉直映射的概念最初是由Douady和Hubbard为了研究Mandelbrot集的类多项式重整化与自相似性之间的关系而引入的。在二次情形下，拉直映射总是连续的，这是证明Mandelbrot集本身有小副本的关键步骤之一。另一方面，对于更高次的情形，我们不具有这样好的自相似性质：正如Douady和Hubbard所期望的具有不连续拉直映射的类X族的例子，我们证明了拉直映射是不连续的，除非它是不相交的。
Discontinuous observables as an obstruction for small essential spectral radius
本文证明允许不连续函数的广泛 Banach 空间中，分段光滑扩张映射转移算子的本质谱半径必然受内在下界约束。
Let $f:X\to X$ be a continuous map on a compact metric space with finite topological entropy. Further, we assume that the entropy map $μ\mapsto h_μ(f)$ is upper semi-continuous. It is well-known that this implies the continuity of the localized entropy function of a given continuous potential $ϕ:X\to R$. In this note we show that this result does not carry over to the case of higher-dimensional potentials $Φ:X\to R^m$. Namely, we construct for a shift map $f$ a $2$-dimensional Lipschitz continuous potential $Φ$ with a discontinuous localized entropy function.
Abundance of weird quasiperiodic attractors in piecewise linear discontinuous maps
本研究针对n≥2维分段线性不连续映射，证明其看似混沌的动力学实则无混沌，发现通有情形下的奇异拟周期吸引子可与其他吸引集共存，并通过多维度示例验证其存在性，为不连续映射动力学研究提供新方向。
Shared inputs, entrainment, and desynchrony in elliptic bursters: from slow passage to discontinuous circle maps
在一组生物振荡器中，什么样的输入信号会导致同步和不同步？这个问题与经典的动力系统分析的夹带和锁相和新兴的研究刺激模式控制神经网络的活动。在这里，我们专注于一个人口的非耦合，椭圆爆裂神经元的一个共同的脉动输入的反应。我们从文献中扩展了一个相位减少，以捕获不同强度的输入，从而导致各种顺序的不连续性的圆图。在结合分析和数值方法，我们将我们的研究结果应用到正常形式模型的椭圆爆发和生物神经元模型从基底神经节。我们发现，根据输入的周期和幅度，响应可以出现混沌（与相关的圆映射的可证明的正Lyaponov指数），或周期性的相位锁定周期的范围很广。在整个过程中，我们讨论了关键的基本机制，包括通过霍普夫分岔的慢通道效应，不连续性的作用和起源，以及噪声的影响
We define a family of discontinuous maps on the circle, called Bowen-Series-like maps, for geometric presentations of surface groups. The family has $2N$ parameters, where $2N$ is the number of generators of the presentation. We prove that all maps in the family have the same topological entropy, which coincides with the volume entropy of the group presentation. This approach allows a simple algorithmic computation of the volume entropy from the presentation only, using the Milnor-Thurston theory for one dimensional maps.
We study discontinuous interval maps generated by the action of erasing block substitutions on the binary expansion. After establishing some general properties of these maps, we categorize erasing block substitutions in a hierarchy of classes displaying progressively stronger erasing character. We investigate how this affects the dynamics of the corresponding interval maps, showing that the richest dynamical behavior (Devaney and Li-Yorke chaos, infinite topological entropy) is achieved at a precise step in this hierarchy, which we name completely erasing substitutions. KEYWORDS: Topological d…
Multiplication of Weak Equivalence Classes May Be Discontinuous
对于可数无限群$Γ$，设$\mathcal{W}_Γ$表示无原子标准概率空间上的$Γ$的保测作用的所有弱等价类的空间，该空间具有由Abért和Elek引入的紧可度量化拓扑.在$\mathcal{W}_Γ$上有一个自然的乘法运算（由取作用的乘积引起），使$\mathcal{W}_Γ$成为阿贝尔半群。Burton、Kechris和Tamuz证明了如果$Γ$是顺从的，那么$\mathcal{W}_Γ$是拓扑半群，即，乘积映射$\mathcal{W}_Γ\times \mathcal{W}_Γ\to \mathcal{W}_Γ\colon (\mathfrak{a}, \mathfrak{b}) \mapsto \mathfrak{a} \times \mathfrak{b}$是连续的。与此相反，我们证明了，如果$Γ$是一个Zaplaki稠密子群的$\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z})$的一些$d \geqslant 2$（例如，如果$Γ$是一个非阿贝尔自由群），那么在$\mathcal{W}_Γ$乘法是不连续的，即使是限制在子空间$\mathcal{FW}_Γ$的所有自由弱等价类。
Doubling bifurcations of invariant closed curves in 3D maps
针对3D映射中不变闭曲线的两类倍化分岔，指出现有分析方法存在局限性，并提出了一种能克服这些困难的新方法。
A closed formula for the topological entropy of multimodal maps based on min-max symbols
拓扑熵是复杂动力学的度量。在这方面，多模态映射在研究低维混沌动力学或用概念上简单的模型解释高维复杂动力学的某些特征时起着重要的作用。本文的第一部分给出了二次可微多峰映射的拓扑熵的解析公式，并研究了它的一些基本性质。这个表达式涉及到所谓的最小-最大符号，它与揉捏符号密切相关。此外，它的证明导致了一个数值算法，简化了以前的一个也基于最小-最大符号。本文的第二部分利用这种新算法计算了不同模态映射的拓扑熵。在计算数值模拟中所考虑的双模态和三模态映射的拓扑熵时，该算法优于已有算法。
Special $α$-limit sets in the hyperspace of continua: closedness and entropy for interval maps
研究连续区间映射诱导的超空间系统反向动力学，给出区间子连续统反向分支α-极限集结构特征，证明非退化子区间特殊α-极限集是闭集，还证明特定条件下基础映射有马蹄且拓扑熵为正。
Dual billiards, twist maps, and impact oscillators
本文将扭曲映射理论的技巧应用于平面上严格凸闭曲线G上对偶台球产生的环面映射。证明了当G上存在一点其曲率半径为零或不连续时，在G附近不存在不变圆。此外，当曲率半径不是$C^1$时，存在轨道收敛到G点的例子。如果曲率半径的导数是有界的，这样的轨道就不可能存在。本文的最后一节涉及的影响振荡器的动力学是相同的双台球地图。附录是关于台球和对偶台球中不变圆反问题的联系的一个注记。
Equilibrium states for non-transitive random open and closed dynamical systems
本文针对非传递随机开、闭区间映射，证明了无传递性条件的随机Ruelle–Perron–Frobenius定理与相对平衡态存在性，拓展了相关理论适用范围并给出多类应用。
Synchronization versus stability of the invariant distribution for a class of globally coupled maps
研究了一类连续极限下的全局耦合映射，其中单个映射是圆的扩张映射。所讨论的圆映射是这样的，即非耦合系统存在唯一的绝对连续不变测度（acim），而且它是混合的。相互作用以扩散耦合的形式出现，它涉及一个在圆上不连续的函数。我们表明，足够小的耦合强度耦合映射系统承认一个唯一的绝对连续不变的分布，这取决于耦合强度$\varepsilon$。此外，不变密度指数吸引我们的框架中考虑的所有初始分布。我们还证明了不变密度对耦合强度$\varepsilon$的依赖关系在BV范数下是Lipschitz连续的。当耦合足够强时，系统的极限行为更加复杂。证明了一类广义的初始测度逼近于支持点在圆周上作混沌运动的质点。这可以解释为混沌状态下的同步。
Steady state fluctuation relation and time-reversibility for non-smooth chaotic maps
动力系统的稳态涨落关系通常是在某种形式的时间可逆性和混沌的假设下导出的。然而，在某些情况下，即使违反了时间反演不变性的通常概念，也可以观察到它们的存在，例如，对于纳维尔-斯托克斯系统的局部波动。在这里，我们构建和研究分析一个简单的非光滑映射，其中标准的稳态波动关系是有效的，虽然该模型违反了混沌动力系统的Anosov性质。特别地，时间反演操作是由一个不连续的对合来完成的，并且不变测度沿着不稳定流形也是不连续的。这进一步表明，动力学系统涨落关系的有效性并不依赖于特别复杂的条件，而这些条件通常被物理学中感兴趣的系统所违反。事实上，即使是一个不可逆的地图被证明，以验证稳态波动关系。
On numerical semigroups closed with respect to the action of affine maps
本文研究了含有给定正整数且关于仿射映射作用闭的数值半群。对于这样的半群，我们找到了一个最小的生成元集，它们的嵌入维数，它们的亏格和它们的Frobenius数。
(Relative) dynamical degrees of rational maps over an algebraic closed field
本文的主要目的是定义特征为零的代数闭域上有理映射的动力度，证明一些基本性质（例如对数凹性）并给出一些应用。定义了半共轭有理映射的相对动力学度，并证明了半共轭有理映射的动力学度的一个乘积公式。主要的工具是周的移动引理和公式的程度上的锥的一个子类的$\mathbb{P}^N$。这些结果的证明是有效的，只要奇点的分解是可用的（或更一般地，如果适当的双有理模型的考虑中的地图是可用的）。这一观察适用于曲面的情况，以及正特性场的三倍。
In this paper we develop a tool to identify functions which have no iterative roots of any order. Using this, we prove that when $X$ is $[0,1]^m$, $\mathbb{R}^m$ or $S^1$, every non-empty open set of the space $\mathcal{C}(X)$ of continuous self-maps on $X$ endowed with the compact-open topology contains a map that does not have even discontinuous iterative roots of order $n\ge 2$. This, in particular, proves that the complement of $\{f^n: f\in \mathcal{C}(X)~\text{and}~n\ge 2\}$, the set of non-iterates, is dense in $\mathcal{C}(X)$ for these $X$.
On the transversal dependence of weak K.A.M. solutions for symplectic twist maps
对于辛扭曲映射，我们证明了存在一个弱K. A.M.解的选择，它以连续的方式依赖于上同调类.因此，我们得到一个连续函数$u(θ, c)$在两个变量：角度$θ$和上同调类$c$。因此，我们证明了Aubry-Mather集包含在由它们的旋转数垂直排序的伪图中。然后我们用$u$的正则性刻画了$C^0$可积扭曲映射，使得$u$可以看作是一个生成函数.我们还得到了Lipschitz可积扭映射的一些结果。通过一个例子，我们表明，我们的选择是不是所谓的折扣（见\cite{DFIZ2}），有时是不连续的。我们还提供了一些例子，'奇怪的'连续叶理，不能拉直辛同胚。
Symbolic Representations of Iterated Maps
本文对迭代映射通过子移位的各种符号表示进行了全面而系统的讨论。通过在通常不可数的字母表上用一般子移位表示映射，给出了度量空间上所有连续映射的统一模型。结果表明，对于连续映射，至多二阶表示是足够的。特别是，它表明，一维连续映射的动力学在很大程度上可以转化为一般的符号动力系统的子移位结构的研究。通过引入蒸馏，得到了一些一般连续映射的部分表示。最后，讨论了一类不连续映射和分段连续映射的划分和表示，并给出了Gauss映射在可数字母表上的全移位表示和区间交换变换作为无穷型子移位的表示.
Renormalization and alpha-limit set for expanding Lorenz maps
我们证明了扩张Lorenz映射的重整化与其真的完全不变闭集之间存在一个双射，从而区分了周期重整化与非周期重整化。利用极小周期的周期轨道的性质，构造极小完全不变闭集。通过连续的重整化得到了重整化的拓扑特征和$α$ -极限集.附录中收集了周期重正化的一些性质。
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