Stably free modules over virtually free groups
Seamus O'Shea
令$F_m$是自由群上的$m$生成元，并让$G$是一个有限的幂零群的非平方自由的顺序，我们表明，对于每个$m\ge 2$的整群环${\bf Z}[G\times F_m]$有无穷多个稳定的自由模秩为1。
Let $F_m$ be the free group on $m$ generators and let $G$ be a finite nilpotent group of non square-free order; we show that for each $m\ge 2$ the integral group ring ${\bf Z}[G\times F_m]$ has infinitely many stably free modules of rank 1.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Non-trivial stably free modules over crossed products
本文研究了一类Noether域与李代数的泛包络代数的交叉积。对于这类代数，我们给出了投射非自由模存在的一个充分条件。这类代数包括Weyl代数和李代数的泛环，对于这类代数，这个问题，被称为非交换塞尔问题，以前被广泛研究过。结果表明，从简单Ore扩张中提升非平凡稳定自由模的方法，在适当选择过滤后，可应用于交叉积。交叉产品的激励的例子提供了类的RIT代数，起源于非平衡物理。
Virtually Semisimple Modules and a Generalization of the Wedderburn-Artin Theorem
无论如何，半单模都是模中最重要的一类，在模理论及其应用中起着重要的作用。这一领域最基本的结果之一是Wedderburn-Artin定理。本文建立了半单模的自然推广，并给出了Wedderburn-Artin定理的一个推广。我们研究模中的每个子模同构于一个直和项，并命名它们为{ \it虚拟半单模}。一个模$_RM$称为{ \it完全虚半单}，如果$M$的每个子模都是虚半单模。如果$_RR$是一个左（完全）虚拟半单$R$ -模，则环$R$称为{ \it左}（{ \it完全}）{ \it虚拟半单}。除此之外，我们给出了左（完全）虚半单环的几个刻画。例如，证明了环$R$是左完全虚半单的当且仅当$R \cong \prod _{i=1}^ k M_{n_i}(D_i)$，其中$k, n_1, ...,n_k\in \Bbb{N}$和每个$D_i$是主左理想整环.此外，整数$k,~ n_1, ...,n_k$和主左理想整环$D_1, ...,D_k$由$R$唯一确定（直到同构）。
Matrix computations on projective modules using noncommutative Gröbner bases
一些文章给出了稳定自由左$S$ -模$M$具有秩$(M)\geq$ sr $(S)$是自由的构造性证明，其中sr $(S)$表示任意环$S$的稳定秩.此外，在这类论文中，给出了计算投射维数的算法证明，并检验了左$S$ -模$M$是否稳定自由.给定一个左$A$ -模$M$，其中$A$是双射斜$PBW$扩张，我们将利用这些结果和Gröbner基理论，建立算法，使我们能够有效地计算该模的投射维数，检查是否稳定自由，构造极小表示，并获得自由模的基.
Two Generalizations of the Wedderburn-Artin Theorem with Applications
我们说一个$R$ -模$M$是{ \it虚拟简单}，如果对于$M$的每个非零子模$N$，$M\neq (0)$和$N\cong M$，和{ \it虚拟半简单}，如果$M$的每个子模同构于$M$的一个直和项.研究了虚半单模和虚单模的直和模。我们的理论提供了Wedderburn-Artin定理的两个自然推广和一个类似于经典的Krull-Schmidt定理。这些定理的一些应用表明。例如，证明了环$R$的下列命题是等价的：（i）每一个n阶生成的左（右）$R$ -模是虚半单的;（ii）每一个n阶生成的左（右）$R$ -模是虚单模的直和;（iii）$R\cong\prod_{i=1}^{k} M_{n_i}(D_i)$其中$k, n_1,\ldots,n_k\in \Bbb{N}$和每一个$D_i$是主理想V-整环;和{ \rm（iv）}每个非零的由逆生成的左$R$ -模可以唯一地（直到同构和因子的阶）写成$ Rm_1 \oplus\ldots\oplus Rm_k$的形式，其中每个$Rm_i$或者是简单的$R$ -模或者是$R$的左虚拟简单直和项。
Thick subcategories and virtually Gorenstein algebras
一个Artin代数定义为虚Gorenstein，如果与所有Gorenstein投射模右正交（关于Ext^*（-，-））的模类与与所有Gorenstein内射模左正交的模类重合。我们用有限生成模的概念给出了一个新的刻画。此外，代数的一个例子，这是不是几乎Gorenstein。
A stably free nonfree module and its relevance for homotopy classification, case Q_{28}
本文在28阶广义四元数群上构造了一个奇异的代数2-复形，其边界映射由群环上的显式矩阵给出。这个结果依赖于证明群环的某个理想是稳定自由的但不是自由的。由于不知道这里构造的复形是否几何可实现，因此提出这个例子作为一个合适的测试对象，用于研究C.T.C.的一个公开问题。现在称为D（2）-问题。
Virtually regular modules
本文定义并研究虚拟正则、强虚拟正则与完全虚拟正则模，给出其刻画和封闭性，并重点在赋值域及整数环上确定有限表现或有限生成情形的结构。
Cyclic-Uniform Uniserial Modules and Rings
一个$R$ -模块$M$被称为实际上是不对称的，如果对于每个不对称生成的子模块$0 \neq K \subseteq M$，$K/$ Rad $(K)$实际上是简单的。本文通过去掉虚单条件而代之以循环一致条件，推广了虚单列模。一个$R$ -模块$M$被称为循环均匀unissimplex，如果$K/$ Rad $(K)$是循环的和均匀的，对于每个循环生成的子模块$0 \neq K \subseteq M$。另外，如果$M$是循环均匀单列模的直和，则称它是循环均匀串行的。给出了循环一致（单）序列模和环的几个性质。进一步刻画了Noether左循环一致均匀环的结构。最后，我们研究了环$R$具有的性质：每个环生成的$R$ -模是循环一致串行的。
Virtually Gorenstein algebras of infinite dominant dimension
基于对Nakayama猜想的理解，即无限支配维数的代数是自内射的，我们研究了具有虚Gorenstein自同态代数的自正交模，证明了如下结果：给定Artin代数上的一个自生成的自正交模，如果它的自同态代数是虚Gorenstein的，则该模是投射的.作为结果，我们重新获得最近的结果：中山猜想成立的强Morita，几乎Gorenstein代数类。最后，我们表明，几乎Gorenstein代数可以从Frobenius扩展。
Stably free modules and the unstable classification of 2-complexes
本文证明了对于所有$k \ge 2$存在秩为$k$的非自由稳定自由$\mathbb{Z} G$-模，并以此构造出同调不同且欧拉示性数超出极小值$k$的有限2-复形，解决了Wall问题D5，并探讨了在闭光滑4-流形拓扑中的潜在应用。
N-recollements and Virtually Gorenstein Algebras
研究了Gorenstein投射模的稳定范畴的$n$ -元与代数的虚Gorenstein性之间的关系.设$A,B$和$C$是有限维代数.证明了若Gorenstein投射$A$ -模的稳定范畴中存在相对于$B$和$C$与$n\geq 2$的$n$ -元的$n$-元，则$A$是虚Gorenstein当且仅当$B$和$C$是虚Gorenstein.
Network Communication with operators in Dedekind Finite and Stably Finite Rings
通信网络中的消息通常被认为是在某个有限字母表（例如，有限域）中取值的“离散的”。然而，如果我们想考虑例如基于模拟信号的通信，我们将不得不考虑可能是从无限函数空间中选择的函数的消息。在本文中，我们扩展线性网络编码有限/离散字母/消息空间的无限/连续的情况下。我们的方法的关键是将线性作用于信号空间的算子空间视为环上的模块。事实证明，许多环上的模块$R$导致通信信道具有无限容量的不切实际的网络模型。我们表明，一个自然的条件，以避免这是等价于环$R$是Dedekind有限（或Neumann有限），即每个元素在$R$有一个左逆当且仅当它有一个右逆。然后，我们考虑加强能力的条件，并表明，这一要求正好对应于类（忠实）模稳定有限环（或弱有限）。引入的框架使得有可能比较数字和模拟技术的性能。事实证明，在我们的模型中，数字和模拟通信在不同情况下表现优于对方。更具体地说，我们构建：1）数字通信优于模拟通信的通信网络。2)模拟通信优于数字通信的通信网络。通信网络的性能在有限情况下通常用带宽（或容量）来衡量。我们表明，这一概念也仍然有效的有限维矩阵环，使它有可能（原则上）建立数字与模拟（模拟与数字）通信的增益。
Cluster-tilted algebras are Gorenstein and stably Calabi-Yau
证明了在2-Calabi-Yau三角范畴中，每个簇倾斜子范畴都是Gorenstein的，它的每个簇生成的内射维数至多为1。我们证明了它的Cohen-Macaulay模的稳定范畴是3-Calabi-Yau。我们特别推出，集群倾斜代数是Gorenstein的维数最多为1，遗传，如果他们是有限的整体维数。我们的结果也适用于稳定的（！）Geiss-Leclerc-Schroer极大刚性模的自同态环此外，我们还证明了非稳定自同态环上相对3-Calabi-Yau对偶的一个一般结果。这加强和推广了Geiss-Leclerc-Schroer对简单模所得到的Ext群对称性。最后，我们将2-Calabi-Yau范畴的相对Calabi-Yau对偶的结果推广到d-Calabi-Yau范畴。我们展示了如何产生许多d-簇倾斜代数的例子。
Virtually Gorenstein Artin algebras are weakly Gorenstein
该研究证明虚拟Gorenstein Artin代数上的半Gorenstein投射模均为Gorenstein投射模，解答了相关学者的问题，还验证了多个Gorenstein相关猜想对这类代数成立，并建立了判定模维数的新准则。
Balanced pairs, virtually Gorenstein rings, and cotorsion torsion triples
本文研究了环R中平衡对与余 torsion 三元组的关系，证明了右几乎格罗蒙德环的条件，并通过无限维翻转理论分类了所有余 torsion 三元组。
Inductions and restrictions for stable equivalences of Morita type
本文给出了构造新的Morita型稳定等价的两种方法：归纳法和限制法。设两个代数$A$和$B$之间的Morita型稳定等价由一个$B$ - $A$ -双模$N$定义.然后，对$A$ -模范畴的任意有限容许集$Φ$和生成元$X$，$X$和$N\otimes_AX$的$Φ$-Auslander-Yoneda代数是Morita型稳定等价的.此外，在一定条件下，我们将$A$和$B$之间的Morita型稳定等价转化为$eAe$和$fBf$之间的等价，其中$e$和$f$分别是$A$和$B$中的幂等元.因此，对于域上不含半单直和项的自内射代数$A$和$B$，以及任意$A$ -模$X$和$B$ -模$Y$，如果$A\oplus X$和$B\oplus Y$的$Φ$ -Auslander-Yoneda代数对于一个有限容许集$Φ$稳定等价于Morita型，则对于{ \it every}有限容许集$Ψ$，$A\oplus X$和$B\oplus Y$的$Ψ$-Auslander-Yoneda代数也是如此.此外，域上两个不含半单直和项的表示有限代数是Morita型稳定等价的当且仅当它们的Auslander代数是Morita型稳定等价的。作为另一个结果，我们构造了一个相同维数和相同优势维数的代数的无限族，使得它们是成对导出等价的，但不是稳定等价的Morita型。这回答了Thorsten Holm的问题。
Differential modules over quadratic monomial algebras
我们比较了所谓的时钟条件的阶化的某些微分模的二次单项式代数。对于稳定遗传代数或温柔单圈代数，这些考虑表明：其有界导出范畴关于移位函子的正幂的轨道范畴是三角化的当且仅当该代数是分段遗传的.
Balanced pairs of Cartan-Eilenberg complexes over virtually Gorenstein rings
该文研究虚Gorenstein环上的Cartan-Eilenberg复形范畴，证明其C-E正合结构的性质，给出C-E-容许平衡对的刻画，建立Tate上同调相关的C-E类似正合序列与平衡结果。
Differential projective modules over algebras with radical square zero
设$Q$是有限域，$Λ$是域上$Q$的根式平方零代数.给出了$Λ$上约化微分投射模范畴到$Q$的对立面表示范畴的一个满稠密函子.若$Q$有定向圈，且$Q$不是基本圈，则证明了$Λ$上的对偶数代数不是虚Gorenstein代数.
On algebras of finite Cohen-Macaulay type
本文研究了Artin代数$A$和交换Noether完全局部环$R$中Gorenstein-投射模的分解性质：$(*)$任何Gorenstein-投射模都是有限生成模的直和.我们证明了这种直接分解性质与代数$A$或环$R$的性质有关，它是有限Cohen-Macaquly型的Gorenstein。我们推广了Auslander和Ringel-Tachikawa从70年代初的经典结果，以及Chen和Yoshino关于Gorenstein-投射模结构的结果。最后，研究了有限Cohen-Macaulay型虚Gorenstein代数的（稳定）相对Auslander代数的同调性质，并在簇倾斜对象存在的情况下，给出了Gorenstein-投射模的稳定范畴的适当簇范畴的刻画.
Sofic Mean Length
给定酉环R的R-模上的一个长度函数L，对于每个sofic群$Γ$，我们定义了每个局部L-有限$RΓ$ -模相对于更大的$RΓ$ -模的平均长度.建立了平均长度的加法公式。我们给出两个应用程序。第一个证明了对任意有单位的左诺特环R，$RΓ$是稳定直有限的.第二个证明了对任何$ZΓ$ -模M，M的Pontryagin对偶上的诱导$Γ$ -作用的平均拓扑维数与M的von Neumann-Lück秩一致.
Modular Representations of Profinite Groups
我们的目标是转移几个基本结果从有限群的模表示理论更广泛的背景下，投射有限群。因此，我们对投射有限群G的完备群代数k[[G]]上的profinite模很感兴趣，这里k是特征为p的有限域.我们定义了profinite k[[G]]-模的相对投射性的概念.我们证明了一个特征的生成相对投射模类似于有限的情况下增加感兴趣的profinite理论。我们介绍了不可分解的G生成的k[[G]]-模的顶点和源，并证明了预期的共轭性质保持-对于源，这需要额外的假设。最后证明了虚pro-p群上有限生成模的Green不可分解定理的一个直接类比。
Geometric realisation over aspherical groups
本文证明关系模标量扩张直和可实现为有限2-复形的π_2，并构造(10,15)环面纽结群及Baumslag–Solitar群上的相关非自由模例子。
A point-free approach to L-Surjunctivity and Stable Finiteness
引入并研究了拟框架范畴。在q框架的背景下，我们可以共同研究与L-超接性和稳定超接性猜想有关的问题。作为我们主要结果的一个推论，我们可以推广一些已知的结果。特别地，令$R$是环，令$G$是sofic群，固定交叉积$R*G$，令$N$是右$R$ -模。事实证明：（1）自同态环$End_{R* G}(N\otimes_R R*G)$是稳定有限的，条件是$N$是双生成的且有克鲁尔维数：（2）任何线性元胞自动机$ϕ:N^G\to N^G$是补合的，条件是$N$是Artin的.
Computing finite presentations of Tor and Ext over skew PBW extensions and some applications
本文计算了斜$PBW$扩张上的$Tor$和$Ext$模.若$A$是环$R$的双射斜$PBW$扩张，则给出了环$R$的双射斜$PBW$扩张$Tor_r^{A}(M,N)$的表示，其中$M$是环$A^m$的中心化子双模$m\geq 1$，$N$是环$A^l$的左$A$ -子模$l\geq 1$ .在$Ext_A^{r}(M,N)$的情况下，$M$是$A^m$的左$A$ -子模，$N$是$A^l$的中心化子双模。作为这些计算的应用，我们检验了$A^m$的稳定自由性、自反性，并计算了给定子模的挠、对偶和阶.斜$PBW$扩展包括量子力学中出现的许多重要的非交换环和代数类，例如，Weyl代数，有限维李代数的包络代数（及其量子化），Artamonov量子多项式，扩散代数，量子矩阵的Manin代数等。
The geometry of finite dimensional algebras with vanishing radical square
设$Λ$是代数闭域上的有限维基本代数，具有Jacobson根$J$的平方为零的性质.对于任意维数向量$\bf d$，我们确定了模簇$\text{Mod}_{\bf d}(Λ)$的不可约分支.我们的描述导致了一个计数的组成部分，在基础的加布里埃尔。当$Λ$是局部的时，一个封闭的分量数公式将现有的双循环计数扩展到具有任意有限循环集的颤动。对于任何代数$Λ$与$J^2 = 0$，我们的标准识别组件的$\text{Mod}_{\bf d}(Λ)$允许我们的特征模块参数化的各个不可约组件。针对这样的分支，我们通过在零根式代数与其稳定等价的遗传对应代数之间建立几何桥梁，探索相应模的一般性质。桥连接某些封闭的Grassmannian子簇参数化的模块与固定的顶部以上的两种类型的代数。通过这种联系，我们将Kac和Schofield的结果从遗传情形转移到Loewy长度为$2$的代数上。最后，利用信息的传递证明了具有Chindris，Kinser和Weyman意义下的稠密轨道性质的Loewy长$2$代数具有有限表示型.
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