A Proof of a Conjecture by Mecke for STIT tessellations
STIT镶嵌过程由Mecke、Nagel和Weigeins介绍和研究;其许多主要特征包含在Nagel和Weigeins于2005年发表的一篇论文中。在2010年发表的一篇论文中，Mecke介绍了另一个离散时间过程。利用参数依赖于时间的几何分布，他得到了一个连续时间模型。在他的猜想3中，他假设这个连续时间模型等价于STIT。本文证明了这一猜想。一个有趣的关系出现在Cowan在2010年分类的等概率模型的连续时间版本中。这也将阐明Mecke的模型如何作为一个连续时间的过程工作。
2011-06-01 math.PR
Ergodic Description of STIT Tessellations
令（Y_t：t > 0）为STIT细分过程。证明了对所有内部非空的多面体W和所有a>1，在W中诱导的重正化随机序列（a^n Y_{a^n}：n integer）是Bernoulli移位的有限因子.作为推论，我们得到在W中诱导的重整化连续时间过程（a^t Y_{a^t}：t real）是Bernoulli流.
2010-11-09 math.PR
Typical Geometry, Second-Order Properties and Central Limit Theory for Iteration Stable Tessellations
由于开创性的工作Mecke，Nagel和Weiss，迭代稳定（STIT）镶嵌吸引了相当大的兴趣在随机几何作为一个自然的和灵活的，但分析易处理的模型分层空间细胞分裂和裂纹形成过程。本文的目的是描述$\mathbb{R}^d$中STIT网格的大规模渐近几何，以及更一般的非定常迭代无限可分网格的渐近几何。我们研究了几个方面的典型的一阶几何形状的这种镶嵌诉诸鞅技术，提供了一个直接的联系之间的典型特征的STIT镶嵌和适当的混合物的泊松超平面镶嵌。此外，我们还考虑了二阶属性STIT和迭代无限可分的镶嵌，如凸观察窗口内的细胞边界的总表面积的方差。我们的技术，依靠鞅理论和工具，从积分几何，使我们能够得到明确的和渐近公式。基于这些结果，我们建立了STIT镶嵌诱导的长度/表面增量过程的泛函中心极限定理。我们得出了一个总棱长/小平面的中心极限定理，在平面的情况下，正常的极限分布和非正常的所有高维。
2010-03-29 math.PR
Strong mixing property for STIT tessellations
所谓的STIT镶嵌形成$\mathbb{R}^d$的均匀（空间静止）镶嵌类，其在嵌套/迭代操作下稳定。在本文中，我们建立了这些镶嵌的强混合性质，并给出了数量$|\mathbb{P}({A}\cap Y=\emptyset,T_h B \cap Y=\emptyset)-\mathbb{P}({A}\cap Y=\emptyset)\mathbb{P}({B}\cap Y=\emptyset)|$的衰减率的最佳形式，当$A$和$B$是两个紧集，$h$是$\mathbb{R}^d$的向量，$T_{h}$是相应的平移算子，$Y$是STIT镶嵌。
2009-05-17 math.DS math.PR
Intrinsic Volumes of the Maximal Polytope Process in Higher Dimensional STIT Tessellations
平稳和各向同性迭代稳定的随机镶嵌被认为是，它可以通过一个随机过程的细胞分裂。最大多面体的集合在一个固定的时间$t$内的凸窗口$W\subset{\Bbb R}^d$被认为是和公式的平均值，方差，以及某些协方差措施的特征证明。重点是$d\geq 3$的情况下，这是不同于平面的，在\cite{ST2}单独处理。此外，一个多元极限定理的向量适当重新缩放的内在体积的建立，导致在每个组件-在鲜明对比的情况下，在平面-一个非高斯限制。
2011-01-04 math.PR
The combinatorial structure of spatial STIT tessellations
考虑了三维欧几里得空间中在迭代（嵌套）下稳定的空间均匀随机镶嵌，即所谓的STIT镶嵌。它们是随后细胞分裂的时空过程的结果，因此它们不是面对面的。本文的目的是开发一个详细的分析这种镶嵌的组合结构，并确定一些新的几何平均值，例如典型顶点的邻域。结果的核心是基于其端点的类型或与其他类型的线段的相等关系对细分边进行精细分类。在背景的证据是微妙的空间STIT镶嵌分布特性。
2011-11-02 math.CO math.PR
STIT Process and Trees
研究了STIT镶嵌过程在$\RR^\ell$窗口中的几种构造，并给出了其转移概率的精确公式。
2014-11-13 math.PR
Limit theorems for iteration stable tessellations
本文的目的是描述$\mathbb{R}^d$中迭代稳定（STIT）网格的大规模渐近几何，它形成了随机几何中一类相当新的、丰富的和灵活的随机网格.为此，鞅工具相结合的二阶公式证明较早建立极限定理STIT镶嵌。更准确地说，高斯功能中心极限定理的表面增量过程中引起的STIT镶嵌相对于初始时刻。作为第二个主要结果，总棱长/小平面表面的中心极限定理得到，与正常的极限分布在平面的情况下，最有趣的是，与非正常的限制出现在所有更高的空间维度。
2014-12-24 math.PR
On the consistency of cell division processes
针对一类细胞分裂过程，研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^d$的空间一致性.这解决了限制于有界集$V$的这些镶嵌的分布是否取决于执行单元分裂过程的构造的较大区域$W\supset V$的选择的问题。这也可以理解为细胞分裂过程中的边界效应问题。在Nagel和Weiwei（2005）中，STIT镶嵌是空间上一致的。有迹象表明STIT镶嵌过程可能是唯一具有这种一致性属性的不变性细胞分裂过程。在本文中，它表明，在一个合理的广泛的类细胞分裂过程中，STIT镶嵌是唯一的是一致的。
2013-12-02 math.PR
On the arrangement of cells in planar STIT and Poisson line tessellations
众所周知，具有相同参数的Poisson线细分和STIT细分的典型单元的内部分布是一致的。在本文中，在这两个镶嵌模型中的细胞的排列的差异进行了研究。特别是，典型的细胞相邻的一组细胞的特性进行了研究。此外，还对细胞中心点过程的成对相关函数和几种标记相关函数进行了估计和比较。
2014-12-24 math.PR math.ST stat.TH
Second-Order Theory for Iteration Stable Tessellations
本文讨论了迭代稳定（STIT）的镶嵌，更一般地说，与一定的一类镶嵌是无限可分的迭代。他们形成了一个新的，丰富的和灵活的一类时空模型考虑随机几何。利用在\cite{STP1}中开发的鞅工具研究了STIT镶嵌的二阶性质。首先，给出了凸观察窗内细胞边界总表面积方差的一般公式。这个一般的表达相结合的工具，从积分几何推导出明确的精确和渐近的二阶公式的固定和各向同性的设置，其中一个家庭的弦功率积分起着重要的作用。同时也得到了面测度的成对相关函数的一般公式.
2011-03-21 math.PR
Geometry of iteration stable tessellations: Connection with Poisson hyperplanes
自Nagel和Weiss的开创性工作以来，迭代稳定（STIT）镶嵌作为一种自然灵活，但易于分析的分层空间单元分裂和裂纹形成过程的模型，在随机几何中引起了相当大的兴趣。在本文中，我们提供了一个基本的联系STIT镶嵌的典型特征和适当的混合物的泊松超平面镶嵌使用鞅技术和一般理论的分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。作为应用，得到了STIT模型的新均值和新分布结果。
2014-12-24 math.PR math.ST stat.TH
Second-order properties for planar Mondrian tessellations
本文考虑了具有加权轴平行切削方向的平面STIT曲面。在机器学习文献中，它们也被称为加权平面蒙德里安镶嵌，用于随机森林学习和核方法。各种二阶属性的随机镶嵌推导，特别是，明确的公式得到适当适应版本的对和互相关函数的长度测量的边缘骨架和顶点点过程。文中还详细讨论了方差的显式表达式和渐近性质。
2022-04-28 math.PR
Tessellation-valued processes that are generated by cell division
本文推广了由细胞分裂生成的随机镶嵌过程，给出存在性充分条件与构造方法，并证明在 Mondrian 分布情形下内在体积可作为细胞指数寿命分布的参数。
2023-04-04 math.PR
Proofs of Two Conjectures by Mecke for Mixed Line-Generated Tessellations
对于一个紧凑的凸窗口，Mecke描述了离散时间内细胞分裂产生的镶嵌过程。在每个时间步，根据等可能性法则选择现有小区之一。独立地，一条线被扔到窗户上。如果线命中选定的单元格，则单元格被分割。如果线没有命中选定的单元格，则在该时间步中不会发生任何事情。利用一个参数依赖于时间的几何分布，梅克将他的结构转化为一个连续时间模型。他提出了两个apturtures中，他假设这个连续时间模型有一定的性质，就其迭代。这些结构导致了第三个猜想，其中国家的等价性建设STIT镶嵌和Mecke的建设在一定的同质性条件下。本文证明了前两个定理。实现这一点的一个关键工具是Cowan分类的等可能模型的连续时间版本的属性。
2011-10-25 math.PR
Regenerative processes for Poisson zero polytopes
Universidad de Chile（智利大学）；Friedrich-Schiller-Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）
本文研究了泊松零多面体的再生过程，证明其为伯努利流，并探讨了其在STIT划分过程中的应用。
2017-08-29 math.PR
Splitting tessellations in spherical spaces
在$d\geq 2$维球面空间中引入了分裂镶嵌和分裂镶嵌过程的概念。利用球面积分几何的工具研究了由分裂镶嵌引起的球面曲率测度的期望、方差和协方差。此外，球对相关函数的$(d-1)$维Hausdorff措施明确计算，并比较其类似的泊松大超球镶嵌。最后，将任意维数$k\in\{1,\ldots,d-1\}$的典型胞腔分布和典型球面最大面的分布表示为Poisson大超球面镶嵌的相关分布的混合.这进而用于确定分裂镶嵌的典型最大球形段的预期长度和精确出生时间分布。
2018-11-30 math.MG math.PR
Minimax Rates for High-Dimensional Random Tessellation Forests
本文证明一大类采用一般分裂方向的随机森林（包括 STIT forests 和 Poisson 超平面镶嵌导出的森林）在任意维度上都能达到极小极大最优收敛速率，首次表明斜向分裂随机森林变体具有极小极大最优性。
2023-10-29 math.PR math.ST stat.ML
