Metric Properties of the Fuzzy Sphere
Francesco D'Andrea, Fedele Lizzi, Joseph C. Varilly
模糊球，作为一个量子度量空间，进行了一系列的度量，我们详细描述。我们表明，布洛赫相干态，这些光谱距离，形成一个序列的度量空间，收敛到高自旋极限的圆形球体。
The fuzzy sphere, as a quantum metric space, carries a sequence of metrics which we describe in detail. We show that the Bloch coherent states, with these spectral distances, form a sequence of metric spaces that converge to the round sphere in the high-spin limit.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bifundamental Fuzzy 2-Sphere and Fuzzy Killing Spinors
我们回顾我们的建设的一个bifundamental版本的模糊2球和它的关系，模糊Killing旋量，首先获得的ABJM膜模型的背景下。这被证明是完全等价于通常的（伴随）模糊球。我们讨论的数学细节的双基本模糊球和它的场论扩展在一个模型无关的方式。我们还研究了这种新的配方如何影响扭曲的领域，比较模糊球背景的场论与紧化的"解构"（高维）场论。
Hopf Maps, Lowest Landau Level, and Fuzzy Spheres
本文综述了磁单极子、最低朗道能级、模糊球及其相互关系。除代数的Hopf映射提供了单极子和模糊球之间的原型关系。复数到Clifford代数的推广完全类似于模糊二球面到高维模糊球面的推广。高维模糊球有一个有趣的层次结构，由低维球的“复合物”组成。我们给出了一个物理解释，这种特殊结构的模糊球，利用朗道模型在一般的偶数维。利用Grassmann代数，我们还引入了一个阶化的Hopf映射，并在超对称Landau模型的背景下讨论了它与模糊超球的关系。
Fuzzy Line Bundles, the Chern Character and Topological Charges over the Fuzzy Sphere
利用紧余伴轨道上的量子化等变向量丛理论，确定了Fuzzy球上所有非交换线丛关于其导子的基于微分学的Chern特征标.在交换极限下，恢复了2-球面上复线丛的已知整数Chern数。
Geometrical quantities on a fuzzy sphere
本文从谱的观点出发，研究了模糊球上的几何量，如面积和维数。我们发现，与标准球相比，模糊球的面积和维数是能量标度的函数。
Covariant 4-dimensional fuzzy spheres, matrix models and higher spin
我们详细研究了具有扭曲额外维数的广义四维模糊球。这些球可以看作是$SO(5)$-$SO(6)$的量子化余伴轨道的等变投影。我们表明，它们出现在杨米尔斯矩阵模型的解决方案，这自然会导致更高的自旋规范理论的$S^4$。发现了矩阵模型中的几种嵌入类型，其中包括一种具有自相交模糊额外维数的嵌入$S^4 \times \mathcal{K}$，它预计需要2+1代。
Fuzzy circle and new fuzzy sphere through confining potentials and energy cutoffs
在普通量子力学的指导下，我们引入了维数为d= 1，2的新的模糊球：我们考虑了一个在D=d+1维中的普通量子粒子在单位半径的球上具有一个非常尖锐的极小值的旋转不变势阱V（r）。强加一个足够低的能量截止来“冻结"径向激发，使得只有一个有限维的希尔伯特子空间是可访问的，在它上面的坐标是不可交换的，事实上，在它上面，它们生成了整个代数的观测量。该结构不仅在旋转下是等变的--如马多的模糊球--而且在全正交群O（D）下也是等变的。使截止点和阱的深度依赖于（并发散于）一个自然数L，并保持首项为1/L，我们得到一个模糊球序列S^d_L，当L发散时，它（在适当的意义上）收敛到球S^d（由此我们恢复了关于S^d的普通量子力学）。这些模型在凝聚态问题中可能是有用的，其中粒子被（至少近似地）旋转不变势限制在球体上，除了暗示量子场论或量子引力中的类似机制。
Connes distance function on fuzzy sphere and the connection between geometry and statistics
一种计算康纳斯谱距离的算法，适用于非对易量子力学的希尔伯特-施密特算符公式，通过引入适当的谱三元组，并用于计算Moyal平面上的无穷小距离，揭示了几何和统计之间的深刻联系。本文利用同样的算法，对空间坐标满足$su(2)$代数的模糊球，用Hilbert-Schmidt算子公式计算了Connes谱距离。这已经计算的离散，以及Perelemov的$SU(2)$相干态。在这里，我们也得到了几何和统计之间的联系，这是通过计算一个特定的模糊球的量子希尔伯特空间上的混合态之间的无穷小距离，索引为$n\in\mathbb{Z}/2$。
The Fuzzy Sphere: From The Uncertainty Relation To The Stereographic Projection
在模糊球上，没有状态同时饱和所有的海森堡不确定性。我们提出了一个较弱的不确定性，这是成立的。这样得到的状态族是物理上有动机的，因为它在这个模糊的上下文中编码了关于位置的信息。特别地，这些状态以自然的方式实现球极投影的变形。令人惊讶的是，在大的$j$限制，他们再现了一些性质的普通相干态的非对易平面上。
Quantum Entropy for the Fuzzy Sphere and its Monopoles
利用广义玻色子，在$SU(2)$的可约表示中构造了模糊球$S_F^2$和$S_F^2$上的磁单极.相应的量子态是利用GNS构造自然获得的。我们证明了在观测量代数的交换子中存在一个突现的非阿贝尔么正规范对称性。量子态必然是混合的，并且具有非零的冯诺伊曼熵，它在双随机马尔可夫映射下单调增加。熵的最大值与构成模糊球之下的可约表示的不可约表示的退化有一个简单的关系。
A Remark on Topological Charges over the Fuzzy Sphere
确定了Fuzzy球面上两个投射模的Chern特征标，并计算了相应的拓扑荷（Chern数）。与交换极限相比，这些结果是由三个坐标的非交换结构引起的修正。
The $x_i$-eigenvalue problem on some new fuzzy spheres
本文研究了[G]中引入的全$O(2)$ -协变模糊圆$\{S^1_Λ\}_{Λ\in\mathbb{N}}$（$i=1,2$）和全$O(3)$ -协变模糊2-球面$\{S^2_Λ\}_{Λ\in\mathbb{N}}$（$i=1,2,3$）上的“笛卡尔坐标”观测量$x_i$的特征值方程. Fiore，F. Pisacane，J. Geom.Phys.132（2018），423-451]。我们证明了$x_i$的谱和本征向量满足$x_i$所期望的一些性质，这些性质很好地近似了被迫留在单位球上的量子粒子的相应坐标算符。
Boundary Integrability from the Fuzzy Three Sphere
本文证明了 $\mathfrak{so}_6$ 对称可积自旋链中 $\mathfrak{so}_4$ 不变 MPS 的可积性，揭示其源于模糊三球解，并基于模糊三球生成元代数导出边界 Yang-Baxter 方程的解及 Bethe 态重叠的闭合公式。
Quantized Gauge Theory on the Fuzzy Sphere as Random Matrix Model
利用随机矩阵方法对模糊球S^2_N上的U（n）Yang-Mills理论进行量子化.规范理论被表述为一个厄米矩阵受约束的矩阵模型和一个具有两个简并极小值的势。这允许将规范场上的路径积分减少到本征值上的积分，其可以针对大N进行评估。经典球上U（n）Yang-Mills理论的配分函数在大N极限下恢复为瞬子贡献之和.明确地找到了最优解。
Localization for Yang-Mills Theory on the Fuzzy Sphere
本文提出了模糊球上杨-米尔斯理论的一个新模型，其中规范场的位形空间由余伴随轨道给出。在经典极限下，它归结为球面上的普通杨-米尔斯理论。我们发现所有经典的规范理论的解决方案，并使用nonabelian本地化技术写的配分函数完全作为一个总和超过当地的贡献从临界点的行动，这是明确评估。在经典极限下，将球面上普通杨-米尔斯理论的配分函数恢复为瞬子之和。我们还应用阿贝尔局部化技术和对称空间的几何推导出一个明确的组合表达式的配分函数，并比较这两种方法。这些扩展的标准技术解决规范理论的领域模糊的情况下，在一个严格的框架。
The Fuzzy Sphere: Star Product Induced From Generalized Squeezed States
从模糊球上的不确定原理建立的状态族已被证明在大$j$极限下再现球极投影。这些广义压缩态被用来构造一个结合星积，它涉及有限个衍生物的主要功能空间。它是用复平面上的一个变量来表示的。我们表明，它实际上与H.Gross和P.Presnajder在最简单的情况下发现的一致，赋予后者一个补充的物理解释。我们还展示了如何出现在这种设置的球谐函数。
Beyond fuzzy spheres
我们研究多项式变形的模糊球，具体由立方或希格斯代数。通过量子化$\mathbb{R}^3$中曲面上的Poisson结构，导出了Higgs代数.我们发现，几个表面，不同的常数，所描述的希格斯代数的模糊水平。其中一些表面有一个奇异性，我们克服了这个非线性代数量子化这个流形使用相干态。这在由这些相干态构造的测度中可见。我们还发现这个非交换代数作为第一步，在这种模糊空间的场论建设的明星产品。
Computational explorations of a deformed fuzzy sphere
本文通过特征值解析与扩展的可视化代码研究变形模糊球的谱维数、体积及有限谱三元组，为分析任意有限谱三元组奠定基础。
Central extensions for loop groups of area-preserving diffeomorphisms and their fuzzy sphere limits
研究面积保持微分同胚环的中心扩张，并揭示其在大k极限下的模糊球极限性质。
Here we have illustrated the construction of a real structure on fuzzy sphere $S^2_*$ in its spin-1/2 representation. Considering the SU(2) covariant Dirac and chirality operator on $S^2_*$ given by Watamura et. al. in [6], we have shown that the real structure is consistent with other spectral data for KO dimension-4 fulfilling the zero order condition, where we find it necessary to enlarge the symmetry group from SO(3) to the full orthogonal group O(3). However the first order condition is violated thus paving the way to construct a toy model for an SU(2) gauge theory to capture some feature…
Projecting a quantum theory onto the Hilbert subspace of states with energies below a cutoff $\overline{E}$ may lead to an effective theory with modified observables, including a noncommutative space(time). Adding a confining potential well $V$ with a very sharp minimum on a submanifold $N$ of the original space(time) $M$ may induce a dimensional reduction to a noncommutative quantum theory on $N$. Here in particular we briefly report on our application of this procedure to spheres $S^d\subset\mathbb{R}^D$ of radius $r=1$ ($D=d\!+\!1>1$): making $\overline{E}$ and the depth of the well depend …
Branes, Quantization and Fuzzy Spheres
我们提出了Nambu-Poisson流形的广义量子化公理，它允许n-李代数及其包络代数的几何解释。我们通过描述Berezin-Toeplitz量子化的扩展来说明这些公理，以产生与M膜动力学相关的量子空间的各种例子，例如不同维度的模糊球。我们简要地描述了初步的步骤，使量子化的2-plectic流形严格的概念扩展的广群的方法，量子化的辛流形。
Effective action and phase transitions of scalar field on the fuzzy sphere
研究了模糊双球上的标量场理论，该理论表示为一个包含动力学、质量和四次相互作用项的厄米矩阵模型。在对称的大N政权的有效行动进行了分析，使用自洽的引导方法，固定其形式的第六阶的特征值，并给出了一个封闭的表达式，所有订单的二次不变的矩阵，有效的接近半圆形分布。使用这个行动的本征值分布计算的相互作用理论在适当的标度限制和相变从无序对称有序相确定，包括非微扰效应。
Matrix geometries and fuzzy spaces as finite spectral triples
定义并研究了一类结构类似于黎曼流形但具有有限维希尔伯特空间的实谱三元组，确定了Dirac算子的一般形式。例子包括定义为实谱三元组的模糊空间。详细研究了Fuzzy 2-球面，证明了Fuzzy类似物对应于交换球面上的两个旋量场。在某些情况下，有必要添加一个质量混合矩阵的交换狄拉克算子，以获得一个精确的协议的本征值。
Relativistic Landau Models and Generation of Fuzzy Spheres
非对易几何自然地出现在朗道模型的低能物理中作为能级投影的结果。在这项工作中，我们积极利用水平投影作为一个有效的工具来生成模糊几何。水平投影特别适用于相对论朗道模型。本文的前半部分对球上的相对论Landau问题进行了详细的分析，利用代数方法得到了Dirac-Landau算符本征态的简洁表达式。建立了相对论朗道模型与Pauli-Schr dinger非相对论量子力学之间的$SU(2)$“规范”变换。经过$SU(2)$变换，狄拉克算符和角动量算符满足$SO(3,1)$代数.在后半部分，从相对论朗道能级产生的模糊几何进行了阐述，其中相对论模糊几何的独特性质进行了澄清。我们考虑相对论朗道模型的质量变形，并证明其几何效应的模糊几何。超模糊几何也是由超对称量子力学作为Dirac-Landau算子的平方构造的。最后，我们将水平投影方法应用到实际石墨烯系统中，生成谷模糊球。
On localized and coherent states on some new fuzzy spheres
本文在[G. Fiore，F. Pisacane，J. Geom. Phys. 132（2018），423-451]，并研究它们在位形空间和角动量空间中的局部化。这些局部化最好通过周围欧几里得空间$\mathbb{R}^D$中的$O(D)$不变平方空间和角动量不确定性$(Δ\boldsymbol{x})^2,(Δ\boldsymbol{L})^2$来表达。我们还确定一般的界限（例如不确定性关系从换向关系）$(Δ\boldsymbol{x})^2,(Δ\boldsymbol{L})^2$，并部分调查SCS可能饱和这些界限。特别地，我们确定了最佳局域相干态的$O(D)$ -等变系统，这些相干态是最接近$S^d$的经典态（即点）的量子态。我们将结果与它们在交换$S^d$上的类似结果进行了比较。我们还表明，在$S^2_Λ$上，我们的最佳本地化的状态是更好的本地化比Madore-Hoppe模糊球上具有相同的截止$Λ$。
New fuzzy spheres through confining potentials and energy cutoffs
本文简要地报道了我们最近在全正交群O（D），D=d+1下构造的维数为d= 1，2协变的新模糊球.它们是通过在D维量子粒子上施加适当的能量截止来建立的，该量子粒子受到半径r=1的球体上具有非常尖锐的最小值的限制势阱V（r）的约束;此外，截止和阱的深度取决于自然数L（并与自然数L发散）。坐标的换位子只取决于角动量，就像在斯奈德非对易空间中一样。当L发散时，希尔伯特空间维数也发散; S^d_L收敛于S^d，我们在S^d上恢复了普通的量子力学。这些模型在量子场论、量子引力或凝聚态物理中可能是有用的。
q-Fuzzy spheres and quantum differentials on B_q[SU_2] and U_q(su_2)
经典球$C P^1$可以定义为由投影仪$e$的矩阵项与$\trace(e)=1$生成的坐标代数，模糊球以相同的方式由$\trace(e)=1+λ$定义。我们表明，标准的$q$ -球是类似的定义由$\trace_q(e)=1$和Podles 2-球的$\trace_q(e)=1+λ$，从而给出了一个统一的观点，其中2参数Podles球是$q$ -模糊球。我们进一步表明，它们出现几何“恒定时间片”的单位双曲面在$q$ -闵可夫斯基空间视为编织群$B_q[SU_2]$。然后，他们的定位同构于在$q$的固定值的$U_q(su_2)$-卡西米尔精确$q$ -变形模糊的情况下的子。利用变形和扭曲理论在一般$B_q[G]$和$U_q(g)$上引入了一个$C_q[G_C]$ -协变演算，并利用$Ω(B_q[SU_2])$给出了模糊球和Podles球上三维演算的统一观点.为了完成这幅图，我们展示了三维双交叉积时空的协变演算是如何在扭曲之前从$Ω(C_q[SU_2])$产生的。
Totally classical Calogero model
我们表明，标准的Calogero拉克斯矩阵可以解释为一个功能上的模糊球和Avan-Talon r-矩阵作为一个功能上的直接产品的两个模糊球。当模糊球趋向于普通球时，我们计算了极限Lax函数和r函数，并证明了它们定义了一个可积模型，该模型被Bordemann，Hoppe和Theisen解释为一个大的N Calogero模型.
New Algorithm and Phase Diagram of Noncommutative Phi**4 on the Fuzzy Sphere
我们提出了一种新的算法来模拟模糊球上的非对易φ 4理论，该算法基于：i）将标量场耦合到U（1）规范场，使得在对易极限N \longrightarrow \infty中，两个模解耦，我们只剩下球上的纯标量φ 4，ii）通过U（N）酉矩阵对角化标量场，然后从配分函数中积分出酉群。因此，标量扇区中的自由度从N^2减少到标量场的N个本征值，而U（1）规范场的动力学由D=3的杨-米尔斯矩阵模型和迈尔斯项给出。作为应用，我们用小的N值直到N=10和大量的统计量，重建了模糊球上非对易φ 4理论的相图，包括三相点.
Quantum Field Theory in a Non-Commutative Space: Theoretical Predictions and Numerical Results on the Fuzzy Sphere
我们回顾了非对易空间中量子场论的一些最新进展，重点讨论了作为非微扰正则化方案的模糊球。我们首先介绍了基本的形式主义，并讨论了相应于不同的交换或非交换空间的极限。我们提出了一些已在此框架下进行了研究的理论，特别注意标量模型。然后，我们评论最近从蒙特卡罗模拟获得的结果，并显示新的数值数据，这是一致的，其特征在于由拓扑结构的支持矩阵特征值分布的两个阶段之间的预期过渡的预览。
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