On Counting Perfect Matchings in General Graphs
计数完美匹配在计数问题的理论中起着核心作用。Valiant（1979）证明了对应于二部图的永久式是P-完全的，可以精确计算，而Jerrum，Sinclair和Vigoda（2004）使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法提出了一个完全多项式随机近似方案（FPRAS）。然而，它仍然是一个悬而未决的问题，是否存在一个FPRAS计数完美匹配的一般图。事实上，JSV定义的同一个马尔可夫链是否在一般情况下快速混合，这一点还没有得到解决。在本文中，我们表明它不是。我们证明了在JSV链上的孔模式的任何加权方案的迟钝混合。作为克服这一障碍的第一步，我们引入了一个新的算法计算匹配的基础上的Gallai-Edmonds分解的图，并给出了一个FPRAS计算匹配的图是足够接近二分的。特别是，我们得到了一个固定参数的易处理的算法计算匹配一般图，参数化的最大“秩序”的一个因子临界子图。
2017-12-20 cs.DS
The Perfect Matching Cut Problem Revisited
在图中，完美匹配割是完美匹配的边割。完美匹配割（PMC）是判定给定图是否有完美匹配割的问题，是NP-完全的。我们重新审视这个问题，并表明PMC仍然是NP-完全的限制时，最大程度的二分图3和任意大的围长。补充这个硬度的结果，我们给两个图类，PMC是多项式时间可解的。第一个包含了无爪图和五点无诱导路图，第二个包含了所有的弦图。假设指数时间假设，我们表明，有没有$O^*(2^{o(n)})$的时间算法PMC，即使当限制到$n$ -顶点二分图，也表明PMC可以解决在$O^*(1.2721^n)$时间通过一个精确的分支算法。
2021-07-13 cs.DM cs.DS
Counting matchings with k unmatched vertices in planar graphs
我们考虑平面图中匹配的计数问题。虽然平面图中的完美匹配可以通过经典的多项式时间算法来计数，但已知计数所有匹配（可能包含不匹配的顶点，也称为缺陷）的问题在平面图上是#P-完全的。为了在计算匹配的困难情况和计算完美匹配的简单情况之间进行插补，我们研究了平面图G中具有恰好k个不匹配顶点的匹配的参数化计算问题，关于输入G和k.这个设置在统计物理学中有一个自然的解释，它是计算k顶点图（可以通过删除最多k个顶点而变成平面的图）中完美匹配的特殊情况。从最近关于k-顶点图上完美匹配计数的一个#W[1]-困难证明出发，得到了平面图中k个顶点不匹配的匹配计数是#W[1]-困难的.与此相反，给定一个平面图G的s个区别的面，有一个$O(2^s \cdot n^3)$时间算法，用于计数那些匹配与k个不匹配的顶点，使所有不匹配的顶点位于区别的面。这意味着一个$f(k,s)\cdot n^{O(1)}$时间算法计算完美匹配的k顶点图的顶点邻域覆盖的s面。
2016-07-27 cs.CC cs.DS
Counting perfect matchings in graphs that exclude a single-crossing minor
一个图$H$是单交叉的，如果它可以画在至多有一个交叉的平面上。对于任何单交叉图$H$，我们给出了一个计算不包含$H$的图中完美匹配的$O(n^4)$时间算法.当$G$将$K_5$或$K_{3,3}$排除为次要项时，运行时可以降低到$O(n^{1.5})$。这是计算无$K_{3,3}$图中完美匹配的算法的第一个推广（Little 1974，Vazirani 1989）。我们的算法使用黑盒计算完美匹配平面图和计算某些图分解。连同不包括$K_5$的图的独立最近结果（Straub等人，2014），它是第一个不固有地依赖于Pfatran方向的非平凡算法之一。
2014-06-16 cs.CC cs.DS
Counting and Sampling Perfect Matchings in Regular Expanding Non-Bipartite Graphs
我们证明了具有$2n$顶点的$d$ -正则强扩张（非二部）图中的近完美匹配数与完美匹配数之比是$n$中的多项式，因此Jerrum和Sinclair Markov链[JS 89]在多项式时间内混合并产生（几乎）一致随机完美匹配.进一步证明了这类图至少有$Ω(d)^n$任意完美匹配，从而证明了这类图的Lovasz-Plummer猜想[LP 86].
2021-03-15 cs.DS math.CO
Counting Popular Matchings in House Allocation Problems
我们研究的问题，在一个给定的情况下，流行的匹配计数。一个流行的匹配实例由代理A和房屋H组成，其中每个代理根据他们的偏好对房屋的子集进行排名。匹配是指将代理人分配到房屋。匹配M比匹配M'更受欢迎，如果更喜欢M而不是M'的代理的数量多于更喜欢M'而不是M的人数。如果不存在比M更流行的匹配，则匹配M被称为流行的。McDermid和Irving给出了一个多时间算法，用于在偏好列表严格排序时计算流行匹配的数量。我们首先考虑偏好列表中的关系。Nasre证明了当存在关系时，计算流行匹配的数量是#P-hard问题。我们对此问题给出了一个FPRAS。然后，我们考虑流行的匹配问题，偏好列表是严格有序的，但每个房子有一个与之相关的容量。我们给出了一个开关图表征流行的匹配在这种情况下。这样的刻画在之前的严格有序偏好列表（McDermid和Irving）和带关系偏好列表（Nasre）的情况下进行了研究。我们使用我们的特性证明，计数流行的匹配能力的情况下是P-困难的。
2013-12-12 cs.DS
Modular counting of subgraphs: Matchings, matching-splittable graphs, and paths
本文系统地研究了子图模式模固定整数计数的复杂性。例如，已知$k$ -匹配的数目的奇偶性可以在多项式时间内通过对行列式的简单简化来确定。我们推广到一个$n^{f(t,s)}$时间算法来计算模$2^t$的子图出现的模式，是$s$顶点远离匹配的数量。这表明子图检测的已知多项式时间情况（Jansen和Marx，SODA 2015）延续到计数模$2^t$的设置中。补充我们的算法，我们还给出了一个简单而独立的证明，即计数$k$ -匹配模奇数$q$是Mod_q-W[1]-完全的，并证明计数$k$ -路径模$2$是奇偶-W [1]-完全的，回答了Björklund，Dell和Husfeldt的一个开放问题（ICALP 2015）。
2021-07-01 cs.CC cs.DS
Planar Perfect Matching Counting is as Hard as Determinants
University of Regensburg（雷根斯堡大学）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）
本文证明在代数电路等计算模型下，边加权平面图的完美匹配计数无法在 O(n^{ω/2-ε}) 算术运算内完成，从而确认了 Yuster 算法的最优性。
2026-06-02 cs.CC cs.DM cs.DS
Subquadratic Counting via Perfect Marginal Sampling
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Nanjing University（南京大学）
本文提出基于完美边际采样的新算法，突破二次时间限制，应用于硬核模型等spin系统，改进了fugacity参数下的计数效率。
2026-04-02 cs.DS math.PR
Exact Matching and the Top-k Perfect Matching Problem
本文的目的是将精确匹配问题简化为Top- $k$完美匹配问题。与El Maalouly的早期工作一起，这表明这两个问题是多项式时间等价的。精确匹配问题是一个著名的40年前的问题，它的随机性，但没有确定性的多时间算法已经被发现。前$k$最佳匹配问题是寻找一个最佳匹配的问题，该最佳匹配最大化其中包含的$k$最重边的总重量。
2022-09-17 cs.DS
Bipartite Perfect Matching is in quasi-NC
我们证明了二分完美匹配问题是准NC $^2$中的问题。也就是说，它具有准多项式大小$n^{O(\log n)}$和$O(log^2 n)$深度的均匀电路。以前，只有一个指数上限是已知的这种电路的大小与多对数深度。我们得到我们的结果时，几乎完全去随机化的著名的隔离引理产生一个有效的随机并行算法的二分完美匹配问题。
2016-01-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Perfect Matchings and Popularity in the Many-to-Many Setting
针对带容量、偏好和边成本的多对多二分图匹配问题，提出通过彩色辅助实例的稳定匹配刻画来求解最小成本流行完美匹配的多项式时间算法，推广了一对一场景的相关结论。
2024-11-01 cs.DS
Vectorized Character Counting for Faster Pattern Matching
许多现代序列比对工具使用称为FM索引的空间有效的数据结构来实现快速字符串匹配。这种数据结构的简洁性给算法设计者带来了独特的挑战。在本文中，我们探讨的机会，并行化的精确和不精确的匹配，并提出了一个有效的SIMD解决方案的OCC部分的算法。我们的实现在一个过程中计算不精确匹配算法步骤所需的所有八个Occ值。我们展示了算法的性能在多核基因组比对，并讨论了内存预取的影响。
2019-09-03 cs.DS
Revisiting the Auction Algorithm for Weighted Bipartite Perfect Matchings
我们研究经典的二分图的加权完美匹配问题，有时也称为分配问题，即，给定具有权重$w : E \rightarrow \mathcal{R}$的加权二分图$G = (U\cup V,E)$，我们感兴趣的是找到具有最小/最大权重的$G$中的最大匹配。在这项工作中，我们提出了一个新的，可以说是更简单的分析最早的技术之一，解决分配问题，即拍卖算法。使用我们的分析技术，我们提出了更严格的和改进的运行时复杂性的界限上找到一个近似的最小重量完美匹配$k$ -左定期稀疏二分图。
2021-01-18 cs.DM cs.DS math.CO
Approximate Counting of Matchings in $(3,3)$-Hypergraphs
我们设计了一个全多项式时间近似方案（FPTAS），用于计算任意最大度为3的3-一致超图（称为$(3,3)$ -超图）中匹配（填充）的数目。这是该问题的第一个多项式时间近似方案，其中还包括，作为特殊情况，3-participate $(3,3)$ -超图的3D匹配计数问题。本文的证明技术使用了一般的相关衰减技术和一种新的交图底层结构的组合分析。证明方法也可以是独立的。
2017-10-25 cs.DS math.CO
Counting Perfect Matchings as Fast as Ryser
我们表明，有一个多项式空间算法，计数完美匹配的$n$ -顶点图在$O^*(2^{n/2})\subset O(1.415^n)$时间的数量。（$O^*(f(n))$在$f(n)$中抑制函数的多对数性）。以前解决这个问题的最快算法是Koivisto的指数空间$O^*(((1+\sqrt{5})/2)^n) \subset O(1.619^n)$时间算法，而对于多项式空间，则是Nederlof的$O(1.942^n)$时间算法。我们的新算法的运行时间相匹配的多项式因子，Ryser的1963年算法的二分图。我们提出了我们的算法在更一般的设置中计算的任意环上，类似于Ryser的算法永久计算的Escherichian。我们也给出了一个简单的参数，为什么一般精确集覆盖计数问题的一个稍微superpolynomial大小的家庭的一个$n$元素地面集的子集不能解决在$O^*(2^{(1-ε_1)n})$时间的任何$ε_1>0$，除非有$O^*(2^{(1-ε_2)n})$时间算法计算一个$n\times n$ 0/1矩阵永久，对于一些$ε_2>0$只依赖于$ε_1$。
2011-10-14 cs.DS
Matching Cuts in Graphs of High Girth and H-Free Graphs
该研究解决了匹配割问题的20年公开难题，证明多个匹配割相关问题在高围长有界度二部图、特定无H图上是NP完全的，还得到完美匹配割在无H子图图上的完整复杂度分类。
2023-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Constant time enumeration of perfect bipartite matchings
Charles University in Prague（布拉格查理大学）
本文提出一种在二分图中以常数摊销时间枚举所有完美匹配的算法，并引入算术电路变体将匹配表示于二叉树中，突破了已有 O(log |V|) 时间算法的限制。
2025-09-19 cs.DS
Dichotomies for Maximum Matching Cut: $H$-Freeness, Bounded Diameter, Bounded Radius
研究 Maximum Matching Cut 的计算复杂性，在有界直径、有界半径和无 $H$ 图上给出完整二分性，并据此证明 Disconnected Perfect Matching 在无 $(P_6+sP_2)$ 图上多项式可解。
2024-06-12 cs.CC cs.DM cs.DS
NC Algorithms for Computing a Perfect Matching and a Maximum Flow in One-Crossing-Minor-Free Graphs
1988年，Vazirani在Kasteleyn的平面图方案的基础上给出了一个计算$K_{3,3}$ -minor-free图中完美匹配数的NC算法，并指出这“打开了获得一个在$K_{3,3}$ -free图中找到完美匹配的NC算法的可能性。“在本文中，我们终于解决了这个30年的开放问题。最近的NC算法的平面和有界属的完美匹配的Anari和Vazirani和后来的Sankowski的基础上，我们得到NC算法完美匹配的任何小封闭图族，禁止一个交叉图。这个族包括几个研究得很好的图族，包括$K_{3,3}$ -minor-free graphs和$K_5$ -minor-free graphs。这类图不仅具有无界亏格，而且亏格可以高达$O(n)$。我们的方法也适用于与完美匹配相关的其他几个问题。特别是，我们获得NC算法的以下问题，在任何家庭的图（或网络）与一个交叉禁止未成年人：$\bullet$确定是否一个给定的图有一个完美的匹配，如果是这样，找到一个。$\bullet$在图中寻找最小权完美匹配，假设边权是多项式有界的。$\bullet$寻找网络中具有任意容量的最大$st$流。主要的新思想，使我们的结果是匹配模仿网络的定义和使用，小的替代网络的行为相同，相对于匹配问题，涉及一组固定的终端，作为更大的网络，他们取代。
2020-05-05 cs.DS
On Thin Perfect Matchings up to Polylogarithmic Factors
Stanford University（斯坦福大学）；University of Washington（华盛顿大学）
本文解决了Anari等人提出的薄匹配问题，证明了对于任意分数完美匹配，存在一个多对数因子薄的完美匹配，并给出了算法和上下界。
2026-07-02 cs.DS
Perfect Fractional Matchings in Bipartite Graphs Via Proportional Allocations
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究证明二分图存在完美比例分配当且仅当它是匹配覆盖的，并扩展了这一结果以提供非匹配覆盖二分图的简单分配策略。
2026-04-30 cs.DS math.CO
Counting hypergraph matchings up to uniqueness threshold
研究了有界最大度和最大超边数超图中匹配的近似计数问题。利用活动参数$λ$，每个匹配的$M$被分配权重$λ^{|M|}$。计数问题被公式化为计算一个分区函数，该分区函数给出了超图中所有匹配的权重之和。这个问题统一了近似计数中两个广泛研究的统计物理模型：硬核模型（图独立集）和单体-二聚体模型（图匹配）。对于该模型，临界活动$λ_c= \frac{d^d}{k (d-1)^{d+1}}$是无限$(d+1)$ -均匀$(k+1)$ -正则超树上Gibbs测度唯一性的阈值.考虑最大度至多为$k+1$且超边的最大长度至多为$d+1$的超图。我们表明，当$λ< λ_c$，有一个FPTAS计算的分区函数;和当$λ= λ_c$，有一个PTAS计算的日志分区函数。这些算法是基于吉布斯分布的相关性衰减（强空间混合）属性。当$λ> 2λ_c$时，配分函数或对数配分函数没有PRAS，除非NP $=$ RP。为了得到近似计数计算复杂性的一个急剧转变，我们研究了从有限超图序列到具有特定对称性的无限格的局部收敛性。我们展示了一个令人惊讶的连接之间的局部收敛性和可逆性的自然随机游动。这导致我们对硬度结果的一个障碍：无限吉布斯测度的非唯一性不能通过任何有限gadget实现。
2017-01-06 cs.DS math.CO
Random graph matching at Otter's threshold via counting chandeliers
我们提出了一个有效的算法，图匹配的基础上构建的相似性得分从计数一定的家庭加权树扎根于每个顶点。对于两个Erdens-Rényi图$\mathcal{G}(n,q)$，其边通过潜在顶点对应关系相关联，我们证明了该算法正确匹配的所有，但消失的分数的顶点具有很高的概率，提供$nq\to\infty$和边相关系数$ρ$满足$ρ^2>α\approx 0.338$，其中$α$是水獭的树计数常数。此外，这种几乎精确的匹配可以在信息理论上必要的额外条件下精确。这是第一个多项式时间图匹配算法，成功地在一个明确的常数相关性，并适用于稀疏和密集的图形。相比之下，以前的方法要么需要$ρ=1-o(1)$，或仅限于稀疏图。该算法的关键是一个精心策划的家庭的有根树称为吊灯，它允许有效地提取图的相关性从同一棵树的计数，同时抑制不必要的相关性之间的不同的树。
2023-02-14 cs.DS math.ST stat.ML
An Extension of the Birkhoff-von Neumann Theorem to Non-Bipartite Graphs
证明了非二部图的分数完美匹配在多项式时间内可以写成完美匹配的凸组合。这将Birkhoff-von Neumann定理从二部图扩展到非二部图。Birkhoff和von Neumann的算法是贪婪的;它从给定的分数完美匹配开始，并连续地从其中“移除”具有适当系数的完美匹配。这在非二部图中失败了-任意删除完美匹配可能会导致一个非空但没有完美匹配的图。适当地使用奇数削减节省了一天。
2020-10-15 cs.DS econ.TH
Fractionally Log-Concave and Sector-Stable Polynomials: Counting Planar Matchings and More
针对平面图非完美匹配计数问题，提出了基于多位点Glauber动力学的FPRAS，并引入扇区稳定性和分数对数凹性概念分析其混合性质，为谱独立性提供了基于多项式几何的新工具。
2023-04-03 cs.DS math.CO math.PR
Hafnians, perfect matchings and Gaussian matrices
研究了偶数维非负元对称矩阵的Barvinok估计的性质。我们引入了一个条件下，Barvinok估计达到次指数误差，并表明，这个条件几乎是最优的。利用Barvinok估计器计算图中完美匹配的个数，我们得出结论：Barvinok估计器给出了一个计算完美匹配个数的多项式时间算法.
2016-09-02 cs.DS math.CO math.PR
Planar Graph Perfect Matching is in NC
在NC中是完全匹配的吗？也就是说，是否有一个确定性的快速并行算法？自从RNC匹配算法被发现以来，这已经是理论计算机科学中三十多年来的一个突出的公开问题。在这个问题中，平面图的情况仍然是一个谜：一方面，计算完美匹配的数量比找到一个要困难得多（前者是#P-完全的，后者是在P中），另一方面，对于平面图，计数长期以来一直被认为是在NC中，而找到一个一直抵制解决方案。本文给出了平面图中寻找完美匹配的NC算法。我们的算法使用了上述关于以关键方式计数匹配的事实。我们的主要新思想是一个NC算法，用于找到一个完美匹配的多面体在$Ω(n)$新的条件，涉及约束的多面体，同时满足的面。还需要一些其他的想法，例如在这个多面体的最小权面的内部找到一个点，并在NC中找到一个平衡的紧奇集。
2018-04-21 cs.CC cs.DC cs.DS
