Skew Hadamard difference sets from cyclotomic strongly regular graphs
Koji Momihara
在分圆强正则图存在的假设下，我们在初等阿贝尔群中找到了斜Hadamard差集无限族的新构造.我们的构造是基于在有限域中选择分圆类。
We find new constructions of infinite families of skew Hadamard difference sets in elementary abelian groups under the assumption of the existence of cyclotomic strongly regular graphs. Our construction is based on choosing cyclotomic classes in finite fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Cyclotomic Constructions of Skew Hadamard Difference Sets
我们重温了从分圆类构造差集的旧思想。利用$N=2p_1^m$阶分圆类的并，在有限域的加法群中构造了两种斜Hadamard差集，其中$p_1$是素数，$m$是正整数.我们的主要工具是指数2高斯和，而不是分圆数。
Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs and Skew Hadamard Difference Sets from Cyclotomic Classes
本文给出了强正则Cayley图和斜Hadamard差集的构造。这两个构造都是基于有限域上分圆类的选择，推广了Feng和Xiang \cite{FX111,FX113}的构造.得到了三个具有新参数的强正则图无限族。我们采用的主要工具是指数2高斯和，而不是分圆数。
An Explicit Skew-Hadamard Matrix of Order 1252 via Cyclotomic Unions
本文通过循环根联合构造了一个阶数为1252的显式斜哈达玛矩阵，并验证了其结构和代数性质。
On Skew Hadamard difference sets
本文构造了$q^3$阶初等阿贝尔群上指数多个非同构的斜Hadamard差集。
Cyclotomic skew partial difference sets and partial difference families
本文研究了循环理论在构造斜部分差集中的应用，提出了新的构造方法，并探讨了斜部分差集与部分差族之间的关系。
Skew Hadamard difference families and skew Hadamard matrices
本文推广了Szekeres（1969，1971），Whiteman（1971）和Wallis-Whiteman（1972）给出的有限域的加群中具有两个或四个块的斜Hadamard差族的经典构造.特别地，我们证明了对于任意素数幂$q\equiv 2^u+1\,({\mathrm{mod\, \, }2^{u+1}})$，有$u\ge 2$和任意正整数$e$，在$q^e$阶有限域的加法群中存在一个带有$2^{u-1}$块的斜Hadamard差分族.在Szekeres、Whiteman和Wallis-Whiteman的上述工作中，在$({\mathbb F}_{q^e},+)$中具有$2^{u-1}$（$u=2$或$3$）块的偏斜Hadamard差分族的构造取决于指数$e$，当$u=2$时分别具有$e\equiv 1,2,$或$3\,({\mathrm{mod\, \, }4})$，以及当$u=3$时分别具有$e\equiv 1\,({\mathrm{mod\, \, }2})$。特别是，我们更通用的构造消除了对$e$的依赖。作为结果，我们得到了新的斜Hadamard矩阵的无限族。
Inequivalence of skew Hadamard difference sets and triple intersection numbers modulo a prime
最近，Feng和Xiang \cite{FX113}在初等阿贝尔群中发现了一种新的斜Hadamard差集的构造。本文引入了一个新的斜Hadamard差集等价不变量，即模素数的三重相交数，并讨论了凤翔斜Hadamard差集与Paley差集的不等价性.因此，我们表明，他们的建设产生无穷多个斜Hadamard差集不等价于Paley差集。
A characterization of skew Hadamard matrices and doubly regular tournaments
利用大小为$n-2$的竞赛图的谱数据，给出了大小为$n$的斜Hadamard矩阵的一个新的刻画.
Generalized Skew Hadamard Difference Sets
斜阿达玛差集（SHDS）是满足斜条件的差集。如果群G有一个斜Hadamard差集，则G是阶同余于3模4的p-群。我们将斜Hadamard差集推广到广义斜Hadamard差集（GSHDS），以覆盖p全等于1模4的情形，并将所有已知的斜Hadamard差集存在的必要条件推广到我们的推广，包括已知的指数界.我们还将证明一组特殊群族的必要存在条件.在文章的最后，我们给出了一类特殊子群L的GSHDS的差相交数的一般p-可除性条件。
Some new orders of Hadamard and skew-Hadamard matrices
我们构造了4 × 251 = 1004和4 × 631 = 2524阶的Hadamard矩阵，以及4 × 213 = 852和4 × 631 = 2524阶的斜Hadamard矩阵。据我们所知，以前还没有构造过这样的矩阵。该构造使用了Goethals-Seidel阵列、循环群上的适当的补充差集和一种新的基于哈希技术的高效匹配算法。
On the classification of skew Hadamard matrices of order 36 and related structures
本文定义了斜Hadamard矩阵的SH等价性，确定了36阶某些类型的SH不等价矩阵数量，并研究了由此构造的三元自对偶码与结合方案。
Non-symmetric class $2$ association schemes obtained by doubling of skew-Hadamard matrices are non-schurian
利用斜Hadamard矩阵可以得到一个非对称类$2$结合方案。本文从$n$阶的斜Hadamard矩阵出发，通过二重构造构造了$2n$阶的斜Hadamard矩阵，并构造了$2n-1$阶的非对称类$2$结合方案.我们将证明，如果$n$大于或等于$8$，则用这种方法得到的结合方案永远不会是schurian的。
Hadamard matrices: skew of orders 276, 292 and symmetric 372
本文针对最小未知阶数 v=69 的斜 Hadamard 矩阵存在性问题，给出多种构造方法，并首次构造出 292 阶斜 Hadamard 矩阵和 372 阶对称 Hadamard 矩阵。
Skew Hadamard difference sets from the Ree-Tits slice symplectic spreads in PG(3,3^{2h+1})
利用$PG(3,3^{2h+1})$中Ree-Tits辛展布得到的一类$F_{3^{2h+1}}$置换多项式，构造了$F_{3^{2h+1}}$可加群中的一族斜Hadamard差集.借助于计算机证明了当$h=2$和$h=3$ .我们推测当$h>3$ .此外，我们给出了双素幂差集的经典构造的一个变形，并证明了不等价的斜Hadamard差集导致具有双素幂参数的不等价差集.
Skew-Hadamard matrices of orders 436, 580 and 988 exist
我们在109阶、145阶和247阶的循环群上构造了两个差族，并用它们构造了436阶、580阶和988阶的斜Hadamard矩阵.这种差分族和矩阵的构造在这里是第一次。这些矩阵是通过使用Goethals-Seidel数组构造的。
Morphisms of Skew Hadamard Matrices
Fender、Kharagani和Suda提出了四元单位阿达玛矩阵（QUH），并给出了一种以素数幂阶构造QUH矩阵的方法。我们提出了一种新的构造实Hadamard矩阵的QUH矩阵。我们的构造恢复了Mukhopadhyay关于对每个素数幂$q\equiv 3\mod 4$存在$q^n+q^{n-1}$阶实Hadamard矩阵的结果。此外，我们还提供了QUH矩阵不存在的条件。
Skew-Hadamard matrices of orders 188 and 388 exist
我们在47阶和97阶循环群上构造了几个差族，并利用它们构造了188阶和388阶的斜阿达玛矩阵。这种差分族和矩阵的构造在这里是第一次。这些矩阵是通过使用Goethals-Seidel数组构造的。
A class of skew-regular quaternary Hadamard matrices
本文研究了一类新的斜正则四元Hadamard矩阵，针对每个奇素数幂p，证明了阶为1+p²的矩阵存在性，其行和恒为1-pi，为生成具有极大超额的Hadamard矩阵提供了稳健框架。
Skew Hadamard Difference Sets from Dickson Polynomials of Order 7
偏Hadamard差集是一个有趣的研究课题超过七十年。长期以来，人们一直认为经典的Paley差集（$\mathbb{F}_q$中的非零二次剩余集，其中$q \equiv 3 \bmod{4}$）是阿贝尔群中唯一的例子。2006年，第一作者和袁文中证明了$\mathcal{D}_5(x^2,u)$的像集是$(\mathbb{F}_{3^m},+)$中的一个新的斜Hadamard差集，$m$为奇数，其中$\mathcal{D}_n(x,u)$表示第一类阶为$n$和$u \in \mathbb{F}_q^*$的Dickson多项式。证明中的关键观察是，对于$m$奇数，$\mathcal{D}_5(x^2,u)$是从$\mathbb{F}_{3^m}$到$\mathbb{F}_{3^m}$的平面函数。从那时起，几个新的家庭斜阿达玛差集已被发现。本文证明了对所有的$u \in \mathbb{F}_{3^m}^*$，集合$D_u := \{\mathcal{D}_7(x^2,u) : x \in \mathbb{F}_{3^m}^* \}$是$(\mathbb{F}_{3^m}, +)$中的斜Hadamard差集，其中$m$是奇数，$m \not \equiv 0 \pmod{3}$ .由于$\mathbb{F}_{3^m}$中的$\mathcal{D}_7(x^2,u)$不是平面的，所以证…
Pure Gauss sums and skew Hadamard difference sets
Chowla~（1962），McEliece~（1974），Evans~（1977，1981）和Aoki~（1997，2004，2012）研究了高斯和，其中某些整数幂是在有理数的范围内。这种高斯和称为{ \it pure}。特别地，Aoki（2004）给出了一个高斯和是纯的充要条件，这个充要条件是关于Dirichlet特征标模所涉及的乘法特征标的阶。本文研究了具有奇扩张度的纯高斯和$f$，并基于Aoki定理对它们进行了$f=5,7,9,11,13,17,19,23$的分类.此外，我们刻画了一个特殊的子类的纯高斯和鉴于应用程序的斜阿达玛差集。在此基础上，我们给出了有限域分圆类的斜Hadamard差集的一种新构造。
On Construction of Hadamard Matrices
本文借助于斜阿达玛矩阵，利用分块矩阵，导出了一系列阿达玛矩阵。利用Kronecker积，用分块矩阵基本上改变了斜Hadamard矩阵的内部结构。对于某一参数，求出了4t阶Hadamard矩阵，其中t为整数。
Strongly Regular Cayley Graphs, Skew Hadamard Difference Sets, and Rationality of Relative Gauss Sums
本文给出了强正则Cayley图和斜Hadamard差集的构造。这两种构造都是基于有限域上分圆类的选择，我们的结果将Schmidt和White [24]给出的11个分圆强正则图的散例中的10个和几个子域例子推广到无限族中.这些强正则图的无限族具有新的参数。我们采用的主要工具是相对高斯和，而不是明确的评价高斯和。
Difference families, skew Hadamard matrices, and Critical groups of doubly regular tournaments
在本文中，我们研究了与斜Hadamard差族（SDF）的一个，两个，或四个块的双正则竞赛图（DRT）的临界群的结构。Brown和Reid发现存在一个$n+1$阶的斜Hadamard矩阵等价于存在一个在$n$顶点上的DRT。一种公知的斜阿达玛矩阵阶$n$的构造是通过在阶为$n-1$的阿贝尔群中构造斜阿达玛差集。Paley skew Hadamard矩阵就是这样一个构造的例子。Szekeres和Whiteman从具有两个块的斜Hadamard差分族构造了斜Hadamard矩阵。Wallis和Whiteman利用四块斜Hadamard差分族构造了斜Hadamard矩阵。本文考虑了由1块、2块和4块的斜Hadamard差分族构成的斜Hadamard矩阵的DRT的临界群。我们计算的临界群的DRT与斜阿达玛差分家庭与两个或四个块。我们还计算了Paley竞赛的临界群，并证明了这个竞赛与我们考虑的其他DRT是不等价的。因此，我们证明了相关的斜Hadamard矩阵是不等价的。
Non-Existence of Some Nearly Perfect Sequences, Near Butson-Hadamard Matrices, and Near Conference Matrices
本文通过（近）Butson-Hadamard（BH）矩阵和（近）会议矩阵的关系，研究了（近）完美（近）$m$ -元序列的不存在性问题.首先，我们应用一个关于单位根消失和的结果和Brock关于分圆数域上某些方程的不可解性的结果，得到了近BH矩阵和近会议矩阵的不存在性结果。其次，在整数环不是主理想整环的分圆数域的情形下，我们改进了Brock的思想，得到了许多新的不存在性结果。
Equiangular tight frames in real symplectic space: Zauner's conjecture and the skew Hadamard conjecture
本文引入实辛空间中的等角紧框架概念，提出关于其存在性的猜想，并证明“辛Zauner猜想”等价于斜Hadamard猜想，其证明涉及对竞赛图中“菱形”子图的计数。
On the non-existence of skew-Hadamard difference sets in certain non-abelian groups
本文通过有理群代数结构，证明了若幂零群存在斜阿达马差集，则该群必为p-群，首次给出非交换群中斜阿达马差集的一般结构限制。
On a class of quaternary complex Hadamard matrices
引入了一类正则单位Hadamard矩阵，其元素由两个复数及其共轭组成，共四个复数.然后，我们表明，这些矩阵包含在玻色-梅斯纳代数的关联计划所产生的斜Paley矩阵。
Supplementary difference sets with symmetry for Hadamard matrices
首先，我们给出了已知的补充差集（SDS）（A_i），i=1. 4，具有参数（n;k_i;d），其中k_i= |A_i|，并且每个A_i是对称的或斜的，并且k_1 +. + k_4 = n + d。构造了25阶、27阶和49阶初等阿贝尔群上的五个新的Williamson矩阵.给出了4 n阶斜Hadamard矩阵的新例子，其中n= 47，61，127.最后一个是从我们构造的（127，57，76）-差分族中得到的。一个旧的非出版的例子G-矩阵的顺序37也包括在内。
A database of constructions of Hadamard matrices
本文在 SageMath 中构建覆盖阶≤1208的 Hadamard 与斜 Hadamard 矩阵构造数据库，修正文献错误，并更新至阶2999/999的最小指数表，还揭示其与 Riesel 数的关系。
A class of cyclic $(v;k_1,k_2,k_3;λ)$ difference families with $v \equiv 3 \pmod{4}$ a prime
我们构造了几个循环的$(v;k_1,k_2,k_3;λ)$差族，其中$v\equiv3 \pmod{4}$是素数，$λ=k_1+k_2+k_3-(3v-1)/4$是循环的.这些族可以与著名的Paley-Todd差集结合使用来构造$4v$阶的斜Hadamard矩阵。我们的主要结果是首次构造了$4\cdot239=956$阶和$4\cdot331=1324$阶的斜Hadamard矩阵的例子。
Generalized constructions of Menon-Hadamard difference sets
我们重新讨论了构造Menon-Hadamard差集的问题。1997年，Wilson和Xiang给出了利用${\mathrm{PG}}(3,q)$中的一个扩展集和四个Q型投射集的组合构造Menon-Hadamard差集的一般框架.他们还发现了适合$q=5,13,17$的扩散和Q型投射集的例子。随后，Chen（1997）成功地在${\mathrm{PG}}(3,q)$中找到了一个扩展的和四个Q型投射集，它们满足Wilson-Xiang构造中对所有奇素数幂$q$的条件。因此，他表明，存在一个梅农阿达玛差集的顺序$4q^4$的所有奇素数权力$q$。然而，陈发现的Q型投射集的自同构不同于Wilson和Xiang构造的例子。本文首先利用半本原分圆类推广了Chen的Q型投射集的构造。这表明，满足Wilson-Xiang构造中条件的Q型投射集的构造比原先认为的灵活得多。其次，我们对所有奇素数幂$q$给出了${\mathrm{PG}}(3,q)$中Q型扩集和投影集的一个新的构造，推广了Wilson和Xiang的例子.这解决了1997年Wilson-Xiang论文第5节中的一个问题。
Goethals--Seidel difference families with symmetric or skew base blocks
本文研究循环群中基块为对称或斜的 Goethals–Seidel 差族，通过扩展已有计算完成奇数 v<50 的分类，并构造多个新矩阵实例。
Note on divisible difference sets from Galois rings GR(9,n)
在${\Bbb F}_{3^n}$中存在斜Hadamard差集的假设下，利用Galois环$GR(3^2,n)$给出了${\Bbb Z}_{9}^n$中可分差集的一种新构造.
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