Wide-Sense 2-Frameproof Codes
各种类型的指纹码及其相关的组合结构被广泛研究，以保护受版权保护的材料。本文研究了一种特殊的指纹编码，即广义防帧码，以防止无辜用户被陷害。令$Q$是大小为$q$的有限字母表。给定一个$t$子集$X=\{x ^1,\ldots, x ^t\}\subseteq Q^n$，如果$X$的字的值在它们的$i$的第个位置：$x_i^1=\cdots=x_i^t$匹配，则位置$i$被称为对于$X$不可检测。$X$的广义后代集合由$\wdesc(X)=\{y\in Q^n:y_i=x_i^1,i\in {U}(X)\},$定义，其中${U}(X)$是$X$的不可检测位置的集合。如果对于所有具有$|X| \le t$的$X \subseteq {\cal C}$，$\wdesc(X) \cap{\cal C} = X$为${\cal C}\subseteq Q^n$，则代码${\cal C}\subseteq Q^n$被称为广义$t$防帧码。利用极值集理论中关于非$2$覆盖的Sperner族和相交族的技巧，改进了广义$2$防框架码的码长上界.
2020-06-12 math.CO
Secure Frameproof Code Through Biclique Cover
对于长度为$v$的二进制码$Γ$，如果对于所有$i=1,...,v$，我们有$w_i\in \{w_i^1, ..., w_i^r\}$，则$v$字$w$由码字$\{w^1,...,w^r\} \subseteq Γ$的集合产生。如果$|Γ|=t$和对于任何$v$-由大小至多为$r$的两个集合$C_1$和$C_2$产生的字，则这些集合的交集非空，则我们将代码称为$r$-大小为$t$的安全防帧。一个图$G$的$d$ -biclique cover（英语：$d$ -biclique cover）是$G$的$v$ -完全二部子图的集合，使得$G$的每条边至少属于这些完全二部子图中的$d$。本文证明了对于$t\geq 2r$，存在大小为$t$，长度为$v$的$r$ -安全防帧码当且仅当Kneser图${\rm KG}(t,r)$存在大小为$v$的1-biclique覆盖，该图的顶点都是$t$ -元集的$r$ -子集，且两个$r$ -子集相邻且它们的交集为空.然后我们研究了Kneser图的$d$ -biclique覆盖的最小尺寸与无覆盖族之间的关系，其中$(r,w; d)$无覆盖族是有限集的子集族，使得该族的任何$r$成员的交集至少包含不属于任何其他$w$成员的并集的$d$元素.同时，我们给出了Kneser图的1-偶团覆盖数的一个上界。
2012-02-09 math.CO
New results for traitor tracing schemes
在过去的二十年里，几类代码被引入到保护版权的数字数据。它们在数字指纹和广播加密方案等场景中有重要的应用。在本文中，我们将讨论三个重要的类这样的代码，即防帧码，父母识别码和可追溯码。首先，假设$N(t)$是最小整数，使得存在一个二元$t$ -防帧码，其长度为$N$，基数大于$N$，我们证明了$N(t)\ge\frac{15+\sqrt{33}}{24} (t-2)^2$，这是对以前已知的界$N(t)\ge\binom{t+1}{2}$的一个很大改进.此外，我们还发现$N(t)$的确定与Erdés，Frankl和Füredi在20世纪80年代提出的一个猜想密切相关，该猜想暗示了$N(t)=t^2+o(t^2)$的约束值$N(t)=t^2+o(t^2)$ .其次，我们得到了一个新的上限的父母识别码，这是优于所有以前已知的界限。第三，我们给出了3-可追溯码的一个上界，证明了长度为$N$的$q$元3-可追溯码最多可以有$cq^{\lceil N/9\rceil}$码字，其中$c$是一个只与码长$N$有关的常数.这是第一个有意义的上界3-溯源码，我们的结果支持Blackburn等人的猜想。在2010年提出。
2016-10-25 cs.IT math.CO math.IT
Improved Lower Bounds for Secure Codes and Related Structures
安全码是一种被广泛研究的组合结构，被引入广播加密中用于叛逆者追踪。确定这种结构的最大尺寸是主要的研究目标。本文研究了安全码及其相关结构的下界。首先，我们给出了一些改进的$2$ -防帧码和$\overline{2}$ -可分离码的速率的下界，对于稍大的字母表大小。然后，我们改进了一些相关结构的速率的下界，即，强$2$ -可分矩阵和$2$ -可消集族。最后，给出了强$t$ -可分矩阵和$t\ge 3.$的$t$ -可消集族的新下界的一般方法
2021-08-21 cs.IT math.CO math.IT
New LMRD bounds for constant dimension codes and improved constructions
我们推广上界的常维码包含一个提升的最大秩距离码首先由Etzion和Silberstein研究。证明允许构造几个改进的代码。
2018-01-15 cs.IT math.CO math.IT
Asymptotic bounds for the sizes of constant dimension codes and an improved lower bound
研究了随机线性网络编码中常维码的长度关于子空间或注入距离的渐近上界和下界上界。在这方面，我们回顾已知的上界，并显示它们之间的关系。Etzion和Silberstein提出了所谓的链接构造的稍微改进的版本，其例如用于构造具有子空间距离$d=4$、对于所有字段大小$q$的码字的维度$k=3$和对于包含提升的MRD码的码的环境空间的足够大的维度$v$的恒定维度码。
2017-05-10 cs.IT math.CO math.IT
Improved Gilbert-Varshamov bounds for hopping cyclic codes and optical orthogonal codes
跳频循环码（HCC）是具有每个给定码字的$n$循环移位都是不同的附加性质的（非线性）循环码，其中$n$是码长。等重二进制跳频循环码也被称为光正交码（OOC）。HCC和OOC具有各种实际应用，多年来已被广泛研究。本文的主要内容是提出改进的Gilbert-Varshamov型下界的这些代码时，最小距离的有界下的一个线性因子的代码长度。对于HCC，我们提高了以前最好的牛，邢，袁的代码长度的线性因子的下限。对于OOCs，我们提高了以前最有名的下界的钟，Salehi，魏，杨和Fuja的代码长度的二次因子。作为副产品，我们还提供了改进的下界跳频序列集和纠错弱互不相关码。我们的证明是基于概率论和图论的工具，特别是McDiarmid的不平等的浓度Lipschitz函数和独立数的局部稀疏图。
2023-01-05 cs.IT math.CO math.IT
Improved error bounds for the distance distribution of Reed-Solomon codes
我们使用生成函数的方法来获得简单的表达式的阶乘矩的距离分布在里德-所罗门码。我们得到了Li和Wan给出的计数公式的误差项的更好的上界，该计数公式给出了有限域上具有给定首系数和给定线性因子个数的多项式个数的非平凡估计。这一改进导致了新的结果，深孔分类的里德所罗门码。
2022-05-04 cs.IT math.CO math.IT
Improved Rank-Modulation Codes for DNA Storage with Shotgun Sequencing
我们研究了一组$\ell$ -gram的置换，这是可行的，在这个意义上说，有一个序列的$\ell$ -gram的频率具有相同的排名的置换。代码是一组可行的排列，使用秩调制方案保护存储在DNA分子中的信息，并使用鸟枪测序技术读取。我们构造了一个有效的编码算法的系统码，并表明它们是最佳的大小。对应于码字的DNA序列的长度在码参数中被示出为多项式。还构造了非系统的大规模的。
2021-01-15 cs.IT math.CO math.IT
Improved Semidefinite Programming Bound on Sizes of Codes
令$A(n,d)$（分别为$A(n,d,w)$）为长度为$n$且最小汉明距离至少为$d$的二进制码（分别为二进制恒定权重$w$码）中码字的最大可能数目。通过对Hamming立方体的Terwilliger代数进行块对角化得到的Schrijver半定规划界增加新的线性约束，得到了$A(n,d)$的两个新的上界，即$A(18,8) \leq 71$和$A(19,8) \leq 131$ .用同样的方法得到了$n \leq 28$的$A(n,d,w)$的23个新的上界.
2012-12-14 cs.IT math.CO math.IT
Improved Johnson-type Bounds for Insertion-Deletion Codes
Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University（山东大学数学交叉科学研究中心）
通过将每个局部列表编码为二进制常重码，改进了Hayashi和Yasunaga关于插入-删除码的Johnson型界，并利用McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch界得到渐近速率界。
2026-08-18 cs.IT math.CO math.IT
Improved Rate-versus-Distance Upper Bounds for LDPC Codes
Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University（山东大学数学与交叉科学研究中心）；Frontiers Science Center for Nonlinear Expectations, Ministry of Education（教育部非线性预期前沿科学中心）
本文提出新的框架估计LDPC码的余集图中球体大小，通过局部增长分析改进了Iceland和Samorodnitsky的上界估计，从而提升了LDPC码在特定相对距离下的速率上界。
2026-09-11 cs.IT math.CO math.IT
Improved Constructions of Skew-Tolerant Gray Codes
本文研究斜容错格雷码，提出了首个渐近非零的码构造（实现指数级改进）及线性时间编解码算法，并将定义扩展至非二进制字母表，为所有基m≥3提供了完整的m元斜容错格雷码构造。
2024-11-12 cs.DM cs.IT math.CO
Low-Density Parity-Check Codes From Transversal Designs With Improved Stopping Set Distributions
研究了基于正交拉丁方集的横向设计构造低密度奇偶检验（LDPC）码。通过将组合设计中构型的概念转移到拉丁方的层次上，我们深入地研究了所产生的码的停止集的发生和避免。已知停止集确定二进制擦除信道上的解码性能，并且对于小尺寸应该避免。基于大的简单结构的MOLS集，我们得到强大的约束条件，选择合适的子集，从而改善停止集分布相应的代码。我们重点研究列重为4的LDPC码，但结果也适用于构造列重更高的码。最后，我们表明，所提出的代码的子类具有准循环结构，允许低复杂度的编码。
2013-06-21 cs.DM cs.IT math.CO
Automated Discovery of Improved Constant Weight Binary Codes
本文提出两种自动策略，用于改进等重二进制码的下界，通过位交换禁忌搜索和贪心启发式方法，针对特定参数范围实现了码字的优化构造。
2026-02-26 cs.AI cs.DM cs.IT
Improved efficiency for covering codes matching the sphere-covering bound
一个覆盖码是一个子集$\mathcal{C} \subseteq \{0,1\}^n$，它的性质是任何$z \in \{0,1\}^n$在汉明距离上都接近某个$c \in \mathcal{C}$。对于每个$ε,δ>0$，我们证明了一族码的结构，相对覆盖半径$δ+ ε$和率$1 - \mathrm{H}(δ) $的块长度至多$\exp(O((1/ε) \log (1/ε)))$，每个$ε> 0$。这改进了仅保证块长度为$\exp(1/ε^2)$的码的传统构造。这个证明背后的主要思想是找到一个分布的代码与相对较小的支持，使大多数这些代码具有良好的覆盖性能。
2020-08-10 cs.CC cs.DM cs.IT
Improved Delsarte bounds for spherical codes in small dimensions
本文给出了Delsarte线性规划方法的一个推广。对于几个维度，它产生改进的上界接吻数和球形码。Musin最近关于三维和四维接吻数的工作可以在我们的框架中看到。
2008-03-10 math.CO
Improved Decoding of Expander Codes
我们研究了由Sipser和Spielman \cite{SS96}提出的经典扩展码。给定任何常数$0< α, \varepsilon < 1/2$，和一个任意的二分图与$N$顶点的左边，$M < N$顶点的右边，和左度$D$，使任何左子集$S$的大小最多$αN$至少有$(1-\varepsilon)|S|D$邻居，我们证明了相应的线性码给出的奇偶校验的权利至少有大约$\frac{αN}{2 \varepsilon }$的距离。当$\varepsilon < 1/2$时，这严格优于$2(1-\varepsilon ) αN$ \cite{Sudan2000note, Viderman13b}的最佳已知的先前结果，并且当$\varepsilon $小时，显著地改进了先前的结果。此外，我们表明，这个距离是紧的一般，从而提供了一个完整的表征一般扩展码的距离。接下来，我们提供了几个有效的解码算法，大大提高了以前的结果，无论何时$\varepsilon < \frac{1}{4}$的错误纠正的分数。最后，我们还给出了一般扩展码的列表译码半径的一个界，在某些情况下，它优于经典的Johnson界（例如，当图形几乎是规则的并且代码具有高速率时）。我们的技术利用新的组合性质的二部扩展图。特别是，我们建立了一个新的规模扩张的权衡，这可能是独立的利益。
2022-01-10 cs.CC cs.DS cs.IT
An Improved Linear Programming Bound on the Average Distance of a Binary Code
Ahlswede和Katona（1977）在Hamming空间中提出了如下等径问题：对于每个$n$和$1\le M\le2^{n}$，确定长度为$n$和长度为$M$的二元码的最小平均Hamming距离。Fu，Wei，and Yeung（2001）使用线性规划对偶来推导最小平均距离的下界。然而，他们的线性规划方法并没有得到充分利用。在本文中，我们通过寻找一个更好的可行解来改进Fu-Wei-Yeung的界。对于固定的$0<a\le1/2$和$M=\left\lceil a2^{n}\right\rceil $，我们的可行解都达到了傅卫杨对偶规划的渐近最优值$n\to\infty$ .因此，对于$0<a\le1/2$，所有可能的渐近界，可以推导出的Fu-Wei-Yeung的线性规划的特点。此外，注意到代码的平均距离与布尔函数的傅里叶系数的权重密切相关，我们还应用线性规划技术来证明各种程度的布尔函数的傅立叶权重的界。
2019-10-21 cs.DM cs.IT math.CO
Improved Bounds for $r$-Identifying Codes of the Hex Grid
对任意正整数$r$，图$G$上的$r$ -标识码是一个集合$C\subset V(G)$，使得对$V(G)$中的每个顶点，半径- $r$闭邻域与$C$的交是非空的且两两不同.对于有限图，码的密度是$|C|/|V(G)|$，它自然地扩展到某些局部有限的无限图中的密度定义。我们找到了一个密度小于$5/(6r)$的码，它比密度近似为$8/(9r)$的先验最佳构造更稀疏。
2010-04-08 math.CO
Improved Lower Bounds for Constant GC-Content DNA Codes
设计具有恒定GC含量并满足寡核苷酸与其沃森-克里克互补序列之间的汉明距离约束的大的寡核苷酸文库对于减少DNA计算、DNA微阵列技术和分子条形码中的杂交错误是重要的。已经研究了用于构建这种寡核苷酸文库的各种技术，范围从通过随机局部搜索的算法构建到通过编码理论的理论构建。我们引入了一种新的随机局部搜索方法，当n <= 14时，该方法对n-mer寡核苷酸文库的改进超过了Gaborit和King（2005）的基准下限的三分之一。我们还发现了几个最佳库，通过计算某些图上的最大团。
2008-03-26 cs.DS cs.IT math.CO
Improved Gilbert-Varshamov bound for sum-rank-metric codes via graph theory
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
本文通过图论方法改进了sum-rank度量码的Gilbert-Varshamov界，并探讨了其与集合着色Ramsey数的关系。
2025-12-16 math.CO
Improved Lower Bound for Locating-Dominating Codes in Binary Hamming Spaces
本文研究二元Hamming空间$\mathbb{F}^n$中的位置控制码。自从Slater和Rall在20世纪80年代提出定位控制码以来，定位控制码得到了广泛的研究。它们是适合于区分图中顶点的控制集。Hamming空间中的控制集和位置控制码已经在多篇文章中得到了研究。在此之前，Honkala等人（2004）已经给出了二元Hamming空间中位置控制码的一个下界。在本文中，我们改进了所有值$n\geq10$的下界。特别是，当$n=11$，我们设法提高以前的下界从$309$到$317$。该值非常接近$320$的当前最佳已知上界。
2021-02-10 math.CO
An improved lower bound for (1,<=2)-identifying codes in the king grid
如果对于所有大小至多为$\ell$的顶点子集$X$，其集合$\{c\in C |\exists u \in X, d(u,c)\leq 1\}$是不同的，则称图$G$的顶点子集$C$为$(1,\leq \ell)$ -标识码.识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。识别码已经在各种网格中进行了研究。特别地，已经表明，在密度为3/7的主网格中存在$(1,\leq 2)$识别码，并且不存在密度小于5/12的这种识别码。使用一个合适的框架和放电过程，我们通过显示任何$(1,\leq 2)$识别码的国王网格的密度至少为47/111，提高了下界。
2011-11-10 cs.DM math.CO
Generalized linkage construction for constant-dimension codes
常维码（CDC）是公共向量空间中具有上界两两相交的常维子空间的集合。我们改进和推广两个建设的CDC，改进的联动建设和平行的联动建设，广义的联动建设，从而产生许多改进的下界的基数CDC的数量不知道一般。
2019-11-13 math.CO
Counting Gray codes for an improved upper bound of the Grünbaum-Hadwiger-Ramos problem
本文给出了Grünbaum-Hadwiger-Ramos问题的一个改进的上界：设$d,n,k \in \mathbb{N}$使得$d \geq 2^n(1+2^{k-1})$ .给定$\mathbb{R}^d$上的$2^{n+1}$质量，则在$\mathbb{R}^d$中存在$k$超平面，该超平面将其划分为关于所有度量大小相等的$2^k$集合。这是对Mani-Levitska，Vrehenica & Jenivaljević在2006年提出的前一个绑定$d \geq 2^{n + k}$的改进。这是通过对某些格雷码模式的数量进行模2分类来实现的。Blagojević，Frick，Haase & Ziegler在2016年开发了该算法。它利用面向$k$的超平面的对称群$(\mathbb{Z}/2)^k \rtimes \mathfrak{S}_k$的群作用。如果我们限制到子群$(\mathbb{Z}/2)^k$作为Mani-Levitska等人。我们检索他们的界限。
2022-03-25 math.CO math.GT
