Graver Bases and Universal Gröbner Bases for Linear Codes
已经提供了将有限域上的任何线性码与二项式理想相关联的两个对应。本文给出了计算它们的Graver基和泛Gröbner基的算法。为此，将建立这些二项式理想和环面理想之间的联系。
2014-05-07 cs.IT math.AC math.IT
Ideal codes over separable ring extensions
本文研究了可分环扩展的理论代数概念在循环卷积码或更一般的理想码领域中的应用。我们在非常温和的条件下工作，涵盖了所有以前已知的以及新的非平凡的例子。本文证明了理想码是作为基础非交换代数的左理想的直和项，类似于循环分组码。这意味着，特别是，它们是由一个幂等元生成的。因此，通过使用一个合适的可分性元素，我们设计了一个有效的算法来计算这样的幂等元之一。
2014-08-07 cs.IT math.IT math.RA
Minimum distance functions of graded ideals and Reed-Muller-type codes
引入并研究了域中系数的多项式环中分次理想的最小距离函数，证明了它推广了有限域上投射Reed-Muller型码的最小距离.这给出了一个代数公式的最小距离的投影Reed-Muller型码的代数不变式和结构的基本消失理想。在此基础上，给出了一种基于Groebner基和Hilbert函数的Reed-Muller型码的最小距离的下界估计方法。最后，我们给出了射影套卡氏集上多项式零点个数的明确的上界，并对Carvalho，Lopez-Neumann和Lopez的一个猜想给予了支持.
2016-06-12 cs.IT math.AC math.AG
Constacyclic Codes over Commutative Finite Principal Ideal Rings
对于长度与环的特征互质的有限交换链环上的任意常循环码，我们构造了生成多项式和校验多项式，并给出了这类常循环码的BCH界.因此，这种常循环码是主要的。进一步得到了有限交换主理想环上的循环码都是主环的一个充要条件。这个条件仍然是充分的常循环码在这样的环是主要的。
2021-05-20 cs.IT math.IT math.RA
Linear complementary pair of group codes over finite principal ideal rings
群代数$R[G]$上的群码对$(C, D)$称为线性互补对（LCP），如果$C \oplus D =R[G]$，其中$R$是有限主理想环，$G$是有限群.给出了群代数$R[G]$上的一对$(C, D)$群码是LCP的一个充要条件.然后证明了如果$C$和$D$都是$R[G]$上的群码，则$C$和$D^{\perp}$是置换等价的.
2020-12-24 cs.IT math.IT
Left ideal LRPC codes and a ROLLO-type cryptosystem based on group algebras
本文利用群代数引入左理想低秩校验码，并将其推广到ROLLO-IKEM。
2022-10-21 cs.CR cs.IT math.IT
On the weak order ideal associated to linear codes
在这项工作中，我们研究了一个弱序理想的陪集领导人的非二进制线性码。该集合允许陪集前导码的增量计算和前导码字集合的定义。这组码字具有一些很好的性质，这些性质与$\mathbb F_q^n$中向量的广义支撑上的权重相容序的单调性有关，这些性质允许我们用前导码字来描述线性码的测试集、试验集和零邻居集。
2017-05-17 cs.IT math.IT
On Counting Subring-Subcodes of Free Linear Codes Over Finite Principal Ideal Rings
设$R$是有限主理想环，$S$是$m$度的$R$的Galois扩张.对于$k$和$k_0$，正整数，我们确定了具有$k = rank_S(B)$和$k_0 = rank_R (B\cap R^l)$性质的长度为$l$的自由$S$ -线性码$B$的数目。这纠正了有限域情形下的一个错误结果。
2016-12-07 cs.IT math.IT
Optimal and minimal $p$-ary linear codes from generalized order ideals of hierarchical posets
University of South Florida（南佛罗里达大学）
本文引入分层偏序集的广义序理想，构造了最优和极小的 $p$ 元线性码，确定了补码的重量分布，并获得了违反 Ashikhmin--Barg 条件的无限码族。
2026-09-29 cs.IT math.CO math.IT
Matrix Codes as Ideals for Grassmannian Codes and their Weight Properties
给出了一种构造素域$GF(p)$上矩阵码提升子空间距离的格拉斯曼码的系统方法。矩阵码是$GF(p)$上的$2 \times 2$矩阵的环$M_2(GF(p))$的$GF(p)$ -子空间，在其上应用秩度量，并且由$M_2(GF(p))$的幂等元生成为单侧真主理想。在此基础上，利用等价齐次条件研究了非交换矩阵环$M_2(GF(p))$上的权函数，即$p$的幂函数$q$. $M_2(GF(q))$的秩权分布完全由一般线性群$GL(2,q)$决定。最后，本文用类似的方法定义了子空间码的权函数，并研究了它的平等性。
2015-02-20 cs.IT math.IT
On the dimension of ideals in group algebras, and group codes
通过对正则表示的极小多项式的分析，确定了群代数中主理想维数的几个关系和界。最后两节中使用了这些结果。首先，在半单群代数的背景下，计算，对于任何阿贝尔码，一个元素的汉明重量等于它的维数。最后，给出了某些MDS群码的最小距离的界。给出了一类群码与MDS码的关系。举例说明的主要结果提供。
2020-07-22 cs.IT math.IT math.RT
On a class of constacyclic codes over the non-principal ideal ring $\mathbb{Z}_{p^s}+u\mathbb{Z}_{p^s}$
研究了非主理想环$\mathbb{Z}_{p^s} +u\mathbb{Z}_{p^s}$上任意长度的$(1+pw)$-常循环码，其中$p$是素数，$w\in \mathbb{Z}_{p^s}^{\times}$和$s$是满足$s\geq 2$的整数.首先给出了$\mathbb{Z}_{p^s} +u\mathbb{Z}_{p^s}$上任意$(1+pw)$ -常循环码的结构.然后分别给出了所有码的个数、每个码中码字的个数以及这些码的对偶码的结构。然后研究了环$\mathbb{Z}_{2^s} +u\mathbb{Z}_{2^s}$上的自对偶$(1+2w)$ -常循环码，其中当$s\geq 3$为$w=2^{s-2}-1$或$2^{s-1}-1$，当$s=2$为$w=1$.
2017-03-02 cs.IT math.IT
3-Dimensional Optical Orthogonal Codes with Ideal Autocorrelation-Bounds and Optimal Constructions
本文提出了几种新的三维光正交码的构造方法。在每种情况下，码具有理想的自相关$\mathbf{ λ_a=0} $，并且在除了一种情况之外的所有情况下具有$ \mathbf{λ_c=1} $的互相关。所有的代码都是最佳的适用约翰逊约束或在这里提出或开发。因此，一方面，代码尽可能大，另一方面，边界被证明是紧的。所有的代码都是通过使用$ \mathbf{ PG(k,q)} $的一个特殊的自同构（一个辛格循环），在$ \mathbf{q} $阶域上的维数为$ k $的有限射影几何，或者通过使用$ AG(k,q) $中的仿射类似物来构造的。
2017-02-21 cs.IT math.IT
Rational points of lattice ideals on a toric variety and toric codes
该研究提出用Smith标准形计算有限域环面簇上齐次格理想定义子群的有理点个数，证明有限域零点定理型对应关系，并推广了Hirzebruch曲面上广义环面码的参数计算结果。
2023-05-03 cs.IT math.AC math.AG
Computing Vanishing Ideals for Toric Codes
本文提出了计算有限域上单纯完全toric簇特定子集及有理点集消失理想的方法，并给出了加权射影空间情形下利用数值半群环定义理想生成元的构造，为纠错码理论提供了有效工具。
2025-05-30 cs.IT math.AC math.AG
Self-dual binary $[8m, 4m]$-codes constructed by left ideals of the dihedral group algebra $\mathbb{F}_2[D_{8m}]$
令$m$是任意正整数，并且$D_{8m}$是$8m$阶的二面体群，即，$D_{8m}=\langle x,y\mid x^{4m}=1, y^2=1, yxy=x^{-1}\rangle$。二面体群代数$\mathbb{F}_2[D_{8m}]$的左理想被称为长度为$8m$的二元左二面体码，并且被缩写为二元左$D_{8m}$ -码。本文给出了所有不同自对偶二元左$D_{8m}$ -码的显式表示和计数。这些码构成了一类重要的自对偶二元$[8m,4m]$ -码，使得二面体群$D_{8m}$是每个码的自同构群的必要子群。特别地，我们提供了递归算法来解决有限链环上的同余方程，以构造所有不同的自对偶二元左$D_{8m}$ -码，并获得了一个质量公式来计算所有这些自对偶码的数量。作为一个初步的应用，我们分别从自对偶二元左$D_{48}$-码和左$D_{56}$-码得到了极值自对偶二元$[48,24,12]$-码和极值自对偶二元$[56,28,12]$-码.
2019-08-09 cs.IT math.IT
Efficient List-decoding of Polynomial Ideal Codes with Optimal List Size
本文将随机打孔Reed-Solomon码的最优列表译码结果扩展至多项式理想码，证明了其在不同大小字母表上达到或近似达到Singleton界，并提出了多项式理想GM-MDS定理与对偶定理作为新证明要素。
2024-12-19 cs.IT math.IT
Ideal-theoretic Explanation of Capacity-achieving Decoding
本研究提出代数纠错码的理想论抽象框架，从线性算子视角分析列表译码性能，衍生出仿射折叠里德-所罗门码，统一解释了多类码的可达容量译码结果并推广了已有码类。
2023-12-20 cs.IT math.IT
Indicator functions, v-numbers and Gorenstein rings in the theory of projective Reed-Muller-type codes
本文研究射影Reed-Muller型码的对偶性，利用v-数、Hilbert函数和指示函数给出全局对偶判据，推广了Gorenstein消失理想上的对偶定理，并分类了自对偶码及计算广义Hamming权函数的正则度指标。
2024-05-25 cs.IT math.AC math.AG
Polycyclic codes over Galois rings with applications to repeated-root constacyclic codes
循环码、双循环码和常循环码是称为多环码的更大类码的一部分;即，可以被视为多项式环的因子环的理想的那些码。研究了GR（p^a，m）上多环码的环境环的结构及其理想的生成集。结合环境环的一些结构细节，证明了理想的某类生成集的存在性。
2012-09-29 cs.IT math.IT math.RA
Standard Bases for Linear Codes over Prime Fields
已知线性码可以由二项式理想表示。本文给出了素域上线性码情形下多元多项式环的局部化理想的标准基。
2017-08-18 cs.IT math.IT
Spatially Coupled Codes and Optical Fiber Communications: An Ideal Match?
在本文中，我们突出了类空间耦合码，并讨论其适用于长距离和海底光通信系统。我们首先展示了如何优化不规则空间耦合LDPC码，他们在光通信中使用有限的解码硬件复杂度，然后提出了基于FPGA的解码器，我们表明，非常低的出错率可以实现和传统的基于块的LDPC码的仿真结果可以优于。在本文的第二部分中，我们专注于空间耦合LDPC码与不同的解调器和检测器的组合，重要的是未来的系统与自适应调制和不同的信道特性。我们证明，SC码可以作为通用的，信道不可知的编码方案。
2015-05-20 cs.IT math.IT
On the structure of polynomial ideal codes and additive Reed--Solomon codes
IMUVa-Mathematics Research Institute, University of Valladolid（IMUVa数学研究所，巴利亚多利德大学）
该论文研究折叠汉明度量下PI码与aRS码的结构，推导其对偶性、QMDS性质等，证明不可约多项式定义的PI码对应非共轭评价点的aRS码，扩展PI码族并分析相关码的QMDS性质。
2026-10-16 cs.IT math.IT
On the Rank Decoding Problem Over Finite Principal Ideal Rings
在过去的十年中，秩解码问题一直是备受关注的主题。这个问题是基于秩度量码的公钥密码系统安全性的基础，传统上是在有限域上研究的。但是，最近的推广某些类的秩度量码从有限域有限环自然产生的兴趣，以解决有限环的情况下的秩译码问题。本文证明了有限主理想环上的秩译码问题的求解至少与有限域上的秩译码问题一样困难。我们还表明，计算有限主理想环上的线性码的最小秩距离是等价于相同的问题，在有限域上的线性码。最后，我们提供了解决有限链环上的秩译码问题的组合型算法及其平均复杂度。
2022-08-15 cs.IT math.IT
A decoding algorithm for binary linear codes using Groebner bases
已经发现线性码可以由二项式理想描述。这使得用交换代数和代数几何方法研究线性码成为可能。本文利用伴随理想的Groebner基给出了二元线性码的一个译码算法。
2018-10-09 cs.IT math.IT
Construction and Decoding of Error--Correcting Codes from Ideal Lattices of Finite Ternary Gamma Semirings
Government College (A), Rajahmundry（拉贾穆德里政府学院(A)）；Acharya Nagarjuna University, Guntur（甘图尔阿查里亚·纳加尔朱纳大学）；Government College For Women(A), Guntur（甘图尔女子政府学院(A)）
本文提出基于三元Gamma半环的理想格构造非线性、非二进制纠错码，并开发了新的解码方法，扩展了代数编码理论的边界。
2025-11-24 cs.IT math.IT math.RA
Multi-twisted codes as free modules over principal ideal domains
本章首先介绍有限域上循环码的简单代数结构。这种结构经历了一系列的推广，目前常循环，准循环（QC），准扭曲（QT），广义准循环（GQC），和多扭曲（MT）码的代数描述。建立这些代码与自由$\mathbb{F}_q[x]$ -模块$\left(\mathbb{F}_q[x]\right)^\ell$的子模块之间的对应关系。因此，这些码中的任何一个对应于主理想域（PID）$\mathbb{F}_q[x]$上的自由线性码。该代码的基础存在，并用于构建具有多项式条目的生成器矩阵，称为生成器多项式矩阵（GPM）。利用PID上矩阵的Hermite范式实现了MT码的约简GPMs。介绍了约化GPM的一些性质，如恒等式。本文给出了MT码的对偶码$\mathcal{C}^\perp$的GPM公式。在这一点上，特别注意QC代码。对于QC代码$\mathcal{C}$，我们定义其反向代码$\mathcal{R}$。如果$\mathcal{R}=\mathcal{C}$或$\mathcal{C}^\perp=\mathcal{C}$分别称为$\mathcal{C}$可逆或自对偶。给出了$\mathcal{R}$的GPM公式。我们的特点GPMs的QC码，结合可逆性和自对偶/自正交性。对于有兴趣运行计算机搜索最佳代码的读者，我们展示了二进制自正交可逆QC码的存在性，它具有线性码的最佳已知参数。这些结果可以通过使用…
2022-04-07 cs.IT math.IT math.RA
