Gravitational Lensing
引力透镜已经发展成为分析暗宇宙的最有力的工具之一。本文综述了引力透镜的基本理论、主要应用和迄今取得的代表性成果。它有两个部分。首先从测地偏差方程出发，导出了薄的和扩展的引力透镜方程。第二部分讨论和总结了恒星和行星、星系、星系团和大尺度结构的引力透镜效应。
2010-10-19 astro-ph.CO gr-qc
Can continuous density profile correctly describe strong gravitational lensing?
强引力透镜是探测宇宙的重要工具。在引力透镜的理论分析中，假设连续密度剖面能正确描述透镜星系。但事实上，这一假设从未得到严格的检验。本文讨论了这一问题，指出如果我们用离散密度剖面来模拟透镜星系，那么像的位置不会改变，但放大倍数会增加。强透镜引力波可以在未来验证这一结论。
2017-11-07 astro-ph.CO
Reconstruction of Gravitational Lensing Using WMAP 7-Year Data
大尺度结构的引力透镜在宇宙微波背景中引入了非高斯性，并印刻了一个新的可观测量，它可以作为宇宙学的探针。我们应用一个四点估计威尔金森微波各向异性探测器（WMAP）的7年共加温度图单独重建的引力透镜信号。对高斯噪声进行了模拟和扣除，并对高阶噪声进行了研究。我们测量的引力透镜信号的统计幅度为$\mathcal {C}$ = $1.27\pm 0.98$使用的所有相关的W和V波段差分组件（DA）。因此，我们得出结论，WMAP 7年的数据本身，不能检测透镜。
2011-11-09 astro-ph.CO
An excess of non-Gaussian fluctuations in the cosmic infrared background consistent with gravitational lensing
宇宙红外背景（CIB）是引力透镜。从宇宙微波背景（CMB）的透镜分析中继承的二次估计技术可以应用于检测CIB透镜效应。然而，CIB波动本质上是强非高斯的，使得CIB透镜重建高度偏置。我们进行了数值模拟，以估计固有的非高斯性，并建立了一个互相关的方法来精确地提取CIB透镜信号从原始数据。我们将这种技术应用于CIB数据从普朗克卫星和交叉相关的CIB数据，星系数计数和CMB透镜的潜力得到的透镜估计。我们在$>4σ$检测到与透镜贡献一致的过量。
2019-05-06 astro-ph.CO
Lensing efficiency for gravitational wave mergers
我们深入了解引力透镜对通过引力波观测到的合并双星的估计分布的影响。我们量化的几何光学极限的引力波事件的放大效率，我们比较电磁的情况下，通过最小的假设的源人口的内在属性的分布。我们发现，透镜效应留下一个可识别的签名上观察到的速率，并且它们可以是突出的，只有在一个非常陡峭的质量函数（或红移演化）的存在下，主要是在低推断红移。我们的结论是，引力放大率并不代表一个重要的系统的引力波合并研究在LIGO-Virgo时代。
2020-01-04 astro-ph.CO
Mapping the cosmic mass distribution with stacked weak gravitational lensing and Doppler lensing
暗物质晕代表物质分布中密度最高的峰。相反，宇宙空洞是宇宙中密度较低的区域。探测宇宙的质量分布需要各种方法，包括微弱的引力透镜，它微妙地改变了遥远源的形状，多普勒透镜，由于特殊的速度而改变了物体的表观尺寸和大小。在这项工作中，我们采用引力和多普勒透镜效应来研究宇宙空洞/晕及其周围的物质分布。我们使用相对论$N$体代码\texttt{gevolution}，产生质量扰动，并开发一个新的光线追迹代码，依赖于设计的射线束方法。我们考虑了三种类型的晕质量和空洞半径，并提取宇宙学信息，通过堆叠周围的空洞/晕弱透镜和多普勒透镜信号。本文的结果表明，结合引力和多普勒透镜效应来映射质量分布的最佳策略应该集中在红移范围$z\approx 0.3-0.4$。本文的建议是，未来的光谱调查应该集中在这些红移，并利用引力和多普勒透镜技术，以提取有关整个宇宙网络，特别是宇宙空洞内部的底层物质分布的信息。这可以为正在进行的或未来的低红移光谱调查提供补充的宇宙学分析。
2021-12-08 astro-ph.CO
Gravitational lensing of binary systems in wave optics
本文首次详细计算了双星系统引力透镜中的波动光学效应。这个领域在概念上是丰富的，结合了经典引力透镜中产生的焦散奇点和量子（波）干涉效应。新技术使我们能够克服以前的计算障碍。射电天文学的最新发展提供了观测机会，虽然仍然是未来的，但似乎很有希望。
2020-08-03 astro-ph.CO gr-qc
Reducing the weak lensing noise for the gravitational wave Hubble diagram using the non-Gaussianity of the magnification distribution
引力波源是一种很有前途的宇宙学标准烛光，因为它们的本征光度由基础物理决定（并且对尘埃消光不敏感）。然而，由于沿视线结构的引力透镜，它们受到弱透镜放大率的影响。即使在完美的标准烛光测量的极限下，这种透镜效应也是距离测定中不确定性的来源。通常认为，到一个引力波源集合的距离的不确定性受到透镜放大率分布的标准偏差除以源数量的平方根的限制。在这里，我们表明，通过利用透镜放大率分布的非高斯性质，我们可以提高这种距离的确定，通常由2- 3的因素，我们提供了一个拟合公式的有效距离精度作为红移的源的透镜噪声占主导地位。
2010-06-27 astro-ph.CO
Digging into dark matter with weak gravitational lensing
普通重子粒子（如质子和中子）只占宇宙中总物质的六分之一。剩下的是一种神秘的“暗物质“成分，它不通过电磁力相互作用，因此既不发射也不反射光。然而，越来越多的证据表明它的引力影响。在过去的几年里，在观测弱引力透镜方面取得了特别的进展，弱引力透镜是指由于前景质量周围的空间曲率而使来自遥远星系的光发生轻微偏转。哈勃太空望远镜最近的观测为暗物质的存在提供了直接的证据，并首次测量了它的性质。我们回顾了最近的研究结果，展望了未来引力透镜观测的前景和挑战。
2009-06-08 astro-ph.CO
Consistency relations of amplitude and phase fluctuations of gravitational waves magnified by strong gravitational lensing
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
研究通过强透镜和宇宙弱透镜共同作用，推导引力波振幅和相位波动的放大因子，并验证在强透镜存在时一致性关系仍保持原形式。
2026-07-07 astro-ph.CO
On the simulation of gravitational lensing
引力透镜指的是光被天体的引力偏转，天体通常主要由暗物质组成。通过引力透镜看，遥远星系的图像似乎是扭曲的。本文讨论了引力透镜引起的图象畸变的模拟。其目的是通过一个简单的工具来可视化假设，以提高我们对引力透镜如何工作的理解。模拟器还可以生成用于机器学习的合成数据，这将有望使我们能够反转失真函数，这是目前分析上不可能的。
2023-03-21 astro-ph.CO astro-ph.IM
Gravitational Lensing in Spherically Symmetric Spacetimes
本文提出了一个用1+1+2协变方法研究球对称时空中引力透镜的框架。的偏转角的一般公式推导出来，我们展示了如何可以用来恢复史瓦西时空的标准结果。
2010-02-10 astro-ph.CO gr-qc
Stellar prospects for FRB gravitational lensing
快速射电暴（FRB）的引力透镜效应为许多宇宙学应用提供了一条令人兴奋的途径。然而，目前尚不清楚未来的调查将检测到多少此类事件，也不清楚如何以最佳方式找到它们。我们使用FRB的已知属性来预测延迟时间尺度从微秒到年的引力透镜的检测率，对应于跨越15个数量级的透镜质量。我们强调的FRB红移分布的作用，我们观察引力透镜的能力。我们认为宇宙学透镜的FRB恒星在前景星系，并表明，强大的恒星透镜将占主导地位的微秒时间尺度。即将到来的巡天，如DSA-2000和CHORD，将限制致密天体（如原始黑洞）中暗物质的比例，并可能探测到来自中等质量黑洞（IMBH）或小暗物质晕的millilensing事件。相干全天空监测器将能够探测到大质量星系的长时间透镜事件，以及短时间尺度的透镜现象。最后，我们提出了一个新的应用FRB的引力透镜，将直接测量的介入星系的环星系介质。
2022-06-28 astro-ph.CO astro-ph.HE
A New Method for PSF correction using the Ellipticity of Re-smeared Artificial Images in Weak Gravitational Lensing Shear Analysis
提出了一种新的点扩散函数修正方法，该方法利用与透镜像具有相同椭圆率的人工像对弱引力透镜剪切进行修正。这避免了与先前方法中使用的PSF校正中的近似相关联的系统误差。我们测试了新的方法与模拟对象具有高斯或Cersic轮廓涂抹高斯点扩散函数，并确认没有系统误差。
2014-03-28 astro-ph.CO
Three-dimensional weak gravitational lensing of the 21-cm radiation background
在三维弱引力透镜理论中，我们利用21厘米辐射背景的宇宙大尺度结构研究了弱引力透镜。详细分析了有限分辨率下测量的源距、能见度和透镜项之间的相互作用，并导出了总协方差$C_{\ell}(k,k')$。透镜效应通过卷积将不同的多极子关联起来，打破了21厘米辐射背景的统计均匀性。可以利用这种均匀性破坏来借助于二次估计器重建透镜场$\hatϕ_{\ell m}(κ)$和噪声透镜重建$N_{\ell}^{\hatϕ}$。与实际测量过程相关的效应（红移精度和可见度项）会使总协方差$C_{\ell}(k,k')$的非对角项的值发生剧烈变化。预计探测21厘米辐射背景上的透镜效应将需要进行敏感的研究，并通过未来的低频无线电阵列进行高分辨率观测，如SKA调查。
2022-05-07 astro-ph.CO
Plasma lensing in comparison to gravitational lensing -- Formalism and degeneracies
引力透镜和等离子体透镜在几何光学的极限下具有相同的数学形式。这两种现象都可以有效地描述了一个投影，二维偏转电位的梯度导致一个单一的，薄透镜平面的瞬时光偏转。我们强调的时间延迟和透镜方程的差异，因为等离子体透镜是由一个潜在的直接成比例的偏转电子数密度和引力透镜是由一个潜在的相关的偏转质量密度的泊松方程。由于我们把等离子体和引力透镜看作薄屏有效理论，它们的简并都是由偏转物体的未知分布引起的。推导了等离子体透镜的形式主义内禀简并，发现它们与引力透镜中的简并类似。为了打破简并，星系和星系团尺度的强引力透镜必须依赖于额外的假设或补充观测。物理上现实的假设，以达到自洽透镜和源重建可以提供模拟和分析有效的理论。在等离子体透镜中，对偏转电子密度分布的更深入理解仍在发展中，因此基于模型的全面透镜重建尚不可能。然而，我们表明，瞬态透镜和多波长观测有助于打破所产生的简并。我们的结论是，发展一个基于观测的推断本地透镜性能目前似乎是最好的方式，以进一步探测等离子体电子密度的形态。由于更简单的证据为基础的破坏的透镜退化，我们期望获得更严格的约束，局部等离子体电子密度比引力偏转群众。
2020-06-29 astro-ph.CO astro-ph.HE
Topological Defects in Gravitational Lensing Shear Fields
由弱引力透镜引起的剪切场具有典型的相干模式。我们用透镜势所描述的曲面曲率来描述剪切场中的拓扑缺陷。利用椭球晕产生的势面脐点对特征缺陷作了简单的解释。我们模拟透镜剪切图，并指出典型的缺陷配置。最后，我们展示了如何统计特性，如丰富的缺陷可以表示在透镜势的关联函数。
2009-06-01 astro-ph.CO cond-mat.stat-mech
Redshift drift of gravitational lensing
研究了强引力透镜中红移漂移的影响。红移漂移产生了一个时间变化的$i)$，一个透镜源的表观位置和$ii)$的时间延迟之间的传入信号从不同的图像。我们把这些效应分别称为角漂移和时间延迟漂移，并分析了它们在宇宙学中的相关性。
2017-03-15 astro-ph.CO gr-qc
Weak Gravitational Lensing
本章系统概述弱引力透镜的基础理论、宇宙学应用、观测分析方法、系统效应及当前巡天成果与未来前景。
2025-10-03 astro-ph.CO astro-ph.IM
Hierarchical Bayesian scheme for measuring the properties of dark energy with Strong gravitational lensing
为了了解我们的宇宙，目前的天空观测已经非常精确。勘测图提供的现象之一是引力效应。阿尔伯特·爱因斯坦（1936）首先基于他的广义相对论讨论了引力透镜效应的可能性，这可能会给我们一些关于宇宙学的信息。我们经常将这些效应按微透镜、弱透镜和强透镜类型分类。本文主要研究强引力透镜，特别是双源平面透镜系统。最近人们认识到，双透镜事件可以为我们提供另一种约束宇宙学参数的方法。为了大致了解“可以找到多少个这样的透镜事件”，我们建立了一个玩具模型，然后使用几个贝叶斯模型，以便对人工绘制的数据集进行统计分析。结果表明，双透镜实际上是约束宇宙学参数的有希望的对象。
2018-04-08 astro-ph.CO gr-qc
Amplitude and phase fluctuations of gravitational waves magnified by strong gravitational lensing
我们讨论了菲涅耳尺度上的小尺度密度扰动如何影响几何光学中被引力透镜放大的引力波的振幅和相位。我们推导出连接小尺度密度扰动与振幅和相位波动的方程，以表明这种微扰波动光学效应在宏观模型放大率的存在下显着增强，从而可以很容易地观察到高度放大的引力波的振幅和相位波动。我们讨论了由于恒星，暗物质子结构，模糊暗物质和原始黑洞微透镜预期的信号。
2022-07-20 astro-ph.CO gr-qc
Instrumental systematics and weak gravitational lensing
我们提出了一个教学审查的弱引力透镜测量过程及其连接的主要科学问题，如暗物质和暗能量。然后，我们描述了参数化系统误差和了解他们如何影响弱透镜测量的常见方法。最后，我们讨论了几个仪器系统学，以及它们如何适应这种情况下，并得出结论，在理解仪器系统学对弱透镜测量的影响方面，可以取得一些进展，未来的观点。
2015-03-30 astro-ph.CO astro-ph.IM
lensingGW: a Python package for lensing of gravitational waves
先进的LIGO和先进的Virgo可以在未来几年内观察到第一个透镜引力波，而未来的爱因斯坦望远镜可以观察到数百个透镜事件。地基引力波探测器可以分辨出观测频率倒数数量级的到达时间差。由于LIGO/Virgo的频带跨度从几个$\rm Hz$到几个$ \rm kHz$，因此当前干涉仪的典型时间分辨率为毫秒级。当微透镜嵌入星系或星系团中时，透镜效应会变得更加突出，并导致在LIGO/Virgo频率下可观察到的时间延迟。因此，引力波可以提供一个令人兴奋的替代探针的微透镜。然而，目前，在引力波透镜的背景下，只有少数透镜配置已经制定出来。在本文中，我们提出了lensingGW，一个Python包，旨在处理强和微透镜的紧凑的二进制和相关的引力波信号。这种协同作用铺平了道路，系统的参数空间调查和检测任意的镜头配置和紧凑的来源。我们展示了lensingGW的工作机制及其用于研究嵌入在星系中的微透镜。
2020-06-23 astro-ph.CO astro-ph.GA astro-ph.HE
Probing the dark matter issue in f(R)-gravity via gravitational lensing
本文从引力透镜的角度讨论了一般解析f（R）引力理论的弱场极限。虽然引力势中的一个额外的汤川项改变了相对于广义相对论标准牛顿极限的动力学，但由于后牛顿极限中的适当抵消，无质量粒子的运动结果不受影响。因此，所有的透镜观测量都等于从广义相对论已知的观测量。由于f（R）-引力声称，除其他事项外，是一个可能的解决方案，以克服在维里化系统中的暗物质的需要，我们讨论的影响，我们的结果的动力学和引力透镜分析。在这个框架下，动力学理论原则上能够再现天体物理学的观测结果，而不需要再回到暗物质，但是在引力透镜的情况下，我们发现暗物质是一个不可避免的成分。另一个重要的含义是，在后牛顿极限下，引力透镜不能约束这些扩展理论，因为它们的预言与广义相对论没有区别。
2011-12-02 astro-ph.CO gr-qc
Lensing of 21-cm Fluctuations by Primordial Gravitational Waves
来自黑暗时代的21厘米辐射强度模式的弱引力透镜畸变可以几何地分解为旋度和无旋度分量。原始引力波的透镜效应会产生旋度分量，而密度涨落的透镜效应的贡献则被强烈抑制。在21厘米背景下的角涨落延伸到非常小的角尺度，并且在不同频率下的测量探测了红移空间中不同的壳层。因此，有大量的信息可以用来重建透镜场的旋度分量，从而可以探测到小到r ~ 10^{-9}的张量与标量之比--远小于目前可获得的值。
2011-12-02 astro-ph.CO gr-qc hep-ph
Probing the theory of gravity with gravitational lensing of gravitational waves and galaxy surveys
引力波应变与即将到来的星系巡天的互相关以一种新的方式探索引力理论。这种方法能够通过结合来自引力波的引力透镜和时空中的引力波的传播的影响来检验引力理论。我们发现，在10年内，结合先进的LIGO和处女座探测器网络与计划星系调查应该检测弱引力透镜的引力波在低红移宇宙（$z<0.5$）。随着下一代引力波实验如旅行者号、LISA、宇宙探测器和爱因斯坦望远镜的出现，我们可以利用电磁波和引力波探测器之间的协同效应，将引力理论的测试扩展到更大的红移。
2020-03-20 astro-ph.CO astro-ph.GA gr-qc
Finslerian MOND versus the Strong Gravitational Lensing of the Early-type Galaxies
子弹星系团和早型星系的引力透镜效应对MOND的有效性提出了严峻的挑战。Finsler MOND是在Finsler引力框架下对MOND的推广，最近有人提出了Finsler MOND来解释子弹星系团1E0657\ 558的质量差异问题。在本文中，我们检验了芬斯勒MOND在描述早型星系强引力透镜方面的有效性。对CASTLES样品的十个强透镜的研究表明，没有强有力的证据表明暗物质的存在。
2013-09-05 astro-ph.CO astro-ph.GA
Gravitational lensing in a non-uniform plasma
本文建立了一个非均匀等离子体中的引力透镜模型。当引力体被等离子体包围时，由于等离子体的色散特性，在存在等离子体不均匀性和重力的情况下，透镜角取决于电磁波的频率。第二个效应导致，即使在均匀的等离子体中，引力光子偏转角与真空情况的差异，以及它对光子频率的依赖性。我们考虑到这两种影响，并推导出在引力存在的情况下，一个强非均匀等离子体的透镜角的表达式。在均匀等离子体中，透镜角对光子频率的依赖性类似于折射棱镜光谱仪的性质，其最强的作用是针对很长的无线电波。我们讨论了这种效应的引力透镜与史瓦西度规的观测外观，由均匀的等离子体包围。在这种情况下，我们得到的透镜角和放大因子的公式，并讨论了观测这种效果的可能性，计划VLBI空间项目Radioastron。我们也考虑模型与非均匀等离子体分布。对于不同的引力透镜模型，我们比较了由于等离子体中的引力效应和由于等离子体的不均匀性对真空透镜的修正。我们证明了在星系团的引力场中的热气体的情况下可以检测到引力效应。
2010-06-11 astro-ph.CO gr-qc
Time Delay in Swiss Cheese Gravitational Lensing
我们计算了平坦的LambdaCDM瑞士奶酪宇宙中引力透镜的时间延迟。我们假设一对初级和次级光线被一个单一的质点凝聚所偏转，该凝聚由嵌入在均匀宇宙学中的Kottler度量（带λ的史瓦西）描述。我们发现，宇宙学常数的影响的差异到达时间是非线性的，最多约0.002%的大型集群透镜，然而，我们发现传统的线性透镜理论预测的时间延迟，可以达到这些大型透镜的~4%的差异。在预测的延迟时间的差异是由于传统的透镜的失败，将透镜的质量到宇宙的平均质量密度。
2010-06-17 astro-ph.CO gr-qc
Gravitational-Wave Fringes at LIGO: Detecting Compact Dark Matter by Gravitational Lensing
利用引力波（GW）透镜为理解宇宙的小尺度结构开辟了一条新途径。我们发现，尽管它的粗角分辨率和短的观测时间，LIGO可以检测到的GW透镜引起的紧凑的结构，特别是紧凑的暗物质（DM）或原始黑洞的$10 - 10^5 \, M_\odot$，这仍然是有趣的DM候选人。通过GW频率啁啾来检测透镜效应，产生透镜效应模式的自然和快速变化：GW波形的\emph{frequency-dependent amplification and modulation}。作为一个最高频率的GW探测器，LIGO是一个独特的GW实验室，以探测这种轻紧凑的DM。凭借先进LIGO的设计灵敏度，三个探测器的一年观测可以乐观地将紧凑DM密度分数$f_{\rm DM}$限制在百分之几的水平。
2019-01-08 astro-ph.CO gr-qc hep-ph
Gravitational lensing of Continuous Gravitational Waves
连续的引力波类似于单色光，因此可以用来探测干涉或衍射等波效应。这在强透镜引力波中是可能的。本文回顾和总结了引力透镜理论在引力波中的两种不同的体系：几何光学和波动光学，以及两种广泛应用的透镜模型：质点透镜和奇异等温球（SIS）。讨论了由于引力波的波动性质而引起的可观测效应。作为干涉的结果，GWs产生拍频模式，这可能是可观察到的下一代探测器，如地面爱因斯坦望远镜，宇宙探测器或空间承载的LISA，DECIGO。这将为我们提供一个机会，估计透镜系统的性质和其他宇宙学参数的替代技术。衍射微透镜可能成为寻找形成于球状星团中心的中等质量黑洞的一种有价值的方法。我们还指出了一个有趣的想法，检测泊松-阿拉戈现货文献中提出的。
2021-11-10 astro-ph.CO gr-qc
Wave Mechanics, Interference, and Decoherence in Strong Gravitational Lensing
本文回顾了引力透镜中的波动力学效应理论，推导了Fresnel-Kirchoff衍射积分，分析了干涉效应可观测的条件及其在提取互补信息中的作用，并探讨了致密低频暂现源对干涉引力透镜前沿的推动。
2023-04-03 astro-ph.CO astro-ph.HE gr-qc
Differentiable probabilistic programming for strong gravitational lensing
观测暗物质暗晕的艰巨任务至关重要，因为它将限制暗物质粒子的性质（冷或热遗迹），并再次证实长期存在的$Λ$ CDM模型。在不久的将来，新一代的地面和空间探测将观测到数千个强大的引力透镜系统，为暗物质的子结构提供独特的探测。在这里，我们描述了一个新的强透镜分析管道，它将深度卷积神经网络与物理模型相结合，并利用传统的采样技术，如汉密尔顿蒙特卡罗。使用模拟强引力透镜系统，我们讨论了第一结果和表征的主要透镜参数的重建的准确性。
2019-10-15 astro-ph.CO astro-ph.GA astro-ph.IM
A Novel Test for MOND: Gravitational Lensing by Disc Galaxies
本文提出利用盘状星系强引力透镜作为MOND的新检验，发现纯MOND效应主导透镜并产生非平凡关联，且预测透镜数量显著增加，可用于区分暗物质模型并约束插值函数。
2025-05-27 astro-ph.CO astro-ph.GA gr-qc
Recursion relations for gravitational lensing
弱引力透镜形式主义可以推广到强透镜制度，通过积分的测地偏差方程的非线性版本。由此产生的“轮盘赌”扩展概括的概念，收敛，剪切和弯曲到任意顺序。这种展开的独立系数是光学潮汐张量的屏幕空间梯度，其近似于弱场极限下通常的透镜势。从透镜图像，轮盘赌系数的知识原则上可以被反转以重建透镜的质量分布。在本文中，我们简化了轮盘赌展开，并推导出一个家庭的递归关系的各种系数，广义的凯撒-斯奎尔斯关系超出弱透镜制度。
2020-03-31 astro-ph.CO astro-ph.GA gr-qc
Strong gravitational-wave lensing posterior odds
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；National Institute of Technology, Kozhikode（科利科德国家理工学院）；Universite Catholique de Louvain（天主教鲁汶大学）；Royal Observatory of Belgium（比利时皇家天文台）；Nikhef – National Institute for Subatomic Physics（尼赫夫–荷兰亚原子物理国家研究所）；Utrecht University（乌得勒支大学）；University of Wisconsin-Milwaukee（威斯康星大学密尔沃基分校）
本文探讨了强引力波透镜效应的后验概率，统一了贝叶斯方法，并推导了后验概率，指出贝叶斯因子和先验概率受事件数影响，而后验概率不受影响。
2026-04-01 astro-ph.CO astro-ph.HE gr-qc
On the number of solutions of a transcendental equation arising in the theory of gravitational lensing
文中的方程描述了点光源在等温密度椭圆体透镜作用下的亮像数。我们证明了这个方程至多有6个解。从1到6的任何数量的解决方案实际上都可以发生。
2010-01-25 astro-ph.CO math-ph math.CV
