Cannon-Thurston maps do not always exist
Owen Baker, Timothy Riley
我们构造了一个例子，一个双曲群的双曲子群的Cannon-Thurston映射不存在。也就是说，包容并不导致边界图。
We construct an example of a hyperbolic group with a hyperbolic subgroup for which the Cannon-Thurston map does not exist. That is, inclusion does not induce a map of the boundaries.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cannon-Thurston maps, subgroup distortion, and hyperbolic hydra
有一类双曲群称为双曲水螅，它包含严重扭曲的自由子群。我们证明了这些自由子群的Cannon-Thurston映射（即子群包含引起的边界的映射）的存在性。已知双曲空间边界之间的Cannon-Thurston映射即使在存在任意重（甚至非递归）失真的情况下也可以存在。双曲Hydra的例子表明，Cannon-Thurston映射可以存在，甚至双曲组边界之间的存在下，任意重的原始递归失真。
Research announcement: A combination theorem for acylindrical complexes of hyperbolic groups and Cannon-Thurston maps
这是作为第二作者的博士学位的一部分获得的一些结果的公告。论文在第一部分中，我们证明了具有有限棱道群的双曲群的非圆柱复形的基本群是双曲的，其中顶点群是拟凸的。本文第二部分证明了双曲群的非圆柱复形中群的某些子复形的Cannon-Thurston映射的存在性（定理0.4）。
Relatively hyperbolic metric bundles and Cannon-Thurston map
给定$B$上的度量丛$X$，其中所有纤维都是强相对双曲的和非初等的，我们证明了在一定条件下，$X$是强双曲的.此外，给定一个粗略的Lipschitz齐嵌入$i: A\to B$，我们表明，拉回$Y$是强相对双曲和地图$Y\to X$承认一个Cannon-Thurston（CT）的地图。作为一个应用，我们证明了一个相对双曲群扩张的群论模拟这一结果。
Cannon-Thurston Maps for Kleinian Groups
我们证明了Cannon-Thurston映射对于不含抛物线的退化自由群，即对于非线性体群是存在的.结合这些技术与早期的工作证明存在的Cannon-Thurston映射的表面组，我们表明，Cannon-Thurston映射存在于任意生成的Kleinian群没有抛物线，证明图的Thurston和McMullen。我们还表明，点下的Cannon-Thurston映射的原像退化自由群没有抛物线对应的结束点的叶子的结束层在Masur域，每当一个点有一个以上的原像。这证明了Otal的一个猜想。我们还证明了一个类似的结果，点预图像下的Cannon-Thurston映射的任意生成的Kleinian群没有抛物线。
Finiteness of Cannon--Thurston fibers
本文证明在大多数已知设定中，Cannon-Thurston映射是均匀有限到一的，回答了Swarup的问题并扩展了先前结果。
Addendum to Ending Laminations and Cannon-Thurston Maps: Parabolics
在早期的工作中，我们已经证明了，对于没有偶然抛物线的Kleinian穿孔曲面群，存在Cannon Thurston映射。本文证明了当Cannon-Thurston映射不是一一对应时，点的原像恰好是结束层的叶的端点。这扩展了早期对闭曲面组所做的工作。
Combination of locally quasiconvex hyperbolic TDLC groups and Cannon-Thurston maps
本文研究了双曲TDLC群与Cannon-Thurston映射的结合，证明了局部准凸双曲TDLC群的组合定理，并推广了Mj关于正常双曲子群的定理。
(Non-)existence of Cannon-Thurston maps for Morse boundaries
本文研究正规子群在Morse边界上Cannon-Thurston映射的存在性问题，证明其与双曲情形不同，可同时出现存在与不存在的现象。
Cannon--Thurston maps for CAT(0) groups with isolated flats
Mahan Mitra（Mj）证明了双曲群的正规双曲子群存在Cannon-Thurston映射.本文证明了非双曲CAT（0）群的无穷正规双曲子群不存在Cannon-Thurston映射，其中子群关于视边界是孤立平坦的.我们还证明了在具有孤立平坦面的非双曲CAT（0）群中，具有孤立平坦面的无穷指数正规CAT（0）子群不存在Cannon-Thurston映射.我们得到了正规子群的结构定理，并证明了双曲群的外自同构群没有纯环面$\mathbb{Z}^2$子群。
On Cannon-Thurston maps for relatively hyperbolic groups
Baker和Riley证明了一个秩为3的自由群可以包含在一个双曲群中，作为Cannon-Thurston映射没有很好定义的子群。利用他们的结果，我们证明了这一现象不仅对秩为3的自由群发生，而且对每一个非初等双曲群也发生。事实上，它表明，类似的现象发生在每一个非基本的相对双曲群。
Cannon-Thurston maps for Coxeter groups including affine special subgroups
对于Coxeter群$W$，我们得到实向量空间上的相伴双线性型$B$.我们假设$B$具有签名$(n-1,1)$。在这种情况下，我们有$W$的Cannon-Thurston映射，即从$W$的Gromov边界到$W$的极限集的$W$ -等变连续满射。我们专注于Coxeter群包含仿射特殊子群的情况。
Relative Hyperbolicity, Trees of Spaces and Cannon-Thurston Maps
证明了顶点空间包含在满足qi-嵌入条件的（强）相对双曲空间树中的连续边界扩张（Cannon-Thurston映射）的存在性.这意味着在（强）相对双曲群的有限图中包含顶点（或边）子群的结果是相同的。这推广了Bowditch关于3流形中穿孔曲面的一个结果和Mitra关于双曲度量空间树的一个结果。
Landing rays and ray Cannon-Thurston maps
本文构造了不存在Cannon-Thurston映射的双曲群对，将锥形极限点性质转化为Cannon-Thurston映射存在性判据，还给出了Baker-Riley反例的几何证明。
The universal Cannon--Thurston maps and the boundary of the curve complex
在亏格2及更高亏格中，闭曲面的基本群自然地作用于具有一个穿刺的曲面的曲线复形。结合Kent-Leininger-Schleimer和Mitra以前工作的思想，我们构造了一个通用的Cannon-Thurston映射，从无穷远圆的子集到一次穿孔曲面的曲线复形的边界上的闭曲面组。使用我们已经开发的技术，我们还表明，该曲线复杂的边界是局部路径连接的。
Relative Hyperbolic Extensions of Groups and Cannon-Thurston Maps
设$1\to (K,K_1)\to (G,N_G(K_1))\to(Q,Q_1)\to 1$是一个短正合列，它是一个关于真子群$K$的强双曲群.假设对所有的$g\in G$都存在$k\in K$使得$gK_1g^{-1}=kK_1k^{-1}$，我们证明了存在准等距截面$s\colon Q \to G$ .进一步证明了如果$G$相对于正规化子子群$N_G(K_1)$是强双曲的，而相对于$K_1$是弱双曲的，则存在包含$i\colonΓ_K\to Γ_G$的Cannon-Thurston映射。
Cannon-Thurston Maps
我们给出了一个概述的理论坎农-瑟斯顿地图之间的联系形成的复杂的分析和双曲几何研究的Kleinian群。我们还简要地草图连接到双曲群的双曲子群和结束一些开放的问题。
Cannon-Thurston maps for Coxeter groups with signature $(n-1,1)$
对于Coxeter群$W$，我们在适当的实向量空间上有一个相伴的双线性型$B$.我们假设$B$具有签名$(n-1,1)$，并且由$S$的子集生成的关联秩$n' (\ge 3)$ Coxeter子群的所有双线性型具有签名$(n',0)$或$(n'-1,1)$ .在这些假设下，我们看到存在$W$的Cannon-Thurston映射，即从$W$的Gromov边界到$W$的极限集的$W$ -等变连续满射.为了证明这一点，我们构造了$W$在具有希尔伯特度量的椭球上的等距作用。因此，我们看到$W$的极限集与$W$的根的聚点集重合。
Quasi-geodesics in the Cannon-Thurston metric
研究闭纤维3 - 流形上由伪阿诺索夫单值化纤维化产生的坎农 - 瑟斯顿度量，描述该度量中特定的拟测地线族，并用于获取典型测地线统计及度量类奇点几何准则。
Conical limit points and the Cannon-Thurston map
设$G$是紧致可度量化空间$Z$上的一个非初等字双曲群，它充当收敛群，使得存在一个连续的$G$ -等变映射$i:\partial G\to Z$，我们称之为\emph{Cannon-Thurston map} .利用Cannon-Thurston映射$i$下的原像，得到了$Z$中圆锥极限点的两个特征（动力学特征和几何特征）.作为应用，我们证明了在$G$对$Z$的作用没有偶然抛物线的额外假设下，若映射$i$不是内射的，则存在一个非锥极限点$z\in Z$，其中有$|i^{-1}(z)|=1$ .这一结果适用于大多数自然的情况下，坎农-瑟斯顿映射是已知存在的，包括子群的字双曲群和克莱因表示的表面群体。作为另一个应用，我们证明了如果$G$是一个非初等的无挠字双曲群，则存在$x\in \partial G$使得$x$不是$G$作用于$\partial G$的“受控集中点”.
Non-existence of Cannon-Thurston maps for hierarchically hyperbolic groups
研究分层双曲群双曲正规子群的 Cannon - Thurston 映射不存在性，涵盖曲面映射类群正规子群等，还证明了自由循环群子群相关结果及 CAT(0)群可视边界与相对分层双曲边界同胚。
Cannon-Thurston maps for hyperbolic free group extensions
本文详细分析了一类双曲自由群扩张的Cannon-Thurston映射。令$F_N$表示有限秩$N\ge 3$的自由群，并考虑\emph{convex cocompact}子群$Γ\le Out(F_N)$，即从$Γ$到$F_N$的自由因子复形的轨道映射是拟等距嵌入的子群。子群$Γ$决定了$F_N$的一个扩张$E_Γ$，而Dowdall-Taylor的主要定理\cite{DT1}指出，在这种情况下，$E_Γ$是双曲的当且仅当$Γ$是纯环面的。在这里，我们给出了一个明确的几何描述的Cannon-Thurston映射$\partial F_N\to\partial E_Γ$这些双曲自由群的扩展，它的存在如下从Mitra的一般结果。特别地，我们得到了Cannon-Thurston映射的重数的一个一致界，证明了该映射的重数至多为$2N$ .这个定理推广了Kapovich和Lustig \cite{KapLusCT}的主要结果，该结果处理了$Γ$是无限循环的特殊情况.我们还回答了一个问题的马汉米特拉生产一个明确的例子，双曲自由群扩展的自然映射从边界的$Γ$的空间叠层的自由群（与Chabauty拓扑）是不连续的。
Cannon-Thurston fibers for iwip automorphisms of $F_N$
对于任意的超环面Iwip $ϕ\in Out(F_N)$，映射环面群$G_ϕ=F_N\rtimes_ϕ<t>e$是双曲的，嵌入$ι: F_N \overset{\lhd}{\longrightarrow} G_ϕ$诱导出一个连续的、$F_N$ -等变的满射{ \em Cannon-Thurston映射} $\hat ι: \partial F_N \to \partial G_ϕ$ .我们证明了对任何上述的$ϕ$，映射$\hat ι$是有限对一的，并且$\partial G_ϕ$的每一点的原像都有基数$\le 2N$。我们还证明了，每一个点$S\in \partial G_ϕ$与$\ge 3$原像在$\partial F_N$有$(wt^m)^\infty$的形式，其中$w\in F_N, m\ne 0$，并有最多$4N-5$不同的$F_N$ -轨道的这种{ \em奇异}点在$\partial G_ϕ$（为平移作用的$F_N$对$\partial G_ϕ$）。相比之下，我们表明，对于$k=1,2$有不可数的许多点$S\in \partial G_ϕ$（因此，不可数的许多$F_N$ -轨道等$S$），正好$k$原像在$\partial F_N$。
Singularity of Cannon-Thurston maps
研究封闭纤维化双曲3-流形中坎农-瑟斯顿映射，利用测地线性质证明圆上多种自然测度经此映射到球面上会变奇异，通过对比双曲测地线靠近纤维时间比例得出结论，还对特定圆测度证明了有效结果。
Trees, dendrites, and the Cannon-Thurston map
当1 -> H -> G -> Q -> 1是三个无限字双曲群的短正合序列时，Mahan Mitra（Mj）证明了从H到G的包含映射连续地延伸到H和G的Gromov边界之间的映射。这幅地图被称为Cannon-Thurston地图。在这种情况下，Mitra将Q的Gromov边界中的每个点z与H上的“结束层”相关联，该结束层由H的边界中的不同点对组成。我们证明了，对于每个这样的z，H的Gromov边界的商的等价关系产生的这个结束层是一个树枝状，即，一个树状的拓扑空间。这一结果推广了Kapovich-Lustig和Dowdall-Kapovich-Taylor的工作，他们证明了在H是自由群，Q是Out（F_N）的凸余紧纯环面子群的情况下，可以用Culler-Vogtmann外层空间边界上的某个$\mathbb{R}$ -树来标识合成商空间。
On Geometry of Coned-Off Spaces and Cannon-Thurston Maps
本文研究双曲空间锥化后Cannon-Thurston（CT）映射的存在性问题，在锥化包含映射满足Mitra准则的前提下给出肯定回答，并将结果应用于双曲群柱形复形，推导了群包含映射的CT映射存在性与拟凸性条件。
Embeddings of trees of hyperbolic metric spaces and Cannon--Thurston maps
研究超几何群自由积的Cannon-Thurston映射存在性条件
Solvable Baumslag-Solitar Groups Are Not Almost Convex
Cannon、Floyd、Grayson和Thurston的论证表明，可解几何群不是几乎凸的，也表明可解Baumslag-Solitar群不是几乎凸的。
Trees of hyperbolic spaces
本文给出了树型双曲空间中Besthouse-Feigh组合定理的另一种证明，并描述了树型双曲空间中的一致拟测地线。作为应用之一，我们证明了双曲空间的子树的全空间的包含映射的Cannon-Thurston映射的存在性。
Accidental parabolics in mapping class groups
本文讨论了作者和A.里德在早期的工作。具体来说，我们一般有没有大炮-瑟斯顿地图从Gromov边界瑟斯顿的Teichmuller空间的边界。
Semiconjugacies Between Relatively Hyperbolic Boundaries
本文证明了在远离尖点的边界不可压缩的流形所对应的Kleinian群上Cannon-Thurston映射的存在性。我们还描述了这些地图的结构方面的结束层。
Limits of conjugacy classes under iterates of Hyperbolic elements of $\mathsf{Out(\mathbb{F})}$
对有限秩自由群$\mathbb{F}$，使得$\text{rank}(\mathbb{F})\geq 3$，证明了$\mathbb{F}$中共轭类在某些双曲$ϕ\in\mathsf{Out(\mathbb{F})}$的迭代下的弱极限集等于$ϕ$的通有叶和奇异线的集合.作为应用，我们以一种新的方式描述了$\mathbb{F}$的双曲扩张通过$\mathsf{Out(\mathbb{F})}$的双曲子群的终止层集，并利用它证明了关于这类扩张的Cannon-Thurston映射的结果.我们也用它来获得的条件，拟凸的生成，无限指数子群的$\mathbb{F}$的扩张群。这些结果推广了Mahan Mj，Kapovich-Lustig的类似结果，并使用了不同的技巧。
Algorithmic aspects of branched coverings II/V. Sphere bisets and their decompositions
我们认为“Thurston地图”：分支自覆盖的最终周期的临界点的领域，并证明了Thurston等价问题（连续变形的地图及其临界轨道）是可判定的。更确切地说，我们认为映射类群的行动，由前和后组成，分支覆盖，并将其代数编码为“映射类bisets”。我们展示了如何映射类的映射biset保持multicurve分解成映射类bisets较小的复杂性，称为“小映射类bisets”。利用映射类偏集上的共轭性和中心化子问题，讨论了球面上分支自覆盖之间的Thurston等价性的判定问题。我们对映射类偏集的分解结果将这些判定问题归结为小的映射类偏集，它们对应于有理映射、同胚映射和环面自同态双覆盖映射，它们的共轭性和中心化子问题分别可由复分析、群论和线性代数求解.分支覆盖本身也被编码成具有基本群作用的偏集。我们的特点，这些bisets所产生的分支覆盖之间的拓扑领域，并将这种对应关系的映射领域与multicurves，其代数对应是“球树的bisets”。为了说明Thurston映射与同胚的区别，我们构造了一个中心化子为无限生成的Thurston映射，而同胚的中心化子总是无限生成的。
The Lipschitz metric on deformation spaces of $G$-trees
对于一个有限生成群$G$，利用$G$ -等变Lipschitz映射的伸缩因子，在$G$ -树的投影变形空间上引入了一个非对称伪度量，它推广了外层空间上的Lipschitz度量，并且是Teichmüller空间上的Thurston度量的类似.我们表明，在不可约的情况下，$G$ -树的距离总是实现最小的拉伸地图，可以计算的双曲平移长度，测地线存在。然后研究了$G$ -树的投影变形空间上的位移函数，并对$G$的自同构进行了分类.作为应用，证明了不含可解Baumslag-Solitar群$n\geq 2$的虚自由群和非初等广义Baumslag-Solitar群的不可约自同构的训练轨道表示的存在性.
Groupes de surface dans les réseaux des groupes de Lie semi-simples [d'après J. Kahn, V. Marković, U. Hamenstädt, F. Labourie et S. Mozes]
半单李群$G$中的余紧格是离散子群$Γ$，使得商$G/Γ$是紧的。这样的格是否总是包含一个曲面群，即同构于紧致双曲曲面的基本群的子群？如果是，它是否包含接近（在精确的定量意义上）$G$的Fuchsian子群的表面子群，即包含在$G$中的$\operatorname{(P)SL}(2,\mathbf{R})$拷贝中的$G$的离散子群？$G=\operatorname{PSL}(2,\mathbf{C})$对应于Thurston关于3维双曲流形的一个著名猜想，而$G=\operatorname{PSL}(2,\mathbf{R}) \times \operatorname{PSL}(2,\mathbf{R})$的定量版本暗示了Escherapreis关于紧双曲曲面对的一个猜想;这两个猜想在大约十年前由Kahn和Marković证明。受Gromov的一个问题的启发，Hamenstädt解决了$G$有实数秩1的情况，除了$G=\operatorname{SO}(2n,1)$。在最近的预印本（arXiv：1805.10189）中，卡恩、拉布里和莫泽斯讨论了一大类半单李群的情形，特别是包括所有复单李群;他们得到的曲面群是拉布里意义下的阿诺索夫表象的图像。我们提出了他们的证明的一些想法。
Fibered orbifolds and crystallographic groups
本文证明了n维晶体群G的正规子群N决定平坦轨道结构E^n/G上的几何纤维轨道结构，反之，E^n/G上的每一几何纤维轨道结构都由G的正规子群N决定，该正规子群N在G的正规子群的可积类中是极大的.特别地，我们证明了E^n/G是b维环面上的具有全测地纤维的纤维丛，其中b是G的第一贝蒂数.设N是G的一个正规子群，它在其可分解类中是极大的.研究了正合序列1 -> N -> G -> G/N -> 1分裂与相应的具有仿射截面的纤维化投影之间的关系。如果N是无挠的，我们证明了确切序列分裂当且仅当纤维化投影有仿射截面。如果一般纤维F = Span（N）/N有一个常点，它被F的每一个等距所固定，我们证明了正合序列总是分裂的.最后，我们描述了所有的几何纤维化的轨道空间的所有2-和3-维晶体群建设的工作康威和瑟斯顿。
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