Arnold's Diffusion: from the a priori unstable to the a priori stable case
Patrick Bernard
我们暴露了一些选定的主题有关的不稳定性的行动变量在先验不稳定的哈密顿系统，并概述了一个新的战略，可能允许将这些方法应用到先验稳定的系统。
We expose some selected topics concerning the instability of the action variables in a priori unstable Hamiltonian systems, and outline a new strategy that may allow to apply these methods to a priori stable systems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Gevrey genericity of Arnold diffusion in a priori unstable Hamiltonian systems
众所周知，在一般的$C^r$光滑扰动下，先验不稳定的哈密顿系统中存在全局不稳定现象，称为Arnold扩散。本文利用变分方法证明了在一般Gevrey光滑扰动下，先验不稳定的2.5自由度哈密顿系统仍然存在Arnold扩散.
Arnold diffusion in multidimensional a priori unstable Hamiltonian systems
研究了先验不稳定近可积系统在低阶共振邻域内的Arnold扩散。考虑一类具有$n+1/2$自由度的非自治近可积Hamilton系统$n\ge 2$ .设的Hamilton函数$H$依赖于参数$\varepsilon$，对于$\varepsilon=0$，系统是可积的，并且有一个同宿渐近流形$Γ$ .我们的主要结果是，对于小的通用扰动在一个$\varepsilon$ -邻域的$Γ$存在的轨迹，其在空间上的行动交叉的共振。"一般扰动“是指$C^r$ -光滑函数$\frac{d}{d\varepsilon}\big|_{\varepsilon=0} H$，$r=r_0,r_0+1,\ldots,\infty,ω$空间中的开稠密集。将该结果与\cite{DT}的结果相结合，回答了先验不稳定情形下Arnold扩散的主要问题：扩散发生在一般扰动下，扩散轨迹可以沿作用空间中任意光滑曲线运动，平均速度为$\varepsilon/|\log \varepsilon|$ .
Arnold diffusion for cusp-generic nearly integrable convex systems on ${\mathbb A}^3$
证明了${\mathbb A}^3$上尖点泛近可积先验稳定系统中“Arnold扩散轨道”的存在性。其结果依赖于尖一般存在的链在近可积的先验稳定系统，证明了在以前的文件中，沿着这样的链的扩散轨道的存在。后一结果是与M.吉蒂
Arnold diffusion for an a priori unstable Hamiltonian system with 3 $+$ 1/2 degrees of freedom
针对3+1/2自由度先验不稳定哈密顿系统，应用内、外动力学迭代结合的几何机制证明扩散轨道存在，找到保证作用量大漂移的散射映射轨道族Highways，得到与文献一致的显式最优扩散时间，结果由解析方法和数值计算验证。
Arnold diffusion in arbitrary degrees of freedom and normally hyperbolic invariant cylinders
我们证明了Arnold扩散的先验稳定的情况下的一种形式。设H 0（p）+ $ε$ H 1（$θ$，p，t），$θ$ $\in$ Tn，p $\in$ Bn，t $\in$ T = R/T是一个具有严格凸H 0的任意自由度n2的近可积系统.我们证明了对于“一般的”$ε$ H1，存在一个轨道（$θ$，p）（t）满足p（t）-- p（0）{ \textgreater } l（H1）{ \textgreater } 0，其中l（H1）与$ε$无关.扩散轨道沿着余维1共振行进，并且我们构造的唯一障碍是附加共振的有限集。对于证明，我们使用的组合几何和变分方法，并设法适应工具，最近开发的先验不稳定的情况下。
Arnold Diffusion in a Restricted Planar Four-Body Problem
构造了一类能量快速增长的平面四体问题。所考虑的系统是限制性平面圆形三体问题（RPC3BP）的准周期摄动。采用Gelfreich-Turaev和de la Llave的机制来获得快速的能量增长。扩散是由围绕$L_1$和$L_2$拉格朗日点及其异宿交点的两个李雅普诺夫周期轨道形成的异宿环产生的。我们的模型是第一个已知的例子在天体力学的先验混沌情况下的阿诺德扩散。
Topological Shadowing Methods in Arnold Diffusion: Weak Torsion and Multiple Time Scales
考虑一个辛映射，它具有一个任意偶数维的常双曲不变流形和横截同宿通道。我们发展了一个拓扑遮蔽的论证来证明沿不变流形的Arnold扩散的存在性，遮蔽了由不变流形携带的内部动力学和由稳定和不稳定叶理引起的外部动力学的一些迭代.在这样做的过程中，我们推广了Gidea和de la Llave在[26]中的想法，基于正确对齐窗口的方法和所谓的横向扭转参数。我们的证明允许动态的不变流形只满足一个非均匀的扭曲条件，而且，最重要的应用程序，分裂的separatrices在某些方向上是小的，因此相关的漂移的行动非常缓慢;扩散发生在方向上的流形有非小的分裂。此外，我们提供的扩散时间的估计。
A degenerate Arnold diffusion mechanism in the Restricted 3 Body Problem
本研究证明限制性平面椭圆三体问题在任意质量比下存在拓扑不稳定性，通过揭示一种涉及指数小现象的退化阿诺德扩散机制，将先前结果从先验不稳定情形推广到先验稳定情形。
Variational construction of positive entropy invariant measures of Lagrangian systems and Arnold diffusion
我们发展了一种构造拉格朗日系统正熵不变测度的变分方法，该方法不需要假设稳定流形和非稳定流形的横截相交，也不限制不可积扰动的大小.我们将其应用于一族2.5自由度的先验不稳定拉格朗日量，并表明，如果我们假设扩散没有拓扑障碍，（精确地用Peierl势垒函数的最小值的拓扑非简并性来表示），则存在一个庞大的“马蹄铁”家族，例如“跟踪”遍历正熵测度，其支持中具有精确的不变环面的任何闭集。此外，我们给出了作用泛函Fréchet导数的某个极值对不稳定区域中任意部分的拓扑熵和“漂移加速度”的界，推广了分离面的分裂角.构造的方法是新的，依赖于研究形式梯度动力学的行动（耦合抛物半线性偏微分方程无界域）。我们应用最近开发的技术，精确控制当地的能量演化（在这种情况下的拉格朗日行动），能量耗散和通量。在本文的第二部分中，我们将应用该理论，在小扰动的情况下，得到同一类方程的拓扑熵和漂移加速度的精确界。
A second order expansion of the separatrix map for trigonometric perturbations of a priori unstable systems
本文研究了由Zaslaskii-Filonenko [ZF 68]引入并由Treschev和Piftankin [Tre 98，Tre 02，Pif 06，PT 07]研究的所谓分界线映射.我们推导出这个映射的三角摄动的二阶展开。在[CK 15，GK 15]和[KZZ 15]中，应用本文的结果，我们描述了一类具有随机扩散行为的近可积确定性系统。
A geometric mechanism of diffusion: Rigorous verification in a priori unstable Hamiltonian systems
本文考虑一个有代表性的先验不稳定的2+1/2自由度哈密顿系统，对它应用Delshams等人的论文中介绍的几何扩散机制，Mem.Amer.Math.Soc.2006，并在Delshams和Huguet，Nonlinearity 2009中推广，并为扩散轨道的存在提供了明确，具体和易于验证的条件。假设的简化使我们能够沿着证明明确地执行计算，这有助于以易于理解的方式呈现扩散的几何机制。特别地，我们充分描述了散射映射的构造和两类动力学在正常双曲不变流形上的组合
Arnold diffusion for a complete family of perturbations
在这项工作中，我们说明阿诺德扩散在一个具体的例子--\emph{a priori}不稳定的哈密顿系统的$2+1/2$自由度$H(p,q,I,φ,s) = p^{2}/2+\cos q -1 +I^{2}/2 + h(q,φ,s;\varepsilon)$ --证明\emph{any}小周期扰动的形式$h(q,φ,s;\varepsilon) = \varepsilon\cos q\left( a_{00} + a_{10}\cosφ+ a_{01}\cos s \right)$（$a_{10}a_{01} \neq 0$）有全局不稳定的行动。为了证明，我们应用基于所谓的散射映射的几何机制。这项工作有以下结构：在第一阶段，对于一个更严格的情况下（$I^*\thicksimπ/2μ$，$μ= a_{10}/a_{01}$），我们只使用一个散射映射，具有特殊的属性：存在简单的扩散路径称为公路。随后，在一般情况下，我们结合散射映射与内部映射（内部动力学）来证明更一般的结果（任何$μ$的不稳定性的存在）。散射映射的分叉也被研究为$μ$的函数。最后，我们给出了一个估计的时间扩散，我们表明，这个时间主要是下散射映射所花费的时间。
Generic global diffusion for analytic uncoupled a priori unstable systems
针对一般解耦先验不稳定哈密顿系统，利用摆与转子变量的解耦性质及构造性几何方法，证明存在轨道使动量$I$达到任意指定变化量，提出与$ε$和$h$无关的全局扩散现象。
Arnold diffusion of charged particles in ABC magnetic fields
证明了在ABC磁场中带电粒子运动扩散解的存在性。运动方程由两个参数的3DOF哈密顿系统建模。对于这些参数的小值，我们得到了一个正常双曲不变流形，我们应用所谓的几何方法的先验不稳定系统的A。德尔舍姆斯河de la Llave和T.M. Seara我们明确的特征不变环面具有异宿连接的过渡链的存在的充分条件，从而获得全局不稳定性（阿诺德扩散）。我们还检查所获得的条件，在计算机辅助证明。ABC磁场是具有周期边界条件的磁流体动力学方程组的最简单的无力型解，因此我们的结果对研究托卡马克中等离子体带电粒子的运动具有潜在的意义。
An inclination lemma for normally hyperbolic manifolds with an application to diffusion
设（$M$，$Ω$）是一个光滑辛流形，$f:M\rightarrow M$是类$C^l$（$l\geq 3$）的辛同构.设$N$是$M$的一个紧致子流形，且对于$f$是无边界的正规双曲子流形.我们假设$N$是可控的，它的稳定和不稳定丛是平凡的。考虑$M$的一个$C^1$ -子流形$\d$，其维数等于$T_NM$的不稳定丛的纤维维数.我们假设$\d$横交$N$的稳定流形。然后，证明了对所有的$\varepsilon>0$和$n$ $\in$ $\N$，存在$x_n$ $\in$ $N$使得$f^n(\d)$在$C^1$拓扑中与$x_n$的强不稳定流形是$\varepsilon$ -闭的.作为应用程序的$λ$引理，我们证明了存在的阴影轨道的有限家庭不变的最小集（我们不假设任何规律性）包含在一个正常的双曲流形和异宿连接。作为一个特殊的情况下，我们恢复经典结果的存在性扩散轨道（阿诺德的例子）。
Arnold Diffusion in the Full Three-Body Problem
本文证明了全三体问题存在 Arnold 扩散这一强不稳定性，通过将其表述为 Kepler 问题和限制性三体问题的摄动，利用正确对齐窗口的拓扑方法和计算机辅助证明，并以 Neptune-Triton-asteroid 系统为例获得了显式估计。
Analytic genericity of diffusing orbits in a priori unstable Hamiltonian systems
本文针对非凸、无扭转条件的时间周期摄动先验不稳定 Hamiltonian 系统，用几何方法证明通有解析摄动下 Arnold 扩散存在，并给出$C^k$拓扑中的稠密性与开性。
On the Arnold diffusion mechanism in Medium Earth Orbit
本文以 Galileo 中地轨道为对象，利用含地球扁率与月球摄动的 Hamiltonian 模型，证明 Arnold 扩散可通过同宿轨道序列引发长期偏心率增长。
Splitting of separatrices, scattering maps, and energy growth for a billiard inside a time-dependent symmetric domain close to an ellipse
我们研究台球动力学内的一个椭圆的轴的长度周期性地改变的时间和一个$O(δ)$ -小四次多项式变形添加到边界。在这种情况下，台球中粒子的能量不再守恒。我们证明了在这样的系统中存在一个费米加速：存在一个能量趋于无穷大的台球轨迹。的建设是基于分析的动力学在相空间附近的同宿相交的稳定和非稳定流形的正常双曲不变的圆柱$Λ$，参数化的能量和时间，对应于沿椭圆的长轴的运动。该证明依赖于将同宿通道附近的台球映射简化为由沿$Λ$上定义的两个Hamilton流的移位组成的迭代函数系统。这两个流近似于所谓的内部和散射映射，这是在阿诺德扩散的研究中出现的基本工具;散射映射由沿着稳定和不稳定不变流形$W^{s,u}(Λ)$在同宿点的强稳定和强不稳定叶理$W^{ss,uu}$的投影定义。Melnikov类型的计算意味着，在这个问题中的散射映射的行为是非常不寻常的：它只定义在一个小的子集$Λ$收缩，在大的能量限制，一组平行线$t=const$作为$δ\to 0$。
Optimal stability and instability results for a class of nearly integrable Hamiltonian systems
本文考虑一个几乎可积的、非等距的、先验不稳定的哈密顿系统，它带有一个不保持未扰动环面的（三角多项式）$O(μ)$ -扰动.本文用变分方法证明了Arnold扩散随扩散时间$T_d = O((1/ μ) \log (1/ μ))$的存在性，该方法不需要KAM理论提供的“tori过渡链”的存在性.我们还证明，我们的估计的扩散时间$T_d$是最佳的结果，通过经典的扰动理论证明了一般的稳定性结果。
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