Learning Thermodynamically Stable and Galilean Invariant Partial Differential Equations for Non-equilibrium Flows
Michigan State University（密歇根州立大学）；Tsinghua University（清华大学）
在这项工作中，我们开发了一种方法来学习可解释的，稳定的和伽利略不变的偏微分方程（PDE）的基础上的守恒-耗散形式的不可逆热力学。作为一维非平衡流动的控制方程，学习的偏微分方程由全连接神经网络参数化，并自动满足守恒-耗散原理。特别是，它们是双曲平衡定律和伽利略不变量。训练数据从具有平滑初始数据的动力学模型生成。数值结果表明，学习的偏微分方程可以在很宽的努森数范围内达到良好的精度。值得注意的是，学习的动力学可以得到令人满意的结果与随机采样的不连续的初始数据和Sod的激波管问题，虽然它是只训练与光滑的初始数据。
2020-11-25 cs.LG cs.NA math.NA
General Numerical Framework to Derive Structure Preserving Reduced Order Models for Thermodynamically Consistent Reversible-Irreversible PDEs
本文提出基于能量二次化（EQ）和广义Onsager原理的一般数值框架，为热力学一致的可逆-不可逆偏微分方程系统推导保结构降阶模型，并自动生成线性、易实现且唯一可解的保热力学定律数值算法。
2023-12-04 cs.NA math.NA
Inertial Manifold Neural Operator for Dissipative Time-Dependent Partial Differential Equations
Princeton University（普林斯顿大学）
该研究提出惯性流形神经算子（IMNO）及其平移等变变体IMNO-SE，利用耗散型时变PDE的低维结构提升长时预测性能，通过基准实验验证了其优势。
2026-08-25 cs.LG cs.NA math.DS
Adaptive solution of initial value problems by a dynamical Galerkin scheme
研究了演化偏微分方程的动态Galerkin格式，其中投影算子随时间变化。当选择基函数的子集时，投影算子在时间上是不可微的，并且必须使用积分公式。我们分析了投影方程的解的存在性和唯一性，并证明了非光滑投影算子引入耗散，这一结果对偏微分方程的自适应离散化至关重要，例如，自适应小波方法对于Burgers方程，我们数值说明阈值的小波系数，从而改变投影空间，确实会引入能量耗散。我们讨论的后果，所谓的“伪自适应”的模拟，在傅立叶空间的时间演化和去混叠，而阈值进行小波空间。给出了一维无粘Burgers方程和二维及三维不可压Euler方程的数值算例。
2021-11-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Von Neumann Stability Analysis of DG-like and PNPM-like Schemes for PDEs that have Globally Curl-Preserving Evolution of Vector Fields
本文研究一类偏微分方程，其中偏微分方程系统的某些部分演化为一个向量场，其旋度保持为零或与指定的源项成比例地增长。这样的PDE分别被称为无卷曲或卷曲保留。在本文中，我们目录一类DG类计划，这样的偏微分方程。为了保持全局无卷曲或卷曲保持约束，向量场的分量以及它们的高阶矩必须在网格的边缘处并置。它们通过使用在网格的顶点处并置的势来更新。由此产生的方案：1）即使在非常长的积分时间之后也不会爆炸，2）不需要任何特殊的清洗处理，3）可以以大的显式时间步长操作，4）不需要椭圆系统的解，以及5）可以使用DG类方法扩展到更高阶。该方法依赖于一个特殊的卷曲保持重建，他们也依赖于多维上旋。Galerkin投影，所以至关重要的DG方法的设计，现在进行的网格的边缘，并产生一个弱形式更新，使用的潜力，在网格的顶点处获得的帮助下，一个多维黎曼解算子。一个冯诺依曼稳定性分析的卷曲保持的方法进行和限制CFL数这整个家庭的方法编目在这项工作中。稳定性分析证实，随着精度的增加，我们的新的无旋方法具有最高的相位精度，同时大大减少了耗散。我们还表明，PNPM类方法保留了DG类方法的优秀波传播特性，同时提供了更大的CFL数和更低的计算复杂性。
2021-08-22 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Deep Forward-Backward Dynamic Programming Schemes for High-Dimensional Semilinear Nonlocal PDEs and FBSDE with Jumps
提出一种新的深度学习算法，通过深度神经网络同时逼近解和积分核，并采用数值微分逼近梯度，用于求解高维半线性非局部偏微分方程及带跳正倒向随机微分方程，数值实验验证了其有效性。
2025-10-27 cs.NA math.NA
Numerical study on the effect of geometric approximation error in the numerical solution of PDEs using a high-order curvilinear mesh
在曲线边界区域或曲面上数值求解时变偏微分方程时，由于顶点位置和其他内部网格点位置的不精确而引起的网格误差和几何逼近误差是导致偏微分方程数值解不精确和不稳定的主要原因.这些几何误差的作用，恶化的稳定性，特别是保守性在很大程度上是未知的，这似乎需要非常精细的网格，特别是消除几何近似误差。本文的目的是调查几何逼近误差的影响，使用一个高阶网格与几何逼近误差可以忽略不计，即使是高阶多项式的顺序p.为了实现这一目标，高阶网格生成器从CAD几何称为NekMesh是适应于表面网格生成相比，传统的网格与不可忽略的几何逼近误差。两种类型的数值试验被认为是。首先，比较了球面曲元上不同p值时微分算子的精度。其次，应用活动标架方法，数值求解了四种不同的球上含时偏微分方程，研究了几何逼近误差对球上偏微分方程高阶数值格式精度和守恒性的影响。
2020-11-26 cs.NA math.NA
FBSDE based Neural Network Algorithms for High-Dimensional Quasilinear Parabolic PDEs
本文提出了基于前向和后向随机微分方程（FBSDEs）的深度神经网络（DNN）学习算法，用于求解高维拟线性抛物型偏微分方程（PDE），并通过Pardoux-Peng理论将其与FBSDEs联系起来。该算法依赖于一个学习过程，通过最小化两个离散随机过程之间的路径差异，定义的时间离散化的FBSDES和DNN表示的PDE解决方案，分别。所提出的算法产生DNN解决方案的100维Black-Scholes-Barenblatt方程，在有限区域的解决方案空间中的准确，并具有类似的欧拉-丸山离散用于FBSDES的收敛速度。因此，在时间离散化上的Richardson外推技术可以用于提高DNN解决方案的准确性。对于时间振荡的解决方案，多尺度DNN示出，以提高高频率的FBADNN的性能。
2021-05-06 cs.NA math.NA
Optimally weighted loss functions for solving PDEs with Neural Networks
最近的工作表明，深度神经网络可以用来求解偏微分方程，从而产生了物理学通知神经网络的框架。我们介绍了这些方法，表现为一个缩放参数，平衡的相对重要性的偏微分方程所施加的不同的约束的泛化。给出了这些广义方法的数学依据，证明了对于线性适定的偏微分方程，其泛函形式是凸的。然后，我们推导出一个选择的缩放参数是最佳的相对于相对误差的措施。由于这种最优选择依赖于对解析解的充分了解，我们还提出了一种启发式方法来近似这种最优选择。所提出的方法进行了比较，数值上的各种模型偏微分方程的原始方法，与数据点的数量被更新自适应。对于几个问题，包括高维偏微分方程，所提出的方法显着提高精度。
2021-03-24 cs.NA math.NA
Applications of Wavelet Bases to The Numerical Solutions of Fractional PDEs
Lanzhou University（兰州大学）
本文研究小波基在求解分数偏微分方程中的应用，探讨其在预条件化、自适应性和保持Toeplitz结构方面的优势，提出高效生成刚度矩阵的方法及多网格方法。
2016-10-09 cs.NA math.NA
Operator-Based Uncertainty Quantification of Stochastic Fractional PDEs
Michigan State University（密歇根州立大学）
本文提出一种基于算子的不确定性量化方法，用于处理带有加性随机噪声的随机分数阶偏微分方程，通过概率性列主元方法传播不确定性，并采用快速稳定的Petrov-Galerkin谱方法求解。
2018-05-31 cs.NA math.NA
Elliptic PDEs on log-Gaussian Shapes: Sparsity and Finite Element Discretization
Vietnam National University（越南国立大学）；University of Basel（巴塞尔大学）；University of Transport and Communications（交通与通信大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了在由对数高斯随机同构得到的随机域上求解椭圆扩散问题，通过路径拉回验证解的存在性和唯一性，并分析解的解析正则性，采用有限元方法和稀疏网格插值进行数值近似。
2026-03-25 cs.NA math.NA math.PR
High Precision Differentiation Techniques for Data-Driven Solution of Nonlinear PDEs by Physics-Informed Neural Networks
University of Calabria（卡拉布里亚大学）
本文考虑了具有给定初始条件的含时偏微分方程。提出了未知解关于时间变量的新的微分技术。结果表明，所提出的技术允许同时生成准确的高阶导数的一组空间点。然后，计算出的导数可以以不同的方式用于数据驱动的解决方案。在Tensorflow背景框架下，通过Python中的著名DeepXDE软件解决方案，针对三个现实生活中的偏微分方程：Burgers方程，Allen-Cahn方程和Schrodinger方程，提出了物理信息神经网络的应用。
2022-10-21 cs.LG cs.NA math.NA
A Structure-Preserving Framework for Solving Parabolic Partial Differential Equations with Neural Networks
Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（应用数学系，香港Polytechnic大学）；Department of Mathematics, University of South Carolina（数学系，南卡罗来纳大学）
提出Sidecar框架，通过引入辅助网络引导主神经网络求解器保持抛物型PDE的物理结构（如守恒与耗散），显著提升现有求解器的精度和结构保持能力。
2025-08-07 cs.LG cs.NA math.NA
Convergence analysis of unsupervised Legendre-Galerkin neural networks for linear second-order elliptic PDEs
Sungkyunkwan University（成均馆大学）
在本文中，我们对无监督Legendre-Galerkin神经网络（ULGNet）进行了收敛性分析，ULGNet是一种基于深度学习的数值方法，用于求解偏微分方程（PDE）。与现有的基于深度学习的偏微分方程数值方法不同，ULGNet将解表示为相对于勒让德基的谱展开，并通过求解变分残差最小化问题来预测深度神经网络的系数。由于相应的损失函数是等价的残差诱导的线性代数系统依赖于基函数的选择，我们证明了最小的离散损失函数收敛到弱解的偏微分方程。数值结果也将支持理论结果。关键技术工具包括有界神经网络的通用近似定理的变体，刚度和质量矩阵的分析，以及Rademacher复杂性方面的统一大数定律。
2022-11-16 cs.LG cs.NA math.NA
On Bayesian data assimilation for PDEs with ill-posed forward problems
我们研究贝叶斯数据同化（过滤）的时间演化偏微分方程，其中潜在的前向问题可能是非常不稳定或不适定的。此类偏微分方程包括流体动力学的斯托克斯方程，其特征在于解对初始数据扰动的高度敏感性、缺乏严格的全局适定性结果以及数值逼近可能不收敛。根据非常温和的和易于验证的一般假设，这样的偏微分方程的前向解算子，我们证明了后验测度表示的贝叶斯滤波问题的解决方案是稳定的扰动的噪声测量，我们提供了定量估计的近似贝叶斯滤波分布的收敛计算从数值逼近。对于斯托克斯方程，我们的结果意味着一致稳定性的过滤问题，即使在任意小的粘度，当潜在的前向问题可能成为不适定的，以及在一个合适的度量时间参数化的概率测度的数值逼近的紧致性。
2022-02-23 cs.NA math.AP math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation Methods for PDEs with Time Delay
本文提出并比较了用于并行求解含时滞偏微分方程的 DNWR 和 NNWR 两种区域分解数值方法，通过理论分析与数值实验验证了它们的收敛性、计算效率及适用性。
2024-08-22 cs.NA math.AP math.NA
Computational stability analysis of PDEs with integral terms using the PIE framework
偏积分方程（Partial Integral Equation，PIE）框架被开发用于计算分析线性偏微分方程（Linear Partial Differential Equations，PDE），其中PDE首先被转换为PIE，然后通过求解算子值最优化问题来解决分析问题。PIE框架上以前的工作集中在空间导数高达$2^{nd}$阶的偏微分方程的分析。在本文中，我们扩展类的偏微分方程，包括积分项和使用PIE框架进行稳定性分析。更具体地说，我们表明，与积分项的积分是相对于空间变量和核心的积分算子是矩阵值多项式的偏微分方程可以转换为PIEs，如果边界条件满足一定的标准。通过使用变量的变量变换来执行转换，其中每个PDE状态根据其最高导数和边界值被替换，以在不具有任何连续性要求的变量中获得新方程（PIE）。后来，我们表明，这种变量变换可以表示使用显式映射的参数的PDE的PIE和稳定性测试的参数可以构成为一个最优化问题，涉及这些参数。最后，我们给出了数值例子来证明这种方法的简单性和应用。
2022-04-01 cs.NA math.NA math.OC
An approximation scheme for semilinear parabolic PDEs with convex and coercive Hamiltonians
对一类梯度为凸强制的半线性抛物型方程提出了一个逼近格式。这样的方程经常出现在不完全市场的定价和投资组合管理中，更广泛地说，直接与后向随机微分方程的解的表示有关。所提出的方案是基于分裂的方程分为两部分，第一个相应的线性抛物型方程和第二个哈密尔顿-雅可比方程。这两个方程的解分别使用Feynman-Kac和Hopf-Lax公式进行近似。结合Krylov的振动系数技术和Barles-Jakobsen的最优切换近似，我们建立了该格式的收敛性并确定了其收敛速度。
2019-11-04 cs.NA math.NA math.OC
Bringing PDEs to JAX with forward and reverse modes automatic differentiation
Aalto University（阿尔托大学）；VTT Technical Research Centre of Finland（芬兰国家技术研究中心）
本文通过扩展JAX自动微分库并接入Firedrake有限元库，利用切线线性方程和伴随方程实现偏微分方程求解器的前向和反向模式自动微分，使其能与任意可微程序高效组合。
2023-08-31 cs.LG cs.MS cs.NA
Stable finite difference methods for Kirchhoff-Love plates on overlapping grids
在这项工作中，我们提出并发展了有效的和准确的数值方法，解决基尔霍夫-爱板模型的域与复杂的几何形状。这里提出的算法采用曲线有限差分法空间离散的一般复合重叠网格上的控制偏微分方程。复合重叠网格的不同组件的耦合是通过数值插值。然而，插值引入扰动的有限差分离散，这会导致数值不稳定性的时间步进计划用于推进所得到的半离散系统。为了解决不稳定性，我们建议增加一个四阶超耗散的空间离散化系统，以稳定其时间积分，这个额外的耗散项捕获的基本逆风效果的原始逆风计划。将逆风耗散项纳入几个时间步长计划（显式和隐式）的策略的调查导致四个新的算法的发展。对于每一种算法，通过局部傅里叶分析，推导出确定曲线网格上稳定时间步长和足够耗散系数的公式。本文考虑了一维简化模型板的二次本征值问题，揭示了由于空间离散中插值方程的存在而引起的弱失稳。该模型的问题进一步研究所提出的算法的稳定效果。精心设计的数值实验进行了验证所提出的算法的准确性和稳定性，其次是两个基准问题，以证明我们的方法解决实际应用的能力和效率。所提出的算法的性能有关的结果也被提出。
2021-05-12 cs.CE cs.NA math.NA
Robust SDE-Based Variational Formulations for Solving Linear PDEs via Deep Learning
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；dida Datenschmiede GmbH（dida数据锻造有限责任公司）；University of Vienna（维也纳大学）
蒙特卡罗方法和深度学习的结合最近产生了求解高维偏微分方程（PDE）的有效算法。相关的学习问题通常被描述为基于相关随机微分方程（SDEs）的变分公式，其允许使用基于梯度的优化方法来最小化相应的损失。因此，在相应的数值实现中，依赖于表现出低方差的足够的梯度估计器以准确和快速地达到收敛是至关重要的。在这篇文章中，我们严格调查相应的数值方面出现在线性Kolmogorov偏微分方程的背景下。特别是，我们系统地比较了现有的深度学习方法，并为它们的性能提供了理论解释。随后，我们提出了新的方法，可以被证明是更强大的理论和数值计算，从而大大提高性能。
2022-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
Numerical method for nonlinear Kolmogorov PDEs via sensitivity analysis
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文通过敏感性分析研究非线性柯莫戈罗夫偏微分方程，揭示其对小非线性扰动的敏感性，并基于此开发高效的数值方法，通过Feynman-Kac表示高效求解高维问题。
2026-04-14 cs.NA math.NA math.OC
Solving the Kolmogorov PDE by means of deep learning
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；ZENAI AG；University of Vienna（维也纳大学）
随机微分方程及其相关的Kolmogorov偏微分方程已广泛应用于工程、金融和自然科学等领域的模型中。特别是，SDES和Kolmogorov偏微分方程，分别是高度采用的金融衍生品的近似定价模型。Kolmogorov偏微分方程和偏微分方程，分别，通常不能明确地解决，它一直是和仍然是一个积极的研究课题，设计和分析数值方法，能够近似解决Kolmogorov偏微分方程和偏微分方程，分别。文献中几乎所有的Kolmogorov偏微分方程的近似方法都受到维数灾难的影响，或者只提供在单个固定时空点的偏微分方程解的近似。在本文中，我们推导并提出了一种数值逼近方法，其目的是克服上述两个缺点，并打算提供一个数值逼近的Kolmogorov偏微分方程的整个区域$[a,b]^d$，而不遭受灾难的维数。对热方程、Black-Scholes模型、随机Lorenz方程和Heston模型的数值结果表明，所提出的近似算法在高维情况下无论是精度还是速度都是非常有效的.
2021-07-14 cs.LG cs.NA math.NA
Efficient quantum algorithm for nonlinear reaction-diffusion equations and energy estimation
本研究改进卡尔曼线性化方法，提出求解非线性反应扩散偏微分方程的高效量子算法，在更宽松收敛条件下提升收敛速率，还可用于估计解的均方动能。
2023-11-06 cs.NA math-ph math.MP
