Multilevel quasi Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random field coefficients via fast white noise sampling
在求解以随机场为系数的偏微分方程时，对随机场实现的有效采样是一个挑战。在本文中，我们专注于在有限元和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）设置使用准随机点的高斯场的快速采样。我们的方法使用Lindgren等人的SPDE方法。结合一种新的白噪声快速采样算法，该算法与（ML）QMC相结合。我们将白噪声表示为小波级数展开，并将其分为两部分。第一部分使用准随机点进行采样，并包含有限数量的项，以确保良好的QMC收敛性。第二部分是使用标准伪随机数采样的校正项。我们展示了如何采样的两个术语可以在线性时间和内存复杂性的网格单元的数量通过一个超网格的建设，产生一个整体的线性成本。此外，我们的技术可以用来执行MLQMC耦合，即使在非嵌套网格层次结构的情况下。我们证明了我们的方法与数值实验的有效性。
2021-06-01 cs.NA math.NA
Sharp convergence rates of time discretization for stochastic time-fractional PDEs subject to additive space-time white noise
Florida State University（佛罗里达州立大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Mississippi State University（密西西比州立大学）
本文研究了随机时间分数PDEs在加性时空白噪声下的时间离散化收敛性，通过后向欧拉卷积求解法建立了误差估计，并展示了在时空白噪声下的最优收敛率。
2018-08-08 cs.NA math.NA
Weak convergence of Galerkin approximations for fractional elliptic stochastic PDEs with spatial white noise
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
本文研究了带有空间白噪声的分数椭圆随机偏微分方程解的数值近似问题，采用有限元空间离散和分数逆算子的积分表示的四次近似，推导了弱收敛率并验证了理论结果。
2018-08-09 cs.NA math.NA stat.ME
Analysis of backward Euler primal DPG methods
我们分析了一类抛物型问题的原始DPG格式的向后欧拉时间推进格式。最佳误差估计显示在自然范数和$L^2$范数的字段变量。对于热方程的解决方案，我们的原始DPG制定等于解决方案的标准Galerkin计划，因此，最佳的误差界中找到的文献。然而，在对流和反应项的存在下，后者的身份是无效的，最佳误差界的分析需要诉诸椭圆投影算子。至关重要的是，这些运营商的投影相对于PDE的空间部分，在标准的Galerkin计划，而不是相对于完整的PDE在一个时间步长，如前所述。
2021-03-22 cs.NA math.NA
Positivity-preserving schemes for some nonlinear stochastic PDEs
本文为纯时间相关 Brown 运动驱动的一类非线性随机热方程构造保正性数值格式，并通过数值实验与收敛结果说明其性质。
2023-04-21 cs.NA math.NA math.PR
Neural Basis Functions for Accelerating Solutions to High Mach Euler Equations
Johns Hopkins Applied Physics Laboratory（约翰斯·霍普金斯应用物理实验室）
我们提出了一种方法来解决偏微分方程（PDE）使用一组神经网络，我们称之为神经基函数（NBF）。该NBF框架是POD DeepONet算子学习方法的一种新变体，其中我们将一组神经网络回归到降阶本征正交分解（POD）基础上。然后，这些网络与分支网络结合使用，该分支网络摄取规定的PDE的参数以计算PDE的降阶近似。这种方法适用于高速流动条件下（马赫数10-30）的稳态欧拉方程，其中我们考虑了圆柱体周围的二维流动，该流动产生了激波条件。然后，我们使用NBF预测作为高保真计算流体动力学（CFD）求解器（CFD++）的初始条件，以显示更快的收敛。培训和实施该算法的经验教训也将提出。
2022-08-02 cs.LG cs.NA math.NA
Asymptotics for the Euler-Discretized Hull-White Stochastic Volatility Model
Florida State University（佛罗里达州立大学）
研究Euler-Maruyama离散化Hull-White随机波动模型的渐进行为，发现时间离散化模型具有与连续时间模型不同的性质，推导了几乎必然极限、波动结果和正整数矩增长率的显式表达式。
2017-07-04 cs.NA math.NA math.PR
Analysis of an exponential integrator for stochastic PDEs driven by Riesz noise
Universite de Pau et des Pays de l’Adour, E2S UPPA（波城大学）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Swedish Defence Research Agency (FOI)（瑞典国防研究局）
本文提出了一种用于处理由Riesz噪声驱动的随机PDE的显式指数积分器，并通过数值实验验证了其收敛性。
2026-02-19 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Hierarchical Decomposition of Finite Element White Noise with Application to Multilevel Markov Chain Monte Carlo
在这项工作中，我们开发了一种新的分层多级方法来生成高斯随机场实现的算法可扩展的方式，非常适合纳入多级马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法。这种方法建立在用于生成高斯随机场实现的其他偏微分方程（PDE）方法的基础上;特别地，可以通过求解具有空间白噪声源函数作为右侧的反应扩散PDE来形成单个场实现。虽然已经探索了这些方法来加速前向不确定性量化任务，例如多级蒙特卡罗，但是先前的构造不直接适用于多级MCMC框架，该框架以分级方式从粗尺度随机场构建细尺度随机场。我们的新的分层多层方法依赖于$L^2$中的白噪声源函数的分层分解，这使得我们能够以适合多级MCMC算法框架的方式在多个离散化级别上形成高斯随机场实现。在给出我们的主要理论结果和数值缩放结果以展示这种新的分层PDE方法用于生成高斯随机场实现的效用之后，该方法在四层MCMC算法上进行测试以探索其可行性。
2021-03-03 cs.NA math.NA stat.CO
Time discretization of FBSDE with polynomial growth drivers and reaction-diffusion PDEs
University of Oxford（牛津大学）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；CMA/FCT/UNL（计算数学中心/科学与技术学院/新里斯本大学）
本文分析了具有多项式增长驱动项且状态变量单调的FBSDE时间离散化误差，指出显式欧拉方案可能发散，但通过θ方案可恢复稳定性，提出适当 tame 的显式欧拉方案收敛。
2015-09-09 cs.NA math.NA math.PR
Fast solution of fully implicit Runge-Kutta and discontinuous Galerkin in time for numerical PDEs, Part II: nonlinearities and DAEs
全隐式Runge-Kutta（IRK）方法作为时间积分格式具有许多令人满意的精度和稳定性，但高阶IRK方法由于难以求解阶段方程而不常用于大规模数值偏微分方程的实际计算中。本文介绍了一种理论和算法框架，用于解决IRK方法（和时间上的不连续Galerkin离散）应用于非线性数值偏微分方程，包括代数约束的偏微分方程所产生的非线性方程。几个新的线性化的非线性IRK方程的开发，提供更快，更强大的收敛速度比经常被认为是简化牛顿，以及一个有效的预处理真正的雅可比矩阵，如果需要精确的牛顿迭代。求这些线性化的逆需要求解一组块2x2系统。在相当一般的假设下，证明了预处理的2 × 2算子的条件数是有界的一个小常数接近1，独立的空间离散化，空间网格，和时间步长，只有弱依赖的级数或积分精度。此外，新的方法是建立使用相同的预处理所需的向后欧拉型时间步进计划，所以可以很容易地添加到现有的代码。新的方法被应用到几个具有挑战性的流体流动问题，包括可压缩的欧拉和Navier斯托克斯方程，和不可压缩的欧拉和Navier斯托克斯方程的涡量流函数制定。使用Gauss IRK证明了高达10阶的精度，而在所有情况下，4阶Gauss IRK所需的预处理器应用数量大约是标准SDIRK方法的一半。
2021-10-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
High order well-balanced Arbitrary-Lagrangian-Eulerian ADER discontinuous Galerkin schemes on general polygonal moving meshes
本文提出一种适用于一般多边形动网格的高阶保平衡任意拉格朗日-欧拉ADER间断伽辽金格式，通过拉格朗日运动与网格优化、时空控制体积分及后验子单元有限体积限制，实现质量守恒、满足几何守恒律并在激波处保持鲁棒性。
2025-08-16 cs.NA math.NA
On the weak convergence rate of an exponential Euler scheme for SDEs governed by coefficients with superlinear growth
本文考虑一类非全局Lipschitz漂移和扩散系数为$x^α$的一维微分方程解的逼近问题，其中有$α>1$ .我们提出了一个（半显式）指数欧拉格式，并通过其弱逼近误差研究了其收敛性。为此，我们分析了$C^{1,4}$正则性的相关向后Kolmogorov PDE的解决方案，使用其Feynman-Kac表示和所涉及的过程的流导数。从这一点，在一些适当的假设下，确保其正时刻的控制模型的参数，我们恢复一个弱收敛速度的建议指数欧拉计划的一阶。最后，数值实验，以支持和补充我们的理论结果。
2020-04-17 cs.NA math.NA math.PR
Numerical solution of fractional elliptic stochastic PDEs with spatial white noise
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
本文研究了在$\mathbb{R}^d$有界域上带有加性空间白噪声的随机偏微分方程的数值解法，核心方法是利用分数次算子的逆运算表示并结合有限元方法进行空间离散，主要贡献是推导了强均方误差的收敛率并进行了数值验证。
2018-01-11 cs.NA math.NA stat.CO
Random-Feature Kalman Filtering for Linear PDE Data Assimilation
Ceyear Technologies Co., Ltd（中国电子科技集团公司第五十四研究所）；School of Mathematics and Statistics, Xidian University（西安电子科技大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, National University of Singapore（新加坡国立大学数学系）
提出随机特征卡尔曼滤波框架，通过质量白化有效秩坐标实现线性PDE数据同化，证明后验收缩和PDE一致性，区分系数空间后验与确定性近似误差。
2026-06-16 cs.NA math.NA
High-order Arbitrary-Lagrangian-Eulerian schemes on crazy moving Voronoi meshes
双曲型偏微分方程（PDE）涵盖了从人类科学、心脏科学到天体物理学的许多有趣的现象：这必然要求处理许多空间和时间尺度，以便同时描述更大尺度的宏观结构、多尺度湍流特征以及零尺度激波。此外，求解双曲型偏微分方程的数值方法必须可靠地处理不同的波族：光滑稀疏、激波和接触型的不连续性。为了实现这些目标，一种有效的方法是将基于时空的高阶格式与拉格朗日方法相结合，这种格式即使在粗网格上也能非常精确地处理光滑特征，拉格朗日方法通过随流体流动移动网格，在激波和接触上产生高分辨率和最小耗散的结果。然而，确保高质量的移动网格是一个巨大的挑战，需要开发创新和非常规的技术。这里提出的计划属于家庭的拉格朗日欧拉（ALE）方法，具有独特的额外的自由度，通过连通性的变化不断变化的网格元素的形状。我们的目的是在这里显示，通过简单和非常突出的例子，高阶ALE计划的能力，和我们的新技术，基于高阶时空处理拓扑结构的变化。
2022-09-03 cs.NA math.NA
A Recursive Sparse Grid Collocation Method for Differential Equations with White Noise
Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）；School of Mathematical Sciences, University of Nottingham（诺丁汉大学数学科学学院）
本文提出一种递归稀疏网格列联方法，用于计算受时间依赖白噪声扰动的微分方程解的函数泛函期望，通过结合时间离散化和递归过程提高长期积分精度。
2015-05-15 cs.NA math.NA math.PR
Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time
在这篇文章中，我们得到了一个新的，快速的，和强大的预处理迭代求解策略的所有一次解决最优控制问题的不定常偏微分方程作为约束，包括热方程和非定常对流-扩散方程。在应用优化然后离散化的方法后，人们面临着由偏微分方程的耦合系统组成的连续的一阶最优性条件。相对于大多数工作中预处理的离散化系统，其中（一阶精度）向后欧拉法用于离散化的时间导数，我们采用（二阶精度）曲柄-尼科尔森方法的时间。我们应用一个精心定制的可逆变换对称化的矩阵，然后推导出一个最佳的预条件子的鞍点系统。这个预条件的关键组成部分是一个准确的质量矩阵近似，一个很好的近似Schur补，和一个适当的多重网格过程，以适用于后者的近似-这些都是使用我们的工作在变换矩阵系统。我们证明了最优的近似Schur补通过边界上的特征值，并测试我们的求解器对广泛使用的预条件的线性系所产生的向后欧拉离散。这些都证明了我们的求解器的有效性和鲁棒性的网格大小，正则化参数和扩散系数。
2020-07-16 cs.NA math.NA math.OC
An efficient numerical approach for stochastic evolution PDEs driven by random diffusion coefficients and multiplicative noise
本文研究了由$\log$-Whittle-Mat $\acute{\mathrm{e}}$ rn（W-M）随机扩散系数场和$Q$ -Wiener乘性力噪声驱动的随机发展方程.首先，通过证明温和解的存在性、唯一性和稳定性，建立了基本方程的适定性。提出了一种带填充的近似循环嵌入方法对随机系数域进行采样。在此基础上，提出了一种基于半隐式Euler-Maruyama格式和有限元法的时空离散方法。强收敛速度的估计。最后通过数值实验验证了理论结果。
2022-07-04 cs.NA math.NA
Arbitrary-Lagrangian-Eulerian One-Step WENO Finite Volume Schemes on Unstructured Triangular Meshes
University of Trento（特伦托大学）
针对移动非结构化三角网格上的非线性双曲守恒律系统，提出一类基于WENO重构和时空伽辽金预测器的高阶精度任意拉格朗日-欧拉单步有限体积格式。
2013-02-14 cs.NA math.NA
A scalable exponential-DG approach for nonlinear conservation laws: with application to Burger and Euler equations
提出了一种求解偏微分方程的指数DG方法。我们的想法是分解成线性（快速动态线性化提取）和非线性（去除前者后剩余）的部分，我们应用不连续Galerkin（DG）空间离散化的PDE运营商。所得的半离散系统，然后集成使用指数时间积分器：精确的前者和后者的近似。通过构造，我们的方法i）在大的Courant数（Cr > 1）下是稳定的; ii）在时间和空间上都支持高阶解; iii）与没有预处理器的IMEX DG方法相比在计算上是有利的; iv）与显式RKDG方法相比需要相当的计算时间，同时具有比显式RKDG方法的最大稳定时间步长大几个数量级的时间步长; v）通过利用Krylov子空间无矩阵指数时间积分器和DG方法的紧凑通信模板，在现代大规模并行计算体系结构中是可扩展的。Burgers和Euler方程的各种数值结果展示了这些预期的属性。对于Burgers方程，给出了指数型Euler DG格式的稳定性和收敛性分析.
2021-04-17 cs.NA math-ph math.MP
Mathematical and numerical analysis for PDE systems modeling intravascular drug release from arterial stents and transport in arterial tissue
本文对修正的一维血管支架药物释放模型进行PDE与数值分析，证明弱解存在唯一性，提出半离散与全离散有限元格式并证明最优误差估计，且讨论二维推广。
2024-04-21 cs.NA math.AP math.NA
Sparse-stochastic model reduction for 2D Euler equations
二维欧拉方程是一组简单但丰富的非线性偏微分方程，描述了理想无粘流体的演化，其中一维可以忽略不计。数值求解这些方程可能是非常苛刻的。在过去的几十年中，已经开发了几种技术来获得快速和准确的模拟。在本文中，我们提出了一种新的方法，它结合了最近的发展，随机模型的减少和保守的半离散的欧拉方程。特别是，从Zeitlin模型的2球，我们推导出大尺度的动力学减少，我们关闭的方程确定性或一个合适的随机项。数值实验表明，在初始湍流状态后，小尺度对大尺度的影响可以忽略不计，即使不同模式之间存在非零能量转移。
2023-01-16 cs.NA math.NA
A combined GDM--ELLAM--MMOC scheme for advection dominated PDEs
我们提出了一种欧拉拉格朗日局部伴随方法（ELLAM）和改进的特征方法（MMOC）的时间依赖的对流主导偏微分方程的组合。组合方案，所谓的GEM方案，利用ELLAM方案（质量守恒）和MMOC方案（更容易计算）的优点，同时避免它们的缺点（分别是，难以跟踪周围的注入区域，和质量损失）。我们提出了一个精确的分析，这三个计划的质量守恒性质，并在实现全球质量平衡，调整产生局部体积守恒。数值结果为所有三个计划进行比较，说明GEM计划的优势。利用我们以前对ELLAM格式收敛性的研究，给出了MMOC格式的收敛性结果，并将其推广到GEM格式。
2021-10-13 cs.NA math.NA
FBSDE based Neural Network Algorithms for High-Dimensional Quasilinear Parabolic PDEs
本文提出了基于前向和后向随机微分方程（FBSDEs）的深度神经网络（DNN）学习算法，用于求解高维拟线性抛物型偏微分方程（PDE），并通过Pardoux-Peng理论将其与FBSDEs联系起来。该算法依赖于一个学习过程，通过最小化两个离散随机过程之间的路径差异，定义的时间离散化的FBSDES和DNN表示的PDE解决方案，分别。所提出的算法产生DNN解决方案的100维Black-Scholes-Barenblatt方程，在有限区域的解决方案空间中的准确，并具有类似的欧拉-丸山离散用于FBSDES的收敛速度。因此，在时间离散化上的Richardson外推技术可以用于提高DNN解决方案的准确性。对于时间振荡的解决方案，多尺度DNN示出，以提高高频率的FBADNN的性能。
2021-05-06 cs.NA math.NA
Pathwise Holder convergence of the implicit Euler scheme for semi-linear SPDEs with multiplicative noise
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
本文证明在UMD Banach空间中，乘性噪声半线性抛物型随机微分方程的隐式欧拉格式具有最优路径wise Hölder收敛速率，并应用于乘性时空白噪声驱动的二阶抛物型SPDEs。
2012-01-21 cs.NA math.FA math.NA
Learning discrete Lagrangians for variational PDEs from data and detection of travelling waves
本文提出用神经网络学习变分偏微分方程的离散拉格朗日密度$L_d$，推导出优化离散Euler--Lagrange方程可解性的正则化项，并开发了寻找机器学习离散场论中行波解的方法。
2023-08-02 cs.NA math.NA
On Arbitrary-Lagrangian-Eulerian One-Step WENO Schemes for Stiff Hyperbolic Balance Laws
Laboratory of Applied Mathematics, University of Trento（应用数学实验室，特伦托大学）
提出一种基于任意拉格朗日-欧拉框架的高阶单步WENO有限体积格式，结合局部时空间断Galerkin方法，用于求解刚性双曲平衡律，在刚性和非刚性情形下分别达到六阶和八阶精度。
2014-11-21 cs.NA math.NA
Arbitrary-Lagrangian-Eulerian discontinuous Galerkin schemes with a posteriori subcell finite volume limiting on moving unstructured meshes
University of Trento（特伦托大学）
本文提出了一种高阶准确的移动无结构网格上非线性双曲PDE的不连续伽辽金方案，采用后验子胞有限体积限制方法提高计算稳定性。
2016-12-13 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Stability theory for difference approximations of some dispersive shallow water equations and application to thin film flows
Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR CNRS 5219, INSA de Toulouse（图卢兹数学研究所，法国国家科学研究中心联合研究单位5219，图卢兹国立应用科学学院）
本文研究了Euler-Korteweg方程组差分近似的稳定性，提出通过引入密度函数梯度未知数，证明Lax-Friedrichs型方案在Courant-Friedrichs-Levy条件下的熵稳定性，并用于模拟薄液膜流动中的色散激波。
2014-01-29 cs.NA math.NA
Numerical PDE solvers outperform neural PDE solvers
本研究提出可微有限差分框架DeepFDM，将经典前向欧拉离散化嵌入卷积架构，在多类标量PDE基准测试中，误差、训练效率和参数量均显著优于主流神经PDE求解器，为参数化PDE的数据驱动求解与识别提供了稳健高效的透明基线。
2025-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
Error analysis of a space-time finite element method for solving PDEs on evolving surfaces
University of Houston（休斯顿大学）；RWTH-Aachen University（亚琛工业大学）
本文研究了在演化超曲面上求解抛物型偏微分方程的欧拉有限元方法，证明了该方法在能量范数下具有一阶收敛性，在弱范数下具有二阶收敛性，并推导了演化曲面上抛物型PDE解的正则性结果。
2014-04-09 cs.NA math.NA
A trace finite element method for PDEs on evolving surfaces
University of Houston（休斯顿大学）
本文提出了一种结合迹有限元方法和快速 marching 方法，用于求解演化的曲面上PDE的数值方法，该方法基于欧拉描述，采用不贴合曲面的时间不变背景网格，能够处理曲面的拓扑变化和局部几何奇点。
2017-02-10 cs.NA math.NA
On direct Arbitrary-Lagrangian-Eulerian ADER-WENO finite volume schemes for the HPR model of nonlinear hyperelasticity
University of Trento（特伦托大学）；CNRS and Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT) Université Paul-Sabatier（法国国家科学研究中心和图卢兹数学研究所（IMT）保罗-萨巴蒂耶大学）
本文提出了一种高阶ADER-WENO有限体积方案，用于在多维空间中求解非线性超弹性HPR模型，通过移动无结构网格实现，展示了该方法在模拟弹性体和流体中的有效性。
2016-02-22 cs.NA math.NA
New High-Order Numerical Methods for Hyperbolic Systems of Nonlinear PDEs with Uncertainties
本文提出一种结合随机空间五阶WENO插值与物理空间二阶重构的高阶有限体积方法，用于求解带不确定性的非线性双曲PDE系统，并在欧拉方程和浅水方程上验证了其无振荡、高阶精度、良好平衡性与保正性。
2024-07-03 cs.NA math.NA
Wardrop equilibria : long-term variant, degenerate anisotropic PDEs and numerical approximations
CEREMADE, UMR CNRS 7534, Université Paris IX Dauphine（巴黎第九大学 CEREMADE 实验室）
本文研究了Wardrop平衡的长期变体，将其与退化各向异性椭圆PDE的变分问题等价，并通过数值模拟验证了其正则性结果。
2015-07-06 cs.NA math.AP math.NA
A Nonlocal Graph-PDE and Higher-Order Geometric Integration for Image Labeling
Heidelberg University（海德堡大学）
本文提出非局部G-PDE对图上度量数据标注，通过熵正则化DC分解和几何积分视角设计加速DC规划格式，并给出收敛性分析与数值验证。
2022-10-04 cs.CV cs.NA math.NA
An efficient stochastic particle method for high-dimensional nonlinear PDEs
本文提出一种随机粒子方法（SPM），通过跟踪粒子运动、随机跳跃、重采样和加权，结合分段常数重构实现自适应采样，在6维Allen-Cahn和7维Hamiltonian-Jacobi-Bellman方程上验证了其高效求解高维非线性PDE的潜力。
2024-12-03 cs.NA math-ph math.MP
