Smoothed analysis is a new way of analyzing algorithms introduced by Spielman and Teng (J. ACM, 2004). Classical methods like worst-case or average-case analysis have accompanying complexity classes, like P and AvgP, respectively. While worst-case or average-case analysis give us a means to talk about the running time of a particular algorithm, complexity classes allows us to talk about the inherent difficulty of problems.
Smoothed analysis is a hybrid of worst-case and average-case analysis and compensates some of their drawbacks. Despite its success for the analysis of single algorithms and problems, there is no embedding of smoothed analysis into computational complexity theory, which is necessary to classify problems according to their intrinsic difficulty.
We propose a framework for smoothed complexity theory, define the relevant classes, and prove some first hardness results (of bounded halting and tiling) and tractability results (binary optimization problems, graph coloring, satisfiability). Furthermore, we discuss extensions and shortcomings of our model and relate it to semi-random models.
Improving the smoothed complexity of FLIP for max cut problems
求最大割和最大$k$割的局部最优解是著名的PLS完备问题。一个本能的方法来寻找这样的局部最优解是FLIP方法。尽管FLIP在最坏情况下需要指数时间，但在实际情况下它往往会快速终止。为了解释这种差异，FLIP的运行时间已经在平滑复杂性框架中进行了研究。Etscheid和Röglin证明了任意图的最大割的FLIP的平滑复杂度是拟多项式的。Angel、Bubeck、Peres和Wei证明了完全图中最大割的FLIP的平滑复杂度是$O(ϕ^5n^{15.1})$，其中$ϕ$是随机边权密度的上界，$n$是输入图中的顶点数。Angel et al.的结果表明，第一个多项式平滑的复杂性，他们也证明了他们的运行时界是远离最优的。在这项工作中，我们取得了实质性的进展，提高了运行时的界限。证明了完全图中FLIP的光滑复杂度为$O(ϕn^{7.83})$。我们的研究结果是基于一个精心选择的矩阵，其秩捕获的运行时间的方法，以及改进的秩界为这个矩阵和改进的工会界的基础上，这个矩阵。此外，我们的技术提供了一个通用的框架，分析FLIP的平滑框架。我们通过证明在完全图中的max-$3$-割的FLIP的平滑复杂度是多项式，而在任意图中的max-$k$-割的FLIP的平滑复杂度是拟多项式来说明这个一般框架.我们相信，我们的技术也应该对解决平滑的复杂性FLIP的最大-$k$-切在完整的图形较大的常数$k$的兴趣。
Beyond Worst-Case Analysis for Root Isolation Algorithms
一元多项式实根的分离是符号计算中的一个基本问题，也是计算数学中最重要的问题之一。这个问题有着悠久的历史，装饰着许多巧妙的算法，并成为一个活跃的研究领域。然而，最坏情况下的寻根算法的分析并不相关的实际性能。我们开发了一个平滑的分析框架多项式与整数系数之间的差距，复杂性估计和实际性能。在此设置中，我们推导出DESCARTES求解器隔离多项式的实根的预期位复杂度，其中系数均匀分布，为$\widetilde{\mathcal{O}}_B(d^2 + d τ)$，其中$d$是多项式的次数，$τ$是系数的位大小。
Average/Worst-Case Gap of Quantum Query Complexities by On-Set Size
本文研究了起始长度为M的N元布尔函数族F_{N,M}中函数的查询复杂度，即，由于函数值0和1的对称性，在不损失一般性的情况下假设函数值为1的输入的数量，其中1<= M <= 2^{N}/2。我们的主要结果如下：（1）在一定的M范围内，F_{N,M}上的平均和最坏量子查询复杂度之间存在一个超线性差距。(2)对于每个M，在F_{N,M}上的平均情况和最坏情况随机查询复杂度之间没有超线性差距。(3)对于由N中的多项式限定的每个M，F_{N,M}中的任何函数都具有量子查询复杂度Theta（sqrt{N}）。(4)对于每个M=O（2^{cN}）且任意大常数c<1，F_{N,M}中的任何函数都具有随机化的查询复杂度Omega（N）。
Sharp worst-case evaluation complexity bounds for arbitrary-order nonconvex optimization with inexpensive constraints
Mathematical Institute, Oxford University（牛津大学数学研究所）；Computational Mathematics Group, STFC-Rutherford Appleton Laboratory（STFC-拉瑟福德苹果顿实验室计算数学组）；Namur Center for Complex Systems (naXys), University of Namur（纳慕尔复杂系统中心（naXys），纳慕尔大学）
