Set Systems Containing Many Maximal Chains
这篇简短的问题论文的目的是提出一个关于集合系统的极值问题，这个问题似乎是自然和吸引人的。我们的问题是：哪个给定大小的集合系统使幂集$\mathcal{P}(\{1,2,\dots,n\})$中的$(n+1)$ -元素链的数目最大化？我们将证明，对于每个固定的$α>0$有一个家庭的$α2^n$集包含$(α+o(1))n!$这样的链，这是渐近最好的可能。对于较小的集合系统，我们无法回答这个问题。我们猜想一个“立方塔”的结构是极值的。最后，我们简要地提到一个连接到一个极值问题的偏序集和一个变种，我们的问题的网格图。
2013-09-18 math.CO
Maximal $m$-distance sets containing the representation of the Hamming graph $H(n,m)$
在欧几里得空间$\mathbb{R}^d$中的集合$X$称为$m$ -距离集合，如果$X$中两个不同点之间的欧几里得距离的集合具有大小$m$。如果在$\mathbb{R}^d$中不存在矢量$x$使得$X$和$\{x\}$的并集仍然只有$m$距离，则称$\mathbb{R}^d$中的$m$距离集$X$是最大的。Bannai-Sato-Shigezumi（2012）研究了包含Johnson图$J(n,m)$的欧几里得表示的最大$m$ -距离集。在本文中，我们考虑同样的问题的汉明图$H(n,m)$。$H(n,m)$的欧几里德表示是$\mathbb{R}^{m(n-1)}$中的$m$距离集。我们证明了最大$n$是$m^2 + m - 1$，使得$H(n,m)$的表示不是最大的$m$ -距离集。此外，我们分类的最大$m$距离集，其中包含的表示$H(n,m)$为$m\leq 4$和任何$n$。我们还分类的最大$2$ -距离集在$\mathbb{R}^{2n-1}$，其中包含的表示$H(n,2)$的任何$n$。
2016-09-21 math.CO
On the number of maximal independent sets: From Moon-Moser to Hujter-Tuza
本文将极值图论中关于极大独立集个数的两个经典结果联系起来。Moon和Moser确定了$n$ -顶点图中极大独立集的最大数目mis $(n)$. Hujter和Tuza确定了无三角形$n$ -顶点图中极大独立集的最大数目mis $_\bigtriangleup(n)$.本文确定了一个$n$ -顶点图中不含大小为$t+1$的诱导三角形匹配的极大独立集的最大数目mis $_t(n)$.我们还重新证明了Kahn和Park关于$n$ -顶点无三角形图的极大独立集的最大数目mis $_{\bigtriangleup,t}(n)$的稳定性结果，该图不包含大小为$t+1$的诱导匹配.
2022-05-09 math.CO
Maximal Hamiltonicity of realization graphs of degree sequences
Department of Mathematics Statistics University of Wisconsin–La Crosse（威斯康星大学拉克罗斯分校数学与统计系）
本文证明度序列实现图是最大哈密顿的，通过归纳切割和移位族分类，解决了 Mütze 和 Barrus 的开放问题，并在 Lean 4 中形式化验证。
2026-09-09 math.CO
Binomial partial Steiner triple systems containing complete graphs
本文提出了一种研究部分Steiner三元系的新方法，即确定其中包含的完全图。我们建立了完全图在包含它们的极小PSTS中产生的结构。作为一个副产品，我们介绍了一个二项式PSTS的概念作为一个配置的参数的最小PSTS与一个完整的子图。给出了具有至少一个给定的极大完全子图的二项式PSTS的透视系统表示。最后，我们证明了对于每个容许整数，存在一个具有这个数目的极大完全子图的二项式PSTS。
2014-10-28 math.CO
Maximal $2$-distance sets containing the regular simplex
欧几里得空间的有限子集$X$称为$m$ -距离集，如果$X$中两个不同点之间的距离数等于$m$。如果在保持$m$ -距离条件的同时不能将任何向量添加到$X$，则称$m$ -距离集$X$为最大.本文研究了向量加到正则单纯形上使得集合只有$2$距离的一个充要条件。我们构造了几个包含$d$维正则单形的$d$维极大$2$ -距离集.特别是，存在无穷多个最大的非球形$2$ -距离集，其中既包含正则单纯形，又包含强可解设计的表示。最大$2$距离集的大小为$2s^2(s+1)$，维数为$d=(s-1)(s+1)^2-1$，其中$s$是素数幂.
2020-07-27 math.CO math.MG
Tournaments, Johnson Graphs, and NC-Teaching
最近，一种被称为“无冲突教学”或简称为“NC教学”的教学模式被提出来，在以下强烈的意义上，它是可证明的最佳模式。首先，它满足Goldman和Matthias的无合谋条件。第二，NC教学维度（= NCTD）小于或等于任何其他无合谋教学模式的教学维度。它还表明，任何概念类，它具有NC教学维$d$和定义在一个域的大小$n$可以有最多$2^d \binom{n}{d}$概念。本文的主要结果如下。首先，我们描述了NC-教学维度$1$的最大概念类，这些类是由比赛（=完全定向图）以一种非常自然的方式诱导的。第二，我们发现，存在一个家庭$(\cC_n)_{n\ge1}$的概念类，使众所周知的递归教学维度（= RTD）$\cC_n$增长在$n = |\cC_n|$，而对于每个$n\ge1$，NC教学维度的$\cC_n$等于$1$。由于有限概念类$\cC$的递归教学维一般是有界的$\log|\cC|$，所以族$(\cC_n)_{n\ge1}$以最引人注目的方式将RTD与NCTD分开。族$(\cC_n)_{n\ge1}$的存在性的证明利用概率方法和随机竞赛图。第三，我们改进了上述上限$2^d\binom{n}{d}$的一个因子的顺序$\sqrt{d}$。利用Johnson图和不含大窄团的极大子图来证明上界。
2022-05-05 cs.DM math.CO
On the number of graphs not containing $K_{3,3}$ as a minor
我们得到精确的渐近估计的标记图的数量不包含$K_{3,3}$作为一个未成年人，也为那些边最大。此外，我们建立了随机$K_{3,3}$ -未成年人自由图的参数的极限定律，如预期的边缘数。为了建立这些结果，我们将相应的图类分解成生成函数的方程，并使用奇异性分析。我们还发现了一个精确的估计不包含图$K_{3,3}$加上一个边作为一个未成年人的图形的数量。
2008-04-01 math.CO
A polynomial bound for the number of maximal systems of imprimitivity of a finite transitive permutation group
证明了存在一个常数$a$，使得对于有限群$G$的每个子群$H$，包含$H$的$G$的极大子群的个数上有界于$a|G:H|^{3/2}$ .特别地，度为$n$的可迁置换群最多有$an^{3/2}$极大不变性系。当$G$是可解的时，推广了Tim Wall的一个经典结果，证明了$G$中包含$H$的极大子群的个数至多为$|G:H|-1$ .
2019-07-19 math.CO math.GR
A generalization of a theorem of Erné
设$X$是一个有限集，$Z \subseteq X$和$y \notin X$。Marcel Erné在1981年证明了$X$上包含$Z$作为反链的偏序集的个数等于$X \cup \{ y \}$上的偏序集$R$的个数，其中$Z \cup \{ y \}$的点恰好是$R$的极大点。证明了如下推广：对于每个带有载体$Z$的偏序集$Q$，$X$上包含$Q$作为诱导子偏序集的偏序集的个数等于$X \cup \{ y \}$上包含$Q^d + A_y$作为诱导子偏序集的偏序集$R$的个数，其中$Q^d + A_y$的极大点恰是$R$的极大点.这里，$Q^d$是$Q$的对偶，$A_y$是$y$上的单偶偏序集，而$Q^d + A_y$表示$Q^d$和$A_y$的直和。
2021-05-03 math.CO
Maximal graphs with respect to rank
图的秩定义为它的邻接矩阵的秩。如果一个图没有孤立的顶点，也没有两个顶点具有相同的邻居集，则该图被称为约简图。一个约简图$G$称为极大图，如果任何包含$G$作为真诱导子图的约简图都有较高的秩.本文的主要目的是给出极大图的一些结果。首先，我们介绍了最大树的一个特征（一个约简树是一个最大树，如果它不是一个约简树的具有相同秩的真子树）。其次，我们给出了极大广义友谊图的一个近似完全刻画。最后，我们给出了所有秩为$8$和$9$的极大图的一个计数。直到$7$的排名已经由Lepović（1990）、Ellingham（1993）和Lazić（2010）完成。
2020-10-07 math.CO
Separating hash families: A Johnson-type bound and new constructions
分离散列族是一种有用的组合结构，它是组合学、密码学和编码理论中许多研究对象的推广。本文利用图论和加法数论的工具，解决了几个关于分离散列族的界和构造的公开问题和解答。首先，我们发现分离哈希族的基数满足一个Johnson型不等式。结果，我们得到了一个新的上界，这是优于以往的。其次，我们提出了一个无限类的完美哈希家庭的建设。它以编码理论中的Hamming图为基础，推广了以前出现的许多构造。它对Bazrafshan-Trung提出的关于分离散列族的公开问题和Alon-Stav提出的关于双亲识别码的猜想都给出了肯定的回答。第三，令$p_t(N,q)$表示长度为$N$的$t$完美散列族在大小为$q$的字母表上的最大基数。Walker II和Colbourn证实了$p_3(3,q)=o(q^2)$。我们通过证明$q^{2-o(1)}<p_3(3,q)=o(q^2)$来验证这个猜想。我们的证明可以看作是Ruzsa-Szemer{é}di（6，3）-定理的一个应用。我们还证明了$q^{2-o(1)}<p_4(4,q)=o(q^2)$。引入图论和加法数论中的两个新概念，即彩虹圈和$R$ -无和集，证明了这一结果.这两个界限支持了布莱克本、埃锡安、斯丁森和扎韦鲁查的问题。最后，我们在完美散列族和超图Tur{á}n问题之间建立了一座桥梁.这种联系以前没有被注意到。因此，出现了许多新的结果和问题。
2016-10-25 cs.DM cs.IT math.CO
Characterization of Maximal Left-Compressed Intersecting Families Generated by a Single Generator
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Science, Vietnam National University - Ho Chi Minh City（越南国立大学胡志明市自然科学大学数学与计算机科学学院）
本文研究由集合族生成的左压缩相交族，建立其为相交族的充要条件，提出从单个生成元构造极大左压缩相交族的方法，并推导该族大小的相关估计值。
2026-08-27 math.CO
Null and non--rainbow colorings of projective plane and sphere triangulations
对于$n\geq 4$阶的极大可平面图，我们证明了不含彩虹面的顶点着色最多使用$\lfloor\frac{2n-1}{3}\rfloor$颜色，这是最好的可能。对于嵌入在射影平面上的极大图，我们得到了类似的最佳界$\lfloor\frac{2n+1}{3}\rfloor$。在证明的主要成分是经典的同调工具。通过将图看作拓扑空间，引入了零染色的概念，证明了对任何图$G$，极大零染色$f$使得商图$G/f$是森林.
2012-10-25 math.CO
Maximal subsets free of arithmetic progressions in arbitrary sets
考虑在给定的长度为$n$的集合中，确定不含长度为$k$的等差数列的子集的最大基数问题.证明了在一定意义下考虑区间$[1,\dots, n]$是充分的。这项研究延续了科姆洛斯、苏约克和塞梅雷迪的工作。
2020-10-09 math.CO math.NT
Hilton-Milner results in projective and affine spaces
本文分析了PG（n，q）和AG（n，q）中的$k$ -空间，$n>2k+t+2$中两两相交于至少一个$t$ -空间的极大集.已知对于PG（n，q）和AG（n，q），最大的例子是$t$ -束，即包含固定$t$ -空间的所有$k$-空间的集合。本文分析了PG（n，q）和AG（n，q）中第二大极大例子的结构.
2020-07-31 math.CO
A New Heuristic for Detecting Non-Hamiltonicity in Cubic Graphs
本文分析了一个多面体，它包含一个给定的无向连通三次图的所有哈密顿圈的凸包。我们构造的多面体是由多项式多连续（松弛）变量的多项式多线性约束定义的。显然，所构造的多面体的空性意味着该图是非哈密尔顿的。然而，只要构造的多面体是非空的，结果是不确定的。因此，下面的自然问题出现了：如果我们假设一个非空的多面体蕴含着哈密顿性，那么这个诊断有多频繁是不正确的？我们证明了，在桥图的情况下，所构造的多面体总是空的。我们还证明了一些非桥非Hamilton三次图也诱导空多面体。我们比较我们的方法著名的Dantzig-Fulkerson-Johnson松弛的TSP，并给出经验证据表明，后者是不可行的，当且仅当我们构造的多面体也是空的。通过考虑特殊的边割集是目前在大多数三次图，我们描述了一个启发式的方法，建立在我们构建的多面体，不正确的诊断非哈密顿图的哈密尔顿是非常罕见的。特别是，对于包含多达18个顶点的三次图，45，982个无向连通三次图中只有4个被误诊。通过分析，我们证明了一个等价的启发式，当建立在丹兹-富克尔森-约翰逊松弛的TSP，大多是不成功的，在确定额外的非哈密顿图。这些经验结果表明，多项式算法的基础上，我们构造的多面体可能能够正确地识别一个三次图的哈密尔顿性，但在极少数情况下。
2019-02-27 math.CO
Sizes of flat maximal antichains of subsets
本文研究布尔格中极大反链大小的取值问题，提出一种替代构造方法，证明几乎所有大小的极大反链均可由仅包含 $l$-集和 $(l+1)$-集的反链构成。
2024-06-28 cs.DM math.CO
The Class Edge-Reconstruction Number of a Maximal Planar Graph Is One or Two
本文确定极大平面图的类边重构数界为1或2，通过分析可翻转边删除后的补全方式等论证，解决了2010年重构数综述提出的问题。
2026-09-03 cs.DM math.CO
Maximal sets with no solution to x+y=3z
在本文中，我们感兴趣的和自由集的概念的推广。我们解决了一个猜想首先在90年代由钟和Goldwasser。最近，Matolcsi和Ruzsa在计算机上验证了这个猜想，并向这个猜想迈出了重要的第一步.本文通过给出[0，1]的3-无和子集A（即方程x + y = 3z的无解集，其中x，y，z被限制为属于A）的勒贝格测度的一个最优上界，证明了这个猜想.然后，我们解决的逆问题，并精确地描述，在所有集的属性，那些达到最大可能的措施。
2013-02-18 math.CO math.NT
Finding Maximal Sets of Laminar 3-Separators in Planar Graphs in Linear Time
我们考虑分解一个3连通平面图$G$使用分层分离器的大小为3。我们展示了如何找到一个最大的一组层状3-分离器在这样的图中的线性时间。我们还讨论了如何从特殊族中求出3-分离子的极大层集。例如，我们讨论非平凡的削减，即。将$G$分割成尺寸至少为2的两个部件的切口。对于任何顶点$v$，我们还展示了如何找到一个最大的3-分离器不相交的$v$是层状的，并满足：在一个分离器$X$中的每个顶点有两个邻居不包含$v$的唯一组件的$G-X$。在所有的情况下，我们展示了如何构建一个相应的树分解的粘附三。我们的新算法形成了一个重要的组成部分，最近的方法在非平面图中找到不相交的路径。
2018-10-17 cs.DS math.CO
The conflated expression graph for an arbitrary permutation
本文证明了任意排列的混合表达式图存在唯一最小元和最大元，且每个约化表达式位于从源到汇的极大链上，推广了Manin-Schechtman关于高阶Bruhat序的工作，并给出了Hothem中某些结果的独立自包含证明。
2026-05-31 math.CO math.RT
Maximal entries of elements in certain matrix monoids
令$L_u=\begin{bmatrix}1 & 0\\u & 1\end{bmatrix}$和$R_v=\begin{bmatrix}1 & v\\0 & 1\end{bmatrix}$是具有$u, v\geq 1$的$SL_2(\mathbb Z)$中的矩阵。由于由$L_u$和$R_v$生成的幺半群是自由的，我们可以根据其乘积表示将深度与每个元素相关联。在$u=v=2$和$u=v=3$的情况下，Bromberg、Shpilrain和Vdobel确定了包含每个$n\geq 1$的最大条目的深度$n$矩阵。利用我们以前在$(u,v)$ -Wilf树上工作的思想，我们将他们的结果推广到任何$u, v\geq 1$上，并在此过程中恢复了Fibonacci序列和一些Lucas序列.因此，我们得到的界限，保证碰撞阻力的基础上的一个家庭的哈希函数$L_u$和$R_v$。
2020-02-14 math.CO math.NT
On torus quotients of Schubert varieties in orthogonal Grassmannian-II
令$G=SO(8n+4,\mathbb{C})$（$n\ge 1$）。设$B$是$G$的Borel子群，其中包含$G.$的极大环面$T$，$P (\supset B)$表示$G$的极大抛物子群，对应于单根$α_{4n+2}$ .本文证明了正交Grassmannian $G/P$中某些Schubert簇的GIT代数关于一个合适的$T$ -线性化的非常充分线丛的下降的射影正规性.
2023-02-01 math.AG math.CO math.RT
