Abelian returns in Sturmian words
在本文中，我们研究了一个阿贝尔版本的概念返回字。我们的主要结果是一个新的表征Sturmian词通过阿贝尔回报。也就是说，我们证明了一个字是Sturmian当且仅当它的每个因素有两个或三个阿贝尔回报。此外，我们描述了结构的交换回报的Sturmian词，并讨论了交换回报和周期性之间的联系。
2011-08-18 cs.DM cs.FL math.CO
Open and Closed Prefixes of Sturmian Words
如果一个词包含一个既作为前缀又作为后缀出现但没有内部出现的真因子，则该词是封闭的，否则它是开放的。我们处理序列的开放和封闭的前缀的Sturmian词，并证明了这个序列的特点，每一个有限或无限Sturmian词同构的字母表。然后，我们的组合结构的特点的开放和封闭的前缀标准Sturmian词的序列。我们证明，每一个标准的Sturmian字，交换其第一个字母后，可以写为一个无穷乘积平方的反标准的话。
2013-06-10 cs.DM cs.FL math.CO
Occurrences of palindromes in characteristic Sturmian words
本文讨论了斜率$α$的Sturmian特征词$c_α$中出现的回文现象，其中$α\in (0,1)$是无理数。由于$c_α$是一个一致递归的无限字，$c_α$的任何（回文）因子在有界间隙的$c_α$中出现无限次。我们的目的是完全描述回文发生在$c_α$。特别地，给定$c_α$的任何回文因子$u$，我们将建立关于$u$出现的$c_α$的分解。这样的分解精确地显示了$u$在$c_α$中出现的位置，并且这与$α$的连分数展开直接相关。
2007-08-31 cs.DM math.CO
Sturmian words and the Stern sequence
中心词、标准词和Christoffel词是三种紧密相关的二元有限词，它们代表了特征Sturmian词的有限对应物。一个自然的算术化的理论是通过表示中心和Christoffel字的不可约分数分别标记两个二叉树，Raney（或Calkin-Wilf）树和Stern-Brocot树。Raney树中分数的分解子序列是著名的Stern双原子数列。一个解释的条款$s(n)$斯特恩的序列作为长度的Christoffel字时，$n$是奇数，并作为最小时期的中心字时，$n$是偶数，允许一个解释几个结果的Christoffel和中心字方面的斯特恩的序列，相反，以获得一个新的见解在组合的Christoffel和中心字使用的性质斯特恩的序列。我们的主要结果之一是一个非交换版本的“交替位集定理”的卡尔金和威尔夫。我们还研究了树中等高节点对应的Christoffel词的长度分布，得到了一些有趣的界和不等式。
2014-10-15 cs.DM math.CO
Quasiperiodic and Lyndon episturmian words
最近，第二个作者的准周期Sturmian字的特点，证明了一个Sturmian字是非准周期的当且仅当它是一个无限的林登字。在这里，我们将这项研究扩展到episturmian词（Sturmian词的自然概括），通过描述所有的episturmian词的准周期，这产生了准周期episturmian词的表征方面的“指令词”。更进一步，我们建立了一个完整的表征所有episturmian词是林登的话。我们的主要结果表明，与Sturmian的情况下，有一个更广泛的一类episturmian的话是非准周期，除了那些是无限的林登的话。我们的关键工具是态射和方向词，特别是“规范化”的方向词，我们在前面的论文中介绍。同样重要的是使用“返回词”来表征准周期episturmian词，因为这样的方法在其他上下文中可能是有用的。
2008-09-17 cs.DM math.CO
Characterization of repetitions in Sturmian words: A new proof
我们提出了一个新的，动态的方法来研究权力（即重复）的Sturmian词的基础上，从丢番图近似理论的结果。其结果是，我们提供了一个替代和较短的证明结果Damanik和Lenz表征权力在Sturmian的话[权力在Sturmian序列，Eur。J. Combin。24（2003），377- 390]。此外，作为一个结果，我们得到了一个先前已知的公式的分数指数的Sturmian字的基础上继续分数扩展其斜率。
2015-05-26 cs.DM
On the Lie complexity of Sturmian words
Bell和Shallit最近引入了无限字$s$的Lie复杂度，作为计算每个长度的共轭类的数目的函数，这些共轭类的元素都是$s$的因子。他们用代数技巧证明了李复杂度的上界是因子复杂度的第一个差加1;因此，对于具有线性因子复杂度的词，李复杂度是一致有界的，特别是对于Sturmian词，李复杂度至多是2，而Sturmian词正是对于每个$n$都具有因子复杂度$n+1$的词。本文给出Bell和Shallit结果的初等组合证明，并给出任意Sturmian字的Lie复杂度的精确公式。
2022-07-08 cs.DM cs.FL math.CO
Conjugates of characteristic Sturmian words generated by morphisms
本文研究了斜率特征Sturmian词$α$和$1-α$（分别记为$c_α$和$c_{1-α}$），其中$α\in (0,1)$是使得$α= [0;1+d_1,\bar{d_2,...,d_n}]$与$d_n \geq d_1 \geq 1$的无理数.已知$c_α$和$c_{1-α}$分别是非平凡（标准）态射$σ$和$\hatσ$的不动点，当且仅当$α$具有如上所述的连分式展开。因此，这些字$c_α$和$c_{1-α}$由相应的态射$σ$和$\hatσ$生成。对于特定的情况下，当$α= [0;2,\bar{r}]$（$r\geq1$），我们给出了分解的每个共轭的$c_α$（因此$c_{1-α}$）到广义相邻的奇异词，通过考虑共轭的标准态射$σ$的权力，它是由它产生的。这扩展了最近的结果Levé和S \ee大胆的共轭的无限斐波纳契字。
2007-08-31 cs.DM math.CO
Sturmian and infinitely desubstitutable words accepted by an ω-automaton
本文通过元ω-自动机与去替换方法，研究ω-自动机接受词在替换与同态序列下的结构，并判定纯替换词、不动点及Sturmian词等无限可去替换词的存在性。
2023-04-11 cs.DM cs.FL math.CO
On the Structure of Bispecial Sturmian Words
一个平衡的字是其中任何两个相同长度的因子包含字母表中每个字母的相同数字，直到一。有限二元平衡字称为Sturmian字。一个Sturmian词是双特殊的，如果它可以扩展到左边和右边，而两个字母都是Sturmian词。双特Sturmian词和Christoffel词之间有很深的联系，它们是平面上欧氏线段的数字近似。1997年，J.Berstel和A. de Luca证明了\emph{palindromic}双特Sturmian词正是\emph{primitive} Christoffel词的最大内部因子。我们扩展了这一结果表明，双特殊Sturmian字正是\emph{all} Christoffel字的最大内部因素。我们的特征使我们能够给一个枚举公式的双特殊Sturmian词。我们还调查了Sturmian语言的最小禁忌词。
2013-11-19 cs.DM cs.FL
The sequence of open and closed prefixes of a Sturmian word
一个限定词是封闭的，如果它包含一个既作为前缀又作为后缀出现的因子，但没有内部出现，否则它是开放的。我们感兴趣的是一个字的{ \it oc-序列}，它是一个二进制序列，如果该字的长度前缀$n$是开放的，则其第$n$个元素是$0$，或者如果它是封闭的，则其第$1$个元素是$1$。我们展示的结果表明，这个序列是密切相关的组合和周期结构的一个字。在Sturmian词的情况下，我们表明，这些是唯一确定的（重命名的字母）由他们的oc序列。此外，我们证明了有限Sturmian字类是二元阶乘语言类中具有此性质的极大元。然后，我们讨论了几个方面的Sturmian词，可以通过这个序列表示。最后，我们提供了一个线性时间算法，计算一个有限字的oc-序列，和一个线性时间算法，重建一个有限的Sturmian字从其oc-序列。
2017-06-01 cs.DM cs.FL math.CO
Characterizations of finite and infinite episturmian words via lexicographic orderings
在本文中，我们用词典序刻画了所有有限的Sturmian和Episturmian词，即，这些无限词的所有（有限）因子。因此，我们得到了表征无限episturmian词在“广义”（episturmian和episkew无限词）。也就是说，我们的特点是所有无限的话，其因素是（有限）episturmian。同样，我们的特点是字典顺序的所有平衡无限的话超过2个字母的字母表，换句话说，所有Sturmian和斜无限的话，其中的因素是（有限）Sturmian。
2007-08-31 cs.DM math.CO
A Characterization of Bispecial Sturmian Words
在字母表{a，b}上的有限Sturmian词w是左特殊的（相应地）。right special）如果aw和bw（分别wa和）都是斯特米安语的单词。双特殊Sturmian词是同时具有左特殊性和右特殊性的Sturmian词。我们表明，作为一个主要的结果，双特Sturmian字正是最大的内部因素的Christoffel的话，这是字编码的数字近似段在欧几里得平面。这个结果是中心词和原始Christoffel词之间已知关系的推广。我们的特征使我们能够给一个枚举公式的双特殊Sturmian词。我们还研究了Sturmian词集的最小禁止词。
2012-06-18 cs.CG cs.DM cs.FL
Abelian Repetitions in Sturmian Words
我们研究了Sturmian词中的阿贝尔重复。我们利用的Sturmian词和子区间的酉段的因素之间的双射，使我们能够研究的阿贝尔重复使用经典的结果，初等数论的时期。证明了在任意Sturmian字中，周期为$m$的阿贝尔重复的最大指数与$m$之比的上极限是一个数$\geq\sqrt{5}$，并且对于Fibonacci无穷字，等式成立.我们进一步证明了斐波那契无限字的最长前缀是周期$F_j$的阿贝尔重复，$j>1$，如果$j$是偶数，则长度为$F_j(F_{j+1}+F_{j-1} +1)-2$，如果$j$是奇数，则长度为$F_j(F_{j+1}+F_{j-1})-2$。这使我们能够给出一个确切的公式的最小阿贝尔周期的斐波那契有限字。更准确地说，我们证明了，对于$j\geq 3$，斐波那契字$f_j$有阿贝尔周期等于$F_n$，其中$n = \lfloor{j/2}\rfloor$如果$j = 0, 1, 2\mod{4}$，或$n = 1 + \lfloor{j/2}\rfloor$如果$ j = 3\mod{4}$。
2013-05-09 cs.DM cs.FL math.CO
A square root map on Sturmian words
我们在Sturmian词上引入了一个平方根映射，并研究了它的性质。给定一个斜率为$α$的Sturmian词，在它的语言中正好存在六个最小平方（一个最小平方没有一个平方作为适当的前缀）。斜率为$α$的Sturmian词$s$可以写成这六个最小平方的乘积：$s = X_1^2 X_2^2 X_3^2 \cdots$。$s$的平方根定义为单词$\sqrt{s} = X_1 X_2 X_3 \cdots$。本文的主要结果是：$\sqrt{s}$也是斜率$α$的Sturmian字。此外，我们的平方根映射的Sturmian不动点的特点，我们描述了如何找到截距的$\sqrt{s}$和任何前缀的$\sqrt{s}$在$s$的出现。与平方根映射相关，我们描述了字方程$X_1^2 X_2^2 \cdots X_n^2 = (X_1 X_2 \cdots X_n)^2$的斜率$α$的Sturmian字的语言的解决方案，其中字$X_i^2$是斜率$α$的最小平方。我们还研究了平方根映射在一个更一般的设置。我们明确地构造了平方根映射的非Sturmian不动点的无限集合。我们表明，这些话产生的子移位$Ω$有一个奇怪的属性：所有的$w \in Ω$无论是$\sqrt{w} \in Ω$或$\sqrt{w}$是周期性的。特别地，平方根映射可以将非周期性字映射到周期性字。
2015-09-21 cs.DM
Quasiperiods of biinfinite Sturmian words
我们研究的概念，准周期性的“可覆盖性”的意义上，双无限的话。以前所有关于拟周期性的工作都集中在右无限词上，但是通过对双无限的情况可以帮助证明关于Sturmian词的拟周期性的更强的结果。我们证明了这一点，表明所有biinfinite Sturmian字有无限多quasiperiods，这是不完全（但几乎）正确的权利无限的情况下，并给予这些quasiperiods的表征。右无限词和双无限词之间的主要区别在于，在后一种情况下，我们可能有几个相同长度的准周期。这是不可能的右无限的话，因为一个quasiperiod必须是一个字的前缀。本文深入研究了双无限准周期字中等长准周期之间的关系。这项研究提供了足够的信息，以允许确定一个任意字的quasiperiods集。
2018-03-07 cs.DM
Consecutive Power Occurrences in Sturmian Words
本文证明了Sturmian字中立方体连续结束位置距离的最优界为10，扩展了Fibonacci字的界9，并推广证明了对特定范围内的e-幂次距离存在一致有界。
2024-02-14 cs.DM cs.FL math.CO
The recurrence function of a random Sturmian word
本文描述了一个随机Sturmian字的概率行为。它执行递归函数的概率分析，该递归函数可以被看作是一个等待时间，以发现Sturmian词的长度$n$的所有因素。这个参数是单词组合学的核心。在固定了因子的可能长度$n$之后，我们让$α$从单位区间$[0,1]$中均匀抽取，从而定义了斜率为$α$的随机Sturmian字。因此，这些因素的等待时间成为一个随机变量，我们研究的极限分布和极限密度。
2016-10-05 cs.DM math.PR
Some extremal properties of the Fibonacci word
我们证明了斐波那契字$f$满足所有特征Sturmian字，三个有趣的极值性质。第一个问题是回文前缀的长度，第二个问题是回文前缀的最小周期。这两个属性中的每一个都表征了$f$，直到对其字母进行重命名。第三个属性涉及字母$b$在其回文前缀中出现的次数。它在所有具有前缀$abaa$的特征Sturmian词中唯一地表征了$f$。
2012-09-18 cs.DM math.CO
Characteristic Parameters and Special Trapezoidal Words
根据Aldo de Luca等人的早期工作，我们研究了梯形词及其前缀的特征参数$K$和$R$（最短不重复后缀的长度和最短无特殊因子的长度），以及它们的对称形式$H$和$L$。我们认为封闭（即，和非。我们的主要结果特征的权利特殊和严格双特殊梯形的话，所做的德卢卡和Mesquisi Sturmian的话。
2019-06-04 cs.DM cs.FL math.CO
Cyclic Complexity of Words
我们引入并研究了一个复杂度函数$c_x(n),$称为\emph{cyclic complexity}，它计数的共轭类的数量的因素的长度$n$的一个无限字$x.$。我们扩展了著名的Morse-Hedlund定理的设置循环复杂度表明，一个字是最终周期的当且仅当它有界的循环复杂度。与大多数复杂度函数不同，循环复杂度区分不同斜率的Sturmian词。我们证明，如果$x$是一个Sturmian字和$y$是一个字具有相同的循环复杂性的$x,$，然后到重命名的字母，$x$和$y$有相同的一组因素。特别地，$y$也是Sturmian的斜率等于$x.$的斜率。由于$c_x(n)=1$对于某些$n\geq 1$意味着$x$是周期性的，因此很自然地考虑数量$\liminf_{n\rightarrow \infty} c_x(n).$。我们证明，如果$x$是Sturmian词，则$\liminf_{n\rightarrow \infty} c_x(n)=2.$。然而，我们通过展示限制类的Toeplitz词，包括周期加倍词，证明这不是Sturmian词的表征。这也验证了关于极限下确界的相同条件。与此相反，我们表明，对于Thue-Morse词$t$，$\liminf_{n\rightarrow \infty} c_t(n)=+\infty.$
2016-06-28 cs.DM cs.FL math.CO
Powers in a class of A-strict standard episturmian words
本文讨论一类严格标准的俄狄浦斯语词汇，它们的指示词类似于那些具有特征的俄狄浦斯语词汇。特别是，我们明确地确定了所有的整数权力发生在这样的无限的话，最近的结果Damanik和Lenz（2003年），谁研究的权力Sturmian的话。在我们的分析中的关键工具是规范的分解和广义的奇异词，这是最初定义的无处不在的斐波那契字。我们的主要结果证明通过一些例子，包括$k$ -波纳奇字：一个概括的斐波那契字的$k$ -字母表（$k\geq2$）。
2007-08-31 cs.DM math.CO
Abelian Powers and Repetitions in Sturmian Words
Richomme，Saari and Zamboni（J. Lond. Soc.83：79-95，2011）证明了在Sturmian词的每个位置处，对于每个$k > 0$，开始指数$k$的阿贝尔幂。我们通过研究Sturmian词中的阿贝尔幂和阿贝尔重复（阿贝尔重复是分数幂的模拟）的最大指数来改善这一结果。给出了任意旋转角为$α$的Sturmian字中从给定位置开始的交换周期$m$的交换幂的最大指数的计算公式。v作为临界指数的模拟，我们引入了角为$α$的Sturmian词$s_α$的阿贝尔临界指数$A(s_α)$作为量$A(s_α) = limsup\ k_{m}/m=limsup\ k'_{m}/m$，其中$k_{m}$（分别为$k'_{m}$）表示阿贝尔幂的最大指数（分别为~阿贝尔周期$m$（上极限与Sturmian词一致）。证明了$A(s_α)$等于$α$的拉格朗日常数.这产生了一个根据$α$连分数展开的偏商计算$A(s_α)$的公式。利用这个公式，我们证明了$A(s_α) \geq \sqrt{5}$和等式适用于斐波那契字。我们进一步证明了$A(s_α)$是有限的当且仅当$α$有界的偏导数，即当且仅当$s_α$是$β$ -幂自由的，对于某个实数$β$ .关于无限Fibonacci字，我们证明了：i）最长的前缀是周期为$F_j$的阿贝尔重复，$j>1$，如果$j$是偶数，则其长…
2016-04-18 cs.DM cs.FL math.CO
Reversible Christoffel factorizations
我们定义了一类Sturmian词在Christoffel词中的自然分解，称为 * 可逆Christoffel*（RC）分解。它们来自于观察到两个具有相同语言的Sturmian词有（几乎总是）任意长的阿贝尔等价前缀。利用三间隙定理，我们证明了在每个RC分解中，只有2或3个不同的Christoffel字可能出现。我们开始研究这样的分解，被认为是无限的话超过2或3个字母，并表明，在一般情况下，他们要么Sturmian字，或获得一个三间隔交换变换。
2013-07-11 cs.DM cs.FL math.CO
Infinite Self-Shuffling Words
本文引入并研究了无限字的一个新性质：一个无限字$x\in A^\mathbb{N}$，其值在一个有限集合$A$中，如果$x$允许因子分解：$x=\prod_{i=0}^\infty U_i^{(1)}\cdots U_i^{(k)}=\prod_{i=0}^\infty U_i^{(1)}=\cdots =\prod_{i=0}^\infty U_i^{(k)}$，则称为$k$ -self-shuffling $(k\geq 2)$.换句话说，存在产生$x$的$x$的$k$ -拷贝的改组。我们对$k=2$的情况特别感兴趣，在这种情况下，我们说$x$是自洗牌。无限词的这个属性被证明是词的内在属性，而不是它的语言（因素集）。例如，每个非周期字在其移位轨道闭包中包含非自混洗字。虽然自洗牌的性质是一个相对较强的条件，但在符号动力学领域出现的许多重要词都被证实是自洗牌的。例如，它们包括Thue-Morse单词和拦截器$0<ρ<1$的所有Sturmian单词（而拦截器$ρ=0$的单词不是自混洗的）。我们的自洗牌Sturmian词的特征可以解释算术方面的动态嵌入，并定义了一个算术过程，我们称之为{ \it垫脚石模型}。自混洗词的一个重要特征是它的形态不变性，它提供了一个有用的工具来表明一个词不是另一个词的形态图像。自洗牌的概念还有其他意想不到的应用，特别是在替代动力系统领域。例如，由于我们的自洗…
2014-11-14 cs.DM math.CO
Christoffel Matrices and Sturmian Determinants
本研究探讨与Christoffel词相关的矩阵，证明其具备群结构，计算了矩阵行列式并建立其与数论Zolotareff符号的联系，丰富了相关领域的代数与数论关联研究。
2024-09-15 cs.DM math.CO math.NT
Dorst-Smeulders Coding for Arbitrary Binary Words
Università di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）；Università di Palermo（巴勒莫大学）
本文提出一种线性时间算法，计算任意二进制词的最长 Sturmian 前缀的 Dorst-Smeulders 编码，并基于最小分解将其推广到任意二进制词，可用于压缩方案。
2025-09-10 cs.DM cs.DS cs.FL
A characterization of fine words over a finite alphabet
对于有限字母表A上的任何无限词w，我们可以将两个无限词min（w）和max（w）相关联，使得min（w）的任何前缀（分别为max（w））是字典上最小的（相应地，最大的）在相同长度的W的因子中。我们说A上的无限词w是“好的”，如果存在一个无限词u，使得对于任何字典序，min（w）= au，其中a = min（A）。在本文中，我们刻画好的字;具体地说，我们证明了一个无限的字w是好的当且仅当w是一个“严格episturmian字”或严格“斜episturmian字”。这一刻画推广了G. Pirillo，他证明了一个2字母字母表上的好词要么是一个（非周期性的）Sturmian词，要么是一个最终周期性的（但不是周期性的）无限词，所有这些词的因子都是（有限的）Sturmian。
2007-08-31 cs.DM math.CO
Generalized trapezoidal words
有限或无限字$w$的因子复杂度函数$C_w(n)$对每个$n \ge 0$的长度为$n$的$w$的不同因子的数目进行计数。长度为$|w|$的有限字$w$被称为梯形，如果其因子复杂度$C_w(n)$作为$n$的函数的图（对于$0 \leq n \leq |w|$）是规则梯形（也可能是等腰三角形）;即，在长度为$r$某个区间上，$C_w(n)$随着每个$n$增加1，则$C_w(n)$在长度为$s$的某个区间上是常数，最后，在相同长度$r$的间隔上，随着每个$n$，$C_w(n)$减1。必须是$C_w(1)=2$（因为有一个长度因子$0$，即空字），所以任何梯形字都是二进制字母表。梯形词首先由de Luca（1999）在研究有限Sturmian词的因子复杂度的行为时引入，即，因子的无限"切割序列"，通过编码序列的削减在一个整数格的正象限的$\mathbb{R}^2$由一条线的无理斜率。每个有限的Sturmian词都是梯形的，但不是相反。然而，这两个词族（梯形和Sturmian）都是所谓的“丰富词”（也称为“完整词”）的特殊类别-一个更广泛的有限和无限词族，其特征是包含最大数量的回文-由第一作者和其他人在2009年深入研究。在本文中，我们介绍了一个自然推广的梯形字在任意有限的字母表$\mathcal{A}$，称为广义梯形字（或GT字简称）。特别是，我们研究了这一类新的词的组合和结构特性，我…
2015-02-24 cs.DM math.CO
Distributing Labels on Infinite Trees
Sturmian字是无限的二进制字，有许多等价的定义：它们在所有非周期序列中具有最小的因子复杂度;它们是平衡序列（标签0和1尽可能均匀分布），它们可以使用机械定义来构造。所有这些性质使他们成为两个处理器上的调度问题的极值点很好的候选人。在本文中，我们考虑的问题，推广Sturmian词树。问题是将标签0和1均匀分布在无限树上。我们表明，（强）平衡树存在，也可以使用一个机械的过程，只要树是不合理的。这样的树也有一个最小的因子复杂度。因此，他们带来了希望，极值调度性能的Sturmian字可以扩展到这样的树，至少部分。通过一个这样的示例来说明这样的可能的扩展。
2008-09-11 cs.DM
On $k$-abelian Equivalence and Generalized Lagrange Spectra
我们研究了所有Sturmian词的$k$ -阿贝尔临界指数集。已经证明，在$k = 1$的情况下，这个集合与拉格朗日谱一致。因此，当$k > 1$时得到的集合可以看作是广义拉格朗日谱。我们用通常的Lagrange谱刻画了这些广义谱，并证明了当$k > 1$时，谱是稠密的非闭集。这与$k = 1$的情况相反，在这种情况下，频谱是包含离散部分和半线的闭集。我们明确地描述了广义谱的最小聚点。我们的几何方法允许研究的$k$ -阿贝尔权力Sturmian的话通过连续分数。
2019-09-17 cs.DM math.CO
The finite index basis property
在本文中，我们描述了bifix码，符号动力系统和自由群之间的联系。这与先前为对应于斯特米亚语单词的符号系统建立的联系的精神是一致的。本文引入了一类具有线性因子复杂度的无限字的因子集，它包含Sturmian集和正则区间交换集，即树集类。作为主要结果，我们证明了对于一致递归树集$F$，字母表$A$上的有限bifix码$X$是$F$ -极大的$F$ -度$d$当且仅当它是$A$上自由群的指数$d$的子群的基.
2015-02-20 cs.DM math.CO
Counting Lyndon factors
在本文中，我们确定的最大数量的不同林登因素，一个字的长度$n$可以包含。我们还推导出公式的预期总数的林登因素在一个字的长度$n$上的字母表的大小$σ$，以及预期数量的不同的林登因素在这样一个词。长度为$n$的字中不同林登因子的最小数目为$1$，最小总数为$n$，两个界限都由$x^n$实现，其中$x$是字母。一个更有趣的问题是，长度为$n$的林登字中不同林登因子的最小数量是多少？在这个方向上，已知（Saari，2014）长度为$n$的林登字中不同林登因子的数量的最佳下限是$\lceil\log_ϕ(n) + 1\rceil$，其中$ϕ$表示黄金比例$(1 + \sqrt{5})/2$。此外，这个下界是由所谓的有限“Fibonacci Lyndon字”达到的，这正是众所周知的“无限Fibonacci字”的Lyndon因子-“无限Sturmian字”的一个特殊例子。Saari（2014）指出，如果$w$是长度为$n$，$n\ne 6$的林登字，包含相同长度的所有林登字中最少数量的不同林登因子，则$w$是Christoffel字（即，无穷Sturmian词的Lyndon因子）。我们给出了这个猜想的一个反例。此外，我们概括了Saari的结果的数量不同的林登因素的斐波纳契林登字确定的数量不同的林登因素的一个给定的Christoffel字。我们以两个开放的问题结束。
2017-01-04 cs.DM math.CO
Episturmian words: a survey
在本文中，我们调查了丰富的理论无限episturmian词推广到任何有限的字母表，在一个相当类似的方式，著名的家庭Sturmian词的两个字母。在回顾定义和基本属性后，我们考虑episturmian态射，允许更深入地研究这些词。因子的一些属性，包括因子复杂度，回文，分数幂，频率和返回字。我们还考虑episturmian词的词典编纂性质，以及它们与平衡性质的联系，以及相关的概念，如有限episturmian词，Arnoux-Rauzy序列，和“episkew词”，概括了莫尔斯和Hedlund的歪斜词。
2008-09-17 cs.DM math.CO
String attractors and bi-infinite words
Université Paris-Saclay, CNRS（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心）；Université de Picardie Jules Verne（亚眠皮卡第朱尔·凡尔纳大学）
本文刻画了具有有限字符串吸引子的双向无限词为特征Sturmian词及其态射像，并研究了无限字符串吸引子的结构性质。
2026-10-23 cs.DM math.CO
An inequality for the number of periods in a word
我们证明了一个不等式的周期数在一个字x的长度x和它的初始临界指数。接下来，我们刻画了一个特征Sturmian词的长度为n的前缀的所有周期的懒惰的Ostrowski表示的n，并使用这个结果表明，我们的不等式是紧无限多个字x。我们提出了两个相关的措施的周期性无限的话。最后，我们还考虑了x是无平方或无平方的特殊情况。
2020-05-27 cs.DM cs.FL math.CO
Abelian-Square-Rich Words
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字最多可以包含$Θ(n^2)$不同因子，并且存在长度为$n$的字包含$Θ(n^2)$不同的阿贝尔平方因子，即，是阿贝尔平方的不同因子。这促使我们研究无限的话，使不同的阿贝尔平方因子的长度$n$的数量与$n$二次增长。更确切地说，我们说一个无限字$w$是{ \it阿贝尔平方丰富}，如果对于每个$n$，长度为$n$的$w$的每个因子平均包含许多不同的阿贝尔平方因子，这些因子在$n$中是二次的;和{ \it一致阿贝尔平方丰富}，如果$w$的每个因子包含许多不同的阿贝尔-与其长度的平方成比例的平方因子。当然，如果一个词是一致阿贝尔平方丰富，那么它是阿贝尔平方丰富，但我们表明，反过来是不正确的一般。我们证明了Thue-Morse字是一致阿贝尔平方丰富的，并且计数Thue-Morse字的长度为$2n$的不同阿贝尔平方因子的个数的函数是$2$ -正则的。对于Sturmian词，我们证明了角为$α$的Sturmian词$s_α$是一致交换方富的当且仅当无理$α$有界偏导数，即当且仅当$s_α$有界指数.
2017-02-24 cs.DM cs.FL math.CO
Finite and infinite closed-rich words
如果一个词有一个前缀也是它的后缀，并且这个前缀在这个词中没有内部出现，那么这个词被称为封闭词。在本文中，我们研究的词是丰富的封闭因素，即，其中包含最大可能数量的不同封闭因子。作为主要结果，我们表明，有限字的最大数目的不同的封闭因子在一个字的长度$n$的渐近是$\frac{n^2}{6}$。对于无限的话，我们表明存在的话，使每个他们的因素的长度$n$包含一个平方数的不同的封闭因素，一致有界常数，我们称这样的话无限封闭丰富。我们给出了一个词是无限闭富的几个必要条件和一些充分条件。例如，我们证明了所有线性递归词都是闭富的。我们提供了一个Sturmian词中丰富的词的特征。我们提供的某些示例涉及非构造性方法。
2023-01-04 cs.DM math.CO
The number of binary rotation words
我们认为二进制旋转字产生的分区的单位圆的两个间隔，并给出了一个精确的公式，这样的话的长度为n。时间复杂度为O（n^4）。这个结果延续了由Lipatov在1982年获得的所有Sturmian词的数量公式，然后由Berenstein，Kanal，Lavine和Olson在1987年独立地获得，Mapposi在1991年获得，然后由Berstel和Pocchiola在1993年使用另一种技术获得的结果。
2013-02-15 cs.DM math.CO math.DS
On Generating Binary Words Palindromically
我们把有限字$u=u_1u_2\cdots u_n$到字同构看作是$\{1,2,\ldots, n\}$上的等价关系，其中$i$等价于$j$当且仅当$x_i=x_j.$某些有限字（特别是所有的二进制字）是由$1\leq i\leq j\leq n$和$k\in \{i,i+1,\ldots,j\}.$的某种选择的$k\sim j+i-k$形式的“{ \it回文}”关系生成的。也就是说，某些有限字$u$由其某些回文因子的位置和长度唯一地确定直到字同构。本文研究了生成$u.$所需回文关系最少的函数$μ(u)$，证明了每个非周期无限字必含有一个因子$u$，且该因子具有$μ(u)\geq 3,$，某些无限字$x$具有如下性质：对于$x.$的每个因子$u$，$μ(u)\leq 3$。（其中包括著名的Sturmian词）。相反的Thue-Morse字，我们表明，功能$μ$是无界的。
2014-04-03 cs.DM math.CO
Some Remarks on Palindromic Periodicities
本文研究有限词的回文周期性，分析多个经典无限词中的回文周期结构，并证明相关性质及最少回文周期性数量的结论。
2024-08-10 cs.DM cs.FL math.CO
Characterizations of families of morphisms and words via binomial complexities
如果长度最多为$k$的每个子字在两个字中出现的次数相同，则两个字是$k$二项式等价的。无限字的$k$ -二项式复杂度是一个计数函数，它将$n$映射到由其长度因子$n$表示的$k$ -二项式等价类的数量。Cassaigne等人[Int. J. Found. Comput.美国，22（4）（2011）]描述了一个态射族，我们称之为Parikh-共线的，作为那些将所有单词映射到具有有界$1$ -二项式复杂度的单词的态射。首先，我们扩展了这一特征：他们映射有界$k$ -二项式复杂度的字有界$(k+1)$ -二项式复杂度。因此，Parikh-共线态射的不动点被证明具有有界的$k$ -二项式复杂性的所有$k$。其次，我们给出了一个新的Sturmian词的$k$ -二项式复杂度的刻画。然后，我们的特点是经常性的话，对于一些$k$，相同的$j$ -二项式复杂度的Thue-Morse字的所有$j\le k$。最后，受到Lejeune提出的问题的启发，我们研究了$k$ -和$(k+1)$ -无穷词的二项式复杂度之间的关系，以及与通常的因子复杂度的联系。
2022-12-06 cs.DM cs.FL math.CO
The reflection complexity of sequences over finite alphabets
本文提出有限字母表上序列的反射复杂度函数，研究其增长性质及与已有复杂度的关系，并用其刻画最终周期序列和 Sturmian 序列，同时分析多类序列及自动序列的反射复杂度。
2025-05-06 cs.DM cs.FL math.CO
