Winning strategies for aperiodic subtraction games
我们提供了一个获胜的策略总和MARK-t的游戏，一个公正的游戏上发挥的非负整数，其中每一步由1和t-1之间的整数减法，或除以t，四舍五入，必要时。我们的算法计算任意n的Sprague-Grundy值在二次时间。这解决了Aviezri Fraenkel提出的一个问题。此外，我们刻画了在misère对策中的P-位置和N-位置。
2011-08-09 math.CO
A base-p Sprague-Grundy type theorem for p-calm subtraction games: Welter's game and representations of generalized symmetric groups
对于公平博弈$Γ$和$Γ'$，析取和$Γ+ Γ'$的Sprague-Grundy函数等于它们的Sprague-Grundy函数的Nim-和。本文引入了$p$ -平静减法对策，证明了对于$p$ -平静减法对策$Γ$和$Γ'$，$Γ+ Γ'$的$p$ -饱和的Sprague-Grundy函数等于它们的$p$ -饱和的Sprague-Grundy函数的$p$ -Nim-和.这里，$p$ -Nim-sum是不携带基础$p$的加法的结果，而$Γ$的$p$ -饱和是通过添加一些移动从$Γ$获得的公平博弈。结果证明尼姆和韦尔特的游戏是$p$ -平静。此外，使用$p$ -平静的Welter的游戏，我们推广之间的关系Welter的游戏和表示的对称群的析取和Welter的游戏和表示的广义对称群，这一结果是组合描述的杨图。
2021-01-12 math.CO
Two Dimensional Subtraction -- Transfer Games
Rutgers University（罗格斯大学）；Mahidol University International College（玛希隆大学国际学院）
本文推广了Tamás Lengyel的结果与猜想，证明了一类二维减法-转移游戏的nim值具有周期性，并计算了多种情况下的精确周期，同时提出了新的周期性概念。
2026-05-22 math.CO
The $\star$-operator and Invariant Subtraction Games
我们研究2人公平游戏，即所谓的\emph{invariant subtraction games}，给定一组允许的移动，玩家轮流将大棋盘上的一颗棋子移向位置$\boldsymbol 0$。在这里，不变性意味着每个允许的移动在整个棋盘中都是可用的。然后我们定义一个新的博弈，旧博弈的$\star$，通过把除了$\boldsymbol 0$之外的$P$ -位置作为新博弈中的移动。一个这样的游戏是$\W^\star=$（Wythoff Nim）$^\star$，其中移动由具有无理模的互补贝蒂序列定义。本文给出了$\W^\star$的无穷多个$P$ -位置的多项式时间算法. $\star$的重复应用结果是为不变减法游戏的某个子类提供了特别好的性质，\emph{permutation games}，我们在这里介绍。我们还介绍了\emph{ornament games}家族，其$P$ -位置定义了具有有理模的互补Beatty序列-因此与A有关。S. Fraenkel的'变种'老鼠和老鼠游戏-并给出了封闭的形式为这样的游戏的举动。我们还证明了（$k$ -pile Nim）$^{\star\star}$ = $k$ -pile Nim.
2010-09-21 math.CO
Subtraction Division Games
减法-除法游戏是一个两人组合游戏，有三个参数：一个集合S，一个集合D和一个数字n。这个游戏从n开始，是一场说数字1的比赛。每个玩家在他们的回合中，可以将S中的某些s的总和移动到n-s，或者将D中的某些d的总和移动到\lceil \frac{n}{d} \rceil（即减去s或除以d并取整）。本文详细研究了当|S| = |D| = 1时的对策的Sprague-Grundy序列。对于这些游戏中的一大类，序列中的模式允许对所有获胜位置进行表征。本文还证明了，对于同一个大类，这些序列是自动的。在这个过程中，一个大家庭的递归，完全确定他们的行为被构造。
2012-06-01 math.CO
On sequences arising from randomizing subtraction games
本文研究随机化单堆减法博弈中获胜概率序列的行为，利用线性递推关系刻画这些序列并分析其极限性质，完全解决了元素少于3个的减法集合情形并部分解决一般情形。
2024-05-30 math.CO
Invariant and dual subtraction games resolving the Duchê-Rigo conjecture
我们证明了Duchêne和Rigo最近提出的一个猜想，即每一对互补的齐次Beatty序列代表了\emph{invariant}公平博弈的解。在这里，不变性意味着游戏中的每一步都可以在游戏板内的任何地方进行。事实上，我们建立这样的结果，为更广泛的一类互补序列对，并在此过程中推广的概念，\emph{subtraction game}。给定一对正整数互补序列$(a_n)$和$(b_n)$，通过将$\{\{a_n, b_n\}\}$设为不变移动，定义了一个博弈$G$.然后，我们介绍了不变的游戏$G^\star $，其移动都是非零的$P$ -位置的$G$。假设$G^\star$的非零$P$ -位置的集合等于$\{\{a_n,b_n\}\}$，则这\emph{is}是期望的不变博弈。我们给出了充分条件的初始序列对这种“对偶”举行。
2010-05-23 math.CO
Comply/Constrain Subtraction
服从/约束博弈或穆勒扭曲博弈是下一个玩家被允许对对手的下一步行动施加约束的博弈。我们开发了一个封闭的形式公式的Grundy值的单桩减法游戏，下一个玩家可以确定是否前一个玩家必须选择一个移动从一些前k个自然数或其补充。我们还研究了当合法移动的集合来自一组有限等差数列时Grundy值的周期性。
2018-05-31 math.CO
On the expansion of three-element subtraction sets
研究了具有三个元素的减法集的减法对策的nim-序列的周期性。特别是，我们在几种情况下给出的解决方案，我们描述了这些减法集可以增加额外的号码，而不改变尼姆序列。本文最后提出了一个关于最终二部减法对策的猜想。
2014-12-24 math.CO
Combinatorial Analysis of a Subtraction Game on Graphs
我们定义了一个两个球员的组合游戏中，球员轮流轮流，每一轮包括删除一个顶点的图，连同所有的边缘包含这样的顶点。如果任何顶点被玩家的移动孤立，那么它也会被删除。当另一个玩家没有可用的移动时，一个玩家赢得游戏。我们研究这个游戏在不同的观点：通过寻找特定的战略，某些家庭的图形，通过使用图形的自同构群的属性，通过编写一个程序来看看Sprague-Grundy数，并通过研究游戏时，随机图。当分析在路径上玩的Grim时，使用Sprague-Grundy函数，我们发现了一个关于八进制游戏的悬而未决的问题。
2016-08-01 math.CO
Connected Subtraction Games on Subdivided Stars
Univ Lyon, Université Lyon 1（里昂大学）；LAAS-CNRS, Université de Toulouse, CNRS, Université Toulouse 1 Capitole（图卢兹大学）；Institut Fourier（傅里叶研究所）
研究连通子图减法游戏在细分星图上的周期性规律及特定规则下的游戏结果。
2018-07-27 cs.DM math.CO
Computational Hardness of Multidimensional Subtraction Games
研究了在有限差分集上求解~固定维减法对策的算法复杂性。我们证明了在这个类中存在一个游戏，使得任何解决游戏的算法在指数时间内运行。此外，我们证明了在这个类中的游戏的存在性，这样解决的游戏是PSPACE困难的。这些结果是基于Larsson和Wästlund提出的构造。它涉及减法游戏和细胞自动机。
2020-01-12 cs.CC cs.GT math.CO
A Subtraction Nim with a Pass
IEOR, IIT Bombay（印度理工学院孟买分校工业工程与运筹学系）；University of Tuskuba（筑波大学）；Keimei Gakuin Junior and High School（启明学院初中及高中）
本文研究带一次传递规则的减法尼姆游戏，证明其格鲁恩迪数仍满足逆mex性质，且传递规则不影响游戏复杂性。
2026-05-14 math.CO
Cumulative subtraction games
我们研究零和对策，一个变种的经典组合减法游戏（研究，例如在不朽的工作“胜利的方式”，由Berlekamp，康威和盖伊），称为累积减法（CS）。两名球员交替移动，并获得点采取鹅卵石的联合堆。我们证明，在最佳发挥（游戏价值）的CS与有限数量的可能行动的结果最终是周期性的，周期$2s$，其中$s$是最大的可用行动的大小。这解决了斯图尔特在他的博士论文中的一个猜想。Thesis（2011）.具体来说，我们发现一个二次约束，在$s$的大小，当结果函数必须成为周期性的。在两种可能的行动的情况下，我们给出了一个明确的描述最优播放。我们将周期性结果推广到具有所谓的报酬函数的游戏，在游戏的每个对策的阶段，“得分”的变化不一定等于你收集的鹅卵石的数量。
2020-02-13 cs.DM math.CO
Comply subtraction games avoiding arithmetic progressions
公平减法游戏的非负整数已经研究了许多和详细讨论，例如显着的工作赢得方式康威，Berlekamp和盖伊。我们描述如何遵守这些游戏的变化，类似于那些介绍了Holshouser，Reiter，史密斯，Stennician，可以被定义为有其套的获胜位置相同的知名集避免等差数列，如$x+z=2y$，研究了Szerkeres，Erd \H OS和图兰，以及许多其他人，从而探索一个新的领域相结合的想法从组合游戏和组合数论。我们所考虑的集合是贪婪的，也就是说，在我们的例子中：递归地将一个新的非负整数包含到集合中，当且仅当它不与较小的项形成一个三项等差数列。众所周知，这样得到的集合等价于下面的对数线性时间闭表达式：每个获胜位置只包含基数为3的扩展中的数字0和1。事实上，这一套是不可能的一套获胜的立场，一个经典的减法游戏，在某种意义上介绍了最近由杜尚和里戈。因此，我们的减法游戏的服从规则的推广可以被看作是解决新的集合类作为堆游戏的获胜位置。在这方面的$\star$ -运营商不变减法游戏介绍了拉尔森，Hegarty和Fraenkel。我们为我们的游戏定义了一个类似的操作符。我们的服从博弈可以推广到几个维度。在二维空间中，获胜的位置可以用某些贪婪的排列来表示，这些排列避免了等差数列，其中之一是最近由Hegarty引入的;而其他的排列则推广了经典的组合游戏，如Nim和Wythoff Nim。
2012-09-10 math.CO math.NT
Purely Periodic Three-move Subtraction Games
College of Information Science, School of Informatics, University of Tsukuba（筑波大学信息学研究院信息科学系）
本文研究三步减法游戏S={a,b,c}的纯周期性，给出纯周期的显式充分准则，确定满足准则的非可加集合的最小周期、P位置及nim值，还对可加情况单独处理并证明准则在特定条件下的必要性。
2026-09-17 math.CO
Additive sink subtraction
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）；University of Tsukuba（筑波大学）；Hiroshima University（广岛大学）
本文研究加法沉降减法游戏，证明其nim序列具有显式线性或二次周期，提出与经典墙减法的对偶性猜想。
2026-03-16 cs.DM math.CO
Tie-breaking in self interest cumulative subtraction games
Department of IEOR, Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校工业工程与运筹学系）；University of Washington（华盛顿大学）
本文研究了自我利益累积减法游戏中，通过引入tie-breaking规则单调性，证明了在两动作减法集情况下，友好玩家优于对抗性玩家。
2026-01-20 cs.GT math.CO
Subtraction games in more than one dimension
本文研究多维公平向量减法博弈，通过推广P到P原理和着色自动机求解二维三移动规则集实例，证明行列最终周期性，并提出正则性相关猜想。
2024-01-15 math.CO
Additive Subtraction Games
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）；University of Tsukuba（筑波大学）
本文研究了加法减法游戏在原始二次情形下的全nim值结构，通过数论方法证明了每个nim值序列是经典P位置的线性移位。
2026-03-29 cs.DM math.CO
Partizan Subtraction Games
游击队减法游戏是组合游戏，其中两个玩家，比如左和右，交替地从一堆代币中移除n个代币，其中$n \in S_L$（分别为（$n \in S_R$）当它是左的（分别）。右的）转动。第一个不能移动的玩家输了。这些博弈是由Fraenkel和Kotzig在1987年引入的，他们引入了优势的概念，即如果堆足够大，左总是赢的结果序列的渐近行为。在本文中，我们研究了结果序列的其他类型的行为。除了支配之外，还定义了其他三种不相交的行为，即弱支配、公平和最终公正。我们考虑的问题，计算这种行为相对于$S_L$和$S_R$，这是连接到著名的弗罗贝纽斯硬币问题。一般结果，连同算术和几何特征时，集$S_L$和$S_R$的大小最多为2。
2021-01-05 cs.DM cs.GT math.CO
Partizan Subtraction with Full and Truncated Support
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
本文研究全支撑与截断支撑的对抗减法游戏，明确移动集更丰富的玩家除有限情况外总能获胜，发现中间平衡截断水平会产生非平凡周期性及无限多P、N-位置。
2026-07-31 math.CO
Finding Golden Nuggets by Reduction
我们介绍了一类正常发挥partizan游戏，称为互补减法。让$A$表示您最喜欢的一组正整数。这是“左”的减法集，而“右”减去不在$A$中的数字。金块减法游戏具有来自Wythoff的游戏的$A$和$B$序列作为两个互补减法集。作为堆大小的函数，规范形式的最大大小快速增长。然而，堆的值要么是一个数字，要么是一个开关（在简化规范形式中）。我们通过使用Fibonacci字的属性和整数的标准Fibonacci表示来找到开关。此外，这些开关在某些斐波那契数的移位下不变。然而，作为数字的值是不同的，我们通过三进制斐波那契表示找到了它们的多项式时间位特征。
2015-10-24 math.CO math.NT
Superpolynomial period lengths of the winning positions in the subtraction game
本文研究减法游戏中获胜位置序列的周期长度，证明初始种子在集合大小为1或2时不能改变周期长度，但在大小为3时可使周期长度变为超多项式函数。
2023-12-05 math.CO
Complexity and algorithms for Arc-Kayles and Non-Disconnecting Arc-Kayles
本文研究了非断开弧凯勒斯的计算复杂性，证明其在结构化图类上为PSPACE完全，并给出了多项式时间算法和二次核。
2025-11-21 cs.DM math.CO
Relaxed Wythoff has All Beatty Solutions
本文研究三个减法博弈的P-位置何时构成互补Beatty序列对，证明在特定不等式条件下可由Fraenkel递推推出，并构造新博弈使任意互补Beatty序列对均可实现，从而解决2011年BIRS提出的Fraenkel问题。
2023-04-12 math.CO
