A note on the history of the four-colour conjecture
Brendan D. McKay
四色猜想在1854年引起了公众的注意，很可能是弗朗西斯或弗雷德里克·格思里提出的。这比已知最早的出版日期早了六年。
The four-colour conjecture was brought to public attention in 1854, most probably by Francis or Frederick Guthrie. This moves back by six years the date of the earliest known publication.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A note on two conjectures that strengthen the four colour theorem
关于可平面图着色的两个定理是四色定理的加强。一个是关于符号图着色的，由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出。它断言每个带符号可平面图都是$4$ -列图。另一个问题是列表着色，由Kündgen和Ramamurthi提出，它断言如果$L$是可平面图$G$的$2$ -列表分配，则存在$G$的$L$ -着色，使得每个颜色类诱导二部图。本文证明了第一个猜想蕴涵第二个猜想。
A note on rainbow matchings in properly edge-coloured graphs
边着色图中的彩虹匹配是这样的匹配，其边具有不同的颜色。我们发现，每一个适当的边着色图$G$与$|G| \ge (9δ(G) -5)/2$有彩虹匹配的大小$δ(G)$，改善了Diemunsch等人的结果。
A note on non-repetitive colourings of planar graphs
Alon等人引入了图的非重复着色的概念。在这里，我们解决一些问题，非重复着色的可平面图。具体来说，我们表明，任何outerplanar地图的脸可以不重复着色使用最多五种颜色。我们还给出了一些下界的颜色所需的数量的非重复着色的顶点的外平面和可平面图。
A note on colour-bias Hamilton cycles in dense graphs
Balogh、Csaba、Jing和Pluhár最近确定了确保$2$着色图$G$包含显著颜色偏差的Hamilton循环（即，在一种颜色中包含显著多于其一半的边的Hamilton循环）。在这篇短文中，我们推广了这个结果，确定了$r$ -着色的相应阈值。
A Note on Norine's Antipodal-Colouring Conjecture
Norine的对映体着色猜想，在一个形式给出的Feder和Subi，断言，每当边缘的离散立方体是2色必须存在一个路径之间的两个相对的顶点，沿最多有一个颜色的变化。到目前为止，最好的界限是必须存在这样一条路径，其中最多有$n/2$颜色变化。本文的目的是将这个上界改进为$(\frac{3}{8}+o(1))n$。
A note on large rainbow matchings in edge-coloured graphs
边着色图中的彩虹子图是指边具有不同颜色的子图。一个图的最小色度是指所有顶点中与一个顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。Kostochka，Pfender和Yancey证明了$n$顶点上的每个边着色图，其最小色度至少为$k$，包含大小至少为$k$的彩虹匹配，前提是$n\geq (17/4)k^2$。本文证明了$n\geq 4k-4$对于$k \ge 4$是充分的.
A note on colour-bias perfect matchings in hypergraphs
该研究将2着色图中保证显著色偏完美匹配存在的最小度阈值结果推广至k一致超图，确定了r着色k一致超图中对应最小ℓ度阈值。
A note on unavoidable patterns in locally dense colourings
我们证明了存在一个常数$C$，使得对于每一个$\varepsilon>0$，任何$2$着色的$K_n$，其最小度至少为两种颜色的$n/4+\varepsilon n$，在$2t$顶点上包含一个完全子图，其中一个颜色类形成一个$K_{t,t}$，条件是$n\geq \varepsilon^{-Ct}$ .此外，我们证明，如果$K_n$是$2$着色的最小程度至少$\varepsilon n$在两种颜色，那么它必须包含一个完全图的两个自然着色。这两个结果是紧到值的$C$，他们回答了两个最近提出的问题Kamčev和Müyesser。
A note on connected greedy edge colouring
在给定图$G$的边的顺序之后，贪婪边着色过程为每个边分配最小的可用颜色。这样涉及的颜色的最小数目是色指数$χ'(G)$，最大数目是所谓的格兰迪色指数。在这里，我们感兴趣的是限制的情况下，边的排序建立在一个连接的方式图。令$χ_c'(G)$为遵循这种排序所涉及的颜色的最小数目。我们证明，这是NP-难的，以确定是否$χ_c'(G)>χ'(G)$。我们证明了当$G$是二部的时，$χ'(G)=χ_c'(G)$是二部的;当$G$是次立方的时，$χ_c'(G)\leq 4$是二部的。
A note on conjectures generalizing the road colouring theorem
道路着色定理刻画了一类出度为常数的强连通有向图允许同步道路着色。本文的主题是一对相关的定理，推广道路着色定理的图与非常数出度，我们给出的理由相信，这两个定理是正确的。我们的主要结果集中在两类图，证明了一类图和一个额外的一类图的构造。我们还提出了计算机模拟，给出了一些经验证据的mattures。
Multi-Colouring of Kneser Graphs: Notes on Stahl's Conjecture
本文研究图的多着色参数间蕴含关系，将其转化为 Kneser 图多着色问题，围绕 Stahl 1976 年猜想给出新结果、强化已有结论并简化若干已知情形的证明。
A note on monotonicity in Maker-Breaker graph colouring games
本文研究Maker-Breaker图着色博弈的单调性，肯定回答了树状度博弈的单调性问题，证明有序顶点着色博弈不具单调性，并为连通版本的两个开放问题提供反例。
A note on 2--bisections of claw--free cubic graphs
无桥三次图$G$的\emph{$k$--bisection}是它的顶点集的$2$ -着色，使得色类具有相同的基数，并且由色类诱导的两个子图中的所有连通分支至多具有$k$阶. Ban和Linial证明了{ \em：除Petersen图外，每一个无桥三次图都有一个$2$ --二分图}.本文证明了Ban-Linial关于无爪三次图的猜想.
A note on the grid Ramsey problem
格子拉姆齐数$ G(r) $是最小的数$ n $，使得格子图$Γ_{n,n} := K_n \times K_n$的每一个边用$r$颜色着色都导出一个矩形，其平行边接收相同的颜色。我们展示了$ G(r) \leq r^{\binom{r+1}{2}} - \left( 1/4 - o(1) \right) r^{\binom{r}{2}+1} $，稍微改进了目前最知名的上界由于Gyárfás。
A note on the neighbour-distinguishing index of digraphs
本文引入并研究了有向图的邻域可区别弧染色的一种新形式。有向图$D$的弧着色$γ$是适当的，如果没有两条具有相同头或相同尾的弧被赋予相同的颜色.对于$D$的每个顶点$u$，我们分别用$S_γ^-(u)$和$S_γ^+(u)$表示出现在$u$的传入弧和传出弧上的颜色集合。$D$的弧着色$γ$是\emph{neighbour-distinguishing}，如果对于$D$的每两个相邻顶点$u$和$v$，有序对$(S_γ^-(u),S_γ^+(u))$和$(S_γ^-(v),S_γ^+(v))$是不同的。$D$的邻域可区别指数是$D$的邻域可区别弧着色所需的最小颜色数.本文证明了各类有向图的邻域可区别指数的上界.
A note on the Thue chromatic number of lexicographic products of graphs
如果一个序列没有一个序列形成重复，则该序列被称为非重复序列（序列$r_1,r_2,\dots,r_{2n}$使得所有$1\leq i \leq n$的$r_i=r_{n+i}$）。设$G$是一个顶点着色的图。如果图$G$中每条路径上的颜色序列是不重复的，则图$G$的着色$φ$是不重复的。图厄色数，用$π(G)$表示，是$G$的非重复着色的最小颜色数。本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的Thue色数关于因子的一般上界.当$G$是完全多部图而$H$是任意图时，这个上界被用来导出$π(G\circ H)$的精确值.
A note on multicolour Erdős-Hajnal conjecture
该研究将多色Erdős-Hajnal猜想归约为主团颜色数与禁用模式相同或多一种的情形，并发现带禁用模式的着色团中齐次集存在非单调性：主图多一种颜色可能减小最大齐次集的大小。
A note on the equidistribution of $3$-colour partitions
本文证明了三族三色分拆的等分布结果，通过推导无穷乘积的渐近公式，获得了这些分拆族的渐近行为。
The Mutando of Insanity
基于彩色立方体和其他彩色几何图形的谜题在娱乐数学文献中有着悠久的历史。这些谜题中最著名的商业谜题之一是由四个立方体组成的瞬间疯狂。他们的脸被涂上了四种不同的颜色，每种颜色都存在于四个立方体中的每一个。为了解决这个难题，人们需要将立方体堆叠在一个塔中，以这种方式，每一种颜色在塔的四个长面中只出现一次。本文的主要目的是研究组合丰富的数学模型这个难题通过分析所有可能的方式着色的立方体，形成一个类似于即时疯狂的难题。我们已经对$n$立方体和$n=4, 5, 6$的$n$颜色进行了分析。这种组合分析使我们能够设计出精神错乱的突变体，这是我们在第12届加德纳聚会（G4G12）上提出的一个难题。
A Note on Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想指出，每个无$K_{t+1}$ -子图都是$t$ -列图.它被广泛认为是图论中最重要的理论之一。如果每个无$K_{t+1}$ -minor图的最小度至多为$δ$，则每个无$K_{t+1}$ -minor图都是用最小度贪婪算法求出的$(δ+1)$ -列.本文的目的是证明一个稍微好一点的上界。
Delay colourings of cubic graphs
本文证明了\cite{HaWiWi}的猜想：在$d=3$的特殊情况下，每一个具有整数边时滞的二部多重图都允许边着色为$d+1$色.讨论了与Brualdi-Ryser-Stein猜想的联系。
Notes on Aharoni's rainbow cycle conjecture
在2017年，Ron Aharoni对边着色图中的彩虹圈提出了以下猜想：如果$G$是一个$n$ -顶点图，其边用$n$颜色着色，并且每个颜色类的大小至少为$r$，则$G$包含一个长度至多为$\lceil \frac{n}{r} \rceil$的彩虹圈。一个动机研究Aharoni的猜想是，它是一个加强的Caccetta-Häggkvist猜想的有向图从1978年。本文综述了Aharoni猜想的研究进展，包括许多最近的部分结果和相关的结果。我们还提出了两个新的结果。我们的主要新结果是关于Aharoni猜想的$r=3$情形的。本文证明了：如果$G$是一个$n$ -顶点图，其边用$n$颜色着色，且每个颜色类的大小至少为3，则$G$包含一个长度至多为$\frac{4n}{9}+7$的彩虹圈.我们还讨论了我们的方法可能会推广到更大的值的$r$。
On Alternating 6-Cycles in Edge-Coloured Graphs
研究边着色图中交替 6 - 圈问题，利用标志代数证明在大团红/蓝着色里，均匀随机着色使交替 6 - 圈数量渐近最大化，解决了相关问题的首个开放情况。
A note on lower bounds for hypergraph Ramsey numbers
本文改进了三色超图Ramsey数的下界，证明了在3-一致的情况下，\[r_3 (l,l,l) \geq 2^{l^{c \log \log l}}.\]. Erdens和Hajnal的旧界是\[r_3 (l,l,l) \geq 2^{c l^2 \log^2 l}.\]
Colouring of Maximal $F$-free Subsets
该研究围绕有限偏序集的极大无$F$子集着色问题展开，探讨确定对应着色参数$χ_{ac}(F)$的问题，给出一个新结果，并总结了小尺寸偏序集的相关已知结论。
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