KAM theory for the Hamiltonian derivative wave equation
Massimiliano Berti, Luca Biasco, Michela Procesi
我们证明了一个无限维KAM定理，它包含了小振幅、可约、椭圆、解析、不变环面的Hamilton导数波动方程的Cantor族的存在性
We prove an infinite dimensional KAM theorem which implies the existence of Cantor families of small-amplitude, reducible, elliptic, analytic, invariant tori of Hamiltonian derivative wave equations
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Semiclassical scarring on tori in KAM Hamiltonian systems
证明了对于光滑紧致曲面上的KAM哈密顿量族中的几乎所有扰动，对于几乎所有KAM拉格朗日环面$Λ_ω$，我们都能在$Λ_ω$上找到一个具有正质量的半经典测度.
KAM Hamiltonians are not Quantum Ergodic
该研究证明完全可积、Kolmogorov非退化的Gevrey哈密顿量在一般KAM扰动下，其量子化对满测度参数集不具有量子遍历性。
Quantum ergodicity in mixed and KAM Hamiltonian systems
在这篇论文中，我们研究了两类满足中间动力学假设的哈密顿系统的量子遍历性，这两类系统介于遍历流和量子完全可积流的极端之间。这两类是混合哈密顿系统和KAM哈密顿系统。具有混合相空间的哈密顿系统分解为许多不变子集，其中只有一些是遍历性的。珀西瓦尔已经证明，这个系统的量子化的本征函数分解成具有类似特征的相关族。本论文的第一个项目证明了这一猜想的一个弱形式，即Bunimovich的蘑菇台球，其形状参数为$t\in (0,2]$的满测度子集。KAM哈密顿系统作为完全可积的哈密顿系统的扰动而产生。这些系统的动力学是很好地理解，并具有近可积的字符。经典-量子对应表明KAM系统的量子化不具有量子遍历性。本文的第二个项目证明了Gevrey Hamilton算子的一类正Gevrey扰动满足一个温和的“慢环面”条件时的初始负量子遍历性结果。
KAM for reversible derivative wave equations
证明了具有零李雅普诺夫指数且线性化方程可约化为常系数的微分波方程的小振幅、解析、拟周期解的Cantor族的存在性.这个结果是由无穷维可逆动力系统的抽象KAM定理导出的
KAM for quasi-linear forced hamiltonian NLS
在本文中，我们证明了存在的拟周期强迫环面上的非线性Schroedinger方程的拟线性Hamilton扰动的拟周期，小振幅，解的存在性。特别是，我们证明了这样的解决方案是线性稳定的。证明是基于Nash-Moser隐函数定理和线性化算子在零邻域内的约简结果。约简的证明依赖于坐标的变化，如环面的同构，伪微分算子和KAM-约简的参数。由于特征值的多重性，我们得到了块对角化。
A Kam Theorem for Space-Multidimensional Hamiltonian PDE
我们提出了一个抽象的KAM定理，适用于具有平滑非线性的空间多维汉密尔顿偏微分方程。这个定理的主要新颖之处是：$\bullet$的可积部分的哈密顿量可能包含一个双曲部分，因此，建设不变环面可能是不稳定的。$\bullet$它适用于奇异扰动问题。本文对KAM定理进行了说明和评述，给出了证明的主要内容，并给出了定理的三个应用。
KAM for the non-linear Beam equation 2: A normal form theorem
我们证明了一个抽象的KAM定理适用于空间多维哈密尔顿偏微分方程的正则化非线性。它特别适用于奇异扰动问题研究的第一部分，这项工作。
KAM for autonomous quasi-linear perturbations of KdV
我们证明了KdV的拟线性（即强非线性）自治Hamilton扰动的拟周期小振幅解的Cantor族的存在性和稳定性。
Time-periodic Evans approach to weak KAM theory
我们研究的时间周期版本的埃文斯方法弱KAM理论。Evans极小化问题等价于一个一阶平均场对策系统。对于力学哈密顿量，我们证明了光滑解的存在性。我们引入了相应的有效拉格朗日量和有效哈密顿量，并证明了它们是光滑的。我们还考虑了有效拉格朗日量和有效哈密顿量，Mather测度和极小化的极限行为。
Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems. Part 1: Strictly increasing case
研究了接触哈密顿系统的Aubry-Mather和弱KAM理论，其中哈密尔顿算子$H(x,u,p)$定义在$T^*M\times\mathbb{R}$上，满足关于$p$的Tonelli条件，对于某些$λ>0$满足$0<\frac{\partial H}{\partial u}\leqslant λ$，其中$M$是连通的闭光滑流形.首先，我们证明了相应的Hamilton-Jacobi方程的向后弱KAM解的唯一性。利用唯一的向后弱KAM解$u_-$，证明了极大向前弱KAM解$u_+$的存在性。其次，我们分析了接触Hamilton系统的Aubry集，证明了它是两个Legendrian伪图$G_{u_-}$和$G_{u_+}$的交集，并且投影$π:T^*M\times \mathbb{R}\to M$诱导了一个从Aubry集$\tilde{\mathcal{A}}$到投影Aubry集$\mathcal{A}$的双Lipschitz同胚$π|_{\tilde{\mathcal{A}}}$.最后，我们引入了障碍函数的概念，并沿着标定曲线研究了它们的有趣性质。我们的分析是基于[43，44]最近的一种方法。
A KAM result on compact Lie groups
本文描述了紧致流形上Hamilton偏微分方程拟周期解存在性的一些最新结果。证明了非线性薛定谔方程在$SU(2)$和$SO(3)$情形下的线性稳定性结果.
Weak KAM for commuting Hamiltonians
对于两个可交换的Tonelli Hamilton算子，我们利用直接几何方法（Stoke定理）恢复了Barles和Tourin（[BT 01]）的Lax-Oleinik半群的可交换性.我们还得到了Maderna（[Mad 02]）的一个定理的“推广”。更精确地说，我们证明了，如果相空间是一个紧流形的余切，那么弱KAM解决方案（或黏性解的临界稳态Hamilton-Jacobi方程）G和H是相同的。作为推论，我们得到了Aubry集、Peierls障碍和Mather $α$函数的平坦部分的相等性。这也与Sorrentino（[Sor 09]）和Bernard（[Ber 07 b]）的作品有关。
KAM for the quantum harmonic oscillator
本文证明了无穷维Hamilton系统的一个抽象KAM定理。这一结果推广了S.B. Kuksin和J. Pöschel，并使用H. Eliasson和S.B. Kuksin。作为应用，我们证明了某些一维非线性薛定谔方程存在多个拟周期解。在第二个应用中，我们证明了一维薛定谔方程在调和势和拟周期势下的约化。
KAM for autonomous quasi-linear perturbations of mKdV
证明了mKdV方程的拟线性（也称为强非线性）自治Hamilton可微扰动的小振幅线性稳定拟周期解的Cantor族的存在性.证明是基于一个弱版本的Birkhoff标准形算法和非线性Nash-Moser迭代。通过伪微分算子技术和线性KAM约简方案，分析了迭代过程中每一步的线性化算子。
Existence and stability of quasi-periodic solutions for derivative wave equations
本文给出了一个新的KAM结果，证明了具有零李雅普诺夫指数且线性化方程可约化为常系数的微分波方程的小振幅、解析、拟周期解的Cantor族的存在性.反过来，这个结果是由一个抽象的KAM定理无穷维可逆动力系统。
Existence of solutions to contact mean field games of first order
研究了一类一阶接触平均场对策系统解的存在性。Cardaliaguet \cite{CAR}发现了哈密顿系统的弱KAM理论和平均场博弈系统之间的联系。证明了接触哈密顿系统的弱KAM理论与接触平均场对策系统之间仍然存在联系。通过对接触哈密顿系统的Mather集性质的分析，证明了主要结果的存在性。
KAM for the nonlinear wave equation on the circle: a normal form theorem
本文证明了无限维情形下的一个KAM定理，它处理了有限阶多重特征值（或频率）的情形。更确切地说，我们考虑了无限维的哈密顿范式：\begin{equation} \nonumberh(ρ)=ω(ρ).r + \frac{1}{2} \langle ζ,A(ρ)ζ\rangle,\end{equation}，其中$ r \in \mathbb{R}^n $，$ζ=((p\_s,q\_s)\_{s \in \mathcal{L}})$和$ \mathcal{L}$是$\mathbb{Z}$的子集。我们假设无限矩阵$A(ρ)$满足$A(ρ)= D(ρ)+N(ρ)$，其中$D(ρ) =\operatorname{diag} \left\lbrace λ\_{i} (ρ) I\_2,\: 1\leq i \leq m\right\rbrace$和$N$是块对角矩阵。我们假设$N$的每个块的大小是$D$中相应本征值的重数。在这种情况下，如果我们从环面开始，那么相关Hamilton系统的解仍然在该环面上。在某些条件下发射的频率，我们可以肯定的是，轨道的解决方案填补了环面。在此上下文中，起始环面是不变环面。然后，我们扰动这个可积的哈密顿量，我们要证明的起始环面是一个持久环面。我们表明，如果扰动是小的，在一定条件下的非共振的频率，然后启动环面是一个持久的环面。
Weak KAM theoretic aspects for nonregular commuting Hamiltonians
研究连续凸哈密顿量交换性（通过Lax-Oleinik半群交换定义）的弱KAM理论，证明它们共享相同的弱KAM解和Aubry集，并存在公共临界次解。
Reducible KAM tori for Degasperis-Procesi equation
我们发展了在椭圆不动点附近色散Degasperis-Procesi方程的拟线性Hamilton扰动的KAM理论。拟线性偏微分方程的KAM理论的总体策略是基于Nash-Moser非线性迭代、伪微分学和范式技术。在目前的情况下，复杂的辛结构，弱色散效应的线性流和强共振相互作用的存在下，需要一套新的想法。重点是利用未扰动方程的可积性，寻找特殊的波包解，并对共振进行非常仔细的代数分析。我们的方法是相当普遍的，也可以适用于其他一维可积偏微分方程。例如，我们相信，同样的策略应该适用于Camassa-Holm方程。
An a posteriori KAM theorem for whiskered tori in Hamiltonian partial differential equations with applications to some ill-posed equations
本文的目的是发展一个双曲方向环面的KAM理论，它适用于Hamilton偏微分方程，甚至适用于某些不适定的方程。主要结果具有\emph{a-posteriori}格式，即，我们证明了如果一个不变性方程存在一个近似解，并且它也满足某些非退化条件，那么在它附近就存在一个真解。后验格式还具有其他自动结果（对参数的平滑依赖，规律性的自举等）。证明的方法是基于一个迭代法来解决一个函数方程的参数化的环面满足不变方程和参数化的方向不变下的线性化。迭代法不使用变换理论或作用角变量。它并不假定系统接近可积。我们首先建立一个抽象定理。然后，我们展示了这个抽象的结果如何适用于一些具体的例子，包括标量Boussinesq方程和Boussinesq系统，使我们构造{ \sl小振幅}环面的方程，这是甚至在空间变量。注意，我们作为例子使用的方程是不适定的。
KAM for quasi-linear and fully nonlinear forced KdV
证明了KdV方程的拟线性和完全非线性受迫扰动的拟周期小振幅解的存在性。对于Hamilton或可逆非线性，我们也得到了线性稳定的解决方案。证明是基于不同的想法和技术的组合：（i）在Sobolev尺度的Nash-Moser迭代计划。(ii)一个正则化过程，将线性化算子共轭为具有常系数和有界余项的微分算子。这些变换是由环面的同态和伪微分算子引起的变量变化而得到的。(iii)一种简化的KAM格式，它完成了线性化算子的常系数化，提供了扰动特征值的急剧渐近展开。
On quantum averaging, quantum KAM and quantum diffusion
对于非自治的哈密顿系统及其量子化，我们讨论了量子化系统的性质，这些性质与相应的经典系统的性质有关，由KAM相关理论描述：适当的KAM，平均理论，Nekhoroshev稳定性和扩散。
Fast weak-KAM integrators for separable Hamiltonian systems
针对可分离哈密顿系统，提出基于Lax-Oleinik半群直接离散化的数值格式，证明其收敛性并给出误差估计，同时满足离散弱KAM定理以控制长时间行为，并通过快速min-plus卷积算法实现高效计算。
KAM for high-dimensional nonlinear quantum harmonic oscillator
本文研究高维非线性量子谐振子方程，通过建立具有多个法向频率的抽象无穷维KAM定理，证明其存在许多时间拟周期解，关键在于Hamiltonian函数Hessian矩阵的衰减结构。
A note on stability of Eliasson-Kuksin's KAM tori for the nonlinear Schrödinger equation
Eliasson和Kuksin在$\mathbb{T}^{d}$上发展了一种KAM方法来研究非线性薛定谔方程不变环面的持久性.本文利用Kolmogorov迭代格式改进了Eliasson和Kuksin的KAM定理，得到了变换后的Hamilton量的局部规范形。因此，我们能够得到的时间$δ^{-1}$稳定性所获得的KAM环。
KAM for the nonlinear wave equation on the circle: small amplitude solution
本文考虑圆上的非线性波动方程：\begin{equation} \nonumberu\_{tt} - u\_{xx} + m u = g(x,u), \quad t \in \mathbb{R},\: x \in \mathbb{S}^1,\end{equation}，其中$m \in [1,2]$是质量，$g(x,u)=4u^3+ O(u^4)$ .这个方程将被视为可积哈密顿量的扰动：\begin{equation} \tag{$\ast$} \label{first equation}u\_t= v, \quad v\_t = - u\_{xx} + m u.\end{equation}在原点附近和一般的$m$，我们证明了小振幅拟周期解的存在性接近的线性方程\eqref{first equation}的解决方案。对于证明，我们使用了一个抽象的KAM定理在无限维和Birkhoff范式的结果。
Large KAM tori for quasi-linear perturbations of KdV
本文证明了任意大小的空间周期多孤子在任意准线性哈密顿扰动下的持续生存性，它是光滑的且充分小的。这肯定地回答了一个长期存在的问题，是否KAM技术可以进一步发展，以证明存在的拟周期解的任意大小的强非线性扰动的可积偏微分方程。
Dynamic and asymptotic behavior of singularities of certain weak KAM solutions on the torus
对于环面上的力学哈密顿系统，研究了一类Hamilton Jacobi方程的广义特征半流的动力学性质，建立了该半流的$ω$ -极限集与投影Aubry集之间的关系.
Weak KAM theory for discount Hamilton-Jacobi equations and its application
发展了折扣Hamilton-Jacobi方程和相应的折扣Lagrangian/Hamiltonian动力学的弱KAM理论。然后将其应用于消失折扣过程中黏性解的误差估计。主要特点是介绍和研究家庭的$α$ -极限点的最小化曲线，与一些细节方面的最小化措施。在误差估计中，利用相应的动力系统的性质，有效地利用了$α$ -极限点族.
KAM for the nonlinear beam equation 1: small-amplitude solutions
本文证明了d维环面$$u_{tt}+Δ^2 u+m u + g(x,u)=0\ ,\quad t\in { \mathbb{R}} , \; x\in {\mathbb T}^d, \qquad \qquad (*) $$上非线性梁方程的一个KAM结果，其中$g(x,u)=4u^3+ O(u^4)$ .也就是说，我们表明，对于通用的$m$，大部分的小振幅不变的有限维环面的线性方程$(*)_{g=0}$，写为系统$$ u_t=-v,\quad v_t=Δ^2 u+mu, $$，坚持不变环面的非线性方程$(*)$，重写类似。如果$d\ge2$，那么并不是所有的持续环面是线性稳定的，我们构造明确的例子部分双曲不变环面。不稳定的不变环面，位于附近的原点，在他们周围创建一些局部不稳定性，在非线性物理学的流行信念，即空间多维哈密顿偏微分方程的小振幅解决方案的行为在一个混乱的方式。证明使用了我们的另一个出版物中的抽象KAM定理。
KAM for beating solutions of the quintic NLS
考虑圆$\mathbb{S}^1 = \mathbb{R}/2π$上的五次非线性薛定谔方程.我们证明了拟周期解的存在性，这些解是从[14]中所研究的系统的“共振”解分叉出来的，这些解是在Birkhoff标准形的一步之后截断Hamilton而得到的，表现出某些Fourier模式之间的循环能量交换。这些拟周期解的存在性是一个纯粹的非线性效应。
Large KAM tori for perturbations of the dNLS equation
证明了圆上散焦非线性薛定谔方程的半线性小扰动具有丰富的任意大小和（有限）维数的不变环面，这些环面支持拟周期解.与以前的结果相比，新颖之处在于考虑扰动不满足任何对称条件（它们可能依赖于$x$在任意的方式），不需要解析。主要的困难是由几乎共振的dNLS频率对。该证明是基于dNLS方程的可积性，特别是Birkhoff坐标的非线性部分是一个平滑的事实。我们实现了Newton-Nash-Moser迭代方案来构造不变环面。关键是将迭代格式中出现的线性化算子约化为常系数的$ 2 \times 2 $块对角算子及其特征值的渐近估计。
KAM for the nonlinear beam equation
本文证明了d维环面$$u_{tt}+Δ^2 u+m u + \partial_u G(x,u)=0\ ,\quad t\in { \mathbb{R}} , \; x\in \ { \mathbb{T}}^d, \qquad \qquad (*) $$上非线性梁方程小振幅解的KAM定理，其中$G(x,u)=u^4+ O(u^5)$ .也就是说，我们表明，对于一般的$m$，线性方程$(*)_{G=0}$的许多小振幅不变的有限维环面（写为系统$$ u_t=-v,\quad v_t=Δ^2 u+mu, $$）持续作为非线性方程$(*)$的不变环面，类似地重写。持久的环面填充的时间准周期解的$(*)$。如果$d\ge2$，那么并不是所有的持续环面是线性稳定的，我们构造明确的例子部分双曲不变环面。位于原点附近的不稳定不变环面在它们周围产生了一些局部不稳定性，这与非线性物理学中的流行观点一致，即空间多维Hamilton偏微分方程的小振幅解以混沌的方式表现。
Continuous time Markov chain based approximation of stationary and weak KAM Hamilton-Jacobi equations
本文用连续时间马尔可夫决策问题逼近有限维环面上的平稳与弱KAM Hamilton-Jacobi方程，通过Bellman方程和弱KAM理论获得有效Hamiltonian的逼近，并证明收敛性，最终得到代数方程组形式的数值格式。
Quasi-periodic solutions of forced Kirchoff equation
本文证明了具有周期边界条件的一维受迫Kirchoff方程具有Sobolev正则性的小振幅拟周期解的存在性和稳定性。这是关于拟线性波型方程的第一个KAM结果。主要困难是：$(i)$的最高阶导数的非线性，这不允许应用经典的KAM计划，$(ii)$的双共振的存在下，由于双重多重性的本征值的$- \partial_{xx}$。证明基于Sobolev类的Nash-Moser方案。主要讨论线性化算子在任意近似解处的可逆性及其逆算子在高Sobolev范数下的Tame估计的证明。为此，我们共轭的线性化运营商的$2 \times 2$，时间无关，块对角运营商。这是通过使用{ \it变量的变化}诱导的环面，{ \it伪微分}运营商和KAM { \it reduction}计划在Sobolev类。
Invariant KAM tori around annular vortex patches for 2D Euler equations
我们构造了平面欧拉方程的时间拟周期单洞涡补丁解。这些结构被捕获接近任何环，其模量属于一个庞大的博雷尔集。证明是基于Nash-Moser格式和KAM理论应用与哈密顿系统控制的径向变形的补丁。与标量情况相比，由于接口之间的交互，出现了一些技术问题。其中之一涉及到二阶Melnikov非共振条件下的一个新的小除数问题，该问题来自于不同速度的平流输运方程。
Infinite dimensional invariant tori for nonlinear Schrödinger equations
本研究证明无外部参数的圆上非线性薛定谔方程存在大量概周期解，在Kuksin--Poschel 1996年构造的多数有限维KAM环面附近存在无穷维非共振克罗内克环面，回答了哈密顿PDE领域长期存在的问题。
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