On a classification of ideals of local rings for irreducible curve singularities
Masahiro Watari
考虑了当环是具有不可约曲线奇点的局部环时理想的余维数分类问题。在本文中，我们介绍了一个系统的方法来解决这个问题。
We consider a classification problem of ideals by codimension in case rings are the local rings of irreducible curve singularities. In this paper, we introduce a systematic method to solve this problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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2-irreducible and strongly 2-irreducible ideals of commutative rings
一个交换环R的理想I称为不可约的，如果它不能写成两个较大理想的交。称环R的真理想I是强不可约的，如果对于R的每个理想J，K，J \cap K \subseteq I蕴涵J \subset I或K \subset I.本文引入了2-不可约理想和强2-不可约理想的概念，它们分别是不可约理想和强不可约理想的推广。我们说环R的真理想I是2-不可约的，如果对于R的每个理想J，K和L，I= J \cap K \cap L蕴涵I=J \cap K或I=J \cap L或I=K \cap L.环R的真理想I称为强2-不可约的，如果对于R的每个理想J，K和L，J \cap K \cap L \subseteq I蕴涵J \cap K \subseteq I或J \cap L \subseteq I或K \cap L \subseteq I.
Gorenstein rings and irreducible parameter ideals
给定一个Noether局部环（R，m），证明了存在整数l使得R是Gorenstein当且仅当m^l中的某个参数系生成一个不可约理想.作为推论，我们得到R是Gorenstein当且仅当R的每个极大理想的幂都包含一个不可约参数理想。
Limit distribution of Hodge spectral exponents of irreducible plane curve singularities
本文研究不可约平面曲线奇点的Hodge谱指数分布，通过数值不变量给出其与连续分布差值的闭式公式，并刻画极限分布为连续分布的曲线族及占优值区间。
Computing Irreducible Decomposition of Monomial Ideals
本文给出了求单项理想不可约分解的两个算法。第一个是递归的，由单项理想的阶梯结构导出。该算法对高度非泛型的单项式理想有很好的性能。第二个是增量算法，它通过每次增加一个生成元来计算理想的分解。我们的分析表明，第二个算法是更有效的比第一个一般的单项理想。此外，第二算法的时间复杂度至多为$O(n^2p\ell)$，其中$n$是变量的数目，$p$是最小生成元的数目，而$\ell$是不可约分量的数目。第二个算法的另一个新颖之处在于，对于一般单项式理想，中间存储总是由最终输出大小限制，该最终输出大小可以是输入大小的指数。
Irreducible multiplicity of idealizations
本文研究诺特局部环及其理想化中准素理想的不可约指数与不可约重数之间的关系，推广了Goto等人的一个主要结果。
Decompositions of Monomial Ideals in Real Semigroup Rings
域上的多项式环中单项理想的不可约分解是很好理解的。本文研究了半群环A[ \mathbb{R}_{\geq 0}^d ]中单项式理想集的分解，其中A是任意的有单位元的交换环.我们对这个集合的不可约元进行分类，我们称之为m-不可约的，并且我们对允许分解为m-不可约理想的有限交集的元素进行分类。
The minimal Tjurina number of irreducible germs of plane curve singularities
本文对Dimca和Greuel提出的关于平面曲线奇点的不可约芽的Milnor数与Tjurina数之商的问题给出了肯定的回答。这一结果是基于一个闭公式的最小Tjurina数的equisingularity类的严格变换沿决议的多重性的序列。证明的关键点是Genzmer，Wall和Mattei以前的结果。
Reducibility of parameter ideals in low powers of the maximal ideal
交换Noether局部环$(R,\mathfrak{m})$是Gorenstein当且仅当$R$的每个参数理想都是不可约的。虽然不可约参数理想可能存在于非Gorenstein环中，但Marley、Rogers和Sakurai证明了存在一个整数$\ell$（取决于$R$）使得$R$是Gorenstein当且仅当存在一个包含在$\mathfrak{m}^\ell$中的不可约参数理想。我们给出了$\ell$的上界，主要取决于某些系统的参数在低权力的极大理想的存在。
The set of trace ideals of curve singularities
本文主要研究一维交换局部整环。然后，我们得到了一个环具有有限个迹理想的整闭理想的判别准则。我们还探讨了与双有理扩张，自反理想，自反乌尔里希模等环的性质。特别注意的情况下，数值半群环的非间隙四。然后，我们得到了一个标准的环有有限个自反理想同构。还探讨了由纤维积产生的非畴。
Effective construction of irreducible curve singularities
我们可以将任何不可约曲线的奇点（ics）与一个数值半群联系起来。如果两个ics具有相同的半群，则称它们是等奇异的。两个等奇异积分具有相同的米尔诺尔数。反之，具有给定Milnor数的ics的集合是等奇异类的并集。在这里，我们从算法的角度，通过使用近似根的概念来研究ics。我们给出了两个算法：第一个算法是用给定的半群构造曲线的标准方程。第二类给出了具有固定Milnor数的半群的集合。该论文由Maple和Mathematica程序支持，可应要求提供。
Normal Hilbert coefficients and elliptic ideals in normal two-dimensional singularities
本文通过研究正常Hilbert系数和椭圆理想，刻画二维正常奇点的强椭圆性质，并探讨其存在性与构造方法。
Gröbner deformation and $F$-singularities
对于正特征的多项式理想，定义$F$ -分裂环与允许一个无平方根的单项初始理想是两个不同的概念.然而，在本说明中，我们表明两个方向上都存在强烈的相互作用。此外，我们提供了一个概述，$F$ -奇Gröbner变形。证明了如下无特征的命题：若$\mathfrak{p}$是高度$h$素理想，使得$\textrm{in}(\mathfrak{p}^{(h)})$至少包含一个无平方单项式，则$\textrm{in}(\mathfrak{p})$是无平方单项式理想.
Tight closure of products and F-rational singularities
本文通过极小闭包理论研究F-理性质，并在高维情况下扩展了曲面奇点的特征化结果。
Gorenstein Endomorphism Rings on Curve Singularities
本文研究曲线奇点上分式理想自同态环的 Gorenstein 性，利用理想稳定性与值半群理想条件给出刻画，并分类相关 Gorenstein 代数型曲线。
Irreducible decomposition of binomial ideals
基于协非中初等分解[Kahle and Miller，2014]，我们组合地构造任何给定的二项式理想的不可约分解。在一个平行的方式，在交换幺半群的同余，我们构造分解是直接的组合类似物的二项式不可约分解，并为二项式理想，我们构造分解成理想，尽可能不可约，而其余二项式。我们提供了一个例子，一个二项式理想是不是一个交集的二项式不可约理想，从而回答了一个问题的艾森巴德和Sturmfels [1996]。
The Slice Algorithm For Irreducible Decomposition of Monomial Ideals
单项理想的不可约分解从生物学到纯数学有着越来越多的应用.本文给出了计算单项理想的不可约分解、Alexander分解和socles的切片算法.本文包括在实践中表现出良好的性能实验。
F-singularities of polynomials with square-free support
本文证明具有无平方因子支撑的多项式定义的超曲面及其不可约分支交集在正特征下具有F-有理奇点，肯定回答了Bath、Mustaţă和Walther的问题。
On the ideals and singularities of secant varieties of Segre varieties
我们发现发电机的塞格雷品种的割线品种的理想在几种情况下，包括加西亚-Stillmann-Sturmfels猜想的四个因素，并证明其奇异性的结果。
Good ideals and $p_g$-ideals in two-dimensional normal singularities
本文研究了二维正常奇点中的良好理想与 $p_g$-理想，证明了二维Gorenstein正常局部环存在良好理想，并对简单椭圆奇点的Ulrich理想进行了分类。
One branch curve singularities with at most 2-parameter families of ideals
给出了单支曲线奇点的理想至多形成2-参数族的判据。也就是说，我们提出了一个列表的平面曲线奇点从阿诺德的分类是最小的所有一个分支奇点有最多2-参数家庭的理想。
Toric ideals of simple surface singularities
本文研究了一类由有理曲面奇点的最小分解图ADE树的几何数据得到的复曲面理想。我们计算显式Gröbner基地，这些复曲面理想，也是最小的生成集，包括大量的二项式的程度$\leq 4$。特别地，它们也产生了无平方初始理想。
Reduction numbers of links of irreducible varieties
理想$I$的约化为$I$的性质提供了一条自然的途径，具有生成元较少的优点。本文主要研究一类准素理想的环的约化指数的猜想。在Koszul和Keszon-Northcott解上存在一个代数结构是详细说明该猜想已知情况的主要工具。在最后一节中，我们涉及的猜想，以公式涉及的长度的第一Koszul同调模的这些理想。
A characterization of two-dimensional rational singularities via Core of ideals
本文通过研究p_g-理想的核心，提出了一种利用积分闭合理想核包含关系来特征化二维有理奇点的方法。
Plane curve singularities and Fitting ideals
研究非拟齐次平面曲线奇点的Tjurina理想相关的Fitting理想，发现Milnor数与Tjurina数之差不超过2时的特殊性质。
Normal reduction numbers for normal surface singularities with application to elliptic singularities of Brieskorn type
本文通过几何亏格公式计算正常局部环中理想正常还原数，并应用于Brieskorn超曲面椭圆奇点的分类证明。
Colon structure of associated primes of monomial ideals
我们找到了一个明确的表达为一个由元素$v$冒号的单项理想的相关素数，使用唯一的不可约分解，其不可约成分是单项理想（定理3.1）。使用Macaulay 2给出了计算$v$的算法（第7节）。对于无平方项的单项理想，这个问题与底层杂波或图的组合学有关（命题4.3）。对于Borel型的理想，单项式$f$有一个更简单的形式（命题5.2）。作者在$f$唯一时进行分类（命题6.2）。
Some characterizations of strongly irreducible submodules in arithmetical and Noetherian modules
本文证明了交换环上算术模和Noether模中强不可约子模的一些性质。证明了强不可约子模族、不可约子模族、素子模族和素子模族之间的关系。同时给出了算术模的几个新的刻画。在$R$是Noether模且$M$是非线性生成的情况下，给出了强不可约子模的几个刻画.除其他事项外，它表明，当$N$是一个子模块的$M$，使$N:_RM$不是一个素理想，然后$N$是强不可约的当且仅当存在子模块$L$的$M$和素理想$\frak p$的$R$，使$N$是$\frak p$ -主要的，$N\subsetneqq L\subseteq \frak pM$和所有子模块$K$的$M$无论是$K\subseteq N$或$L_{\frak p}\subseteq K_{\frak p}$。另外，我们证明了$M$的一个子模$N$是强不可约的当且仅当$N$是准素模，$M_{\frak p}$是算术模，且$N=(\frak pM)^{(n)}$对某个整数$n>1$是强不可约的，其中$\frak p=\Rad(N:_RM)$有$\frak p\not\in \Ass_RR/\Ann_R(M)$和$\frak pM\nsubseteq N$ .由此我们得到：若$R$是整环，$M$是挠自由的，则存在$M$的强不可约子模$N$使得$N:_RM$不是素理想当且仅当存在$R$的素理想$\frak p$，且$\frak pM\nsu…
Irreducible integer-valued polynomials with prescribed minimal power that factors non-uniquely
本文研究了不可约但非绝对不可约整数值多项式的非唯一分解最小幂次问题，证明了在具有无限多个有限指数极大理想的主理想整环上，该最小幂次取决于分母的p-adic赋值且无常数上界。
Herzog ideals and $F$-singularities
本文探讨了Herzog理想与$F$-奇点之间的联系，证明了齐次Herzog理想在正特征下定义$F$-反幂零环，并探讨了特征0下坐标变换与$F$-纯类型环的关系。
Constancy regions of mixed multiplier ideals in two-dimensional local rings with rational singularities
研究了具有有理奇点的二维局部环中理想元组的混合乘子理想。我们感兴趣的分区的真正的积极orthant的地区，混合乘子理想是常数。特别是，我们揭示了混合乘数理想中编码的信息确定其相应的跳跃墙，我们提供了一个算法来计算所有的恒定区域，以及它们相应的混合乘数理想，在任何所需的范围内。
Ulrich ideals and modules over two-dimensional rational singularities
本文的主要目的是从几何的角度对二维Gorenstein有理奇点（有理二重点）上的Ulrich理想和Ulrich模进行分类.为了达到这个目的，我们引入了关于理想的（弱）特殊Cohen-Macaulay模的概念，并研究了这些模与关于好理想的Ulrich模之间的关系.
A characteristic p analogue of plt singularities and adjoint ideals
我们引入了一个新的紧闭包的变种，并通过这个紧闭包给出了伴随理想的一个解释。作为推论，我们证明了对数对$(X,Δ)$是plt的当且仅当$(X,Δ)$的模$p$约化对所有大的$p \gg 0$是整除F-正则的.这里，可分F-正则对是Hara和Watanabe根据Frobenius分裂引入的一类正特征奇点。
Multiplier ideals in two-dimensional local rings with rational singularities
研究了具有有理奇点的二维局部环中任意理想的跳跃数和乘子理想。特别是，我们揭示的信息编码的乘数理想决定下一个跳跃数。这导致了一个算法，顺序计算跳跃数和整个链的乘数理想在任何期望的范围。作为我们的方法的结果，我们开发的概念跳跃除数，允许描述两个连续的乘数理想之间的跳跃。特别是，我们发现了一个独特的最小跳跃因子，被广泛研究。
When are There Infinitely Many Irreducible Elements in a Principal Ideal Domain?
自欧几里德时代以来，存在着无穷多个有理素数，这是一个众所周知的事实。两个自然的问题出现：在其他环，充分类似的整数，有无限多个不可约元？有没有一个统一的代数概念来描述这样的环？本文的目的是把素数的无穷大这一事实放在一个更一般的背景下，这个背景还包括数域中代数整数的阶乘域的有趣情况。我们表明，如果$A$是一个P.I.D.，则$A$包含无穷多个（成对非缔合）不可约元当且仅当$A[x]$的每个极大理想具有相同的（极大）高度。
Poincaré series of multiplier ideals in two-dimensional local rings with rational singularities
研究了二维有理奇异局部环中$\mathfrak m$ -准素理想$\mathfrak a$的跳跃数的重数.我们提供的公式的多重性导致一个非常简单和有效的方法来检测是否一个给定的有理数是一个跳跃数。我们还给出了显式描述的庞加莱系列的乘数理想与$\mathfrak a$证明，特别是，它是一个有理函数。
A remark on 1-forms and plane curve singularities
研究了复不可约平面曲线上正则1-形式在正规态射下的拉回问题。
An analog of adjoint ideals and PLT singularities in mixed characteristic
我们使用完美大Cohen-Macaulay代数的框架来定义一类混合特征对的奇点，我们称之为纯BCM-正则奇点，以及相应的伴随理想。我们证明了这些满足关于BCM正则性和前两位作者定义的最小理想的概念的附加和附加的逆。我们比较他们与现有的相等的特征PLT和纯粹的$F$ -正则奇点和伴随理想。作为应用，得到了混合特征线上Briançon-Skoda定理的一个统一形式.我们还利用我们的理论证明了二维KLT奇点是BCM正则的，如果剩余特征$p>5$，这意味着一个逆的附加三维PLT对的剩余特征$p>5$。特别地，当$p > 5$时，三维PLT对的分裂中心是正常的。此外，在附录中，我们提供了一个流线型的完美大Cohen-Macaulay代数的建设，并显示新的函性质，他们使用的完美化函子Bhatt和Scholze。
Multiplier ideals and klt singularities via (derived) splittings
本文通过衍生分裂方法重新定义乘子理想，并推导出klt奇点的特征，同时给出了测试理想在特征p>2下的描述。
Ideal Theory in Rings (Translation of "Idealtheorie in Ringbereichen" by Emmy Noether)
本文是埃米·诺特1920年的论文《灵贝雷兴的理想论》的德文译文。它特别是带来的语言使用到现代世界，使它很容易理解的数学家的今天。该文件本身涉及理想理论，是革命性的领域，这是现代代数。涵盖的主题包括：一个理想作为不可约理想的最小公倍数的表示;一个理想作为最大准素理想的最小公倍数的表示;素理想与准素理想的结合;一个理想作为互素不可约理想的最小公倍数的表示;孤立理想;一个理想作为互素不可约理想的乘积的表示;关于模块的等效概念。
F-singularities in families
我们研究了族中的测试理想和F-奇点的行为。特别是，我们得到一般（和非一般）的测试理想和非F-纯理想的限制定理。此外，我们研究了某些典型的线性系（由Frobenius诱导）与伴随线丛，在家庭的整体行为。作为结果，我们得到了一些积极的结果，推进的一些伴随线丛和某些子层。
The saturation number of monomial ideals
设$S=\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]$是域$\mathbb{K}$上的多项式环，$\mathfrak{m}= (x_1, \ldots, x_n)$是$S$的无冗余极大理想.对于理想的$I \subset S$，令$\mathrm{sat}(I)$为$I \colon \mathfrak{m}^k = I \colon \mathfrak{m}^{k+1}$的最小数目$k$。本文计算了不可约单项理想的饱和数及其幂。我们应用这一结果找到饱和数的普通权力和象征权力的一些家庭的单项式理想的饱和数的不可约组件出现在这些理想的不可约分解。此外，我们还给出了二元单项理想饱和数的一个显式公式。
Syzygies of Jacobian ideals and weighted homogeneous singularities
设$V$是仅有孤立奇点的射影超曲面.我们证明了这些奇异性是加权齐次的当且仅当$V$的方程的偏导数之间的Koszul syzygies恰好是$V$的奇异轨迹子方案上的一般第一分量为零的syzygies。在这种情况下，这尤其对斋藤守彦和第一提交人提出的一个问题作出了肯定的回答。最后，我们解释了如何我们的结果可以被用来改善上市的雅可比合冲给定程度的计算机代数系统，如奇异，CoCoA或Macaulay2。
Analytic approximation of plurisubharmonic singularities
我们研究了几类孤立奇点的多重次调和函数，可以近似的解析奇点与控制其剩余的蒙赫-安培质量。他们的特点是在格林函数的德梅利的近似，相对类型和估值。此外，当研究解析函数的分次理想族和相应的渐近乘子理想时，这些类也会出现。
Singularities and radical initial ideals
什么样的约化单项方案可以作为光滑投射簇的Gröbner退化而得到？我们的回答是：只有Stanley-Reisner方案与无圈的Cohen-Macaulay单纯复形有关。这意味着，特别是，只有亏格为零的曲线有这样的退化。我们证明了这个猜想degrevlex订单，椭圆曲线在实数域，交叉多面体的边界，和无叶图。我们讨论的后果，合理的和F-合理的奇异代数拉直法律。
On the canonical ideals of one-dimensional Cohen-Macaulay local rings
本文考虑一维Cohen-Macaulay局部环的明确标准理想的求法问题。证明了包含在极大理想的高次幂中的Gorenstein理想是典范理想。在余维2的情况下，从Hilbert-Burch决议，我们展示了如何构造曲线奇点的典型理想。最后，我们将曲线奇点的解析分类问题转化为具有适当长度的局部Artin Gorenstein环的分类问题。
Ideal spaces: An extension of structure spaces of rings
本文提出理想空间概念以建立环的任意理想类的结构空间型理论，刻画了清醒理想空间，引入强不连通空间概念并证明相关结论，还给出谱连通的充分条件。
Hessian ideals of a homogeneous polynomial and generalized Tjurina algebras
利用黑塞矩阵中的子式，引入了一个新的与齐次多项式相关联的分次代数。当伴随的射影超曲面具有孤立奇点时，这些代数与一些新的与孤立超曲面奇点相关联的局部代数相联系，推广了它们的Tjurina代数.我们的结果的一个后果是一个新的方法来确定这样的超曲面的加权齐次奇点的数量。
Roots of Bernstein-Sato polynomials for monomial ideals: a positive characteristic approach
本文利用约化模p和奇点不变量刻画了单项理想Bernstein-Sato多项式的正特征根。我们在此设置一个积极的回答问题的高木，渡边和第二作者，关于依赖的特点，这些不变量的奇点。
Classification of Planar Graphs Associated to the Ideal of the Numerical Semigroup
设$Λ$是一个数值半群，$I\subset Λ$是$Λ$的理想.图$G_I(Λ)$是一个以$I$的元素为顶点的图，且任意两个顶点$x,y$相邻当且仅当$x+y \in I$。本文给出了图$G_I(Λ)$是平面图的一个完全刻画（直到同构），其中$I$是$Λ$的一个不可约理想.这将最终刻画对应于不可约理想$I$的非可平面图$G_I(Λ)$。
Equivalence of Curve Singularities and delta-Invariants
本文证明了完备既约诺特曲线参数化的等价条件，以及既约不可约曲线奇点的同构性与完备化同构的关系，给出了优于Hironaka的新下界。
F-singularities via alterations
对于正规F-有限簇$X$和边界因子$Δ$，我们给出了一个理想的统一描述，该理想在特征零中产生乘子理想，在正特征中产生对$(X,Δ)$的检验理想.我们的描述是根据$X$上的规则变换，其结果之一是有理奇点（在特征零中）和F-有理奇点（在特征$p$中）的一个共同特征，即对于每个这样的变换$π\: Y \to X$，迹映射$π_* ω_Y \to ω_X$的满射性。此外，在B. Bhatt，我们建立了直到有限映射版本的Grauert-Riemenscheneider和Nadel/Kawamata-Viehweg消灭定理的特征$p$设置没有假设$W2$提升，并表明，这些是足够强大的，在某些应用中，以扩大部分。
Lovász--Saks--Schrijver Ideals and the Irreducible Components of the Variety of Orthogonal Representations of a Graph
本文研究了图的Lovász–Saks–Schrijver理想和正交表示的不可约分量，通过matroid理论框架分析森林的不可约分解和primary分解。
The multiplicity and the number of generators of an integrally closed ideal
设$(R, \mathfrak m)$是Noether局部环，$I$是$\mathfrak m$ -准素理想.本文研究了一个涉及生成元个数、Loewy长度和$I$重数的不等式.有强有力的证据表明，不等式对所有有限长的整闭理想成立当且仅当$R$有足够好的奇点。我们验证了正则局部环在所有维度上的不等式，维度$2$上的有理奇异性，以及维度$3$上的cDV奇异性。另外，当Cohen-Macaulay不等式$R$的维数不超过2时，我们可以进行分类.我们还讨论了各种主题的关系：最小的多重性和合理的奇异环的经典结果，最近的工作$p_g$理想的Okuma-Watanabe-Yoshida，多重性的纤维锥，和相关的分次环的$h$ -向量。
The weak ordinarity conjecture and $F$-singularities
最近M。Mustata和V. Srinivas将一个关于Frobenius作用在结构层的上同调上的自然猜想与另一个连接乘子理想和测试理想的猜想联系起来，其中Frobenius作用在结构层的特征$p > 0$上。我们推广这种关系的情况下，奇异的环境品种。此外，我们将这些结果连接到一个猜想有关$F$ -内射和杜波依斯奇点。最后，利用Gabber的一个未发表的结果，我们还证明了$F$ -内射和杜波依斯奇异性在光滑超覆盖方面有一个共同的定义。
Generic and Cogeneric Monomial Ideals
关于其生成元或不可约分支是一般的单式理想具有从单纯复形导出的最小自由分解。对于一般单项式理想，相关的素数满足饱和链条件，并且Cohen-Macaulay性质意味着Scarf复形和Stanley-Reisner复形都是可壳的。一般格理想的逆字典序初始理想是一般的。Cohen-Macaulay型的特征是组合的;在同属的情况下，Cohen-Macaulay型大于或等于不可约分支的个数。证明方法包括亚历山大对偶和斯坦利的局部h-向量理论。
Additively irreducible sequences in commutative semigroups
设$\mathcal{S}$是一个交换半群，$T$是来自该半群$\mathcal{S}$的项序列.我们称$T$为（加性）{ \sl不可约}序列，只要它的某些项之和不为零.给定$\mathcal{S}$的任何元素$a$，令${\rm D}_a(\mathcal{S})$是不可约序列的最大长度，使得序列中所有项的和等于$a$。在从理想$(a)$出发的主理想的任何升链终止于$\mathcal{S}$的情形下，我们得到了${\rm D}_a(\mathcal{S})$有限的充必要条件，特别地，我们给出了${\rm D}_a(\mathcal{S})$有限情形下${\rm D}_a(\mathcal{S})$的精确的上下界.我们还将结果应用到交换幺环上。作为特例，当$\mathcal{S}$是任意有限交换主理想酉环的乘法半群时，确定了${\rm D}_a(\mathcal{S})$的值.
Analytical invariants of quasi-ordinary hypersurface singularities associated to divisorial valuations
研究了复奇异的解析不可约代数胚（X，0），通过考虑其解析代数的滤子及其相关的分次环，这些滤子由（X，0）的正规化（Y，0）的正规化爆破的例外因子的不可约分量的除数赋值所诱导，中心在Y的点0.若（X，0）是拟寻常超曲面奇点，则相应的分次环是复数域上的有限型代数，即半群所定义的非必然正规仿射复曲面簇的坐标环，它是（X，0）的解析不变量.这提供了（X，0）的归一化特征单项式的分析不变性的另一个证明。如果（X，0）是非必要正规环面簇的代数胚，我们用同样的方法证明了非必要正规环面簇的代数胚的同构问题的一个局部形式.
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