A Note on "On the Construction of Boolean Functions with Optimal Algebraic Immunity"
本文利用Mobious反演方法，对\cite{LiNa1}提出的“基交换”思想作了进一步的改进。我们表明，矩阵$S_1(f)S_0(f)^{-1}$有一个很好的形式时，$f$被选为多数函数，其中$S_1(f)$是矩阵与行向量$\upsilon_k(α)$的所有$α\in 1_f$和$S_0(f)=S_1(f\oplus1)$。并通过交换择多函数的开集和偏集上的一个点，给出了具有最大代数免疫度的布尔函数的一个精确计数。此外，我们根据权分布给出了布尔函数代数免疫不小于给定数的一个必要条件。
2012-11-18 cs.CR
Constructions of Efficiently Implementable Boolean Functions with Provable Nonlinearity/Resiliency/Algebraic Immunity Trade-Offs
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
本文提出了一种高效可实现的布尔函数构造方法，实现了抗冲激性、非线性性和代数免疫性之间的可证明折衷，且在变量数和门数上达到最优性能。
2026-01-12 cs.CR
Constructing Boolean Functions With Potential Optimal Algebraic Immunity Based on Additive Decompositions of Finite Fields
提出了一种基于有限域$\mathbb{F}_{2^{(r+1)m}}$的加法分解$\mathbb{F}_{2^{rm}}\times\mathbb{F}_{2^m}$构造$(r+1)m$变量的密码学有效布尔函数的一般方法，其中$r$为奇数，$m\geq3$为整数.首先用这种方法构造了一类非平衡函数，它与广义Tu-Deng函数的非平衡类在$r=1$情形下的一个变体相一致.这类函数具有很高的代数次数，但其代数免疫度不超过$m$，当$r>1$时不可能是最优的。通过对这些不平衡函数的修正，得到了一类具有最优代数次数和高非线性度的平衡函数（证明了其下界）。这些函数具有最优的代数免疫性，从而证明了二元串上的组合猜想是正确的，推广了屠-邓猜想。计算机研究表明，至少对于变量数较小的值，此类函数也能很好地抵抗快速代数攻击。
2014-01-26 cs.CR
Use of Simple Arithmetic Operations to Construct Efficiently Implementable Boolean functions Possessing High Nonlinearity and Good Resistance to Algebraic Attacks
提出一类通过整数与二元域简单算术构造的高效 Boolean 函数，在 n≤20 时实现非线性度与（快速）代数免疫性的最优折中。
2025-01-12 cs.CR
Fast Algebraic Attacks and Decomposition of Symmetric Boolean Functions
代数攻击和快速代数攻击是分析流密码的有力工具。在EUROPHOTOPT '06上，发现了一类具有最大代数免疫度的对称布尔函数容易受到快速代数攻击。最近，AAR（代数攻击抵抗）功能的概念被引入作为一个统一的措施，对经典的代数和快速代数攻击的保护。本文首先给出了对称布尔函数的一个分解，然后证明了几乎所有的对称布尔函数，包括具有良好代数免疫性的函数，在快速代数攻击下的表现都很差，并且证明了没有对称布尔函数是AAR函数.此外，我们改进了对称布尔函数的代数次数与代数免疫度之间的关系。
2009-10-24 cs.CR cs.IT math.IT
A Discrete Particle Swarm Optimizer for the Design of Cryptographic Boolean Functions
本文提出一种结合置换PSO与爬山法的离散粒子群优化器，通过连续遗传算法（CGA）优化参数，用于搜索具有良好密码学性质的平衡布尔函数，实验表明其生成的函数在非线性、相关免疫性和传播准则等组合性质上优于或等同于其他方法。
2024-01-09 cs.CR cs.NE
Hacking of the AES with Boolean Functions
密码学的主要问题之一是密码算法的密码分析。密码分析是一门研究如何在不获取通常所需的秘密信息的情况下获取加密信息的含义的方法。一些破解密码的机制包括差分密码分析，高级统计和蛮力。最近的工作也试图使用代数工具，以减少密码分析的分组密码算法的解决方案的二次方程组描述的加密结构。在我们的研究中，我们也将使用代数工具，但以一种新的方式：通过使用布尔函数及其属性。布尔函数是从$F_2^n\to F_2$与$n>1$得到的函数，其特征在于其真值表。布尔函数的参数是长度为$n$的二进制字。任何布尔函数都可以用它的代数范式唯一地表示，代数范式是一个只包含模2的加法（XOR函数）和模2的乘法（AND函数）的方程。我们的目标是将AES算法描述为一组布尔函数，然后使用莫比乌斯变换计算其代数范式。之后，我们使用一个特定的表示这些方程，以方便他们的分析，特别是尝试组合分析。通过这种方法，我们得到了一类新的方程组。该方程组更易于实现，为密码分析开辟了新的途径。
2016-09-13 cs.CR
Probabilistic estimation of the algebraic degree of Boolean functions
本文提出一种概率测试来判断布尔函数的代数次数是否低于给定值，通过选取仿射空间并检验函数值之和，证明在次数等于该值时失败概率位于(0.288788, 0.5]，少量测试即可高概率给出正确答案。
2023-06-21 cs.CR
A Method for Fast Computing the Algebraic Degree of Boolean Functions
布尔函数（或向量布尔函数）的代数次数是一个重要的密码学参数，需要用快速算法来计算。它们主要以两种方式工作：（1）通过计算代数范式，然后搜索其中最高次的单项式，或者（2）通过检查给定函数的真表向量的代数性质。在第一种方法的研究中，我们已经做了四个基本步骤，第二种方法也被其他作者研究过。在这里，我们提出了一种快速计算（我们知道的最快的方法）布尔函数的代数次数的方法。它是这两种方法中最有效的组件和相应算法的组合。理论上的时间复杂度的方法推导出在每一种情况下，当布尔函数表示在一个字节或按位的方式。对于$n$变量的布尔函数，它们是相同类型的$Θ(n.2^n)$，但它们在$Θ$表示法中的常数之间有很大的差异。这里显示的理论和实验结果证明了按位方法在计算代数次数方面的优势-它们比按字节方法快几十倍。
2020-07-01 cs.CR cs.DM cs.DS
On the algebraic degree stability of vectorial Boolean functions when restricted to affine subspaces
该研究聚焦向量布尔函数在仿射子空间上的代数次数稳定性问题，刻画了幂函数在不同余维子空间保持次数的条件，定义了最优性概念并确定了多类最优函数，还给出了超平面上保次数函数的计数公式，为密码学相关函数设计提供了理论支撑。
2025-07-30 cs.CR math.AC
Degree is Important: On Evolving Homogeneous Boolean Functions
本文研究使用进化算法设计齐次Bent布尔函数，评估多种编码与适应度函数，发现能成功找到二次齐次Bent函数但无法找到三次齐次Bent函数。
2025-01-30 cs.CR cs.NE
Quantum Algorithms for Boolean Equation Solving and Quantum Algebraic Attack on Cryptosystems
判定一个布尔方程组是否有解是一个NPC问题，求解是NP难的。在本文中，我们提出了一个量子算法来决定是否一个布尔方程系统FS有一个解决方案，并计算一个，如果FS确实有解决方案与任何给定的成功概率。该算法的运行时间复杂度是关于FS的大小和FS的条件数的多项式。作为结果，我们给出了一个多项式时间量子算法求解布尔方程组，如果他们的条件数是小的，说多项式在FS的大小。我们应用我们的量子算法求解布尔方程的密码分析的几个重要的密码系统：流密码Trivum，分组密码AES，散列函数SHA-3/RISKCAK，和多变量公钥密码系统，并表明它们是安全的量子代数攻击下，只有当相应的方程系统的条件数是大的。这就引出了一个设计能抵抗量子计算机攻击的密码系统的新准则：它们对应的方程组必须具有大的条件数。
2018-08-06 cs.CC cs.CR cs.SC
On the computation of the M{ö}bius transform
M{<$}bius变换是到布尔世界的关键变换;它允许在真表和代数范式之间改变布尔表示。在这项工作中，我们介绍了一个新的代数观点，这种转换的基础上的多项式形式的布尔函数。看来，我们可以执行一个新的概念：M{<$}bius计算变量的变量和新的计算属性。因此，我们提出了新的算法，可以产生一个巨大的速度的M{<$}bius计算的子族布尔函数。此外，我们还直接计算了某些特殊布尔函数的M{<$}bius变换.最后，我们表明，其中一些汉明重量是直接相关的代数程度的具体因素。
2020-04-15 cs.CR cs.DS
Eliminating Variables in Boolean Equation Systems
在分析分组密码时，低次布尔方程组以一种自然的方式出现。密码的轮函数将秘密密钥与由每个连续轮引入的辅助变量相关联。在代数密码分析中，攻击者试图求解所得方程组以提取秘密密钥。在本文中，我们研究算法消除辅助变量从这些系统的布尔方程。众所周知，变量的消去通常会增加所涉及的方程的阶数。为了包含计算复杂性和存储复杂度，我们提出了两个新的算法进行消除，同时限制在$3$，这是最低的可能消除的程度。此外，我们表明，新的算法是众所周知的\emph{XL}算法。我们应用的算法的LowMC密码的缩小版本和王子密码的基础上的玩具密码，并报告有关这些例子的实验结果。
2017-10-23 cs.CR
A Survey of Metaheuristic Algorithms for the Design of Cryptographic Boolean Functions
布尔函数是在不同领域中使用的数学对象，并且已经被积极地研究了几十年。布尔函数扮演重要角色的一个领域是密码学。在那里，人们应该考虑的过多设置和需要满足的加密属性使得寻找新的布尔函数仍然是一个非常活跃的领域。有几种方法可以构造合适的布尔函数：代数构造、随机搜索和元代数。在这项工作中，我们专注于元启发式方法，并检查在过去25年出现的相关作品。据我们所知，这是第一次就这一主题进行调查。此外，我们提供了一个新的分类相关的作品，并讨论所获得的结果。最后，我们总结了这一调查与潜在的未来研究方向。
2023-01-19 cs.CR math.CO
Vectorial Resilient $PC(l)$ of Order $k$ Boolean Functions from AG-Codes
度$l$和阶$k$的传播准则（阶为$k$的$PC(l)$）和向量布尔函数的弹性对于密码学目的是重要的（参见[1，2，3，6，7，8，10，11，16]）。Kurosawa，Stoh [8]和Carlet [1]利用二元线性或非线性码构造了满足$k$阶$PC(l)$的布尔函数.本文利用$GF(2^m)$上的代数几何码，改进了Carlet和Kurosawa-Satoh的构造，给出了满足$k$阶$PC(l)$的向量弹性布尔函数.新的建设与以前已知的结果进行了比较。
2006-09-19 cs.CR cs.IT math.IT
Exploring Semi-bent Boolean Functions Arising from Cellular Automata
从密码学的观点来看，半弯曲布尔函数是有趣的，因为它们具有几个期望的性质，例如具有低而平坦的Walsh谱，这对于抵抗线性密码分析是有用的。在本文中，我们考虑通过一个基于元胞自动机（CA）的结构搜索半弯曲函数。特别地，该构造通过计算CA中所有输出单元的XOR来定义布尔函数。由于所得到的布尔函数具有相同的代数次数的CA局部规则，我们设计了一个组合算法来枚举所有的二次布尔函数。然后，我们应用该算法来详尽地探索最多6个变量的二次规则的空间，只选择那些我们的CA为基础的建设总是产生半弯曲函数的最多20个变量。最后，我们过滤所获得的规则相对于他们的平衡性，并注意到，通过我们的建设所产生的半弯曲功能的剩余规则有一个常数的线性结构。
2020-05-17 cs.CR nlin.CG
A New Representation of Binary Sequences by means of Boolean Functions
Universidad de Alicante（阿利坎特大学）
本文提出通过布尔函数与周期为2的幂的二元序列之间的双射关系，研究二元序列与布尔函数的性质及反向ANF表示方法及其与其他表示形式的关系。
2026-04-30 cs.CR cs.IT math.IT
On Counts and Densities of Homogeneous Bent Functions: An Evolutionary Approach
University of Bergen（卑尔根大学）；Faculty of Electrical Engineering and Computing, University of Zagreb（萨格勒布大学电气工程和计算学院）；Semantics, Cybersecurity and Services Group, University of Twente（特温特大学语义、网络安全与服务组）；Otto-von-Guericke University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）
针对序列与分组密码安全所需的强密码学性质布尔函数设计问题，本文提出用进化算法进化齐次 Bent 布尔函数，引入密度概念优化算法设计，成功找到不同变量数下的二次和三次齐次 Bent 函数。
2025-11-16 cs.CR cs.NE
IDEM Enough? Evolving Highly Nonlinear Idempotent Boolean Functions
University of Paris 8（巴黎第八大学）；University of Bergen（卑尔根大学）；Faculty of Electrical Engineering and Computing, University of Zagreb（萨格勒布大学电气工程和计算学院）；University of Twente（特文特大学）；Digital Security Group, Radboud University（拉德堡德大学数字安全组）
本文研究了使用多项式基表示法构建高非线性幂等布尔函数的方法，通过轨道编码强制幂等性，发现交叉和突变操作对问题解决有破坏性影响。
2026-01-31 cs.CR cs.NE
