On the Cauchy problem of defocusing mKdV equation with finite density initial data: long time asymptotics in soliton-less regions
本文利用Riemann-Hilbert方法研究具有有限密度初值的散焦mKdV方程在无孤子区域中的长时间渐近性，证明主项与背景解相容并给出误差估计。
2023-06-23 math-ph math.AP math.MP
Hamiltonian Flows of Curves in symmetric spaces G/SO(N) and Vector Soliton Equations of mKdV and Sine-Gordon Type
从黎曼对称空间G/SO（N）中非拉伸曲线流出发，以几何形式导出了mKdV族孤子方程的两个已知矢量推广的双Hamilton结构.这些空间被李群G=SO（N+1），SU（N）耗尽。双哈密顿结构的推导使用了一个平行框架和沿着曲线的连接，与G上的零曲率Maurer-Cartan形式相联系，这产生了几何O（N-1）-不变形式的向量mKdV递归算子。这些递归算子的内核产生两个双曲向量广义的正弦戈登方程。相应的几何曲线流的层次描述在一个明确的形式，给出波映射方程和mKdV类似的薛定谔映射方程。
2007-04-02 math-ph math.AP math.MP
A finite difference scheme for smooth solutions of the general mKdV equation
针对一般mKdV方程，提出一种经济的有限差分格式，在特殊条件下保持全局经典解性质，并展示孤子传播与相互作用的数值结果。
2024-05-25 math.AP
Long time asymptotic behavior for the nonlocal mKdV equation in space-time solitonic regions-II
研究了具有非零初值的可积实非局部mKdV方程在孤子区域\begin{align*} &q_t(x,t)-6σq(x,t)q(-x,-t)q_{x}(x,t)+q_{xxx}(x,t)=0, &q(x,0)=q_{0}(x),\ \ \lim_{x\to \pm\infty} q_{0}(x)=q_{\pm}, \end{align*}中Cauchy问题的长时间渐近性态，其中$|q_{\pm}|=1$和$q_{+}=δq_{-}$，$σδ=-1$ .在前一篇文章中，我们用$ξ=\frac{x}{t}$得到了非局部mKdV方程在孤子区域$-6<ξ<6$中的长时间渐近解.在本文中，我们计算了解$q(x,t)$对其他孤子区域$ξ<-6$和$ξ>6$的渐近展开。在Cauchy问题的Riemann-Hilbert问题的基础上，进一步利用$\bar{\partial}$最速下降法，得到了$q(x,t)$解在上述两个不同时空孤子区域的不同长时间渐近展开式.在区域$ξ<-6$中，相函数$θ(z)$在$\mathbb{R}$上具有四个固定相点。相应地，$q(x,t)$可以用离散谱上的$\mathcal{N}(Λ)$ -孤子、连续谱上的首阶项和残差项来表征，它们受函数${\rm Im}ν(ζ_i)$的影响.在$ξ>6$区域内，相位函数$θ(z)$在$i\mathbb{R}$上有四个稳定相位点，相应的渐近…
2022-04-15 math-ph math.AP math.MP
Hamiltonian curve flows in Lie groups $G\subset U(N)$ and vector NLS, mKdV, sine-Gordon soliton equations
利用李群$G=SO(N+1),SU(N)\subset U(N)$中非伸缩曲线的几何流导出了复矢量孤子方程的双Hamilton族，推广了前人关于黎曼对称空间$G/SO(N)$中可积曲线流的工作.推导使用平行框架和沿曲线的连接，涉及到群$G$的克莱因几何。这表明，产生两个已知的$U(N-1)$不变向量推广的非线性薛定谔（NLS）方程和复杂的修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程，以及$U(N-1)$不变向量推广的sine-Gordon（SG）方程中发现最近的双曲向量方程的可积性分类。曲线流本身以手征波映射、薛定谔映射的手征变体和mKdV类似物的明确形式描述。
2007-04-02 math-ph math.AP math.MP
A novel noncommutative KdV-type equation, its recursion operator, and solitons
推广了[S.卡里略湾Lo Schiavo和C. Schiebold，SIGMA 12（2016）]。这个方程，这里称为元mKdV，通过Cole-Hopf变换与[P. J. Olver和V. V. Sokolov Commun. Math.Phys.193（1998），Theorem 3.6]。对于这个元mKdV，它的镜像对应，递归运算符，层次结构和一个明确的解决方案类。
2017-04-11 math-ph math.AP math.MP
Solitary wave solutions of a generalization of the mKdV equation
我们考虑一个推广的mKdV方程，其中包含类似的Benjamin-博纳-Mahoney方程和著名的Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程中所包含的耗散项。我们的目标是构造该方程的经典（孤子）和非经典（峰和尖）孤波解。
2023-02-22 math.AP nlin.SI
The focusing complex mKdV equation with nonzero background: Large $N$-order asymptotics of multi-rational solitons and related Painlevé-III hierarchy
本文通过黎曼-希尔伯特问题研究聚焦复修正KdV方程多有理孤子的大阶渐近，构造新解并证明其满足Painlevé-III层级，提供渐近行为分析。
2024-12-16 math-ph math.AP math.MP
Non dispersive solutions of the generalized KdV equations are typically multi-solitons
我们考虑广义Korteweg-de Vries方程（gKdV）的解，它在某种意义上（在[18]的精神中）是非色散的，并且仍然接近于多孤子。我们证明了这些解必然是纯多孤子。特别是对于Korteweg-de Vries方程（KdV）和修正的Korteweg-de Vries方程（mKdV），我们得到了多孤子和多呼吸子的非色散特性。
2020-07-03 math.AP
On the uniqueness of multi-breathers of the modified Korteweg-de Vries equation
本文考虑修正的Korteweg-de Vries方程（mKdV），证明了：给定（mKdV）的孤子和呼吸子的任意和P（速度不同），存在（mKdV）的解p，使得当t $\rightarrow$ + $\infty$时，p（t）- P（t）$\rightarrow$ 0，我们称之为多呼吸子.为了做到这一点，我们在H^2水平上工作（即使通常在H^1水平上考虑孤子）。我们将证明这种收敛发生在任何H^s空间中，并且这种收敛在时间上是指数快速的。我们还表明，所构造的多呼吸是唯一的，在两种情况下：在类的解决方案收敛到配置文件P比逆的多项式的足够大的程度在时间（我们将称之为一个超多项式收敛），或（没有假设的收敛速度），当所有的速度是积极的。
2022-08-04 math.AP
KAM for autonomous quasi-linear perturbations of mKdV
证明了mKdV方程的拟线性（也称为强非线性）自治Hamilton可微扰动的小振幅线性稳定拟周期解的Cantor族的存在性.证明是基于一个弱版本的Birkhoff标准形算法和非线性Nash-Moser迭代。通过伪微分算子技术和线性KAM约简方案，分析了迭代过程中每一步的线性化算子。
2015-08-09 math.AP
On the wellposedness of the defocusing mKdV equation below $L^{2}$
证明了圆上的重正化散焦mKdV方程在Fourier Lebesgue空间${\mathcal{F}\ell}^p$上对任意$2 < p < \infty$都是局部时$C^{0}$适定的.结果表明，散焦mKdV方程本身是不适定的这些空间，因为重整化相因子成为无穷大。证明是基于这样一个事实，即mKdV方程是一个可积的偏微分方程，其哈密顿量是在NLS族。一个关键的成分是一种新的方式表示的双无穷序列的频率的重整散焦mKdV方程，允许解析扩展到${\mathcal{F}\ell}^p$的任何$2 \le p < \infty$和推导渐近$n \to \pm \infty$。
2016-06-22 math.AP
Global solutions of quasi-linear Hamiltonian mKdV equation
本文研究拟线性哈密顿 mKdV 方程的初值问题，在初始数据光滑、局部化且很小的条件下，利用 bootstrap 论证、Sobolev 能量估计、色散估计以及时空共振方法和 Germain-Pusateri-Rousset 双线性估计，证明了全局时间解的存在性。
2023-05-28 math-ph math.AP math.MP
Dynamics of complex-valued modified KdV solitons with applications to the stability of breathers
本文研究了复值修正Korteweg-de Vries（mKdV）孤子的长时间动力学，这类孤子是由于在有限时间内爆破而被公认的。我们在正则性的H^1水平上建立稳定性，一致地远离每个爆破点。这些新的性质被用来证明mKdV呼吸子是H^1稳定的，改进了我们之前只证明了H^2稳定性的结果。证明的主要新成分是使用Bäcklund变换，该变换将mKdV方程的呼吸子、复值孤子和小实值解的行为联系起来。我们还证明了负能量呼吸子是渐近稳定的。由于我们没有使用任何依赖于逆散射变换的方法，因此我们的证明即使在粗糙扰动下也有效，只要有相应的局部适定性理论即可。
2014-06-05 math-ph math.AP math.MP
Long time asymptotics for the nonlocal mKdV equation with finite density initial data
本文考虑一类具有非零边界条件\begin{align*} &q_t(x,t)-6σq(x,t)q(-x,-t)q_{x}(x,t)+q_{xxx}(x,t)=0, &q(x,0)=q_{0}(x),\lim_{x\to \pm\infty} q_{0}(x)=q_{\pm}, \end{align*}的可积实非局部mKdV方程的Cauchy问题，其中$|q_{\pm}|=1$和$q_{+}=δq_{-}$，$σδ=-1$ .基于Lax对的谱分析，将非局部mKdV方程的Cauchy问题的解表示为Riemann-Hilbert问题.在固定的时空孤子区域$-6<x/t<6$中，我们应用$\bar{\partial}$ -最速下降法分析了解$q(x,t)$的长时间渐近行为。我们发现$q(x,t)$的长时间渐近行为可以用离散谱上的$N(Λ)$ -孤子和连续谱上的首阶项$\mathcal{O}(t^{-1/2})$来表征，直到剩余误差阶数为$\mathcal{O}(t^{-1})$ .
2021-11-12 math-ph math.AP math.MP
Asymptotics, frequency modulation, and low regularity ill-posedness for canonical defocusing equations
在最近的一篇论文中，Kenig，Ponce和Vega研究了聚焦非线性薛定谔（NLS），聚焦修正Korteweg-de Vries（mKdV）和复杂Korteweg-de Vries（KdV）方程的低正则性行为。使用孤立子和呼吸器的解决方案，他们证明了缺乏当地的适定性，这些方程低于各自的端点？在本文中，我们研究这些方程的散焦类似物，即散焦NLS，散焦mKdV，和真正的KdV，都在一个空间维度，合适的孤子和呼吸解决方案是不可用的。我们为每个这些方程类的修改后的散射解决方案，存在于全球的时间，是渐近的解决方案，相应的线性方程明确的相移。这些解决方案是用来证明缺乏当地的适定性在某些索伯列夫空间，在这个意义上说，依赖于初始数据的解决方案未能一致连续。特别是，我们表明，mKdV流是不一致连续的$L^2$拓扑结构，尽管存在全局弱解在这个规律。最后，我们研究了KdV方程在端点正则性$H^{-3/4}$，并构造了实KdV方程和复KdV方程的解。该构造提供了一个非平凡的时间区间$[-T,T]$和一个局部Lipschitz连续映射，该映射将$H^{-3/4}$中的初始数据取为对所有光滑数据唯一定义的分布解（$u \in C^0 ([-T,T]; $ H^{-3/4}）。证明使用广义Miura变换转移现有的端点正则性理论mKdV KdV。
2004-07-29 math.AP
Soliton resolution for the modified KdV equation
在某些加权索伯列夫空间中，对初始条件建立了聚焦修正Korteweg-de vries（mKdV）方程的孤子解.我们的方法是基于非线性最速下降法及其通过$\bar{\partial}$ -衍生物的重新制定。从不动点的观点出发，对任意固定的$ \textrm{v} $，给出了精确的沿轨迹$x=\textrm{v}t$的渐近公式.为了将渐近性扩展到低正则性空间中的初始数据的解，我们通过PDE技术应用全局逼近。作为长时间渐近性的副产品，我们还得到了包含孤子和呼吸子的非线性结构的渐近稳定性。
2019-10-09 math.AP
Data-driven discoveries of Bäcklund transforms and soliton evolution equations via deep neural network learning schemes
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京雁栖湖应用数学研究院）；Tsinghua University（清华大学）
提出两种深度学习方案，分别用于数据驱动学习 Bäcklund 与 Miura 变换，并借助高阶孤子信息提升 mKdV 和 sine-Gordon 方程发现精度。
2022-03-21 cs.LG math.AP nlin.PS
Multisolitons for the cubic NLS in 1-d and their stability
对于一维空间中的三次非线性薛定谔方程（NLS）和修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程，我们考虑了纯$N$孤子态的集合${\bf M}_N$及其相应的多孤子解.我们证明了（i）集合${\bf M}_N$是一致光滑流形，（ii）对于每个$s>-\frac12$，${\bf M}_N$态在$H^s$中是一致稳定的.在我们的分析中的一个主要工具是一个迭代的Backlund变换，它允许我们非线性地添加一个多孤子到现有的孤子自由状态（孤子添加地图）或替代地删除一个多孤子从多孤子状态（孤子删除地图）。这些映射的性质和正则性得到了广泛的研究。
2020-08-31 math.AP
Matrix solitons solutions of the modified Korteweg-de Vries equation
考虑非线性非阿贝尔Korteweg-de Vries（KdV）方程和修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程及其通过Baecklund变换的联系。重点讨论了矩阵修正的Korteweg-de Vries方程的孤子解的构造。矩阵方程可以被看作是有限维情况下的算子方程的特殊化，当算子是有限维的，因此，允许矩阵表示。Baecklund变换允许揭示结构性质[S. Carillo和C. Schiebold，J.Math.Phys.50（2009），073510]中所描述的方法，例如递归算子的存在性。简要回顾了算子方法，旨在展示如何应用它们来构造孤立子解。这些方法，结合Baecklund变换，允许获得矩阵孤子方程的解决方案。显式求解公式[C. Schiebold，Glasgow Math.J.51，147-155（2009）]，[S. Carillo和C. Schiebold，J.Math.Phys.52（2011），053507]用于获得2 × 2和3 × 3矩阵mKdV解。其中一些矩阵解被可视化以显示它们所表现出的孤子行为
2019-06-12 math-ph math.AP math.MP
Rogue periodic waves of the mKdV equation
在聚焦情况下考虑了修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程的周期行波。利用一重和二重达布变换，我们构造了mKdV方程的分别用雅可比椭圆函数dn和cn表示的反常周期波.流氓dn-周期波描述了一个代数衰减孤子在dn-周期波上的传播，后者相对于长波扰动是调制稳定的。无赖cn-周期波表示cn-周期波相对于长波扰动的调制不稳定性的结果，并且用作与非线性薛定谔方程（NLS）的无赖波相同的目的，其中它由有理函数表示。我们计算的放大因子的CN-周期波的mKdV方程，并表明，它仍然是相同的小振幅NLS限制的所有振幅。作为我们的工作的副产品，我们发现明确的表达式的AKNS谱问题的DN-和CN-周期波的mKdV方程的周期本征函数。
2017-10-03 math-ph math.AP math.MP
Bright and dark breathers on an elliptic wave in the defocusing mKdV equation
McMaster University（麦克马斯特大学）；University of Alabama at Birmingham（阿拉巴马大学伯明翰分校）
本文通过构造椭圆波背景下的新型特征函数，解决了反聚焦mKdV方程中构造明亮和黑暗呼吸子的开放性问题。
2025-12-23 math-ph math.AP math.CA
On the inelastic 2-soliton collision for gKdV equations with general nonlinearity
本文研究了广义Korteweg-de Vries方程的2-孤子碰撞问题，完成了Y. Martel和F.莫尔我们分类的非线性碰撞是弹性的或非弹性的。我们的主要结果表明，在小孤子的情况下，与一个孤子小于另一个，唯一的非线性允许一个完美的弹性碰撞正是可积的情况下，即二次（KdV），三次（mKdV）和加德纳非线性。
2009-10-26 math-ph math.AP math.MP
A unified inverse scattering transform and soliton solutions of the nonlocal modified KdV equation with non-zero boundary conditions
我们提出了一个严格的理论，一个统一的和简单的逆散射变换（IST）的聚焦和散焦实非局部（逆时空）修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程与非零边界条件（NZBC）在无穷远。具有NZBC的非局部方程的IST问题比具有NZBC的局部方程的IST问题复杂。引入适当的一致化变量，使正、反问题建立在复平面上，而不是建立在两层黎曼曲面上。直接散射问题建立了Jost解和散射矩阵的解析性、对称性和渐近行为，以及离散谱的性质。逆问题通过矩阵值Riemann-Hilbert问题来制定和求解。得到了重构公式、迹公式和θ条件。最后，详细分析了四种不同情况下无反射势下聚焦和散焦非局域mKdV方程中孤子的动力学行为。
2019-03-21 math-ph math.AP math.MP
Dark breathers on a snoidal wave background in the defocusing MKDV equation
本研究针对散焦修正Korteweg-de Vries方程，借助含雅可比θ函数表示Lax本征函数的达布变换得到暗呼吸子精确解，分析其传播与局域特性，为非线性波相互作用研究提供新解析结果。
2023-12-14 math-ph math.AP math.DS
Asymptotic stability of smooth solitons and multi-solitons for the Camassa--Holm equation
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；Tsinghua University（清华大学）；University of Texas at Arlington（德克萨斯大学阿灵顿分校）；Foshan University（佛山大学）
本文研究了 Camassa-Holm 方程中光滑单溶iton 和多溶iton 的渐进行为，通过谱解析和非线性刚性定理证明了其稳定性。
2026-01-25 math.AP
Dynamics of KdV solitons in the presence of a slowly varying potential
本文研究了扰动KdV（pKdV）方程$\partial_t u = -\partial_x (\partial_x^2 u + 3u^2-bu)$解的孤子动力学，其中$b(x,t) = b_0(hx,ht)$，$h\ll 1$是一个缓变但不小的势.我们选择了一个明确的描述的孤子参数的轨道的规模和位置上的动态相关的时间尺度$δh^{-1}\log h^{-1}$，连同尺寸误差的估计$h^{1/2}$。除了通常应用于这些问题的李雅普诺夫分析外，我们还使用了Martel-Merle（2005）的局部维里估计。结果得到了数值的支持。该证明不依赖于逆散射机制，并有望对$L^2$亚临界gKdV- $p$方程$1<p<5$进行。$p=3$的情况，即修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程，在结构上更简单，并且可以通过Holmer-Zworski（2007）的方法获得更精确的结果。
2010-12-31 math-ph math.AP math.MP
Effective dynamics for $N$-solitons of the Gross-Pitaevskii equation
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
研究在缓慢变化外场中多个孤子的有效动力学，证明将哈密顿量限制在$N$-孤子流形上得到的有效动力学与实际孤子动力学误差为$h^2$量级，并推广到多孤子相互作用。
2010-10-01 cs.NA math.AP math.NA
Soliton versus the gas: Fredholm determinants, analysis, and the rapid oscillations behind the kinetic equation
该研究分析稠密mKdV孤子气体中单个试探孤子的大时间行为，用Fredholm行列式和Riemann-Hilbert问题表示解，分解为背景气体与孤子之和，推导相移并发现孤子峰振荡速度满足动力学方程。
2023-05-14 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear stability of vector multi-solitons in coupled NLS and modified KdV equations
该研究证明耦合NLS和修正KdV方程的多孤子（含呼吸子）在特定Sobolev空间中非线性稳定，并给出Lyapunov泛函负特征值个数，方法基于可积性，同时推广至经典方程及李代数框架。
2025-10-14 math-ph math.AP math.MP
On the long time asymptotic behavior of the modified Korteweg de Vries equation with step-like initial data
本文研究了修正Korteweg de Vries方程（MKDV）$q_t+6q^2q_x+q_{xxx}=0$的解$q(x,t) $的长时间渐近性态，其初始值为q（x，t=0）->c_-（x->-无穷大）和q（x，t=0）->c_+（x-> +无穷大）.对于精确的激波初始数据q（x，t=0）=c_-（x<0）和q（x，t=0）=c_+（x>0），解发展出一个称为色散激波的振荡区，它连接两个常数区c_+和c_-。我们表明，色散冲击波所描述的调制周期行波解的MKDV方程的调制参数演变根据Whitham调制方程。振荡区域在$（x，t）平面的圆锥内扩展，定义为-6 c_{-} ^2+12 c_{+} ^2<x/t<4 c_{-} ^2+2 c_{+} ^2，t \gg 1。对于阶跃型的初始数据，我们证明了解在三个主要区域中长时间分解：-在恒定背景c_+上孤子和呼吸子以正速度传播的区域; -在可包含一般呼吸子的振荡区域中扩展的振荡区域; -在恒定背景c_-上以负速度传播的呼吸子区域。当振荡区域不包含呼吸器时，它与精确步骤初始数据获得的色散激波解相一致。相移与孤子、呼吸子和初始数据的辐射有关。这表明色散激波是一种相干结构，它与孤子、呼吸子和辐射以弹性方式相互作用。
2021-03-21 math-ph math.AP math.MP
Periodic travelling waves of the modified KdV equation and rogue waves on the periodic background
我们解决最一般的周期性行波的修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程写为雅可比椭圆函数的有理函数。通过应用代数方法，其中涉及的周期行波和平方周期本征函数的Lax运营商，我们明确的特征的位置特征的周期谱问题远离虚轴。我们证明了具有周期本征函数的达布变换仍属于mKdV方程的相同周期行波类。在一般情况下，离虚轴正好有三对对称的特征值，对于相同的特征值，我们给出了Lax方程第二非周期解的一种新表示.我们发现，达布变换的非周期解的Lax方程产生流氓波的周期背景下，这是从无穷远带来的传播代数孤子或形成在有限区域的时间-空间平面。
2018-08-08 math-ph math.AP math.CA
Hamiltonian operators and l*-coverings
描述了一种构造非线性发展方程哈密顿结构的有效方法。它是基于变分Schouten括号和l* 覆盖的概念。后者在非线性演化偏微分方程范畴中充当余切丛的角色。我们首先考虑两个说明性的例子（KdV方程和Boussinesq系统），并为他们重建已知的哈密顿结构，我们的方法。对于耦合的KdV-mKdV系统，找到了一个新的Hamilton结构，并证明了它的唯一性（在多项式（x，t）-无关结构类中）.我们还构造了该系统的非局部哈密顿结构，并证明了它与局部哈密顿结构的相容性。
2010-04-08 hep-th math-ph math.AP
