Integrability of potentials of degree $k \neq \pm 2$. Second order variational equations between Kolchin solvability and Abelianity
在我们以前的论文：可积齐次潜力的程度$k = \pm 2$。作为高阶变分方程的一个应用，我们试图从某些Hamilton系统的特解中提取出高阶变分方程（$p >1 $的${VE}_p$）的某些特殊结构.然后利用它们得到了$k = \pm 2$次势的自然哈密顿量的可积性的新的伽罗瓦障碍。在本工作中，我们应用的结果，以前的文件，互补的情况下，当度的潜力是相对整数$k$，与$|k| >2$。由于这些情况是更一般和复杂的，我们减少我们的研究，只有第二个变分方程${VE}_2$。
2013-03-23 math.DS nlin.SI
Darboux Points and Integrability Analysis of Hamiltonian Systems with Homogeneous Rational Potentials
研究了具有齐次有理位势$V(\vq)$的自然Hamilton系统在Liouville意义下的可积性。通过对微分Galois变分方程组沿某些特解的分析，得到了这类系统可积的强必要条件。这些条件具有对在方程$\grad V(\vd)=\vd$的非零解$\vd$处计算的Hessian $V"(\vd)$的特征值的算术限制的形式。这样的解称为真达布点。最近证明了对于一般多项式齐次位势，位势在所有真达布点上的Hessian特征值之间存在着普遍的关系。关于理性势的这种关系是否存在的问题似乎很难回答。这一现象的原因之一是势及其梯度的不定点的存在。然而，对于两个自由度，我们证明了这种关系存在。这一结果是重要的，因为它允许表明，一组容许值的特征值的海森在适当的达布点的潜力满足必要条件的可积性是有限的。反过来，它提供了一个工具，可积有理势的分类。此外，最近，有人提出，对于多项式齐次势，可积性的附加必要条件可以从不适当的达布点的存在中推导出来，即，点$\vd$，它们是方程$\grad V(\vd)=\vzero$的非零解。这些新的条件也有强加在$V"(\vd)$的特征值的算术限制的形式。本文证明了对于有理位势，非正常达布点给出了同样的可积性必要条件。
2012-05-20 math-ph math.DS math.MP
Jordan obstruction to the integrability of Hamiltonian systems with homogeneous potentials
本文考虑自然复哈密顿系统的齐次位势为$k\in\Z^\star$的$V(q)$，$q\in\C^n$. Morales和Ramis的已知结果给出了这类系统完全可积的必要条件。这些条件用在非零点$c\in\C^n$处计算的黑塞矩阵$V"(c)$的特征值来表示，使得$V'(c)=c$。本文的主要目的是表明，如果矩阵$V"(c)$是不可对角化的，则会出现可积性的其他障碍。我们证明，除其他事项外，如果$V"(c)$包含一个约旦块的大小大于2，那么系统是不可积的刘维尔意义。主要成分在证明这一结果包括翻译的一些想法克罗内克约阿贝尔扩展数域的框架内微分伽罗瓦论。
2009-02-05 math.DS math.SG
Non integrability of a self-gravitating Riemann liquid ellipsoid
我们证明了无角动量的均匀液体的三轴Riemann椭球的运动不具有附加的首次积分，该第一积分在位置、冲量和出现在势中的椭圆函数上是亚纯的，因此是不可积的。我们还证明了这个系统即使在一个固定的能级超曲面上也是不可积的。
2018-02-03 math.DS nlin.SI
A note on the integrability of exceptional potentials via polynomial bi-homogeneous potentials
本文研究了二维Hamilton系统的多项式可积性，该系统是由具有$α\in\mathbb{C}$和$l=0,1,\dots, k$的$V_{k,l}=α(q_2-i q_1)^l (q_2+iq_1)^{k-l}$型$k$次复齐次多项式势（称为例外势）构成的. Hietarinta \cite{Hietarinta1983}证明了具有$l=0,1,k-1,k$和$l=k/2$的势对$k$是多项式可积的.我们提出了一个基本的证明，这一事实的背景下，多项式双齐次的潜力，介绍了Combot等人。\cite{Combot2020}。此外，我们利用这一事实，我们可以交换指数，以获得一个额外的第一积分为$V_{7,5}$，未知的。本文最后对$l=k/2$进行了伽罗瓦分析。
2021-12-09 math-ph math.DS math.MP
Differential Galois obstructions for integrability of homogeneous Newton equations
本文给出了牛顿方程组$\ddot \vq=-\vF(\vq)$在Jacobi意义下可积的必要条件，其中$\vq\in\C^n$和$\vF$的所有分支都是多项式的，且是同次齐次的$l$ .这些条件是从分析微分伽罗瓦群的变分方程沿特殊的特殊解决方案的牛顿方程。我们表明，采取所有允许的特殊解决方案，我们大大限制了一套牛顿方程满足必要条件的可积性。此外，我们应用所获得的条件对具有两个自由度的牛顿方程进行详细分析（即，$n=2$）。我们证明了强度与$°F_i =l< 4$分析一般情况下得到的结果。对于$l=3$，我们发现了一个可积的情况下，牛顿方程有两个多项式的第一次积分，他们都是四次的动量$p_1=\dot q_1$，和$p_2=\dot q_2$。此外，对于任意的$k$，我们发现了一族牛顿方程依赖于一个参数$λ$。对于$λ$的任意值，存在动量的二次第一积分。我们区分无穷多个值的$λ$的系统是可积或superintegrable与额外的多项式第一积分，似乎可以是一个任意高的程度相对于动量。
2007-01-29 math-ph math.DS math.MP
Integrability of Hamiltonian systems with homogeneous potentials of degrees $\pm 2$. An application of higher order variational equations
目前的工作是第一个系列的两篇论文，在其中我们分析了更高的变分方程与自然哈密顿系统，在他们试图给伽罗瓦阻碍其可积性。我们证明了$p\geq 2$的高阶变分方程$VE_{p}$，虽然它们很复杂，但具有非常特殊的代数结构.确切地说，如果$VE_{1}$实际上是阿贝尔的，那么它们是可解的，因为它们可以通过我们称之为\emph{second level integrals}的东西归纳地求解。然后我们给出了$VE_{p}$是虚阿贝尔的充要条件（见定理3.1）。然后，我们通过考虑它们沿达布点的$VE_{p}$，将上述应用于度为$k=\pm 2$的势。这是因为他们的$VE_{1}$并不妨碍可积性。在定理1.2中，我们证明了在非共振条件下，唯一的二次可积势是\emph{harmonic oscillator}。相反，对于2次势，沿达布点的所有$VE_{p}$实际上都是阿贝尔的（见定理1.3）。
2013-03-22 math.DS
Integrability and non integrability of some n body problems
证明了共线$3$和$4$体问题对任意正质量的不可积性。针对阻力情形，给出了$-1$次$3$维齐次势的强可积准则，并证明了这种情形不会出现在$4$体问题中.遵循同样的策略，我们提出了一个简单的证明不可积的平面$n$体问题。最后，我们给出了$n$体问题在某些不变向量空间中的可积情形。
2015-09-28 math.DS
Non integrability of the n body problem with non zero angular momentum
证明了旋转不变的-1次齐次位势的一个可积准则和一个部分可积准则。然后我们将其应用到亚纯不可积的证明的n体问题与牛顿相互作用的平面上的表面方程$(H,C)=(H_0,C_0)$与$(H_0,C_0) \neq (0,0)$其中C是角动量和H的能量，在n个质量是相等的情况下。
2011-12-08 math.DS
A note on the rational non-integrability of the $N$-center problem for almost all degrees of the singularities
本文证明 $N$ 中心问题在有理弱力和中力下，除有限多个奇点阶数 $α\in(0,2)\cap\mathbb{Q}$ 外均非有理可积，并识别剩余情形及其可积必要条件。
2024-10-03 math.DS
Legendre Functions and the Non-Integrability of a Hamiltonian System
Faculty of Mathematics and Informatics Sofia University “St. Kliment Ohridski”（索非亚大学“圣克利门特·奥赫里德斯基”数学与信息学院）
本文研究了一个二维Hamilton系统在六次齐次势场下的可微分可积性，通过Ziglin-Moralez-Ruiz-Ramis-Simo理论，将问题转化为线性微分方程的微分Galois群分析，利用Legendre方程简化了计算，并探讨了非零对数项的条件。
2026-06-08 math.DS
Integrability of planar polynomial differential systems through linear differential equations
本文考虑有理常微分方程dy/dx = Q（x，y）/P（x，y），其中Q（x，y）与P（x，y）互质多项式均为实系数.我们给出了一种构造这种类型的方程的方法，这种方程的首次积分可以由二阶齐次线性微分方程的两个独立的解表示。这个首次积分一般由一个非刘维尔函数给出。我们证明了所有已知的具有任意高次的不可约不变代数曲线且没有有理首次积分的二次系统族都可以用这种方法构造出来。我们还提出了一个新的例子，这种家庭。我们给出了一个类似的方法来构造有理方程，但借助于一阶线性微分方程。
2005-06-02 math.DS
Rational integrability of trigonometric polynomial potentials on the flat torus
我们考虑格点$\mathcal{L}\subset \mathbb{R}^n$和频率为$k\in\mathcal{L}$的三角势$V$。然后，我们证明了一个强的可积性条件$V$，利用其傅里叶变换的支持。然后，我们使用这个条件来证明一个真正的三角多项式潜力是可积的当且仅当它分离到旋转的坐标。去掉实条件，我们还对$2$和$3$维的可积势进行了分类，并恢复了几种可积情形。这些势在经过复变数变化后变为实势，对应于广义Toda可积势。此外，在证明过程中，对其中一些具有高次首次积分的积分进行了显式积分。
2017-02-05 math.DS
Dynamics and integrability of polynomial vector fields on the $n$-dimensional sphere
本文研究球面上多项式向量场的Hamilton性、不变低维球面与超平面界及完全可积性，并给出齐次情形的刻画。
2024-12-03 math.DS
Cartesian approach for constrained mechanical system with three degree of freedom
在力学史上，研究力学系统的观点主要有两种：牛顿学派和笛卡尔学派。根据笛卡尔的观点，机械系统的运动可以用$N$维位形空间$\textsc{Q}.$中的一阶微分方程来描述。本文发展了三自由度机械系统的笛卡尔方法。所得结果可用于讨论三维欧氏空间中曲面上的测地流的可积性，以及分析Suslov和Veselov情形下重刚体的可积性.
2009-02-16 math-ph math.DS math.MP
Non-integrability of some Hamiltonians with rational potentials
本文计算了两个自由度的经典哈密顿量族，其中围绕不变平面的法向变分方程属于具有多项式或三角势的Schroedinger型。利用Kovacic算法分析了Liouville意义下的正态变分方程的可积性。我们计算了具有多项式位势的Schroedinger型方程的所有伽罗瓦群。我们还介绍了代数化的方法，将超越系数的方程与有理系数的方程，基本上不改变Galoisian结构的方程。通过Morales-Ramis理论，我们得到了原哈密顿量的有理第一积分存在的伽罗瓦障碍。
2006-10-06 math-ph math.DS math.MP
Planar Semi-quasi Homogeneous Polynomial differential systems with a given degree
本文研究平面半拟齐次多项式微分系统（简称PSQHPDS），它可以看作是半齐次和拟齐次系统的推广。利用代数技巧，导出了PSQHPDS的几个重要性质，并利用这些性质建立了一个算法，以获得PSQHPDS在给定次数下的所有显式。然后，我们应用该算法研究了二次和三次PSQHPDS的中心问题。证明了二次方程无中心，三次方程有中心当且仅当它经过坐标的线性变换和时间的重新标度后可表示为$\dot{x}=x^2-y^3, \dot{y}=x$.
2018-06-04 math.DS
Homogeneous Convex Foliations of degree 6
本文研究复射影平面上的齐次凸叶状结构，利用射影对偶性关联叶状结构与对偶平面$d$-网，分类了具三个径向奇点的齐次凸叶状结构并完成6次凸齐次叶状结构分类。
2025-11-11 math.AG math.CV math.DS
Obstructions to Integrability of Nearly Integrable Dynamical Systems near Regular Level Sets
本文研究了Bogoyavlenskij意义下的可积系统扰动的实解析首次积分的存在性和实解析可积性，包括非Hamilton系统。特别地，我们假设在第一积分的正则水平集上存在一族周期轨道，且该水平集具有连通的紧分支，并给出了扰动系统中不存在与未扰动系统中相同数目的实解析首次积分以及它们的实解析第一积分不存在的充分条件。水平集附近的解析不可积性，使得首次积分和交换向量场解析地依赖于小参数。我们比较我们的结果与经典的庞加莱和Kozlov的结果写在行动和角度坐标系统，并讨论它们的关系与次调和和同宿Melnikov方法的周期扰动度的自由度哈密顿系统。我们说明我们的理论的三个例子包含周期性强迫Duffing振子。
2021-09-13 math-ph math.DS math.MP
Non-integrability and chaos for natural Hamiltonian systems with a random potential
考虑高斯随机势$\{V^L(q)\}_{L=1}^\infty$在$d$维环面上的系综，其中，本质上，$V^L(q)$是实值的$L$次三角多项式，其系数是独立的标准正态变量。我们的主要结果确保，概率趋于1的$L\to\infty$，动力系统与自然的哈密顿函数定义的随机潜力，$H^L:=\frac12|p|^2+ V^L(q)$，表现出一些混沌区域共存的正体积不变环面。特别地，这些系统通常既不能用非退化的首次积分积分，也不能遍历。对于任意紧黎曼流形的余切丛上的随机自然哈密顿系统，也给出了类似的结果。
2022-04-12 math-ph math.DS math.MP
