Lattès maps and combinatorial expansion
Qian Yin
拉提斯映射$f\colon \hat{\mathbb{C}}\rightarrow \hat{\mathbb{C}}$是一个有理映射，它是从一个共形环面自同态的有限商得到的。我们刻画了Lattès映射的组合扩张行为。
A Lattès map $f\colon \hat{\mathbb{C}}\rightarrow \hat{\mathbb{C}}$ is a rational map that is obtained from a finite quotient of a conformal torus endomorphism. We characterize Lattès maps by their combinatorial expansion behavior.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Combinatorial properties of Newton maps
本文构造了由复多项式的牛顿法产生的所有后临界有限有理映射的组合模型。这个模型是用在[LMS]给出一个组合分类的后临界有限牛顿映射的任何程度。
Combinatorial rigidity of multicritical maps
结合Kozlovski，Shen和van Strien构造的KSS套和Avila，Kahn，Lyubich和Shen提出的分析方法，证明了多临界映射的组合刚性.
A Combinatorial Classification of Postcritically Fixed Newton Maps
我们给出了一类多项式的后临界固定牛顿映射的组合分类，并指出了潜在的扩展。作为我们的主要工具，我们表明，对于一个大类的牛顿映射，其中包括所有的双曲型，每个组件的盆的一个吸引不动点可以连接到无穷大，通过一个有限的链这样的组件。
Renormalization for Lorenz maps of monotone combinatorial types
Lorenz映射是单位区间上的映射，其中有一个ρ>1阶的临界点，并且在该点处有一个间断。它们表现为几何洛伦兹流截面的叶的返回映射。我们构造了具有某些单调组合的可重正化Lorenz映射的实先验界，并利用这些界证明了可重正化的周期点的存在性，以及无穷可重正化Lorenz映射动力学的Cantor吸引子的存在性.
A Combinatorial Classification of Postsingularly Finite Complex Exponential Maps
我们给出了一个组合分类的postsingularly有限指数映射的外部地址开始的条目0。这是临界预周期多项式\cite{BFH}的分类结果的指数映射的一个推广。我们的证明依赖于最近在\cite{HSS}中给出的后奇异有限指数映射的拓扑刻画。我们的结果再次说明了组合学，拓扑学和复结构之间富有成效的相互作用，往往是成功的复杂动力学。
Dynamics of Siegel Rational Maps with Prescribed Combinatorics
本文将Thurston关于后临界有限有理映射的组合判据推广到一类具有有界Siegel圆盘的有理映射。这类Siegel有理映射的组合刻画在一般Siegel有理映射的研究中发挥着特殊的作用。作为应用之一，我们证明了对于任何具有有界型Siegel圆盘的二次有理映射，Siegel圆盘的边界是通过其中一个或两个临界点的拟圆.
A Combinatorial classification of postcritically fixed Newton maps
对多项式的后临界不动牛顿映射类作为动力系统给出了一个组合分类。这为更一般的牛顿映射分类结果奠定了基础。一个基本要素是证明，对于每个牛顿映射（后临界有限或非），吸引不动点的盆的每个连通分量都可以通过这样的分量的有限链连接到$\infty$。
Paper Fortune Tellers in the combinatorial dynamics of some generalized McMullen maps with both critical orbits bounded
本文针对广义McMullen映射族，揭示了新的动力学行为并给出组合模型，阐明了一类映射的Julia集同时包含无穷多二次Julia集同胚拷贝与经外射线着陆点修改得到的同胚子集。
Sharkovsky's Theorem and one-dimensional combinatorial dynamics
给出了Sharkovsky定理的一个证明。它示出了如何证明自然地推广到看地图上的图形和Sharkovsky型定理，这些地图。本文是写在一个初级水平，是作为一个一维组合动力学的介绍。
On Combinatorial Types of Periodic Orbits of the Map $x \mapsto kx$ (mod $\mathbb Z$)
研究了整数圆$k \geq 2$的标准覆盖自同态${\mathbf m}_k(x)=k x \ (\text{mod} \ {\mathbb Z})$的周期轨道的组合类型及其出现的频率.对置换群${\mathcal S}_q$中的任意$q$-圈$σ$，给出了实现$σ$的${\mathbf m}_k$的周期$q$轨道集的完整描述，特别是统计了有多少个这样的轨道.该描述是基于一个不变量称为“不动点分布”向量，并通过减少实现问题，找到一个相关的马尔可夫链的平稳状态。我们的结果推广了早期的工作的特殊情况下，$σ$是一个旋转周期，并可以被视为一个失踪的组合成分，正确理解复杂的多项式映射度$\geq 3$的动力学和它们的参数空间的结构。
A combinatorial model for reversible rational maps over finite fields
我们研究有限相空间动力系统的时间反演对称性，并将其应用于有限域上的双有理映射。对于具有单个反向对称族的多项式自同构，通用（即，本文证明了在大场极限下约化映象的归一化圈长存在一个分布函数R（x）=1-e^{-x}（1+x）。G. Roberts和F. Vivaldi，Nonlinearity 18（2005）2171-2192）。我们表明，这些统计量对应于两个随机对合的组成，有适当数量的不动点。这个模型也解释了实验观察，渐近地，几乎所有的周期是对称的，并且重复周期的发生概率由泊松定律决定。
A partial description of the parameter space of rational maps of degree two: Part 2
这继续研究二次有理映射族中动态变化的组合模型，重点关注其中一个临界点是周期性的那些变体。我们证明了非有理临界有限度二分支覆盖的一些一般性结果，最后确定了组合模型中有理映射的边界，从而完成了第一部分中结果的证明.
Combinatorial Hubbard trees for postcritically infinite unicritical polynomials and exponential maps
本文从外部角或揉序列出发，为临界值不逃逸的所有单临界多项式与指数映射构造正向不变的组合 Hubbard 树，将经典构造推广到无限临界轨道、Julia 集非道路连通及非复容许揉序列情形。
Uniform a priori bounds for neutral renormalization. Variation II: $ψ^\bullet$-ql Siegel maps
本研究将中性二次多项式的一致伪Siegel界推广至$ψ^\ullet$-类二次Siegel映射，证明Siegel盘退化在组合区间上等分布，精确刻画了该结构除过渡标度外各几何标度下的退化特征，且界可迁移至多类有理映射族。
On the dynamics of the combinatorial model of the real line
本文研究定义在实直线组合模型上的动力系统。我们证明了使用单值映射有没有周期为3的周期点，这与经典的和限制较少的设置。然后，我们使用Vietoris样的多值映射，以表明有更多的灵活性，至少在周期方面，在这个组合框架比通常的，因为我们不具有由Sharkovski定理给出的周期存在的条件。
Complex maps without invariant densities
考虑复多项式$f(z) = z^\ell+c_1$对$\ell \in 2\N$和$c_1 \in \R$，找到了$\ell$的一些组合类型和值，使得在朱利亚集上不存在等价于共形测度的不变概率测度.当$\ell$足够大时，这适用于特定的Fibonacci样和Feigenbaum组合类型，也适用于任何临界阶的一类“长分支”映射。
Thurston type Theorem for sub-hyperbolic rational maps
20世纪80年代，Thurston建立了后临界有限有理映射的组合刻画。这个准则随后由崔、江和沙利文推广到次双曲有理映射。本文的目的是提出一个新的，但更简单的证明这一结果，通过调整的Thurston定理的证明中的参数。
Expansivity properties and rigidity for non-recurrent exponential maps
我们证明了一个奇异值$c$是组合非递归和非逃逸的指数映射$f_c(z)=e^z+c$是唯一地由它的组合决定的，即它的动态射线一起着陆的模式。我们通过在指数家族中构建谜题和parapuzzles来做到这一点。证明了当奇异值为非回归时后奇异集的双曲性定理。最后，证明了当$c$在朱利亚集中时，后奇异集的有界性意味着组合非常返.
A class of Lattès maps with cellular structures
本文研究了一类具有细胞结构的Lattès映射，证明其为细胞Markov映射，并展示了其视觉度量与Riemannian距离的准symmetric等价性。
Bounded Geometry and Characterization of post-singularly Finite $(p,q)$-Exponential Maps
本文定义了平面上分支覆盖映射的拓扑类{$(p,q)$型\em拓扑指数映射}，记为$\TE_{p,q}$，其中$p\geq 0$和$q\geq 1$ .我们遵循\cite{Ji}中给出的框架来研究组合地表征整个映射$P e^{Q}$的问题，其中$P$是次数为$p$的多项式，$Q$是次数为$q$的多项式，使用由Thurston定义的{ \em迭代方案}和{ \em有界几何条件}。我们首先证明了具有有限后奇异集的元素$f \in {\TE}_{p,q}$组合等价于整映射$P e^{Q}$当且仅当它具有紧的有界几何。因此，为了完成刻画，我们只需要检查有界几何实际上蕴涵紧性。我们展示了一些$f\in \TE_{p,1}$，$p\geq 1$。本文的主要结果是：只有一个非零单断点$c$使得$c$是周期的或$c$和$f(c)$都不是周期的后奇异有限映射$f$在$\TE_{0,1}$中或后奇异有限映射$f$在$\TE_{p,1}$中，$p\geq 1$组合等价于形式为$e^{λz}$或形式为$ αz^{p}e^{λz}$的后奇异有限整映射，其中分别为$α=(-λ/p)^{p}e^{- λ(-p/λ)^{p}}$，当且仅当它具有有界几何。这是在这个方向上的第一个结果，一族超越全纯映射的临界点。
On Lattès Maps
对1918年Lattès论文的阐述，连同其历史渊源，以及其现代公式和应用。
Kneading sequences for toy models of Hénon maps
本文研究 Hénon 映射玩具模型中组合等价与拓扑共轭的关系，定义临界线的揉搓序列作为完全不变量，并推广 Singer 定理。
Classification of critically fixed anti-Thurston maps
该研究建立了Thurston理论的反向定向版本与反Thurston映射的典范分解，完成了临界不动反Thurston映射的完整组合分类，并给出了相关应用。
Bounded Geometry and Characterization of Some Transcendental Entire and Meromorphic Maps
定义了两类拓扑无限度覆盖映射，它们是以两类超越全纯映射为模型的。第一个，我们称之为$(p,q)$型指数映射，是分支覆盖，并以$P e^{Q}$形式的超越整映射为模型，其中$P$和$Q$是次数为$p$和$q$的多项式。第二类是具有两个渐近值的超越亚纯映射上的从平面到球面的具有两个去点的泛覆盖映射。我们解决的问题是给出包含在这些类的后奇异集是有限的全纯映射的组合特征。本文的主要结果是：一个$(0,1)$型的后奇异有限拓扑指数映射或一个$(p,1)$型的后奇异有限拓扑指数映射或一个从平面到球面的后奇异有限泛覆叠映射映射组合等价于一个全纯同型映射当且仅当该映射有界几何.
Origami, affine maps, and complex dynamics
我们研究了所谓的近欧几里德Thurston映射或NET映射的组合和动力学性质。这些映射是仿射双球面到自身的多对一折叠映射的扰动。NET映射和仿射映射之间的密切关系使得许多不变量的计算变得容易。除此之外，NET映射非常多样化，表现出许多不同的行为。我们讨论数据，发现和新现象。
On the Hyperbolicity of Lorenz Renormalization
考虑了具有实临界指数$α>1$的无穷可重正化Lorenz映射，其组合型单调且满足长返回条件.对于这些组合类型，我们证明了重整化算子的周期点的存在性，以及重整化极限集中的每个映射都有一个相关的非稳定流形。一个非稳定流形定义了一族Lorenz映射，并且证明了满足上述条件的每一个无穷可重正化组合型在这一族映射中都有唯一的代表.证明了无限可重整化映射不存在游荡区间，且其临界值的前向轨道的闭包是测度为零的Cantor吸引子。
Perturbations of flexible Lattès maps
我们证明了任何Lattès映射都可以用严格后临界有限有理映射来逼近，而这些有理映射不是Lattès映射。
Expansion properties for finite subdivision rules I
在Thurston映射（2-球面到自身的保持方向的后临界有限分支覆盖）中，那些作为有限细分规则的细分映射出现的映射形成了一个特殊的家族。对于这样的地图，我们调查之间的关系，各种概念的扩展-组合，动力学，代数，和粗几何。
Dynamical approximations of postsingularly finite entire maps
本文证明后奇异有限整函数可由后临界有限复多项式序列逼近且保持后奇异动力学共轭，并通过引入整 Thurston 映射的组合收敛概念，证明其诱导的拉回映射在 Teichmüller 空间上局部一致收敛。
On generalized Lattès maps
引入了一类有理函数$A:\,\mathbb C\mathbb P^1\rightarrow \mathbb C\mathbb P^1$，它可以看作是Lattès映射类的自然扩张，并从这类有理函数出发建立了函数的基本性质.
Tischler graphs of critically fixed rational maps and their applications
本文研究临界固定有理映射的 Tischler 图，证明其必连通，并据此建立映射共轭类与连通平面嵌入图同构类的一一对应，解决组合分类与全局曲线吸引子问题。
Invariant spanning trees for quadratic rational maps
研究了二次后临界有限分枝覆盖的Thurston等价类。对于这些映射，我们介绍和研究不变生成树。我们给出了一个计算过程中寻找不变的生成树。这个过程使用的是穿孔球面的基本群上的偏集。我们还介绍了一个新的组合不变量的Thurston类-常春藤图。
Symmetrization of Rational Maps: Arithmetic Properties and Families of Lattès Maps of $\mathbb P^k$
本文利用对称乘积构造$(\p^1)^k/\mathfrak{S}_k \cong \p^k$研究了$\p^k$的自同态的性质。对称积已经被用来产生具有某些特征的$\p^k$的自同态的例子，$k\geq2$。在本说明中，我们将讨论使用这些映射来启发参数空间中的稳定性现象。特别是，我们研究了$k$ -深后临界有限映射和表征家庭的Lattès映射。
Orbit Portraits of Unicritical Anti-polynomials
轨道画像是由Milnor引入的，作为一种组合工具来描述所有周期性动力学射线降落在二次多项式的周期循环上的模式。这对关于这些映射的动态和参数空间的信息进行编码。我们进行了类似的分析，单临界反多项式，并给出了明确的描述的轨道画像，可以发生这样的地图在其特征角，这原来是相当有限的情况下相比，全纯。最后，我们证明了这些组合对象的实现定理。在本文中得到的结果作为一个组合的基础，详细了解的组合和拓扑的参数空间的单临界反多项式和他们的连通性轨迹，称为多角。
A spectral theory for combinatorial dynamics
本文提出了一个框架的研究周期映射$T$从一个（通常是有限的）集$X$本身时，集$X$配备了一个或多个实或复值函数。其主要思想，从遍历论的时间演化算子建设的启发，是一个向量空间，包含给定的功能，是封闭的组合下与$T$，随着时间演化算子的向量空间。我证明了不变函数和0-mesic函数分别与特征值1和其他特征值相关的互补子空间。除了其他的例子，我给出了一个明确的描述的频谱的演变运营商时，$X$是一组$k$ -元素的多集与$\{0,1,\dots,n-1\}$中的元素，$T$增加每个元素的多集由1模$n$，和$g_i: X \rightarrow \mathbb{R}$（与$1 \leq i \leq k$）映射一个多集到它的$i$ th最小的元素。
Rigidity of Newton dynamics
本文研究了任意次多项式牛顿求根法所得到的有理映射的刚性。我们建立了这些映射的动力学刚性：牛顿映射的朱利亚集中的每个点要么是刚性的（即它的轨道可以在组合术语中与所有其他轨道区分开来），要么这个点的轨道最终落在原始映射的多项式限制的填充朱利亚集中。作为推论，我们证明了在许多非平凡情形下牛顿映射的朱利亚集是局部连通的，特别地，每一个不含Siegel点的三次牛顿映射都有局部连通的朱利亚集.在任意次Newton映射的参数空间中，我们得到了如下刚性结果：任意两个组合等价的Newton映射在其朱利亚集的邻域内是拟共形共轭的，只要它们不可重正化，或都“以相同的方式”重正化.我们的主要工具是由于Kozlovski，沉，范Strien复杂的盒子映射的概念，我们还扩展了这样的映射的动态刚性结果，以包括非理性的冷漠或renormalizable的情况。
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