Limit theorems for additive functionals of some self-similar Gaussian processes
本文研究了某些$d$维自相似Gaussian过程可加泛函的极限定理，适用于多种Brownian motions，通过矩方法和增强链式论证完成证明，并给出了强局部非确定性及分布函数由矩确定的充分条件。
2023-05-22 math.PR
Generalized dimensions of images of measures under Gaussian processes
本文证明了对某些高斯随机过程和场X：R^N到R^d，D_q（mu_X）= min{d，D_q（mu）/alpha} a.s.对于依赖于X的Holder性质和强局部非决定性的指标α，其中q>1，D_q表示广义q维数，其中mu_X是测度μ在X下的像.特别地，这适用于指数α分数布朗运动，分数Riesz-Bessel运动和某些无穷大尺度分数布朗运动。
2013-11-22 math.PR
From almost sure local regularity to almost sure Hausdorff dimension for Gaussian fields
随机过程的精细规律性通常用局部Hölder指数来局部度量，用分形维数来全局度量。根据Adler的工作，我们将这两个概念连接到多参数高斯随机场。更准确地说，我们证明了几乎肯定的Hausdorff维数的范围和图在任何球$B(t_0,ρ)$是有界的，从上面使用本地的Hölder指数在$t_0$。我们定义了高斯过程的确定性局部次指数，它允许获得这些维度的几乎必然下界。此外，开区间上的样本路径的豪斯多夫维数几乎肯定由局部指数的最小值控制。然后，我们将这些一般性结果应用到多参数分数布朗运动、正则函数$H$不规则的多参数分数布朗运动和豪斯多夫维数未知的广义Weierstrass函数的情形.
2012-06-04 math.PR
Hausdorff dimensions and Hitting probabilities for some general Gaussian processes
设$B$是$\mathbb{R}$上的一个$d$维高斯过程，其中的分量是$\mathbb{R}_+$上的一个标量高斯过程$B_0$的独立副本，具有给定的一般方差函数$γ^2(r)=\operatorname{Var}\left(B_0(r)\right)$和与$γ(t-s)$相称的规范度量$δ(t,s):=(\mathbb{E}\left(B_0(t)-B_0(s)\right)^2)^{1/2}$.我们给出了关于$γ$的一般条件，使得对于任何Borel集$E\subset [0,1]$，图像$B(E)$的Hausdorff维数是常数a.s.，我们明确这个常数。在对$γ\,$的一些温和假设下，我们根据$E\times F$的Hausdorff测度和容量，得到了$\mathbb{P}\left\{B(E)\cap F\neq \emptyset \right\}$的上下界.给出了$B(E)\cap F$和$E\cap B^{-1}(F)$的Hausdorff维数的本质上确界范数的一些上下界，它们是由$d$和相应的$E\times F$，$E$和$F$的豪斯多夫维数表示的.
2021-12-07 math.PR
Absolute continuity of finite-dimensional distributions of Hermite processes via Malliavin calculus
本文通过Malliavin微积分推广高斯情形下的三步方法，证明了非高斯Hermite过程有限维分布关于Lebesgue测度存在密度，主要贡献在于可推广的方法论。
2025-09-25 math.PR
Chung-type law of the iterated logarithm and exact moduli of continuity for a class of anisotropic Gaussian random fields
对于一类具有调和型整表示和强局部非决定性的各向异性高斯随机场，建立了Chung型重对数律和精确的局部一致连续模.与文献中已有的结果相比，我们的结果不需要对定常增量的假设，并提供了更精确的极限常数的上、下界.所得结果适用于一类分数色高斯噪声驱动的线性随机偏微分方程的解，包括随机热方程。
2021-08-25 math.PR
The Hausdorff dimension of multivariate operator-self-similar Gaussian random fields
设$\{X(t) : t \in \mathbb{R}^d \}$是一个多元算子自相似随机场，其值在$\mathbb{R}^m$中。在[24]中引入了这样的场，并且对于所有$c > 0$满足缩放性质$\{X(c^E t) : t \in \mathbb{R}^d \} \stackrel{\rm d}{=} \{c^D X(t) : t \in \mathbb{R}^d \}$，其中$E$是$d \times d$实矩阵，$D$是$m \times m$实矩阵。我们通过计算高斯情形下单位立方体$K = [0,1]^d$上轨迹的值域和图形的豪斯多夫维数解决了[24]中的一个公开问题。特别地，我们揭示了豪斯多夫维数由$E$和$D$的特征值的实部以及$E$的特征值的重数决定的性质.
2021-07-26 math.PR
On the uniform Besov regularity of local times of general processes
该研究引入α-局部非确定性条件，研究连续过程局部时的一致Besov正则性，推广Adler定理，得到经典高斯过程与非线性随机热方程组解及其局部时的最优Besov正则性结果。
2025-01-19 math.PR
Derivatives of local times for some Gaussian fields
本文考虑$(2,d)$ -Gaussian场\[ Z=\big\{ Z(t,s)= X^{H_1}_t -\widetilde{X}^{H_2}_s, s,t \ge 0\big\}, \]的局部时导数，其中$X^{H_1}$和$\widetilde{X}^{H_2}$是来自一类满足局部非确定性的$d$维中心Gaussian过程的两个独立过程.首先给出了局部时导数存在的一个条件。然后，在此条件下，我们证明了当地时间的导数是Hölder连续的时间和空间变量。此外，在一些额外的假设下，我们证明了这个条件也是必要的存在的导数的本地时间在原点。
2019-05-23 math.PR
Fractional derivatives of local times for some Gaussian processes
本文研究了满足强局部非确定性性质的高斯过程的局部时间分数导数，证明了其在时间和空间变量上的Hölder连续性及导数阶数的连续性。
2026-04-24 math.PR
Local times of anisotropic Gaussian random fields and stochastic heat equation
本文研究一类各向异性高斯随机场的局部时，利用Voronoi划分和Besicovitch覆盖定理建立矩估计与Hölder条件，进而推导样本路径性质，并应用于随机热方程，确定level sets的精确Hausdorff测度函数。
2025-01-23 math.PR
Hölder Conditions of Local Times and Exact Moduli of non-differentiability for Spherical Gaussian fields
本文研究了球面高斯随机场的局部时和不可微模。我们将研究高斯局部时的方法推广到球面情形。新的主要成分是最近在Lan et al（2018）中建立的强局部非决定性的性质。
2018-07-08 math.PR math.ST stat.TH
Sharp moduli of continuity for Gaussian fields and stochastic PDEs via correlation bounds
The Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳））
研究基于相关性界建立高斯随机场连续性模框架，不依赖强局部非确定性等条件。以此解决一类线性随机偏微分方程特定情形下连续性模的开放问题，通过新估计建立空间增量去相关性，还讨论了高斯Volterra过程例子。
2026-07-24 math.PR
Fractional Gaussian fields on the Sierpinski gasket and related fractals
定义并研究了具有Hausdorff测度$μ$的Sierpienski垫片$K$上具有Hurst参数$H$的分数阶高斯场$X$.它表现为方程$(-Δ)^s X =W$的弱解，其中$W$是$L_0^2(K,μ)$上的高斯白噪声，$Δ$是$K$和$s= \frac{d_h+2H}{2d_w}$上的拉普拉斯算子，其中$d_h$是$K$的Hausdorff维数，而$d_w$是其行走维数。这些领域的建设，然后扩展到其他分形，包括谢尔皮斯基地毯。
2020-03-09 math.PR
On convergence of volume of level sets of stationary smooth Gaussian fields
证明了光滑高斯场水平集的Hausdorff测度在水平收敛时的收敛性。给定两个耦合的平稳场$f_1, f_2$，利用场$F=f_1-f_2$的$C^2$ -涨落，估计了水平集的Hausdorff测度在期望中的差异.证明中的主要思想是使用发散定理将体积差表示为中曲率的积分。这种方法不同于以Kac-Rice型公式作为分析的主要工具。
2023-02-20 math.PR
Anisotropic Gaussian random fields: Criteria for hitting probabilities and applications
研究了具有由一类度规函数给出的正则伪度量的各向异性高斯随机场的击中概率。这就分别产生了容量和Hausdorff测度的一般概念的上界和下界，从而扩展了经典的Bessel-Riesz容量估计和$γ$维Hausdorff测度估计。我们应用的标准，线性随机偏微分方程驱动的时空噪声是分数的时间和白色或彩色的空间。
2021-01-05 math.PR
Hitting probabilities for general Gaussian processes
对于$\mathbb{R}_{+}$上的标量高斯过程$B$，具有规定的一般方差函数$γ^{2}\left(r\right) =\mathrm{Var}\left(B\left(r\right) \right) $和与$γ^{2}\left(t-s\right) $相称的规范度量$\mathrm{E}[\left(B\left(t\right) -B\left(s\right) \right) ^{2}]$，我们估计了$B$的$d$ iid拷贝的向量在$\mathbb{R}^{d}$中命中有界集合$A$的概率，其中对$γ$没有功率类型或近似自相似性的限制，仅假设$γ$是连续的，随着$γ\left(0\right) =0$和$γ^{\prime}\left(0+\right) =+\infty$的增加和凹进。我们确定最佳的基（核）函数，明确地依赖于$γ$，推导出相应的广义Hausdorff措施和$A$的非牛顿能力的命中概率的上限和下限。证明借用和扩展了最近的一些进展击中概率估计，包括Biermé，Lacaux，和Xiao \cite{Bierme:09}的两点局部非确定性的概念。
2014-03-07 math.PR
Strong local nondeterminism for stochastic time-fractional slow and fast diffusion equations
Auburn University（奥本大学）；The Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳））；Cardiff University（卡迪夫大学）
本文研究了随机时间分数慢扩散和快扩散方程的强局部非确定性，推导了存在随机场解的精确条件，并给出了时间与空间增量的方差界及非确定性结果。
2026-02-05 math-ph math.AP math.MP
Irregularity scales for Gaussian processes: Hausdorff dimensions and hitting probabilities
研究广义方差函数下高斯过程的像与图的Hausdorff维数及其命中概率，在弱正则条件下证明维数几乎必然为常数并给出显式表达，利用Karhunen-Loève展开处理高度不规则情形，并基于Hausdorff测度与Bessel-Riesz容量推导命中概率的上下界。
2023-07-31 math.PR
A Categorical Treatment of Open Linear Systems
该研究用范畴论形式化开放随机系统，以共偏概念建模信息缺失传播，研究对应Willems高斯线性系统的扩展高斯分布，关联范畴概率与控制理论思想。
2025-07-28 cs.LO math.CT math.PR
Gaussian Random Particles with Flexible Hausdorff Dimension
高斯粒子提供了一个灵活的框架，用于建模和模拟三维星形随机集。在我们的框架中，粒子的径向函数来自核平滑，并与球上的各向同性随机场。如果核是vonMises-Fisher密度，或均匀的球冠上，相关的随机场的相关函数承认一个封闭的形式表示。高斯粒子表面的豪斯多夫维数反映了原点处的相关函数的衰减，如通过分形指数量化的。在幂核下，我们得到边界为2到3之间的任意豪斯多夫维数的粒子。
2015-02-12 math.PR math.ST stat.AP
Thick Points of High-Dimensional Gaussian Free Fields
本文的目的是将已有的关于随机相关高斯自由场厚点的结果推广到更奇异的高斯随机场。具体地说，我们采用球平均正则化方法来研究二维以上的多项式关联高斯自由场。在这种设置下，我们引入厚点的定义，从理论上讲，是高斯自由场的值异常大的点。然后我们建立了关于包含厚点的集合的豪斯多夫维数的一个结果。
2015-12-22 math.PR
Steep Points of Gaussian Free Fields in Any Dimension
本文将高斯自由场（GFF）的经典厚点集的豪斯多夫维数的已有结果推广到更一般的例外集.本文采用圆或球平均正则化方法处理任意维奇异GFF，并引入了GFF的“$f-$陡点”的概念，给出了检验函数$f$的定义.粗略地说，GFF的一般元素的$f-$陡峭点是当由函数$f$加权时正则化的场元素的“陡峭度”或换句话说“变化率”变得异常大的位置。不同的选择$f$导致GFF的各种异常行为的研究。我们研究了由$f-$陡点组成的集合的豪斯多夫维数，从这个维数中我们可以恢复现有的关于对数相关和多项式相关GFF的厚点集的结果，并且在例外集上也得到了新的结果，据我们所知，这些例外集以前没有被研究过.我们的方法的灵感来自于用于研究经典的2D对数相关GFF的厚点集。
2018-02-08 math.PR
The conditional Gaussian multiplicative chaos structure underlying a critical continuum random polymer model on a diamond fractal
讨论了在豪斯多夫维数为2的菱形分形的有向路径空间$Γ$上，由随机测度族$\mathbf{M}_r$（标号为$r\in\mathbb{R}$）构成的高斯乘性混沌结构.这些随机连续路径措施的法律出现在一个关键的弱无序限制制度的离散定向聚合物的无序层次图。对于类似的亚临界连续介质聚合物模型，其中金刚石分形的豪斯多夫维数小于2，随机路径措施可以通过耦合到空间高斯白噪声被构造为亚临界GMC。这种结构在临界尺寸2中失败，在临界尺寸2中，形式上，需要对环境噪声的无限耦合强度来产生无序。然而，我们证明，有条件的GMC之间的相互关系的随机措施$(\mathbf{M}_r)_{r\in \mathbb{R}}$，这样的法律$\mathbf{M}_r$可以构建为一个亚临界GMC随机参考措施$\mathbf{M}_R$的任何选择$R\in (-\infty, r)$。一个类似的GMC结构将合理地保持一个临界连续（2+1）维定向聚合物模型。
2019-09-24 math.PR
Thick points for Gaussian free fields with different cut-offs
有质量和无质量的高斯自由场可以描述为由适当的函数空间索引的广义高斯过程。在这篇文章中，我们研究了各种方法来近似这些领域，并期待在分形特性的厚点的截止。在对数方差中心高斯过程的某些充分条件下，研究了其厚点集，并导出了厚点集的豪斯多夫维数.我们证明了高斯自由场的各种截止满足这些假设。我们还给出了比较不同截断点厚点的充分条件。
2015-02-10 math.PR
Thick points for a Gaussian Free Field in 4 dimensions
本文研究了四维高斯自由场厚点的分形维数。我们采用Chen和Jakobson（2012）引入的$\R^4$上的高斯自由场的定义，将其视为具有底层希尔伯特空间$H^2(\R^4)$的抽象Wiener空间。我们可以证明，对于$0\leq a \leq 4$，$a$ -高点集的豪斯多夫维数是$4-a$。我们还表明，厚点的集合给充分的质量，4维刘维尔量子引力措施。
2014-05-07 math.PR
Gaussian approximation for functionals of Gibbs particle processes
本文导出了平稳Gibbs粒子过程泛函的渐近性质。将欧几里得空间R^d点过程理论中的两个已知技巧推广到R^d上具有Hausdorff度量的紧集空间.首先，最近简化了具有给定条件强度的平稳Gibbs点过程存在的条件。其次，应用Malliavin-Stein演算估计Gibbs输入与标准高斯分布之间的Wasserstein距离。我们把这些理论的空间紧集，并使用它们来推导一个高斯近似的平面吉布斯段过程的泛函。
2018-01-25 math.PR
Liouville Brownian Motion and Thick Points of the Gaussian Free Field
我们找到了一个下界的豪斯多夫维数的刘维布朗运动花在$α$厚点的高斯自由场，其中$α$不一定等于所使用的参数的建设的几何。这完成了\cite{berestycki2013diffusion}中的一个猜想，其中给出了相应的上界。在证明的过程中，我们得到的（欧几里德）扩散指数，这强烈依赖于性质的起点的估计。对于刘维典型点，它是$1/(2 - \frac{γ^2}{2})$。特别地，对于$γ> \sqrt{2}$，路径是勒贝格-几乎处处可微的，几乎必然的。这提供了一个详细的描述刘维布朗运动的多重分形性质。
2014-12-04 math.PR
Macroscopic multi-fractality of Gaussian random fields and linear SPDEs with colored noise
本文考虑带广义高斯噪声的线性随机热波动方程，噪声在时间上是白噪声，在空间上是相关的。在齐次空间相关性$f$满足一定条件的前提下，我们证明了线性随机热波动方程的解在宏观尺度上具有高峰值，即宏观多重分形.我们计算了高斯随机场的宏观豪斯多夫维数的峰值与消失的相关性，然后将此结果的线性随机热和波动方程的解决方案。我们还研究了线性随机热波动方程的时空多重分形性。我们的结果是Khoshnevisan，Kim和Xiao \cite{KKX,KKX2}和Kim \cite{K}的推广，推广到更一般的一类线性随机偏微分方程和高斯随机场。
2021-01-23 math.PR
Multiple collisions of eigenvalues and singular values of matrix Gaussian field
该研究针对元素为独立高斯随机场的对称/厄米矩阵与矩形矩阵，分别推导了特征值过程、非平凡奇异值过程多重碰撞具正概率的充要条件，并通过Hausdorff维数刻画碰撞时刻集的规模。
2024-07-12 math.PR
Continuum models of directed polymers on disordered diamond fractals in the critical case
我们构建和研究了一个家庭随机连续聚合物措施$\mathbf{M}_{r}$相应的限制分拆函数法律最近派生的弱耦合制度的聚合物模型的层次图与边缘相关的障碍。连续统聚合物，我们称之为有向路径，被确定为等距嵌入的单位间隔$[0,1]$到一个紧凑的菱形分形豪斯多夫维数2，有一个自然的“均匀”的概率测度，$μ$，在空间上的有向路径，$Γ$。实现的随机路径措施$\mathbf{M}_{r}$表现出较强的本地化性能相比，他们的亚临界对应时，钻石分形维数小于2。然而，使用纯测度$μ$独立采样的两条路径$p,q\in Γ$仅具有与概率1的200多个交叉点，无序乘积测度$ \mathbf{M}_{r}\times \mathbf{M}_{r}$ a.s.将正权重分配给交集不可数但豪斯多夫维数为零的路径对$(p,q)$的集合。我们给出了一个更精细的表征这些零维集的大小使用广义（对数）Hausdorff措施。随机测度$\mathbf{M}_{r}$的定律不能被构造为亚临界高斯乘性混沌，因为在形式意义上，高斯场的耦合强度必须是无限的。
2021-11-21 math.PR
On the asymptotic of convex hulls of Gaussian fields
本文考虑一个高斯场$X = \{X_t, t \in T\}$，其值在定义于参数集$T$等于$R^m$或$Z^m.$上的Banach空间$B$中。假定$X_t$的分布$\cal P$与$t.$无关。我们考虑了闭凸包$$ W_n = \conv \{X_t, t \in T_n\} $$的渐近性态，其中$(T_n)$是$T$子集的递增序列。$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{b_n}\,W_n = {\cal E} $$（在Hausdorff距离的意义下），其中极限形状${\cal E}$是$\cal P.$的浓度椭球。还研究了数学期望$Ef(W_n),$的渐近行为，其中$f$是齐次函数。
2012-10-20 math.PR
Hitting probabilities for non-linear systems of stochastic waves
我们考虑一个$d$维随机场$u = \{u(t,x)\}$，它求解了空间维$k \in \{1,2,3\}$中随机波动方程的非线性系，该系统由时间上为白色的空间均匀高斯噪声驱动。我们主要考虑的情况下，空间协方差是由Riesz内核与指数$β$。使用Malliavin演算，我们建立的概率上界和下界的随机场访问$\IR^d$的确定性子集，在条款，分别为Hausdorff措施和牛顿容量的这一集。Hausdorff测度中出现的维数接近最优，并且表明当$d(2-β) > 2(k+1)$时，点对于$u$是极坐标的。相反，在低维$d$中，点不是极坐标。然而，有一段时间，点的极性问题仍然是开放的。
2013-10-01 math.PR
High-Dimensional Spectral Limits for Gaussian KL-Unbalanced Optimal Transport
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
该研究推导了高斯KL-UOT的高维随机矩阵极限，得到了脊乘积谱收敛、特征值极限等结果，为不平衡最优传输的高维分析提供了理论支撑。
2026-08-28 math.PR
Operator Scaling Stable Random Fields
一个标量值随机场称为算子标度，如果它满足自相似性质的某个矩阵E具有正的实部的特征值。利用E-齐次函数给出了稳定算子标度随机场的滑动平均和调和表示。这些场也有固定的增量，并且是随机连续的。在高斯的情况下，临界Hölder指数和Hausdorff维数的样本路径也得到了。
2006-02-28 math.PR
Weak exponential metrics for high-dimensional log-correlated Gaussian fields
本文研究了高维对数相关高斯场的弱γ-指数度量，证明了其子序列极限的存在性，并建立了该度量的一般性质，扩展了二维Liouville量子引力度量理论到更高维度。
2025-12-06 math.PR
Spectral Universality for Matrices with Non-Linear Correlated Entries
本文针对元素为独立同分布随机场非线性函数的矩阵，在指数衰减条件下建立了其谱与高斯矩阵及自由模型的非渐近谱比较，并给出了非交换Khintchine型界，适用于因果线性过程、Volterra过程和神经网络等场景。
2026-10-01 math.PR
Multiversion of the Hausdorff--Young inequality
本文研究相关联合高斯向量上经Mehler变换或噪声算子作用后的多函数不等式，统一推广实复超压缩性，并得到Hausdorff–Young等不等式的多函数版本及含噪Brascamp–Lieb刻画。
2025-06-10 math.CA math.CV math.FA
On support sets of the critical Liouville Quantum Gravity
本文研究了平面区域中与高斯自由场相关的临界Liouville量子引力（cLQG）支撑集的分形性质，完全刻画了使其具有有限Hausdorff测度的规范函数，并解决了cLQG支撑于Hausdorff维数消失集合上的猜想。
2024-06-04 math-ph math.MP math.PR
On a general Kac-Rice formula for the measure of a level set
本文针对随机场水平集的可求积性给出弱条件，并建立一般Kac-Rice公式计算其Hausdorff测度，推广至非高斯情形，涵盖多个应用实例。
2025-04-22 math.PR
KPZ in one dimensional random geometry of multiplicative cascades
本文证明了单位区间上的一个子集的豪斯多夫维数与同一集合的豪斯多夫维数关于区间上的一个随机路矩阵的关系式，该随机路矩阵是用乘法级联产生的.当产生级联的随机变量是高斯指数时，量子引力中著名的Knizhnik，Polyakov和Zamolodchikov的KPZ公式出现了。这说明的灵感来自最近的工作Duplantier和谢菲尔德证明了一个有点不同的版本的KPZ公式刘维引力。与刘维尔重力设置相比，一维乘法级联框架便于确定豪斯多夫维数，而不是一些预期的盒数维数。
2008-06-08 math-ph math.MP math.PR
Polar sets of anisotropic Gaussian random fields
本文研究各向异性高斯随机场的极集，即高斯随机场几乎必然不击中的极集。主要的假设是，协方差阵的特征值是有界的从下面和与高斯随机场的规范度量是由各向异性度量为主。我们推导出一个上界的命中概率，并得出结论，集与小豪斯多夫维数是极。此外，结果允许由一个随机场的高斯随机场，这是独立的高斯随机场和其样本函数是有界的Hölder范数的平移。
2012-08-03 math.PR math.ST stat.TH
KPZ formulas for the Liouville quantum gravity metric
设$γ\in (0,2)$，$h$为平面高斯自由场，$D_h$为相应的$γ$ -Liouville量子引力（LQG）度规.证明了对任意独立于$h$的随机Borel集$X \subset \mathbb{C}$，$X$关于欧氏度量和关于$γ$-LQG度量$D_h$的Hausdorff维数是a. s.由（几何）KPZ公式相关。作为推论，我们推导出连续$γ$ -LQG度量的Hausdorff维数等于Ding和Gwynne（2018）研究的指数$d_γ> 2$，它描述了$γ$ -LQG离散近似中的距离，如随机平面映射。当$X$和$h$不一定独立时，我们还推导出与$X$的欧几里得和$γ$-LQG维数相关的“最坏情况”界限，这回答了Aru（2015）提出的问题。利用这些界，我们得到了当$γ= \sqrt{8/3}$等于$1.312\dots$时$γ$ -LQG测地线的欧几里德Hausdorff维数的上界;以及$\sqrt{8/3}$ -LQG度量球的边界的连通分支的欧几里德Hausdorff维数的上界$1.9428\dots$.我们使用$γ$ -LQG度量的公理化定义，因此读者可以通过最少的背景知识来理解本文，这些知识超出了对高斯自由场的基本熟悉程度。
2019-12-28 math-ph math.MP math.PR
Polarity of points for Gaussian random fields in critical dimension
Purdue University（普渡大学）；The Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳））；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文研究了高斯随机场在临界维度中的点极性问题，通过特定条件证明了点极性的充分必要条件，扩展了Talagrand的覆盖论证以获得Hausdorff测度界。
2026-04-09 math.PR
Systems of stochastic Poisson equations: hitting probabilities
考虑$d$维随机场$u=(u(x), x\in D)$，它求解有界区域$D\subset \mathbb{R}^k$上的椭圆型随机方程组，该方程组具有加性白噪声和空间维数$k=1,2,3$ .证明了$u$的性质及其概率规律。对于高斯解，使用[Dalang and Sanz-Solé，2009]的结果，我们分别根据Hausdorff测度和Bessel-Riesz容量建立了命中概率的上界和下界。这依赖于对过程的正则距离的精确估计，或者等价地，依赖于拉普拉斯方程的格林函数的增量的$L^2$估计。
2017-08-22 math.PR
Thick points of the Gaussian free field
设$U\subseteq\mathbf{C}$是具有光滑边界的有界域，$F$是$U$上连续高斯自由场关于Dirichlet内积$\int_U\nabla f(x)\cdot \nabla g(x)\,dx$的实例. $a$的集合$T(a;U)$-$F$的厚点由那些$z\in U$组成，使得在以$z$为中心的半径为$r$的圆盘上的$F$的平均值具有作为$r\to 0$的增长$\sqrt{a/π}\log\frac{1}{r}$。我们表明，对于每个$0\leq a\leq2$的Hausdorff维数的$T(a;U)$几乎必然是$2-a$，即$ν_{2-a}(T(a;U))=\infty$当$0<a\leq2$和$ν_2(T(0;U))=ν_2(U)$几乎必然，其中$ν_α$是Hausdorff- $α$措施，和$T(a;U)$几乎必然是空的$a>2$。进一步证明了$T(a;U)$在适当的保角变换下是不变的.厚点的概念与Liouville量子引力测度有关，参数$γ$由Duplantier和Sheffield考虑的$Γ(dz)=e^{\sqrt{2π}γF(z)}\,dz$形式给出.
2010-10-02 math-ph math.MP math.PR
Martingale and analytic dimensions coincide under Gaussian heat kernel bounds
本文证明在满足高斯热核界的强局部狄利克雷型下，扩散过程的鞅维数与度量测度空间的 Cheeger 解析维数逐点一致，并将鞅维数的上界推广到 Hausdorff 维数。
2025-08-16 math.MG math.PR
An almost sure KPZ relation for SLE and Brownian motion
Duplantier、Miller和Sheffield的peanosphere结构提供了一种表示$γ$ -Liouville量子引力（LQG）表面$γ\in (0,2)$的方法，该表面用Schramm的SLE $_κ$、$κ= 16/γ^2 \in (4,\infty)$、$η$的空间填充形式装饰为一对树的胶合，这对树由相关的二维布朗运动$Z$编码。我们证明了一个KPZ型公式，它涉及的Hausdorff维数的任何Borel子集$A$的范围内的$η$，它可以被定义为一个函数的$η$（模时间参数化）的Hausdorff维数的相应的时间集$η^{-1}(A)$。这一结果有助于减少的Hausdorff维数的计算问题与SLE，CLE，或相关的过程在一个域的内部的一个特定的集合与布朗运动的Hausdorff维数的计算问题。对于许多自然的例子，相关的布朗运动集是众所周知的。作为推论，我们得到了新的证明的Hausdorff维数的SLE $_κ$曲线的$κ\not=4$;的双重点和切割点的SLE $_κ$的$κ>4$;和交叉的两个流线的高斯自由场。我们还获得了Hausdorff维数的集合$m$ -元组点的空间填充SLE $_κ$的$κ>4$和$m \geq 3$通过计算Hausdorff维数的所谓的$(m-2)$ -元组$π/2$ -锥时间的相关平面布朗运动。
2019-07-02 math-ph math.CV math.MP
Fluctuations for diameter and perimeter of convex hulls of multiple random walks
Institute of Mathematics, University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）；University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）；Department of Mathematical Sciences, Durham University（杜伦大学数学科学系）；Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）
研究多个独立平面随机游走生成凸包的直径和周长波动，基于Wald型定理开发$L^2$逼近框架，得出直径和周长的极限定理，恢复已知高斯情形并确定非高斯极限，还用更简单随机集给出凸包的$L^2$逼近。
2026-07-23 math.PR
Fractal dimension of critical Gaussian free field sign clusters
本文研究低维瞬态加权图上临界高斯自由场符号分形的宏观等价性，证明其尺度极限的豪斯多夫维数为 $1+d/2$，并给出二点穿越估计。
2026-10-05 math-ph math.MP math.PR
Concentration for the zero set of large random polynomial systems
针对含 Kostlan 与 Shub–Smale 模型的大型随机多项式系统，证明单位球面零点数或零点集 Hausdorff 测度随 N 增大围绕均值集中，且收敛对参数和 K 一致。
2024-05-18 math.PR
Local fields, Gaussian measures, and Brownian motions
这些是1992年在蒙特利尔的CRM上的一个课程的讲义。他们调查了作者试图找到和理解规范的概率实体在局部域（如p-adic）设置。我们提出了相关问题的答案：``什么是高斯措施的类似物？"和"布朗运动及其多参数相关运动的类似物是什么？在局部域的设置中有一个合适的正交性概念，人们可以模仿欧几里德高斯测度的经典抽象定义。由此产生的理论在某种意义上是一个L^ \infty而不是L ^2理论;因此，尽管与欧几里得的情况有许多相似之处，但也有一些显著的不同。局部场布朗运动是最自然的局部域高斯过程，它在一个局部域向量空间中取值，并由另一个局部域向量空间索引。刻画这样的过程的极集引导我们研究加性泛函或齐次随机测度的概念和相关的Riesz样位势论。我们研究当地的时间，表明他们可以恢复的经典的内在contractions使用膨胀和Hausdorff措施，并建立一个类似的特罗特定理。最后讨论了具有局部域高斯系数的随机序列。虽然我们表明，有广泛的类是平稳的随机系列，我们也发现，没有明显的对应物的代表性一般平稳高斯过程的圆作为一个随机傅里叶级数。
1998-03-11 math.FA math.PR
The first passage sets of the 2D Gaussian free field: convergence and isomorphisms
在前一篇文章中，我们介绍了二维连续高斯自由场（GFF）在连续连通区域上的常能级$-a$的第一通集（FPS）。非正式地，它是域中的点的集合，其可以通过GFF大于或等于$-a$的路径连接到边界。这个描述可以被看作是度量图GFF的FPS的定义，并且它证明了一维布朗运动与$-a$的首中时的类比。在本文中，我们证明了度量图FPS在Hausdorff度量下收敛于连续图FPS。这使我们能够表明，FPS的连续GFF可以表示为一个联盟的集群的布朗游览和布朗环，并证明布朗环汤集群承认一个非平凡的闵可夫斯基内容的规范$r\mapsto |\log r|^{1/2}r^2$。我们还表明，某些自然接口的度量图GFF收敛到SLE $_4$过程。
2018-05-23 math-ph math.MP math.PR
Dimension of two-valued sets via imaginary chaos
二值集是二维高斯自由场（GFF）的局部集合，其可以被认为表示域的所有点，这些点可以通过曲线连接到边界，在该曲线上GFF仅在[-a，b]中取值。二值集存在时，$a+b\geq 2λ$，其中$λ$显式依赖于GFF的规范化。证明了二值集$A_{-a,b}$的几乎几乎必然豪斯多夫维数等于$d=2-2λ^2/(a+b)^2$ .对于两点估计，我们使用的“顶点场”的实部从纯粹的虚数高斯乘性混沌。我们还构造了一个支持在$A_{-a,b}$上的非平凡$d$ -维测度，并讨论了它与$A_{-a,b}$的$d$ -维共形Minkowski容度的关系.
2019-10-21 math-ph math.MP math.PR
