Corrigendum to "On the divisibility of C(n-i-1,i-1) by i" [Int. J. Number Theory 3 (2007) 119]
Richard J. Mathar
修正了2007年Shevelev文章中某些整数n >= 54与整除类的关联。
Association of some integers n >= 54 to divisibility classes in the Shevelev article of 2007 is corrected.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Corrigendum to "Isomorphism classes of Drinfeld modules over finite fields"
本文修正了arXiv:2209.15033中定理5.4的错误，并用本文定理替换以完善定理B的证明。
Linear divisibility sequences and Salem numbers
我们研究线性整除序列的顺序4，提供了一个表征，通过他们的特征多项式，并找到他们的因式分解为产品的线性整除序列的顺序2。此外，我们发现了一个新的有趣的线性整除序列和Salem数之间的联系。具体地说，我们生成线性整除序列的顺序4通过塞勒姆数模1。
Non-classical linear divisibility sequences and cyclotomic polynomials
可除性序列由其元素在其索引进行整除时彼此整除的性质定义。也满足线性递归的整除序列，如斐波那契数，是由多项式生成的，该多项式将其组成除以每个正整数幂。利用标号Hasse图，我们完全刻画了这类多项式的分圆多项式，并在此基础上构造了新的整数整除序列.我们还表明，不同于斐波那契数，这些非经典序列不具有强整除性。
Divisibility properties of factors of the discriminant of generalized Fibonacci numbers
研究了由$G_0=0$，$G_1=1$和$G_n=pG_{n-1}+qG_{n-2}$定义的广义Fibonacci序列$(G_n)_{n\ge0}$的特征多项式的判别式因子对$n\ge2$的整除性质，其中$p,q$为给定整数.作为推论，我们给出了一些已知序列的整除性。
Index divisibility in the orbit of 0 for integral polynomials
令$f(x) \in \bbz[x]$并考虑索引整除集$D = \{n \in \bbn : n \mid f^n(0)\}$。我们提出了一些性质的$D$的情况下，$(f^n(0))_{n=1}^\infty$是一个刚性整除序列，推广了一些结果陈，Stange，和第一作者。然后，我们研究多项式$x^d + x^e + c \in \bbz[x]$，其中$d > e \ge 2$，并确定所有情况下，这个地图有一个有限的指数整除集。
On the greatest prime factor of some divisibility sequences
令$P(m)$表示$m$的最大素因子。对于整数$a>1$，M. Ram Murty和S. Wong证明了，在ABC猜想的假设下，对于任何$ε>0$，都有$$P(a^n-1)\gg_{ε, a} n^{2-ε}$$.我们研究了函数域$\mathbb{F}_q(t)$上相应的整除序列和有理域$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的整除序列的类似结果。
Characterization of the strong divisibility property for generalized Fibonacci polynomials
已知两个斐波那契数的最大公因数也是一个斐波那契数。它被称为强整除性。然而，该性质并不适用于每个二阶序列。本文研究了广义Fibonacci多项式，并根据其比内公式将其分为两类。对满足强整除性的多项式给出了一个完整的刻画。对于不满足强整除性的多项式，给出了计算其$\gcd$的公式。注.这篇论文发表在INTEGER上。
Notes on the divisibility of the class numbers of certain imaginary quadratic fields
本文构造了一类类数可被给定正整数整除的虚二次域无限族。
Norm Form Equations and Linear Divisibility Sequences
求范数型方程的整数解是一个经典的丢番图问题。利用相关的系数环的单位，我们可以产生这些方程的解的序列。已知这些解可以写成线性递归序列的元组。我们证明了，对于定义在四次域上的某些范数形式族，存在使任何一个固定坐标序列成为线性可除序列的积分等价形式。
Adelic Eisenstein classes and divisibility properties of Stickelberger elements
本文引入了Nori的Eisenstein上同调类及其整细化的adelic细化，用于建立与全实域Abel扩张相关的Stickelberger元素的新可整除性性质。
Gap distribution of Farey fractions under some divisibility constraints
对于一个固定的正整数d，我们证明了当Q趋于无穷大时，Q阶Farey分数集a/q的极限间隙分布测度的存在性，其中a不能被d整除，q分别与d互素.
A collage of results on the divisibility and indivisibility of class numbers of quadratic fields
本文综述了二次域类数可除性的近期结果，并探讨了Izuka猜想及其定量方面。
Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height
我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。
Divisibility of the class numbers of imaginary quadratic fields
对于给定的奇数$n>1$，我们给出了$\mathbb{Q}(\sqrt{x^2-t^n})$形式的虚二次数域族，其理想类群有一个子群同构于$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .
Elliptic Fermat numbers and elliptic divisibility sequence
对于椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和非扭点$P\in E(\mathbb{Q})$的一对$(E,P)$，\emph{elliptic Fermat numbers}的序列是通过取相应的椭圆整除序列$(D_{n})_{n\in\mathbb{N}}$中指数幂为2的项的乘积来定义的，即$D_{1}$，$D_{2}/D_{1}$，$D_{4}/D_{2}$等.椭圆费马数与经典的费马数，$F_{k}=2^{2^k}+1$有许多共同的性质.本文证明了对于放大椭圆Fermat序列，只有1000多项是素数。我们还定义了\emph{generalized elliptic Fermat numbers}采取的椭圆整除序列，对应于任何整数$m$的权力，并表明，许多经典的费马性质，包括互质性，秩序的普遍性和复合性，仍然持有。
Divisibility of class numbers of certain families of quadratic fields
本文构造了一类类数可被$3.$整除的二次域，主要工具是Kishi引入的三项式以及Kishi和Miyake对一类类数可被$3.$整除的二次域的参数化，最后计算了这类域的类数，并验证了我们的结果.
On the divisibility of the rank of appearance of a Lucas sequence
令$U = (U_n)_{n \geq 0}$是卢卡斯序列，并且对于每个素数$p$，令$ρ_U(p)$是$p$在$U$中出现的秩，即，无论何时$p$存在，都是使得$p$整除$U_k$的最小正整数$k$。此外，令$d$为奇数正整数。在一些温和的假设下，我们证明了一个关于素数$p \leq x$的个数的渐近公式，使得$d$整除$ρ_U(p)$，为$x \to +\infty$ .
On the divisibility of binomial coefficients
在Pacific J. Math. 292（2018），223-238中，Shareshian和Woodroofe询问是否对于每个正整数$n$都存在素数$p$和$q$，使得对于具有$1 \leq k \leq n-1$的所有整数$k$，二项式系数$\binom{n}{k}$可以被$p$或$q$中的至少一个整除。我们给出的条件下，一个数$n$有这个属性，并讨论了这个问题的一个变种，涉及两个以上的素数。证明了每个正整数$n$都有无穷多个具有此性质的倍数。
An extension of smooth numbers: multiple dense divisibility
本文推广光滑数概念，研究多重稠密可除数，并给出其计数在一致范围内的数量级估计。
Mean Divisibility of Multinomial coefficients
令m_1，.，m_s是正整数。考虑由多项式系数定义的序列：a_n= \binom{(m_1+m_2+... +m_s)n}{m_1 n, m_2 n,..., m_s n}。固定一个正整数k \ge 2.证明了存在正整数C（k）使得对所有正整数t，\frac{\prod_{n=1}^t a_{kn}}{\prod_{n=1}^t a_n} \in \frac 1{C（k）} \Z，当且仅当GCD（m_1，.，m_s）=1.
On divisibility of Hecke eigenvalues of Ikeda lifts
本文估计了Ikeda提升的Hecke特征值被固定正整数整除的素数密度，并研究了相关椭圆Hecke本征形式的傅里叶系数在算术级数中的分布。
On the sum of a prime and a square-free number with divisibility conditions
本文研究素数与无平方因子数之和，在施加整除条件时给出显式与渐近结果，并证明对特定范围的偶数 $k$，任何偶数 $n\geq 40$ 均可表示为素数与同 $k$ 互素的无平方因子数之和。
Subsequences and Divisibility by Powers of the Fibonacci Numbers
设$F_n$为第$n$个斐波那契数。设$m, n$为正整数。通过$G(1,n,m) = F^m_n$定义序列$(G(k,n,m))_{k\geq 1}$，并为所有$k\geq 1$定义序列$G(k+1,n,m) = F_{nG(k,n,m)}$。我们表明，$F_n^{k+m-1}\mid G(k,n,m)$的所有$k, m, n\in\mathbb N$。然后我们计算$\frac{G(k,n,m)}{F_n^{k+m-1}}\pmod{F_n}$。
On the simultaneous $3$-divisibility of class numbers of triples of imaginary quadratic fields
设$k \geq 1$是一个无立方整数，其中有$k \equiv 1 \pmod {9}$和$\gcd(k, 7\cdot 571)=1$。本文证明了虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，$\mathbb{Q}(\sqrt{d+1})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{d+k^2})$的无穷多个三元组与$d \in \mathbb{Z}$的存在性，使得每个三元组的类数都能被$3$整除.这肯定地回答了饭冢\cite{iizuka-jnt}猜想的一个较弱的版本。
Perfect powers in products of terms of elliptic divisibility sequences
涉及递归序列的丢番图问题有着悠久的历史，是数论中一个活跃的研究课题。本文将正整数方程$\gcd(m,d)=1$与域联系起来，其中$\ell\geq 2$是一个固定整数，$B=(B_n)_{n=1}^\infty$是椭圆整除序列，是一类重要的非线性递归函数.我们证明了上述方程只存在两个解。事实上，我们提出了一个算法，以找到所有可能的解决方案，提供了一套$\ell$次幂在$B$。(Note这个集合是有限的）。我们通过一个例子来说明我们的方法。
The Möbius function of the poset of triangular numbers under divisibility
本文研究了整除关系下三角形数偏序集上的默比乌斯函数，通过Hasse图和矩阵可视化分析其部分和与经典默比乌斯函数的异同，并提出了关于其渐近行为和上下界的新猜想。
The divisibility of a^n-b^n by powers of n
对于给定的整数a，b和j至少为1，我们确定整数n的集合，其中a^n-b^n可被n^j整除。对于j= 1，2，这个集合通常是无限的;我们明确地找到例外情况，其中a，b集合是有限的。对于j=2，我们使用Zsigmondy定理。当j至少为3且gcd（a，b）=1时，集合可能总是有限的;然而，这似乎很难证明。我们还证明，确定整数n的集合，其中a^n+b^n可被n^j整除，可以减少到上述集合。
Divisibility properties of the Fibonacci entry point
对于素数$p$，令$Z(p)$为最小正整数$n$，使得$p$整除$F_{n}$，即斐波那契序列中的第$n$项。Paul Bruckman和Peter Anderson在数值证据的基础上给出了素数$ζ(m)$的一个公式，其中$m | Z(p)$是素数$p$的密度。通过研究代数群$G : x^{2} - 5y^{2} = 1$并将$Z(p)$与$α= (3/2,1/2) \in G(\F_{p})$的阶联系起来，证明了Bruckman和Anderson猜想.然后，我们能够使用伽罗瓦理论和Chebotarev密度定理来计算$ζ(m)$。
A short note on the divisibility of class numbers of real quadratic fields
对于任何整数$l\geq 1$，令$p_1, p_2, \ldots, p_{l+2}$是不同的素数$\geq 5.$对于所有实数$X>1,$，我们令$N_{3,l}(X)$表示其绝对判别式$d_K\leq X$和$d_K$可被$(p_1\ldots p_{l+2})$整除的实二次域$K$的个数以及可被$2^{l}\cdot 3.$整除的$K$的类数$h_K$然后，在这篇短文中，通过遵循\cite{Byeonkoh}中的方法，我们证明了对于所有足够大的$X$，$N_{3,l}(X) \gg X^\frac{7}{8}$。
Explicit Prime Densities for Lucas Sequence Rank Divisibility
本文研究了Lucas序列中素数p的出现秩ρ_U(p)的Dirichlet密度，推导出闭式公式，完善了Sanna(2022)的工作，覆盖所有Lucas序列和所有d≥1的情况。
On the divisibility of class numbers and discriminants of imaginary quadratic fields
设$n$为无平方的正奇数。我们将证明存在无穷多个判别式可被$n$整除的虚二次数域，同时在类群中有一个$n$阶元素。然后我们应用我们的结果证明了对于一个给定的无平方正奇数$n$，存在无穷多个$N$使得$n$能除$N$和$r(N)$，其中$r(N)$是$N$作为三个平方和的表示数。
Divisibility of some binomial sums
利用$q$ -同余，证明了某些二项式和的整除性.例如，对于任意整数$ρ,n\geq 2$、$$\sum_{k=0}^{n-1}(4k+1) \binom{2k}{k}^ρ\cdot (-4)^{ρ(n-1-k)} \equiv 0\pmod{2^{ρ-2}n\binom{2n}{n}}.$$
On some divisibility properties of binomial sums
本文考虑两个特殊的二项式和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(20k^2+8k+1){\binom{2k}{k}}^5 (-4096)^{n-k-1} \end{align*}和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(120k^2+34k+3){\binom{2k}{k}}^4\binom{4k}{2k} 65536^{n-k-1}, \end{align*}，它们是由Guillera关于$\frac{1}{π^2}$的两个级数得到的.我们考虑了它们的整除性质，证明了对所有整数$n\geq 2$，它们都能被$2n^2 \binom{2n}{n}^2$整除.这些整除性质比He用WZ-方法证明了上述两个和可被$2n \binom{2n}{n}$整除的结果更强。
Divisibility rules for integers presented as permutations
该研究以阶乘进位制将整数表示为排列而非莱默码，给出了用阶乘进位数位计算两整数取模结果的公式，进而推导出多种整数整除性规则，为数论整除性研究提供了新的表示视角与推导工具。
Proof of some divisibility results on sums involving binomial coefficients
利用Rodriguez-Villegas-Mortenson超同余，我们证明了Sun最初提出的关于二项式系数和的四个超同余.我们还证实了郭的一个相关猜想的整数值多项式。
Notes on the Divisibility of Divisor Sums of Catalan Numbers
本文研究卡塔兰数的约数和函数σ(C_n)的可除性，建立6k-1型素因子条件与可除性判据，并用de Bruijn定理给出渐近估计，揭示其算术结构。
The sign of an elliptic divisibility sequence
椭圆整除序列（EDS）是由整数W_0，W_1，W_2，.由椭圆曲线的除法多项式满足的非线性递归产生。给出了无界非奇异椭圆可除序列W_n的符号公式。一个典型的情况是对于无理数实数b，Sign（W_n）=（-1）^[n*b]，其中[x]表示x中的最大整数。作为一个应用，我们表明，相关的序列的绝对值|W_1|，|W_2|，|W_3|，.不能实现为任何（抽象）动力系统的序列计数不动点。
Divisibility problems for function fields
我们调查三个组合问题认为埃尔德什，Rivat，Sarközy和Schön关于整除性的总和集和集合的移位产品的整数在功能领域的背景下。我们的结果在这个功能字段设置优于以前获得的整数的子集。这些改进依赖于最近由第一和第三命名的作者开发的用于稀疏模集的大筛子的版本。
On divisibility of sums of Apery polynomials
对任意正整数$m$和$α$，我们证明了$$\sum_{k=0}^{n-1}ε^k(2k+1)A_k^{(α)}(x)^m\equiv0\pmod{n}, $$，其中$ε\in\{1,-1\}$和$$ A_n^{(α)}(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^α\binom{n+k}{k}^αx^k.$$
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
Proof of a conjecture related to divisibility properties of binomial coefficients
设$a,b$和$n$是正整数，其中$a>b$。本文证明了$$(2bn+1)(2bn+3){2bn \choose bn}\bigg|3(a-b)(3a-b){2an \choose an}{an\choose bn}.$$，这证实了Amdeberhan和Moll最近的一个猜想.
Integral points, divisibility between values of polynomials and entire curves on surfaces
我们证明了一些新的退化结果的积分点和整个曲线的表面，特别是，我们提供了第一个例子，据我们所知，一个简单的连接光滑簇的积分点集从来没有Zurkiki稠密（没有整个曲线的Zurkiki稠密图像）。我们的一些结果与整除问题，即问题的描述积分点在平面上的一些给定的多项式的值在两个变量除以其他给定的多项式的值。
On the divisibility of sums of Fibonacci numbers
本文证明存在无穷多个奇数 $n$，使前 $n$ 个非零斐波那契数之和能被 $n$ 整除，从而解决 Fatehizadeh 与 Yaqubi 的猜想。
Some divisibility properties of binomial and q-binomial coefficients
首先证明了如果$a$有一个素因子不整除$b$，则有无穷多个正整数$n$使得$\binom {an+bn} {an}$不能被$bn+1$整除.这证实了Z. W.太阳此外，我们还给出了二项式系数的一些新的整除性质：例如，我们证明了对所有正整数$n$，$\binom {12n} {3n}$和$\binom {12n} {4n}$都可被$6n-1$整除，以及$\binom {330n} {88n}$可被$66n-1$整除。正如我们所示，后者的结果实际上是后果的整除和积极的结果，$q$ -二项式系数的同数的$q$ -整数，推广的积极的$q$ -Catalan数。并提出了几点相关建议。
Divisibility, Smoothness and Cryptographic Applications
本文讨论的是中等大小素数的乘积，通常被称为光滑数。光滑数在信息论、信号处理和密码学中起着至关重要的作用。我们提出了各种性质的光滑数有关其枚举，分布和出现在各种整数序列。然后，我们把我们的注意力转移到密码学的应用程序中，光滑的数字起着举足轻重的作用。
Divisibility of binomial coefficients by powers of two
对于非负整数$j$和$n$，令$Θ(j,n)$为帕斯卡三角形第$n$行中不能被$2^{j+1}$整除的条目数。本文证明了族$j\mapstoΘ(j,n)$通常服从正态分布。用于证明该定理的方法涉及计算$Θ(j,n)$的一阶和二阶矩，并使用复分析方法对多元生成函数进行渐近分析，建立在Drmota（1994）和Drmota，Kauers和Spiegelhofer（2016）的早期工作基础上。
Divisibility of certain $\ell$-regular partitions by $2$
对于正整数$\ell$，令$b_{\ell}(n)$表示非负整数$n$的$\ell$ -正则划分的数目。受Keith和Zanello最近一些理论的启发，我们建立了$b_3(n)$和$b_{21}(n)$的模$2$同余的无穷族.我们证明了Keith和Zanello关于$b_3(n)$模$2$的自相似性猜想的一个特例.接下来我们证明了序列$\sum_{n=0}^{\infty}b_9(2n+1)q^n$是缺模的任意幂的$2$。证明了级数$\sum_{n=0}^{\infty}b_9(4n)q^n$是缺模$2$ .
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
The Diophantine problem for addition and divisibility for rings of $S$-integers of quadratic imaginary extensions of $\mathbb{Q}$
本文证明对于 $\mathbb{Q}$ 的二次虚扩张的 $S$-整数环（$S$ 非空），加法与整除性的丢番图问题不可判定，与整数环情形（可判定）形成对比。
Divisibility by 2 and 3 of certain Stirling numbers
定义为min（nu_p（S（k，j）j！）的数e_p（k，n）：j >= n）在代数拓扑学中经常出现。这里S（k，j）是第二类Stirling数，nu_p（-）是p的指数.作者和孙文证明了：如果L足够大，则e_p（（p-1）p^L + n-1，n）>= n-1+nu_p（[n/p]！）.在本文中，我们确定了一组整数n的等式成立的这个不等式时，p=2和3。条件大致是，在n的以p为底的展开式中，两个连续数字的和必须总是小于p。
Divisibility results concerning truncated hypergeometric series
利用著名的Karlsson-Minton公式，主要建立了截断超几何级数的两个整除性结果.令$n>2$和$q>0$为整数，其中$2\mid n$或$2\nmid q$。我们证明了对于任何素数$p>\max\{n,(q-1)n+1\}$，$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(q-\frac{p}{n})_k^n}{(1)_k^n}\equiv0\pmod{p^3} $$和$$p^n\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(1)_k^n}{(\frac{p}{n}-q+2)_k^n}\equiv0\pmod{p^3}$$，其中$(x)_k$表示由$$ (x)_k=\begin{cases}1,\quad &k=0,\\ x(x+1)\cdots(x+k-1),\quad &k>0.\end{cases}$$定义的Pochhammer符号。令$n\geq4$是一个偶数。则对任何素数$p$与$p\equiv-1\pmod{n}$，上述第一个同余式暗示$$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{(\frac{1}{n})_k^n}{(1)_k^n}\equiv0\pmod{p^3}. $$这证实了郭文贵最近的一个猜想.
On divisibility concerning binomial coefficients
设k和n为正整数。主要证明了$$(ln+1) | k\binom{kn+ln}{kn},$$ $$2\binom{kn}n | \binom {2n}{n}C_{2n}^{(k-1)}$$，$$\binom{kn}n | (2k-1)C_n\binom{2kn}{2n},$$ $$\binom{2n}n | (k+1)C_n^{(k-1)}\binom{2kn}{kn},$$ $$2^{k-1}\binom{2n}{n} | \binom{2(2^k-1)n}{(2^k-1)n}C_n^{(2^k-2)},$$ $$(6n+1)\binom{5n}{n} | \binom{3n-1}{n-1}C_{3n}^{(4)},$$和$$\binom{3n}{n} | \binom{5n-1}{n-1}C_{5n}^{(2)},$$，其中C_n表示Catalan数$\binom{2n}{n}/(n+1)$，C_m^{（h）}表示h阶Catalan数$\binom{(h+1)m}{m}/(hm+1)$.
Divisibility by 2 of partial Stirling numbers
这里使用的部分Stirling数T_n（k）被定义为（n选i）i^k中i的奇数值之和。它们的2-指数nu（T_n（k））在代数拓扑学中是重要的.我们给出了许多适用于n的所有值的具体结果，即对某个模2 ^t的同余类中的所有k，nu（T_n（k））= nu（k-k 0）+c 0，其中k 0是2-adic整数，c 0是正整数.我们的分析涉及到nu（sum（n choose 2 i +1）i^j）的几个新的一般性结果，其证明涉及到一个新的多项式族。在Clarke之后，我们将T_n解释为关于2-adic整数的函数，并且上述2-adic整数k 0作为这些函数的零。
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