Spectral sequences of operad algebras
K. Bauer, L. Scull
我们确定的条件下，它是保证一个操作数的$E^2$页的谱序列传递到$E^r$的$r\ge 2$，因此到$E^\infty$页。我们认为这个问题在纯代数和拓扑设置。
We identify conditions under which it is guaranteed that an action of an operad on the $E^2$ page of a spectral sequence passes to $E^r$ for $r\ge 2$ and hence to the $E^\infty$ page. We consider this question in both the purely algebraic and topological settings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Operads and Operadic Algebras in Homotopy Theory
这是一篇关于同伦理论中歌剧的说明性文章，作为即将出版的书的一章。它集中在作者认为作为基本议题同伦理论的运算代数：定义的运算，定义的代数运算，结构方面的类别代数运算，模型结构的代数类别，比较代数类别时，改变运算或潜在的类别。此外，它包括两个应用的理论：原来的应用程序$n$ -倍闭路空间，并申请代数模型的同伦类型（选择纯粹的基础上，作者的偏见）。
Operadic bar constructions, cylinder objects, and homotopy morphisms of algebras over operads
本文件有两个目的。首先，我们回顾了应用的酒吧对偶的操作，以建设明确的凝聚置换范畴的代数在一个操作。从应用的角度出发，我们检验了环上无界微分分次模分次模中的算子上代数的bar对偶的构造是否成立。在第二部分中，我们使用操作cobar结构定义明确的cylinder对象的类别的操作。然后我们应用这个构造证明了算子上代数的某些同伦态射等价于算子模型范畴中的左同伦。
Derived A-infinity algebras in an operadic context
导出A-无穷代数是最近由Sagave发展起来的。与经典的A-无穷代数相比，它们的优点是不需要投射性假设来研究微分分次代数的极小模型。我们解释如何导出A-无穷代数可以被视为代数上的操作。更具体地说，我们描述了如何出现这种操作作为一个决议的操作dAs编码bidgas。这概括了描述运算子A-无穷作为运算子A编码结合代数的分解的已建立的结果。我们进一步表明，Sagave的定义的态射同意的DA-无穷代数的无穷态射所产生的运算机器。我们还研究了导子A-无穷代数的运算同调。
Sullivan minimal models of operad algebras
本文证明了特征为零的域上向量空间复范畴中一类相当广泛的运算族的运算代数的Sullivan极小模型的存在性。我们的建设是一个适应沙利文原来的一步一步建设的设置运算代数。我们考虑的运算族包括所有集中在0度的运算以及它们的极小模型。特别是，这给沙利文极小模型代数COM，屁股和李，以及在其极小模型。其他有趣的操作，如操作Ger编码Gerstenhaber代数，也适合我们的研究。
Unstable algebras over an operad II
引入了算子上的不稳定代数的一般特征的概念。证明了由不稳定模自由生成的不稳定代数在适当的条件下也是自由代数。我们引入了一个家庭的“$q$ -水平”的操作，使我们能够识别不稳定的模块研究布朗-Gitler，米勒和卡尔森自由不稳定的$q$ -水平代数。
The fibration sequences of the lattice path operad
本文引入复杂度为$m$的operad概念，证明其对应operad是格路径operad第$m$阶滤过的子operad，并构造相关纤维化序列，推广了已有结果。
Resolution of coloured operads and rectification of homotopy algebras
我们提供了一般条件下，代数的有色操作在monoidal模型范畴进行Quillen模型结构，并证明了比较定理的效果，弱等价之间的适当的操作诱导Quillen等价类之间的代数。我们构造了一个显式的Boardman-Vogt风格的coordinant决议有色操作，从而给出了一个统一的方法，代数结构同伦有色操作。比较定理意味着这样的结构是可以纠正的。
On sifted homotopy colimits of algebras over an $N_{\infty}$-operad
本文证明了从 $N_{\infty}$-操作代数到等变空间的遗忘函子保持筛选同调余极限。
On the Odd Primary Homology of Free Algebras over the Spectral Lie Operad
Goodwillie演算中的单位函子在空间上的导数在谱中形成运算。Antolin-Camarena计算了1-连通谱的自由代数在该运算上的模2同调。本文对奇素数p的模p同调进行了类似的计算。
The bar construction of an algebra as an E-infinite Hopf algebra
证明了一个$E_\infty$代数的棒结构构成一个$E_\infty$代数.更精确地说，我们给出了满射算子上代数的棒结构，它具有Barratt-Eccles算子上霍普夫代数的结构. (The满射运算符和Barratt-Eccles运算符是经典的$E_\infty$运算符。）
Gamma-homology of algebras over an operad
本文的目的是研究在操作的背景下，伽玛-同调的推广。好的同调论在适当的一致性假设下与操作数相关联，但在零特征上下文之外的通常操作数不能满足这一要求。在这种情况下，我们的想法是选择给定操作数P的一个同调替换Q。我们可以将与Q相关联的同调论应用于P-代数，以便在P-代数范畴上定义一个合适的同调论。当操作数P是二进制和Koszul时，我们明确地做一个小的复杂来计算这个同源性。在交换操作数P=Com的情况下，我们恢复了Robinson为交换代数的Gamma-同调引入的复形.
From maps between coloured operads to Swiss-Cheese algebras
在本工作中，我们提取对的拓扑空间之间的映射着色操作。我们证明了这些对弱等价于一维Swiss-Cheese运算SC_{1}上的显式代数。然后，我们证明了由长纽结空间和从R^{d}到R^{n}的（k）-浸入的多项式逼近所形成的对是一个SC_{d+1} -代数，假设Dwyer-Hess猜想。
Multiplicative formality of operads and Sinha's spectral sequence for long knots
Lambrechts，Turchin和Volić证明了与$d$ -th Kontsevich操作数相关的Bousfield-Kan型有理同调谱序列在$E^2$ -page上的坍缩，如果$d\geq 4$。其证明的关键是操作的形式化。在本文中，我们简化了他们的证明使用模型范畴的操作。作为副产品，我们得到两个新的结果。一个是在$d=3$（并且系数是有理数）的情况下的谱序列的崩溃。另一种观点认为在谱序列上Gerstenhaber代数结构不存在非平凡扩张。
Obstruction theory for algebras over an operad
本文的目的是在域上的微分分次模的框架下，在算子上的代数的背景下建立一个阻塞理论。确切地说，我们考虑的问题是：假设给定一个操作数P上的两个代数A和B以及从A的同调到B的同调的一个代数态射。我们能否将这个态射实现为同伦范畴中从A到B的P-代数的态射？另外，如果实现存在，它在同伦范畴中是唯一的吗？我们确定了这个问题的阻碍闭上链，并注意到，他们生活在前两组的操作伽玛上同调。
Homotopy theory of modules over operads in symmetric spectra
在对称谱中建立了代数和算子上模的模型范畴结构，并研究了算子的态射何时诱导相应代数范畴之间的Quillen等价（分别为.模块）上的操作数。
A spectral sequence for spaces of maps between operads
针对满足温和条件的单纯增广operad，研究者构建了逼近其导出映射空间的纤维化塔，给出第n阶的构造方式，并通过主定理刻画了塔的各层结构。
Curved Koszul duality of algebras over unital versions of binary operads
我们开发了一个弯曲的Koszul对偶理论的代数提出的二次线性常数的关系，单位版本的二元二次运算。作为应用，我们研究了标准移位辛空间上由多项式函数给出的Poisson $n$ -代数。我们计算这些代数的明确决议使用弯曲Koszul对偶。我们使用这些决议，计算衍生包络代数和因子分解的平行化单连通闭流形的系数在这些泊松$n$ -代数的同源性。
Stabilizations of $\mathbb{E}_\infty$ Operads and $p$-Adic Stable Homotopy Theory
该研究构造了作为 $\u211e_\u221e$ 操作子稳定化版本的稳定操作子，建立其代数同伦与上同调运算理论，并证明谱上链赋予其结构后可作为 $p$ 进稳定同伦型的代数模型。
On derivations of free algebras over operads and the generalized divergence
对于约化运算$\mathcal{O}$，构造了自由$\mathcal{O}$ -代数的导子到合适的迹空间的广义发散.在李操作数的情况下，这对应于佐藤的迹映射，对于结合操作数，对应于阿列克谢耶夫、川住、久野和纳夫的双重发散。对于导子上的通常李代数结构，证明了广义发散是一个$1$ -上循环.这些结果把以前的建设到一个统一的框架，而且，他们是自然的操作。一个重要的新成分是使用的自然性方面的范畴有限秩自由模和分裂单态的交换环$R$。这允许利用这种函子的扭转概念。设环$R$是PID，运算数$\mathcal{O}$是二元的，主要结果是将广义散度的核与导子李代数的子李代数联系起来，该导子李代数是由一次元素关于arity诱导的分次生成的.
Homotopy Algebras via Resolutions of Operads
这篇短文的目的主要是提倡我们基于运算的极小模型来研究同伦代数。我们的论述是出于两个例子，我们讨论非常明确的例子，强同伦结合代数和强同伦李代数。然后，我们指出什么必须证明，以表明这些同伦代数结构是真正的“稳定下的同伦。这篇论文基于作者1998年6月16日在德国奥斯纳布吕克大学的一次演讲。
Combinatorial operad actions on cochains
通过对称群的棒构造，形成了一个经典的E-无穷运算。M. Barratt和P. Eccles在单纯集的上下文中，以便有一个类似的Milnor FK-建设无限闭路空间。证明了单纯集的正规上链复形上的结合代数结构推广到Barratt-Eccles运算上的代数结构.我们还证明了Barratt-Eccles算子上的微分分次代数构成一个闭模型范畴。类似的结果也适用于结合代数的正规化Hochschild上链复形。更确切地说，Hochschild上链复形是由Barratt-Eccles操作数的一个子操作数作用的，它等价于经典的小平方操作数。
A Construction on Operads Applicable to Homology Operations and the Minimal Model
我们定义了一个构造的操作产生一个新的描述的极小模型。该结构还允许我们定义代数结构上的同源性链复形与同源平凡运算代数结构，从而暴露非平凡结构，没有明显的。
Unstable algebras over an operad
本文的目的是定义和研究运算数上的不稳定代数的概念，该概念推广了Steenrod代数上的不稳定代数的经典概念。在这项研究中，我们专注于特征2的情况。本文定义了$\star$ -不稳定$\mathcal P$ -代数，其中$\mathcal P$是一个操作数，$\star$是$\mathcal P$中的一个交换二元运算.然后，我们构建一个函子，它将不稳定模块$M$带到由$M$生成的自由$\star$ -不稳定$\mathcal P$ -代数。在对$\star$和$M$的一些假设下，我们证明了这个不稳定代数是自由$\mathcal P$ -代数.最后，我们给出了这个结果的一些例子，我们展示了如何使用我们的主要定理，以获得一个新的结构的不稳定模研究Carlsson，Brown-Gitler，和Campbell-Selick，考虑到他们的内部产品。
Homotopy theory of modules over operads and non-Sigma operads in monoidal model categories
本文研究了Monoidal模型范畴中代数和模上模型范畴结构的存在性。
Goodwillie calculus in the category of algebras over a chain complex operad
本文的目的是提供一个文献Goodwillie演算的函子之间定义的范畴，从链复合物的基态$\Bbbk.$我们表征齐次函子$F: \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{D}$，其中$\mathcal{C} ,\mathcal{D}= Ch$（链复合物），$Ch_+$（非负阶化链复合物）或$\text{Alg}_\mathcal{O}$（代数上的链复形操作$\mathcal{O}$）。在特定的情况下，当$\mathcal{D}= \text{Alg}_\mathcal{O},$我们的表征要求$\Bbbk$的特点$0.$我们然后扩展的结果沃尔特\cite{Walt06}谁研究的特点$0$的链复形的情况下，当$\mathcal{O}$是李操作数。
Swiss-Cheese operad and Drinfeld center
我们建立了一个模型，在瑞士奶酪运算群，括号置换和辫子的基础上，我们与代数在这个模型的经典描述代数的瑞士奶酪运算的同源性。我们将我们的模型扩展到一个合理的模型的瑞士奶酪操作，我们比较它的模型，我们会得到，如果操作瑞士奶酪是正式的。
Bar constructions and Quillen homology of modules over operads
我们表明，拓扑奎伦同调的代数和模的对称谱运算可以计算实现的单纯酒吧建设。通过几种模型范畴结构，我们给出了同伦证明，证明了代数和模上的同伦余极限是容易理解的。这里的一个关键结果，这是本文的核心，是表明健忘函子与某些同伦余极限交换。我们还证明了无界链复形中算子上的代数和模的类似结果。
An algebraic model for rational naive-commutative equivariant ring spectra
给非等变拓扑E_ \infty操作数赋予平凡G-作用，得到G-空间中的操作数.在G-谱中由这个运算符编码的代数结构的特征在于没有非平凡的乘法范数。这种运算上的代数称为朴素-交换环G-谱。设G是有限群，证明了交换代数在有理G-谱的代数模型下，有理朴素-交换环G-谱的模型。
On the derived category of an algebra over an operad
给出了运算域上代数的导出范畴的一般构造，并建立了它的不变性。一个核心的作用是由一个代数在一个操作数的包络操作数。
Operads within monoidal pseudo algebras
运算的一般概念，其中包括作为实例，运算最初设想研究闭路空间，以及更高的运算中出现的球形方法，以高维代数。在本文的框架中，人们也可以描述对称和编织类似物的高操作，可能是重要的弱对称，高维monoidal结构的研究。
On the Spectral Sequence of the Swiss-cheese Operad
证明了Swiss-cheese操作数的同调是一个Koszul操作数。由此得到了与上半平面上点紧化的分层有关的谱序列在第二阶段坍缩，证明了A.沃罗诺夫然而，我们证明，在第二阶段获得的操作不同于瑞士奶酪操作的同源性。
Virtual operad algebras and realization of homotopy types
证明了凝聚算子上的代数范畴具有闭模范畴结构。这就引出了“虚运算代数”的概念--给定运算数的一个相关分解上的代数。特别是，虚交换代数可以作为同伦p-顶点的代数描述，如Mandell最近的预印本（电子霍普夫拓扑档案，10月'98，见http://www.hopf.math.purdue.edu）。我们的主要结果允许一个显着简化曼德尔定理的证明。
On functorial (co)localization of algebras and modules over operads
受motivic同伦群计算的启发，我们给出了广泛得到的算子代数及其模在（余）局部化函子下保持不变的条件
(Non-)Koszulness of operads for n-ary algebras, galgalim and other curiosities
我们研究各种n元代数的运算。作为一个有用的工具，我们介绍了galgalim -模拟的李面体的n元代数。然后，我们专注于代数与一个反结合操作。我们使用反结合运算的极小模型描述了这类代数的变形上同调的相关部分。我们还讨论了自由部分结合代数，并提出了一些公开问题。
Operads up to Homotopy and Deformations of Operad Maps
从集合$A$上的“cofree”cooperad $T'(A[-1])$加上一个微分，我们在下降到共不变的全空间$\bigoplus_nA(n)$上构造了一个$L_\infty$ -代数结构.我们使用这种结构来定义一个$L_\infty$ -代数控制变形的操作$P$下$Q$从一个协调的解决方案的操作$Q$，和操作映射$Q\longrightarrow P$。从一个不同的余分解出发，得到一个拟同构的$L_\infty$ -代数.这种方法统一了Markl关于算子的余切上同调和Balavoine，Kontsevich和Soibelman关于$Q$ -代数变形的方法。
Homotopy unital A_infinity-algebras
众所周知，A_无限代数的微分分次运算是无单位结合微分分次代数的运算的一个凝聚置换（dg-分解）.本文给出结合微分分次代数的运算与单位元的一致置换。它上的代数称为同伦单位A_无限代数。证明了A_无限态射的运算双模是无单位dg-代数的态射的运算双模的一个凝聚置换。同样地，我们证明了同伦单位A_无限态射的运算双模是单位dg-代数态射的运算双模的一个凝聚置换。
On the operad of associative algebras with derivation
研究了具有导子的结合代数的运算。我们表明，它是由多项式在多个变量和替代。用有理函数代替多项式给出了一个与“模”运算同构的运算。它为积分-微分学提供了一个有效的环境。有趣的变化，通过使用形式群法律。前一种情况对应于加法形式群律。我们解开的概念同伦结合代数推导的精神Kadeishvili的工作。
Operads as polynomial 2-monads
在这篇文章中，我们给出了一个结构的多项式2-monad从一个操作，并描述了代数的2-monad，然后出现。这种构造不同于由运算子构造单子的标准构造，因为我们关联的2-单子的代数是原始运算子的范畴化代数。此外，它使我们能够以规范的方式将运算作为范畴多项式单子。这一观点揭示了范畴多项式单子作为一个统一的环境操作，猫操作和俱乐部。我们恢复一个单子的标准建设从一个操作在一个2-范畴的方式，从我们的相关2-单子作为coidentifier的2-单子，并了解代数的弱态射的操作到一个猫操作的类别。一般对称幺半范畴范畴内的运算代数以规范的方式产生于我们新的关联2-单子。当操作数是西格玛自由，我们建立一个奎伦等价，相对于模型结构的代数2单子发现缺乏，严格的代数之间的相关2单子，和那些标准的。
Algebras of higher operads as enriched categories
我们描述了正规化$ω$ -操作和球集范畴上的某些松弛monoidal结构之间的对应关系。正如普通的幺半范畴一样，我们有一个在宽松的幺半范畴中丰富的范畴概念。在上述对应关系中，我们还提供了一个给定的规范化$ω$ -操作数的代数之间的等价性，和类别丰富的球形集的诱导松弛monoidal结构。
Higher order Massey products for algebras over algebraic operads
本文为代数operad上的代数引入高阶Massey积，推广了Muro的次级积，研究其性质、形式性联系，并证明其表示operadic Eilenberg--Moore谱序列的微分，同时探讨与P∞结构的关系，涵盖Koszul及非Koszul情形。
Coloring Operads for Algebraic Field Theory
在这些程序中，我们总结了以前的工作，我们正式的代数场论使用操作的一般概念。在简单介绍了代数量子场论、算符及其代数之后，我们构造了场论算符，其代数正是代数场论。具体地说，它们满足爱因斯坦因果公理的一个合适的版本。从这个结构中，我们得到了不同类型的场论之间的相互作用，包括与局部到全局的扩展和时间片公理有关的相互作用，以及与这些结构兼容的线性场论的量子化函子。我们还采取了第一步，对派生的线性量化函子。
Algebras for enriched $\infty$-operads
将富集∞-operad的代数定义为对称序列中的模，证明严格代数与∞-范畴代数等价，并给出等价的∞-operad态射描述。
André-Quillen cohomology of algebras over an operad
研究了算子上代数的系数的André-Quillen上同调。利用来自Koszul对偶理论的代数的决议，我们使这个上同调理论明确，我们给出一个李理论解释。对于哪些运算元，相关的André-Quillen上同调等于Ext-函子？基于余切复形，我们给出了几个判据来刻画这一性质。将其应用于同伦代数，给出了余算子上代数的一个新的同伦稳定性质。
Operads, Algebras and Modules in General Model Categories
本文发展了上纤维生成的对称monoidal模型范畴中的运算、代数和模的理论。我们给出了J-半模型结构，这是模型结构的一个稍弱的版本，运算和代数和模型结构的模块。在第二部分中，我们发展了[EKMM]的S-模理论，它给出了交换代数和其上模的伪酉对称幺半范畴范畴的一般同伦理论。最后证明了一个基变换和投影公式。
$\infty$-operads via symmetric sequences
我们构建了一个推广的Day卷积张量积的预层，适用于某些双$\infty$范畴。使用这种结构，我们得到了一个$\infty$范畴的版本，众所周知的描述（单对象）运算作为结合代数的对称序列，更一般地说，我们表明（丰富）$\infty$ -运算与不同的空间的对象可以被描述为结合代数的双$\infty$范畴的对称集合。
Feynman diagrams and minimal models for operadic algebras
本文构造了微分分次算子的cobar-结构上代数的显式极小模型。这个极小模型的结构映射用装饰树上的和表示。我们引入了适当的概念，一个同伦等价的运算代数，并表明，我们的极小模型同伦等价于原来的代数。这些结果推广了A-无穷代数的一些著名结果，并给出了概念上的解释。此外，我们表明，这些结果结转到代数的情况下，模块操作，在树的总和得到取代一般费曼图的总和。作为我们的工作的副产品，我们证明规范独立的Kontsevich的“双建设”生产图上同调类从可收缩微分分次Frobenius代数。
Plus-construction for algebras over an operad, cyclic and Hochschild homologies up to homotopy
本文将同伦局部化应用到算子上的微分分次代数的框架中。通过对泛无圈代数进行零化得到了加号的构造。李代数和莱布尼兹代数到同伦的这一加法构造给出了结合代数的两个新的同调论。它们与循环同调和霍赫希尔德同调密切相关。我们还计算了它们的第一同调群。
Differential graded Hopf algebra structure on free symmetric cosimplicial operads
本文在自由对称连通乘法微分分次操作范畴上构造了新的链复形代数和双复形代数结构，并通过odot乘积和Alexander-Whitney同态类比构造了微分分次Hopf代数结构，推广了Malvenuto-Reutenauer的结果。
Modular operads and the quantum open-closed homotopy algebra
我们证明了弦域论中出现的某些代数是我们明确描述的模运算的Feynman变换上的代数。从运算的角度解释了广义BV主方程解的等价描述。
Formality criteria for algebras over operads
研究了微分分次算子上的微分分次代数的一些形式准则。这统一和推广了其他已知的方法，如Manetti和Kaledin的方法。特别是，我们构造一般的操作Kaledin类，并表明他们提供的障碍形式。此外，我们证明了代数A是形式的当且仅当它的运算上同调谱序列在$E_2$退化。
Koszul duality theory for operads over Hopf algebras
将代数的生成运算转移到同伦等价的链复形上会产生更高级的运算。本文的第一个目标是精确地描述当一元运算与收缩同伦交换时所得到的高级结构。为了解决这个问题，我们发展了余交换霍普夫代数上模范畴中运算的Koszul对偶理论.这就产生了一个更简单的同伦代数和无穷态射范畴，这使得我们能够得到一个新的描述同伦代数范畴的操作。这个理论的主要例子是Batalin-Vilkovisky代数。
Arc Operads and Arc Algebras
介绍并研究了有界曲面中基于投影加权弧族的几种拓扑和同调运算。基本操作数的基础空间被确定为紧化的开子集，由于彭纳的空间密切相关的黎曼模空间。这些运算的代数被证明是Batalin-Vilkovisky代数，其中整个BV结构被简单地实现。此外，我们的基本运算包含仙人掌运算，直到同伦，它类似地作用于任何拓扑空间的闭路空间。新的操作数结构上的循环进行分类，并结合基本操作数产生几何自然扩张的代数结构的BV代数，这也计算。
Hochschild and cotangent complexes of operadic algebras
该研究利用Lurie的余切复形形式化构建富集operad上代数的Quillen上同调，引入谱霍奇schild上同调理论，证明两种上同调可由operad自身控制，在单纯集范畴中可通过谱值函子计算，并建立Eₙ-空间两种复形的上纤维序列及非稳定类似物。
Quadratic Algebras arising from Hopf operads generated by a single element
Poisson代数和Gerstenhaber代数的运算是由一个二元元素生成的，如果我们把它们看作是Hopf运算（即作为余交换余代数范畴中的运算）。本文详细讨论了由任意元生成的Hopf运算。我们解释了为什么这个运算中的$n$ -元运算空间的对偶空间是二次的和Koszul代数。我们给出了这些代数的生成元、关系和某个单项式基的详细描述。
Divided power algebras over an operad
本文给出了约化运算上的除幂代数的一个刻画。这样的一个特征是在多项式运算方面，下面的经典例子的划分功率代数。我们用两种不同的方法来描述这些多项式运算：一种是用对称群作用下的不变元，另一种是用协不变元。然后，我们的结果适用于水平代数的情况下，这是（非结合）交换代数满足交换律。
Weyl n-algebras and the Swiss cheese operad
本文应用Weyl $n$ -代数证明了高阶Hochschild上同调的形式定理。我们提出了两种方法：通过传播和通过因式分解复杂。它表明，第二种方法是等价的第一个采取了一个新的家庭的传播，我们介绍。
Adem-Cartan operads
本文引入Adem-Cartan算子，证明了在这类算子上的任何代数的上同调都是推广Steenrod代数上的不稳定水平代数。此外，我们证明了这种上同调被赋予次级上同调运算。
Free Products of Higher Operad Algebras
2-范畴的Gray张量积的高维类似的系统构造是高阶范畴理论中的一个开放问题。本文通过理解Gray的小兄弟--范畴的有趣的张量积的自然推广，继续了[3]和[2]的发展。事实上，我们证明了在Batanin [1]的意义下，对于任何可由n-操作数定义的更高范畴结构，一个类似的张量积在操作数代数范畴上形成一个对称的monoidal闭结构。
On the NonKoszulity of (2p+1)-ary partially associative Operads
研究了n元代数的二次运算及其对偶。我们将重点讨论三元情况（即n=3）。其目的是强调问题的计算的双重operad和事实，这最后是在一般定义的分级微分operad框架。证明了3元部分结合代数的运算数不是Koszul。回想一下，如果n是偶数，则n元部分结合代数的运算数是Koszul。
Symmetrisation of $n$-operads and compactification of real configuration spaces
从对称运算到非对称运算的遗忘函子有一个由对称群运算的乘积给出的左伴随$Sym_1$.这也是众所周知的，这个函子不影响范畴的代数运算。从作者的高级运算理论的观点来看，非对称运算是1-运算，PDMATHAMM是左伴随函子$Sym_n,$的无穷级数的第一项，称为对称化函子，从$n$ -运算到对称运算，具有一个对象的范畴，一个箭头，. . .,一个$n$ -操作数$A$的一个$(n-1)$ -箭头代数同构于$Sym_n(A)$的代数范畴.本文考虑了$n$ -算子对称化的一些几何和同伦方面的问题。我们构造了Fulton-Macpherson运算的一个$n$ -运算模拟，并证明了它的对称化正是Fulton和Macpherson的运算.这意味着具有可压缩的$n$ -操作数的作用的空间$X$具有弱等价于小$n$ -圆盘操作数的操作数上的代数的自然结构。类似的结果也适用于链操作数。这些结果概括了经典的Eckman-Hilton参数到任意尺寸。最后，我们应用的技术，瑞士奶酪型操作介绍了Voronov，并得到类似的结果，在这种情况下。
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