Isolated Singularities of Polyharmonic Operator in Even Dimension
本文在$Ω'=Ω\setminus \{0\} $中的分布意义下考虑方程$Δ^2 u=g(x,u) \geq 0$其中$u$和$ -Δu\geq 0.$.然后我们知道对于一些非负常数$α$和$ β.$，$u$解$Δ^2 u=g(x,u)+αδ_0-βΔδ_0,$.本文研究了$Δ^2 u= a(x) f(u)+αδ_0-βΔδ_0$在区域上奇异解的存在性.如果$Δ^2 u=a(x)f(u)$在$Ω',$中，那么我们发现非线性$f$的增长，它决定了$α$和$β$是$0.$。在$α=β=0,$的情况下，我们将建立正则性结果，当$f(t)\leq C e^{γt},$对于某些$C, γ>0.$。其中作者找到了具有特定权函数$a(x)=|x|^σ.$的高维$(N\geq 5)$中的障碍函数。多调和算子
2015-01-08 math.AP
Sharp inequalities and asymptotics for polyharmonic eigenvalues
本文研究一般区域与球上的 Dirichlet 多重调和特征值，建立依赖算子阶数的不等式、估计及球域特征方程，并给出高阶情形第一归一化特征值的渐近展开与第 k 个特征值增长阶。
2025-06-15 math.AP math.SP
On asymptotically sharp bi-Lipschitz inequalities of quasiconformal mappings satisfying inhomogeneous polyharmonic equations
设$f$是$K$ -拟共形的（$(K,K')$ -quasiconformalresp.）单位盘$\mathbb{D}$的自映射，它满足下列条件：$(1)$，非齐次多调和方程$Δ^{n}f=Δ(Δ^{n-1} f)=φ_{n}$ $(φ_{n}\in \mathcal{C}(\overline{\mathbb{D}}))$，（2）边界条件$Δ^{n-1}f|_{\mathbb{T}}=φ_{n-1},~\ldots,~Δ^{1}f|_{\mathbb{T}}=φ_{1}$（$φ_{j}\in\mathcal{C}(\mathbb{T})$表示$j\in\{1,\ldots,n-1\}$和$\mathbb{T}$的单位圆），和$(3)$ $f(0)=0$，其中$n\geq2$是整数，$K\geq1$（分别为$K'\geq0$）。本文的主要目的是证明$f$是Lipschitz连续的，并进一步证明当$\|φ_{j}\|_{\infty}$对于$j\in\{1,\ldots,n\}$来说足够小时，它是双Lipschitz连续的.此外，估计是渐近尖锐的$K\to 1$（$K'\to0$ resp.）以及对于$j\in\{1,\ldots,n\}$的$\|φ_{j}\|_{\infty}\to 0$，并且因此，这样的映射$f$表现得几乎像对于足够小的$K$（$K'$ resp.）和用于$j\i…
2020-06-22 math.AP math.CV
A note on Hardy's inequalities with boundary singularities
设$Ø$是$\R^N$中的光滑有界域，其中有$N\ge 1$ .本文研究了权函数在$Ø$边界奇异的Hardy-Poincaré不等式.特别是我们给充分条件，使最佳常数是实现。
2010-09-16 math.AP
Hardy-Poincare' inequalities with boundary singularities
设$Ø$是$\R^N$中的有界域，其中有$0\in\deØ$和$N\ge 2$ .本文研究了$H^1_0(Ω)$中映射的Hardy-Poincaré不等式.特别地，我们给出了充分和一些必要条件，使最佳常数是实现。
2010-05-19 math.AP
Isolated singularities of solutions of certain quasi-linear elliptic inequalities
该研究针对特定拟线性椭圆不等式解的孤立奇点问题，对满足条件的解的孤立奇点渐近行为完成了完整分类，为相关方程解的奇点分析提供了基础结果。
2025-07-08 math.AP
On removable singularities of solutions of higher order differential inequalities
本文给出了$m$型三阶微分不等式$$ \sum_{|α| = m} \partial^αa_α(x, u) \ge f (x) g (|u|) \quad \mbox{in } B_1 \setminus \{ 0 \} $$的解在零点处有可去奇点的充分条件，其中$a_α$，$f$，$g$是一些函数，$B_1 = \{ x : |x| < 1 \}$是${\mathbb R}^n$中的一个单位球.构造的例子证明了这些条件的正确性。
2020-02-18 math.AP
Weighted fractional Hardy-Sobolev and Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities with singularities on flat submanifold
Wrocław University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫理工大学）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）
本文研究了带权重的分数Hardy-Sobolev和Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式，探讨了奇点在平坦子流形上的应用，并证明了相关不等式在特定条件下的不成立性。
2025-03-24 math.AP
Weighted fractional Hardy inequalities with singularity on any flat submanifold
Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）
本文研究了任意平坦子流形上的加权分数Hardy不等式，推导了带奇异性的不等式，并处理了临界情况下的对数权重函数问题。
2024-09-19 math.AP
On a necessary condition for removing singularities of solutions of nonlinear elliptic inequalities
RUDN University（俄罗斯人民友谊大学）
研究非线性椭圆不等式解在原点处奇点可去的必要条件，通过积分条件给出可去性的判定。
2026-09-23 math.AP
Optimal Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities with multiple interior singularities
本文首先建立了$\mathbb{R}^n$中涉及到不同余维子空间的距离的Hardy不等式的完整刻画。特别是相应的潜力有很强的内部奇性。然后给出了具有最优Sobolev项的Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式成立的充要条件.
2009-11-04 math.AP math.SP
Sharp Hardy and Hardy--Sobolev inequalities with point singularities on the boundary
研究了$\mathbb{R}^n$中奇点位于有界区域边界上且奇点处同时满足内球和外球条件时的Hardy不等式.在外球足够大的情况下，得到了尖锐的Hardy常数$n^2/4$，说明了大外球条件的必要性.通过增加一个尖锐的Sobolev项，改进了Hardy不等式的最佳常数.接下来，我们产生的标准，导致表征最大的潜力，改善哈代不等式。打破标准，人们会产生连续的改进和尖锐的常数。我们的方法在不太规则的区域，如锥体中进行。在圆锥的情况下，与光滑情况相反，索伯列夫常数确实取决于圆锥的开口。
2018-04-04 math.AP
Singularities of mean curvature flow and isoperimetric inequalities in H^3
本文沿用\cite{PT}中的方法，将Willmore能量与等周不等式相结合，构造了$\mathbb{H}^3$中中曲率流的两个奇点例子.更确切地说，存在一个环面，它必须在MCF下发展一个奇点，然后它所包围的体积减小到零。还存在一个哑铃形状的拓扑球体，它必须在流中发展出奇异性，然后其面积才会缩小到零。同时，利用该流证明了$\mathbb{H}^3$中某些区域的一个等周不等式。
2013-07-02 math.AP math.DG
Asymptotic behavior at isolated singularities for solutions of nonlocal semilinear elliptic systems of inequalities
研究了系统$0\le -Δu \le (\frac{1}{|x|^α}* v)^λ$ $0\le -Δv \le (\frac{1}{|x|^β}* u)^σ$在$B_2(0)\setminus\{0\} \subset R^n$，$n\ge 3$中的$C^2$正解$u(x)$和$v(x)$在原点附近的行为，其中$λ,σ\ge 0$和$α,β\in (0,n)$ .我们的方法用于研究这些解决方案的一个副产品将是结果的起源附近的$L^1(B_1(0))$解决方案$f$和$g$的系统$0 \le f(x) \le C(|x|^{2-α} + \int_{|y|<1}\frac{ g(y) dy}{|x-y|^{α-2}} )^λ$ $0 \le g(x) \le C(|x|^{2-β} + \int_{|y|<1}\frac{ f(y) dy}{|x-y|^{β-2}} )^σ$的$0<|x|<1$，其中$λ,σ\ge 0$和$α, β\in (2,n+2)$。
2015-03-31 math.AP
Uniqueness of blowups and Lojasiewicz inequalities
一旦知道奇点的存在，人们自然会想知道奇点是什么样子的。对于最小变种的第一个答案，已经知道Federerer-Fleming在1959年，是他们弱类似锥。对于中曲率流，通过Huisken、Ilmanen和White的联合工作，奇点弱地类似于收缩器。不幸的是，简单的证明留下了这样一种可能性，即在显微镜下观察的最小变化或中曲率流将类似于一个爆破，但在更高的放大倍数下，它可能（据任何人所知）类似于一个完全不同的爆破。这种情况是否会发生也许是关于奇点的最基本的问题。正是这个长期悬而未决的问题，我们在这里解决的中曲率流在所有一般的奇点和平均凸中曲率流在所有奇点。
2014-05-20 math.AP math.DG
Resolution of singularities and geometric proofs of the Lojasiewicz inequalities
欧几里得空间上实解析函数的Lojasiewicz不等式首先由Stanislaw Lojasiewicz（1965）使用半解析和次解析集的方法证明，后来Bierstone和Milman（1988）简化了论证。在这篇文章中，我们首先给出了一个初等的几何，基于坐标的证明Lojasiewicz不等式的特殊情况下，函数是$C^1$与简单的正规交叉。然后，我们证明，部分遵循Bierstone和Milman（1997）和使用奇点的分解的实解析簇，梯度不等式的任意实或复杂的解析函数从特殊情况下，它有简单的正规交叉。另外，我们证明了函数为$C^N$和$N \geq 3$阶的广义Morse-Bott时的Lojasiewicz不等式，给出了函数为$C^2$和Morse-Bott时的Lojasiewicz不等式在arXiv：1708.09775v4（有限维情形）和arXiv：1706.09349（无限维情形）的初等证明.
2020-01-06 math.AG math.AP math.DG
Hardy inequalities for inverse square potentials with countable number of singularities
具有可数个$V=\sum_{k\in \mathbf{Z}}\frac{1}{|x-a_k|^2}$形式奇点的势函数的Hardy不等式（HI）不是一个简单的问题。理论上，奇异极点越多，Hardy常数越小：众所周知，在所有关于有限个奇点的HI的已有结果中，当奇点数$n$趋于无穷大时，最佳常数收敛于0.在这篇笔记中，我们提供了一个例子，非平凡的HI在固定半径$R>0$在$\mathbf{R}^d$的正圆柱体，为一个潜在的$V$上面定义的奇点$\{a_k\}_{k\in \mathbf{Z}}$均匀分布在轴上的圆柱体。对于这个例子，我们证明了Hardy常数的上限是$(d-2)^2/4$，$\mathbf{R}^d$中的经典Hardy常数对应于一个奇异势。我们还证明了正下界的Hardy常数，从而可以推断出的渐近行为$R\to 0$的Hardy常数符合$(d-2)^2/4$。主要结果的证明依赖于对特别好地选择的检验函数使用Allegretto和Huang的一个很好的恒等式（文献[1]中的定理1.1，2.1）。
2021-08-16 math.AP math.FA
Removable singularities and Harnack inequality for nonlinear Hörmander degenerate subelliptic equations
本文针对Hörmander向量场导出的拟线性次椭圆函数，在系数可积性较弱的条件下借助精确Sobolev不等式证明了可去奇点与Harnack不等式，并得到等正则区域上的Hölder连续性。
2025-10-01 math.AP
Attaining the optimal constant for higher-order Sobolev inequalities on manifolds via asymptotic analysis
本文在维数$n>2k$的闭Riemann流形上，通过对多调和临界非线性方程正解序列的逐点爆破分析，证明了高阶Sobolev不等式可取得Euclidean最优常数。
2025-05-26 math.AP
Explicit optimal constants of two critical Rellich inequalities for radially symmetric functions
在高阶临界径向Sobolev空间$W_{0, {\rm rad}}^{k, p}$中考虑两个原点和边界均具有奇点的临界Rellich不等式，其中$1< p = \frac{N}{k}$.给出了$W_{0, {\rm rad}}^{k, \frac{N}{k}}$中径向对称函数的两个临界Rellich不等式的最优常数的显式值。此外，还讨论了最优常数的可达性.
2020-02-29 math.AP math.FA
Parabolic fractal dimension of forward-singularities for Navier-Stokes and liquid crystals inequalities
本文研究 Navier-Stokes 不等式及液晶不等式解的正向奇异点集，在不依赖最大值原理的条件下证明其抛物分形维数上界为 55/13，并给出可将其改进为 95/63 的若干判据。
2022-08-16 math.AP
Lojasiewicz inequalities and applications
在实代数几何中，Lojasiewicz定理断言，任何具有聚点的解析函数的梯度流的积分曲线都有唯一的极限。Lojasiewicz证明了这一结果在20世纪60年代初的后果，他的梯度不等式。变分学中的许多问题都是关于无穷维泛函的临界点或梯度流线的问题。也许令人惊讶的是，甚至许多非线性偏微分方程在奇点处的爆破，在某种意义上，可以被认为是解析泛函的无穷维梯度流的极限。因此，爆破的唯一性问题可以作为Lojasiewicz定理的无限维版本来处理。爆破的唯一性问题也许是关于奇点的最基本的问题。这种方法的独特性是开创了莱昂西蒙30年前的面积功能和许多相关的功能使用一个精心减少到一个有限的维度设置Lojasiewicz的论点适用。最近，作者证明了两个新的无限维Lojasiewicz不等式在非紧奇点，这是众所周知的，减少Lojasiewicz的参数是不可能的，而是需要全新的技术。因此，作者解决了一个主要的长期悬而未决的问题的唯一性爆破的中曲率流在所有一般的奇点和平均凸中曲率流在所有奇点。利用这一点，作者得到了具有一般奇点的MCF时空奇异集的一个比较完整的描述。特别地，$\bf{R}^{n+1}$中的MCF的奇异集只具有一般奇异性，并且包含在维数至多为$n-1$的多个紧致Lipschitz子流形中，以及维数至多为$n-2$的一个集合中。
2015-02-25 math.AG math.AP math.DG
Uniqueness of the blow-up at isolated singularities for the Alt-Caffarelli functional
本文证明了Alt-Caffarelli泛函极小解的自由边界在爆破点具有孤立奇点的点处爆破的唯一性和$C^{1,\log}$ -正则性。我们这样做是通过建立一个（日志）外周长不等式的Weiss能量的轨迹接近的一个锥与孤立奇点，其自由边界是图形和光滑的球体上的圆锥。通过对锥的附加假设，我们可以证明一个经典的上围不等式，并利用它导出一个$C^{1,α}$正则性结果。我们还表明，这些额外的假设是满足的De Silva-Jerison型锥，这是唯一已知的例子，最小化锥与孤立奇点。我们的方法绘制了一个连接epiperimetric不等式和juojasiewicz不等式，并据我们所知，提供了第一个正则性结果在奇点在一个阶段的伯努利问题。
2019-10-23 math.AP
Nonlinear evolution by mean curvature and isoperimetric inequalities
在R^{n+1}中，以等于中曲率的正幂k的法向速度演化的光滑紧致超曲面，在k >= n-1的情况下，改进了一定的“等周差”。由于奇点可能发展之前的体积为零，我们开发了一个弱水平集制定这样的流量，并表明上述单调性仍然是有效的。这证明了n <= 7时的等周不等式。将其推广到具有非正截面曲率的完备单连通三维流形，给出了这类流形上欧氏等周不等式的一个新证明。
2006-06-27 math.AP math.DG
Desingularizing isolated conical singularities: Uniform estimates via weighted Sobolev spaces
我们定义了一个非常一般的“参数连通和”构造，它可以用来消除黎曼流形的孤立锥奇点。然后，我们表明，各种重要的分析和椭圆估计，制定加权索伯列夫空间，可以得到独立的参数中使用的建设。具体地说，我们证明了与（i）Sobolev嵌入定理，（ii）拉普拉斯算子的可逆性和（iii）Poincare'和Gagliardo-Nirenberg-Sobolev型不等式有关的一致估计。我们的主要工具是著名的理论加权索伯列夫空间和椭圆算子的“锥”。我们提供了一个概述，连同前一般黎曼流形的延伸。对于我们的结果的几何应用，我们请读者参考我们的论文“特殊拉格朗日锥，II：胶合结构在C^m”。
2012-11-12 math.AP math.DG
Isoperimetric inequalities and geometry of level curves of harmonic functions on smooth and singular surfaces
研究了曲面上调和函数水平曲线长度的对数凸性及相关的等周型不等式。结果处理光滑的表面，以及与奇异亚历山德罗夫表面（也称为表面有界积分曲率），一类，其中包括例如表面与圆锥奇点和表面的CAT（0）型。此外，我们还研究了具有非必要常高斯曲率$K$的曲面上的水平曲线的测地曲率和调和函数的最速下降。这样的测地曲率函数证明满足某些拉普拉斯型方程和不等式，从这些方程和不等式我们可以推导出各种最大值和最小值原理。补充的结果是一些增长估计的衍生物$L'$和$L''$的长度的水平曲线函数$L$，以及举例说明的演示。我们的工作推广了Alessandrini，Longinetti，Talenti，Ma-Zhang和Wang-Wang的一些结果.
2021-04-29 math.AP math.DG
Eigenvalue bounds for non-self-adjoint Schrödinger operators with the inverse-square potential
本文研究了具有复值位势$V\in L^{p,\infty}$，$p>n/2$的$\mathbb{R}^n$上的非自伴Schrodinger算子$-Δ-\frac{(n-2)^2}{4|x|^{2}}+V$的谱性质.我们证明了Keller型不等式，它测量包含离散谱的圆盘的半径，根据$V$的$L^{p,\infty}$范数。类似的不等式也成立，如果平方反比势被替换为一大类在原点具有临界奇点的亚临界势。证明中的主要新成分是具有强奇异势的薛定谔算子的Kenig-Ruiz-Sogge型的一致Sobolev不等式，这是独立的兴趣。
2016-08-05 math-ph math.AP math.MP
