How much can one learn a partial differential equation from its solution?
在这项工作中，我们研究的问题学习的偏微分方程（PDE）从其解决方案的数据。各种类型的偏微分方程作为例子来说明有多少解决方案的数据可以揭示偏微分方程运营商取决于底层运营商和初始数据。提出了一种基于局部回归和全局一致性的数据驱动和数据自适应的稳定偏微分方程辨识方法。数值实验验证了我们的分析，并证明了所提出的算法的性能。
2022-11-09 cs.NA math.AP math.NA
Strong Consistency and Thomas Decomposition of Finite Difference Approximations to Systems of Partial Differential Equations
对于一类广泛的多项式非线性系统的偏微分方程，我们提出了一种算法的方法，结合微分和差分代数分析的s（强）-一致性的有限差分近似。我们的方法是适用于定期解决方案的网格。对于这种类型的网格，我们给出了一个新的定义的s-一致性有限差分近似，推广了我们的定义前面给出的笛卡尔网格。本文提出的s-一致性的算法验证是基于使用差分和差分托马斯分解。首先，我们将微分分解应用于输入系统，导致其解空间的划分。然后，输出子系统，包含一个解决方案的兴趣，我们应用差分模拟的差分托马斯分解，允许检查的s-一致性。对于线性和某些拟线性微分系统，也可以应用差分\Gr基进行s-一致性分析。我们说明我们的方法和算法的一些例子，其中包括粘性不可压缩流的Navier-Stokes方程。
2020-09-03 cs.NA cs.SC math.AP
Entropy-dissipation Informed Neural Network for McKean-Vlasov Type PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Peking University（北京大学）
本文将 Fokker-Planck 方程的自洽性推广到 McKean-Vlasov 方程，利用熵耗散构造广义自洽势，并通过神经网络最小化该势函数来求解具有奇异相互作用的 MVE，在多个算例上验证了其有效性。
2023-10-27 cs.LG cs.NA math.AP
Space-time FLAVORS: finite difference, multisymlectic, and pseudospectral integrators for multiscale PDEs
本文提出一类新的刚性问题偏微分方程积分器，基于流平均方法，在空间和时间上使用介观步长，具有多尺度、通用、非侵入、双尺度收敛和保结构等性质。
2011-04-01 cs.NA math.AP math.DS
Optimal Control of Singular Parabolic PDEs Modeling Multiphase Stefan-type Free Boundary Problems
分析了多维多相Stefan型自由边界问题的分布形式奇异非线性抛物型偏微分方程的最优控制。利用有限差分方法，给出了有限维最优控制问题的逼近序列。证明了最优控制的存在性和离散最优控制问题序列关于泛函和控制的收敛性。特别地，在系数的极小正则性假设下，得到了奇异偏微分方程的有限差分方法的收敛性、存在性、唯一性和稳定性估计.
2020-06-12 math.AP math.OC
Semilinear fractional elliptic PDEs with gradient nonlinearities on open balls: existence of solutions and probabilistic representation
针对高维球域上带梯度非线性的分数阶半线性椭圆PDE，提出基于α-稳定分支过程的树状概率表示法，无需梯度非线性的多项式阶条件即可证明粘性解存在，且在10维下精度优于确定性有限差分法。
2024-06-24 cs.NA math.AP math.NA
On the order of accuracy for finite difference approximations of partial differential equations using stencil composition
本文研究模板复合构造有限差分格式的精度阶关系，通过稳定性比较、收敛测试及二维双调和方程与Cahn-Hilliard模型应用验证其有效性。
2023-08-16 cs.NA math.AP math.NA
Adaptive finite difference methods for nonlinear elliptic and parabolic partial differential equations with free boundaries
本文提出自适应网格细化的单调有限差分方法，用于求解具有自由边界的偏微分方程，提升复杂边界和奇点处的精度。
2015-11-18 cs.NA math.AP math.NA
Existence & Regularity of Weak Solutions of Degenerate Parabolic PDE Models for the Pricing of Security Derivatives
University of Phoenix（凤凰城大学）；University of NC at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
针对亚洲期权定价中出现的退化抛物型偏微分方程，通过有限差分数值格式证明边界退化模型的广义可解性，并研究解的正则性。
2009-02-11 cs.NA math.AP math.NA
A partial differential equation for the rank one convex envelope
在这篇文章中，我们介绍了一个偏微分方程（PDE）的秩一凸包络。秩一凸包络出现在非凸向量值变分问题\cite{BallElasticity, kohn1986optimal1, BallJames87, chipot1988equilibrium}中。更一般地，我们研究了方向凸包络的偏微分方程，其中包括通常的凸包络\cite{ObermanConvexEnvelope}和秩一凸包络作为特殊情况。证明了方程的黏性解的存在唯一性。建立了宽网格椭圆型有限差分格式。证明了有限差分解收敛于偏微分方程的黏性解。数值例子秩一和其他方向凸包络。此外，层合板计算从秩一凸包络。
2017-01-12 math.AP
Fluctuations around a homogenised semilinear random PDE
考虑一类半线性抛物型偏微分方程在$\mathbf{R}_+\times [0,1]^d$中的解，其中$d=1, 2$或$3$具有高振荡随机势和齐次Dirichlet或Neumann边界条件.如果振荡的振幅与其典型的时空尺度相比具有正确的大小，则我们方程的解收敛于确定性均匀抛物偏微分方程的解，这是大数定律的一种形式。我们的主要兴趣是在相关的中心极限定理。也就是说，我们研究了一个适当的重新标度的初始随机解和它的LLN极限之间的差异的限制。在维度$d=1$中，重新标度的差异收敛于一个中心的Ornstein-Uhlenbeck过程。然而，在维度$d=2$中，极限是一个非中心高斯过程，而在维度$d=3$中，在取CLT极限之前，我们需要在中间尺度上减去确定性抛物线PDE的解，服从（在Neumann边界条件的情况下）非齐次Neumann边界条件。我们的证明利用正则性结构的理论，特别是最近开发的方法，允许在该理论内的边界条件处理抛物型偏微分方程。
2021-05-05 math.AP math.PR
Mollification of $\mathcal{D}$-solutions to Fully Nonlinear PDE Systems
在最近的一篇论文（arXiv：1501.06164）中，作者介绍了一种新的广义解理论，它适用于任何阶的完全非线性偏微分方程系统，并允许将仅可测量的映射解释为解。这种方法是对偶自由的，并建立在概率表示的差异，通过杨措施的限制，在某些紧致的“状态空间“。在这里，我们建立了一个系统的正则化计划，这个概念的解决方案，通过类比，是对应的通常的软化弱解的卷积和软化的黏性解的上/下卷积。
2015-08-22 math.AP
PDE Acceleration: A convergence rate analysis and applications to obstacle problems
本文提供了一个严格的收敛速度和复杂性分析，最近推出的框架，称为PDE加速，解决问题的变分法，并探讨应用障碍问题。偏微分方程加速法起源于动量法的变分解释，如Nesterov的加速梯度法和Polyak的重球法，将加速法视为广义拉格朗日作用量的运动方程。它的应用凸变分问题产生的运动方程的形式阻尼非线性波动方程，而不是非线性扩散所产生的梯度下降。这些加速偏微分方程可以有效地解决简单的显式有限差分格式，其中加速实现的CFL条件的改进，从$dt\sim dx^2$扩散方程的$dt\sim dx$波动方程。在本文中，我们证明了强凸问题的PDE加速的线性收敛速率，提供了一个离散格式的复杂性分析，并显示如何最佳地选择线性问题的阻尼参数。然后，我们应用PDE加速解决极小曲面障碍问题，包括双障碍强迫，和随机均匀化问题的障碍，获得最先进的计算结果。
2019-07-30 cs.NA math.AP math.DS
"Entropic" solutions to a thermodynamically consistent PDE system for phase transitions and damage
在本文中，我们分析了一个偏微分方程系统模拟（非等温）相变和损伤现象的热粘弹性材料。该模型在物理上是一致的：特别是，没有采用{ \em小扰动假设}，这导致在温度方程的右侧存在二次项，仅在$L^1$中估计。整个系统具有高度的非线性特性。我们解决存在的一个弱的解决方案的概念，被称为“熵”，其中的温度方程制定的熵不等式的帮助下，和一个总的能量不等式。这种可解性概念既反映了热力学的基本原理，又反映了模型的物理一致性。它使我们能够获得\emph{global-in-time}存在定理，而不施加任何限制的大小的初始数据。我们证明了我们的结果，通过在时间离散计划的限制，精心定制的PDE系统的非线性特征（与其“熵”制定），和先验估计上执行it. Our时间离散分析可能是有用的对这个模型的数值研究。
2014-11-19 math.AP
Generalised Solutions for Fully Nonlinear PDE Systems and Existence-Uniqueness Theorems
我们介绍了一种新的理论，适用于完全非线性PDE系统的任何顺序，并允许仅可测量的地图作为解决方案的广义解。这种方法绕过了将分布应用于偏微分方程所产生的标准问题，并且不是基于部分分部积分法或最大值原理。相反，我们的出发点是建立在概率表示的衍生物通过限制的差异concentients在杨措施的复曲面紧化的空间的喷气机。在发展了一些基本理论之后，作为第一个应用，我们考虑了狄利克雷问题，证明了完全非线性退化椭圆二阶方程组解的存在唯一性部分正则性，以及$L^\infty$中$\infty$-Laplace向量变分方程组解的存在性。
2017-02-20 math.AP
Nonlinear smoothing for dispersive PDE: a unified approach
在几种非线性色散偏微分方程的情况下，具有相同初始数据的非线性和线性演化之间的差异，即Duhamel公式中的积分项，表现出改进的规律性。这种性质通常称为非线性平滑。我们采用的方法的无限迭代的规范型减少，以获得一个非常普遍的定理产生存在的非线性光滑的色散偏微分方程，偶然的只有建立两个特定的界限。然后，我们应用这个定理来证明，非线性光滑性质保持，取决于初始数据的规律性，为五个经典的色散方程：在$\mathbb{R}$，立方非线性薛定谔方程，Korteweg-de Vries，修改Korteweg-de Vries和衍生薛定谔方程;在$\mathbb{R}^2$，修改Zakharov-Kuznetsov方程。对于上述一维方程，这种统一方法匹配或改进了现有的非线性平滑结果，同时扩大了Sobolev算子的范围，其中该性质成立。
2019-11-25 math.AP
Error estimates for approximations of nonlinear uniformly parabolic equations
引入有界区域上完全非线性一致抛物型偏微分方程的δ-黏性解的概念。我们证明了δ-黏性解一致地接近于实际的黏性解。作为结果，我们得到了一致抛物型偏微分方程隐式单调有限差分近似的误差估计。
2016-03-04 math.AP
