Matrix divisibility sequences
Gunther Cornelissen, Jonathan Reynolds
我们发现，许多现有的整除序列可以被看作是序列的行列式矩阵整除序列，这自然产生的雅可比矩阵相关的仿射空间上的映射组。
We show that many existing divisibility sequences can be seen as sequences of determinants of matrix divisibility sequences, which arise naturally as Jacobian matrices associated to groups of maps on affine spaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Divisibility in elliptic divisibility sequences
某些椭圆整除序列被证明只包含1000个素数幂项。在某些情况下，这些方法显示只有200多个项的长度低于给定的界限。
New examples of determinant divisibility sequences
本文考虑由方阵得到的可除序列。我们的工作与矩阵整除序列相关联的半群和所产生的自同态的仿射空间。证明了由方阵幂产生的行列式整除序列是广义Lucas序列。
Linear divisibility sequences and Salem numbers
我们研究线性整除序列的顺序4，提供了一个表征，通过他们的特征多项式，并找到他们的因式分解为产品的线性整除序列的顺序2。此外，我们发现了一个新的有趣的线性整除序列和Salem数之间的联系。具体地说，我们生成线性整除序列的顺序4通过塞勒姆数模1。
Generalized Vandermonde Determinants and Characterization of Divisibility Sequences
本文给出了Van der Poorten，Bezevin和Petho在他们的论文“整除性序列的完全刻画”中给出的非退化递归序列的刻画的一个不同的证明，该序列也是可除序列.我们的证明是基于一个有趣的行列式的身份有关的脉冲序列，所产生的广义范德蒙德行列式的评价。作为这个新的证明的结果，我们可以找到一个更精确的形式，在一般情况下，非退化整除序列有极小多项式与重根的结果序列中提出的文件。
Non-classical linear divisibility sequences and cyclotomic polynomials
可除性序列由其元素在其索引进行整除时彼此整除的性质定义。也满足线性递归的整除序列，如斐波那契数，是由多项式生成的，该多项式将其组成除以每个正整数幂。利用标号Hasse图，我们完全刻画了这类多项式的分圆多项式，并在此基础上构造了新的整数整除序列.我们还表明，不同于斐波那契数，这些非经典序列不具有强整除性。
Elliptic Divisibility Sequences, Squares and Cubes
椭圆整除序列（EDS）是一类称为Lucas序列的整数整除序列的推广。有很多兴趣的情况下，卢卡斯序列的条款是广场或立方体。利用带扭点椭圆曲线的单参数Tate标准形，利用Mazur定理给出了所有带零项椭圆整除序列的通项和周期，并利用这些序列的通项证明了EDS的h_{n}的项可以是正方形或立方体.
Prime power terms in elliptic divisibility sequences
我们考虑一个特殊的情况下，类似的椭圆曲线的梅森问题：明确发现所有的素数幂项在椭圆整除序列下降时，通过ismuth是可能的。我们解释了这个问题可以与经典的问题，在丢番图几何和我们计算显式的上界的指数放大椭圆整除序列的素数幂项。
Strong divisibility sequences and sieve methods
本文利用筛法及除数闭集工具，研究强整除序列中含大素因子整数与素数项的密度界，并以 Fibonacci 数和椭圆整除序列为例分析方法局限。
Perfect powers in elliptic divisibility sequences
证明了首项可被2或3整除的椭圆整除序列存在n个完全幂。对于Mordell曲线，如果首项大于1，同样的结论也成立。给出了Mordell曲线和全等数曲线族的例子，并给出了相应的不含完美幂项的椭圆整除序列。将原因子结果与丢番图方程的模方法相结合。
On the greatest prime factor of some divisibility sequences
令$P(m)$表示$m$的最大素因子。对于整数$a>1$，M. Ram Murty和S. Wong证明了，在ABC猜想的假设下，对于任何$ε>0$，都有$$P(a^n-1)\gg_{ε, a} n^{2-ε}$$.我们研究了函数域$\mathbb{F}_q(t)$上相应的整除序列和有理域$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的整除序列的类似结果。
On the Finiteness of Perfect Powers in Elliptic Divisibility Sequences
证明了由$y^2=x(x^2+b)$的椭圆曲线上的一个非整点生成的椭圆整除序列存在100个完美幂，其中$b$是任意正整数.我们利用实二次数域上椭圆曲线的模性来实现这一点。
On a divisibility relation for Lucas sequences
本文研究了整除关系$U_m\mid U_{n+k}^s-U_n^s$，其中${\bf U}:=\{U_n\}_{n\ge 0}$是特征多项式$x^2-ax\pm 1$的Lucas序列，$k,m,n,s$是正整数.
Norm Form Equations and Linear Divisibility Sequences
求范数型方程的整数解是一个经典的丢番图问题。利用相关的系数环的单位，我们可以产生这些方程的解的序列。已知这些解可以写成线性递归序列的元组。我们证明了，对于定义在四次域上的某些范数形式族，存在使任何一个固定坐标序列成为线性可除序列的积分等价形式。
Primitive divisors of elliptic divisibility sequences
西尔弗曼证明了类似的Zsigmondy定理椭圆整除序列。对于全局极小形式的椭圆曲线，这个结果似乎是一致的。我们提出了这样的结果，某些无限族的曲线和点。我们的方法允许第一个明确的例子，椭圆Zsigmondy定理展出。
Explicitly bounding perfect powers in elliptic divisibility sequences
本文研究了 $j$-不变量为 $1728$ 的椭圆曲线生成的椭圆可除性序列，利用 $\mathbb{Q}$-曲线的模方法显式确定有限素数集，证明集合外的素数 $l$ 在序列中无 $l$ 次幂，并为 $\mathbb{Q}$-曲线计算框架提供示例。
Elliptic Fermat numbers and elliptic divisibility sequence
对于椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和非扭点$P\in E(\mathbb{Q})$的一对$(E,P)$，\emph{elliptic Fermat numbers}的序列是通过取相应的椭圆整除序列$(D_{n})_{n\in\mathbb{N}}$中指数幂为2的项的乘积来定义的，即$D_{1}$，$D_{2}/D_{1}$，$D_{4}/D_{2}$等.椭圆费马数与经典的费马数，$F_{k}=2^{2^k}+1$有许多共同的性质.本文证明了对于放大椭圆Fermat序列，只有1000多项是素数。我们还定义了\emph{generalized elliptic Fermat numbers}采取的椭圆整除序列，对应于任何整数$m$的权力，并表明，许多经典的费马性质，包括互质性，秩序的普遍性和复合性，仍然持有。
The density of the terms in an elliptic divisibility sequence having a fixed G.C.D. with their index
令$\mathbf{D}=(D_{n})_{n\geq 1}$是与对$(E,P)$相关联的椭圆可除性序列。对于固定整数$k$，我们定义$\mathscr{A}_{E,k}=\{n\geq 1 : \gcd(n,D_{n})=k\}$。给出了$\mathscr{A}_{E,k}$的结构描述。利用与$E$的Frobenius迹分布有关的界，解释了$\mathscr{A}_{E,k}$何时具有正的渐近密度.利用默比乌斯函数得到了$\mathscr{A}_{E,k}$的显式密度.
Divisor Divisibility Sequences on Tori
我们将与Laurent多项式$f\in\mathbb{Z}[X_1^{\pm1},\ldots,X_N^{\pm1}]$相关联的$\textit{Divisor Divisibility Sequence}$定义为序列$W_n(f)=\prod f(ζ_1,\ldots,ζ_N)$，其中$ζ_1,\ldots,ζ_N$的范围在具有$f(ζ_1,\ldots,ζ_N)\ne0$的所有$n$的单位根上。更一般地说，我们类似地为任何有限子群$Λ\subset(\mathbb C^*)^N$定义$W_Λ(f)$。我们研究了$W_Λ(f)$作为$Λ$的函数的可除性、因子分解和增长特性。特别是，我们给$W_Λ(f)$的完全因式分解时，$f$有通用的系数，我们证明了一个分析估计表明，秩的幻影集$W_Λ(f)$是不是太大。
Primitive Divisors of Certain Elliptic Divisibility Sequences
设$P$是椭圆曲线$E_{a}: y^{2}=x^{3}+ax$上的非挠点。证明了：若$a$无四次幂，且$n>2$为偶数或$n>1$为奇数，且$x(P)<0$或$x(P)$为完满平方，则由$P$生成的椭圆整除序列的第$n$个元素总有一个本原因子.
Divisibility properties of factors of the discriminant of generalized Fibonacci numbers
研究了由$G_0=0$，$G_1=1$和$G_n=pG_{n-1}+qG_{n-2}$定义的广义Fibonacci序列$(G_n)_{n\ge0}$的特征多项式的判别式因子对$n\ge2$的整除性质，其中$p,q$为给定整数.作为推论，我们给出了一些已知序列的整除性。
Memoir on Divisibility Sequences
这本回忆录的目的是讨论整数序列的两个非常有趣的性质。一个是显现法则，另一个是重复法则。这两个已被广泛研究的数学家，如沃德，卢卡斯，莱默，霍尔等，但是，由于缺乏适当的调查，在这方面，许多结果已被重新发现几十年后。这一点以及这种理论的有用性的必要性要求对这一主题进行调查。
Divisibility sequences related to abelian varieties isogenous to a power of an elliptic curve
本文研究定义在数域上、经同源映射到椭圆曲线幂的阿贝尔簇中秩为1的点所诱导的整除序列，并揭示其与椭圆整除序列的联系。
On the divisibility of the rank of appearance of a Lucas sequence
令$U = (U_n)_{n \geq 0}$是卢卡斯序列，并且对于每个素数$p$，令$ρ_U(p)$是$p$在$U$中出现的秩，即，无论何时$p$存在，都是使得$p$整除$U_k$的最小正整数$k$。此外，令$d$为奇数正整数。在一些温和的假设下，我们证明了一个关于素数$p \leq x$的个数的渐近公式，使得$d$整除$ρ_U(p)$，为$x \to +\infty$ .
Somos-4 and Somos-5 are arithmetic divisibility sequences
我们提供了一个初步的证明，罗宾逊猜想的倍数（权力）素数的Somos-4序列是等距的。我们还表明，几乎作为一个推论，为广义Somos-4序列定义的$τ_{n+2}τ_{n-2}=ατ_{n+1}τ_{n-1}+βτ_n^2$和初始值$τ_1=τ_2=τ_3=τ_4=1$，多项式$τ_n(α,β)$是一个除数的$τ_{n+k(2n-5)}(α,β)$为所有$n,k\in\mathbb Z$，并建立一个类似的结果为广义Somos-5序列。
Algebraic divisibility sequences over function fields
研究了定义在函数域上的经典可除序列中素数和本原因子的存在性。在各种假设下，证明了数域上定义的函数域上的Lucas序列和椭圆可除序列包含无穷多个不可约元.我们还证明了函数域上的椭圆整除序列只有200多项缺少一个本原因子。
Strong divisibility and lcm-sequences
令$R$为gcd域（例如，令$R$为唯一因子分解域），令$(a_n)_{n\geqslant1}$为$R$中的非零元素序列。我们证明了$\gcd(a_n,a_m)=a_{\gcd(n,m)}$对于所有$n,m\geqslant1$当且仅当$$a_n=\prod\limits_{d\mid n} c_d\quad\mbox{for} \ n\geqslant1, $$其中$c_1=a_1$和$c_n=\mbox{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_n)/\mbox{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_{n-1})$对于$n\geqslant2$ .所有与gcd和lcm的等式都以$R$为单位来确定。
Perfect powers in products of terms of elliptic divisibility sequences
涉及递归序列的丢番图问题有着悠久的历史，是数论中一个活跃的研究课题。本文将正整数方程$\gcd(m,d)=1$与域联系起来，其中$\ell\geq 2$是一个固定整数，$B=(B_n)_{n=1}^\infty$是椭圆整除序列，是一类重要的非线性递归函数.我们证明了上述方程只存在两个解。事实上，我们提出了一个算法，以找到所有可能的解决方案，提供了一套$\ell$次幂在$B$。(Note这个集合是有限的）。我们通过一个例子来说明我们的方法。
Some effectivity results for primitive divisors of elliptic divisibility sequences
本文证明了椭圆曲线上非挠点的分母序列在项数足够大时每项均存在本原除子，并给出了仅依赖于曲线模型的可有效计算的常数。
Identities and estimations involving the least common multiple of strong divisibility sequences
本文首先证明了对于任意强整除序列$\boldsymbol{a} = \left(a_n\right)_{n\geq 1}$，我们有恒等式：$\mathrm{lcm} \left\lbrace \binom{n}{0}_{\bf{a}}, \binom{n}{1}_{\bf{a}},\dots, \binom{n}{n}_{\bf{a}} \right\rbrace = \frac{\mathrm{lcm} \left(a_1,\dots , a_n , a_{n+1}\right)}{a_{n+1}}$ $\left(\forall n \geq 1\right)$，推广了Farhi的恒等式（在2009年得到的关于$a_n=n$的恒等式）.然后，我们从这个恒等式推导出一些其他有趣的恒等式。最后，我们应用这些恒等式估计了某些Lucas序列的连续项的最小公倍数。用$\left(F_n\right)_n$表示通常的斐波那契序列，我们证明了例如对于所有的$n \geq 1$，我们有\[ Φ^{\frac{n^2}{4}-\frac{9}{4}} \leq \mathrm{lcm}\left(F_1,\dots,F_n\right) \leq Φ^{\frac{n^2}{3}+\frac{4n}{3}} , \]，其中$Φ$表示黄金分割率。
Non-divisibility of LCM Matrices by GCD Matrices on GCD-closed Sets
本文研究了Hong在2002年提出的环$M_n(\mathbb{Z})$中LCM矩阵被GCD矩阵整除的问题，特别是Zhao在2014年提出的一个关于整除问题的猜想.给出了环$M_n(\mathbb{Z})$中LCM矩阵不可被GCD矩阵整除的gcd-闭集.这可能是第一个理论证据，证明赵的猜想可能是正确的。进一步，我们给出了环$M_n(\mathbb{Z})$中GCD-闭集$S$与$|S|\leq 8$的等价充要条件，使得GCD矩阵整除环中的LCM矩阵，从而部分地解决了Hong问题.最后，我们得到了一个新的猜想，它可以被认为是赵猜想的推广。
Explicit Prime Densities for Lucas Sequence Rank Divisibility
本文研究了Lucas序列中素数p的出现秩ρ_U(p)的Dirichlet密度，推导出闭式公式，完善了Sanna(2022)的工作，覆盖所有Lucas序列和所有d≥1的情况。
Primitive divisors of elliptic divisibility sequences for elliptic curves with j=1728
本文研究 j=1728 有理椭圆曲线上的椭圆整除序列，证明 $B_{5m}$ 恒有素因子，并推广至 $B_{mp}$（$p\equiv1\pmod4$）。
The sign of an elliptic divisibility sequence
椭圆整除序列（EDS）是由整数W_0，W_1，W_2，.由椭圆曲线的除法多项式满足的非线性递归产生。给出了无界非奇异椭圆可除序列W_n的符号公式。一个典型的情况是对于无理数实数b，Sign（W_n）=（-1）^[n*b]，其中[x]表示x中的最大整数。作为一个应用，我们表明，相关的序列的绝对值|W_1|，|W_2|，|W_3|，.不能实现为任何（抽象）动力系统的序列计数不动点。
A recurrence relation for elliptic divisibility sequences
本文针对椭圆可除序列的两种非等价定义，证明在索引满足特定条件时，分母平方根序列也满足经典递推关系。
Generalized Greatest Common Divisors, Divisibility Sequences, and Vojta's Conjecture for Blowups
我们应用Vojta的猜想爆破和推导出一些深的声明（广义）最大公因数的品种，特别是在射影空间和阿贝尔簇。这些陈述的特殊情况推广了以前的结果和定理。我们还讨论了广义最大公因数与代数群上的整除序列之间的关系，并应用Vojta猜想得到了维数至少为2的阿贝尔簇上的整除序列的一个强界.
Divisibility sequences of polynomials and heights estimates
在本文中，我们计算一个常数$N$，它限制了椭圆整除序列中非本原因子的个数。我们改进了Ingram--Mah{é}--Silverman--Stange--Streng，2012的结果，并且我们表明常数可以独立于特定点并且在一定程度上独立于特定曲线来选择，正如在loc中预测的那样。前引书
Divisibility Properties of Integer Sequences
非零整数序列$f = (f_1, f_2, \dots)$是“binomid”，如果每个$f$ -binomid系数$\left[\! \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\! \right]_f$是整数。这些项是广义二项式系数：\[ \left[\! \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\! \right]_f \ = \ \frac{ f_nf_{n-1}\cdots f_{n-k+1} }{ f_kf_{k-1}\cdots f_1 }. \]令$Δ(f)$是以这些数字为元素的无限三角形。当$I = (1, 2, 3, \dots)$时，则$Δ(I)$是帕斯卡三角形，因此$I$是二项式。令人惊讶的是，帕斯卡三角形的每一行和每一列也是二项式。对于任何$f$，$Δ(f)$的每一行和每一列都生成它自己的三角形，所有这些三角形组合在一起形成“二项式金字塔”$\mathbb{BP}(f)$。如果$\mathbb{BP}(f)$的所有条目都是整数，则序列$f$是“每个级别的binomid”。我们证明了几个熟悉的序列，包括卢卡斯序列的财产。特别地，$I = (1, 2, 3, \dots )$、斐波那契数序列和$(2^n - 1)_{n \ge 1}$在每个水平上都是二项式。
Lehmer sequence approach to the divisibility of class numbers of imaginary quadratic fields
令$k\geq 3$和$n\geq 3$为奇数，令$m\geq 0$为任意整数。对素数$\ell$，证明了虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{\ell^{2m}-2k^n})$的类数既可以被$n$整除，也可以被$n$的特定除数整除.应用这一结果，我们构造了一类具有$$\left(\mathbb{Q}(\sqrt{d}), \mathbb{Q}(\sqrt{d+1}), \mathbb{Q}(\sqrt{4d+1}), \mathbb{Q}(\sqrt{2d+4}), \mathbb{Q}(\sqrt{2d+16}), \cdots, \mathbb{Q}(\sqrt{2d+4^t}) \right)$$，$d\in \mathbb{Z}$和$1\leq 4^t\leq 2|d|$的虚二次域元组的无限族，它们的类数都能被$n$整除.我们的证明使用了Lehmer序列的本原因子的一些深层次的结果。
Terms in elliptic divisibility sequences divisible by their indices
设D =（D_n）_{n \ge 1}是椭圆可除序列.研究了指数为n的集合S（D）满足n| D_n。特别地，给定S（D）中的一个指数n，我们解释了如何构造S（D）中的元素nd，其中d是D_n的一个素除子，或d是D的一个整除圈中素数的乘积.我们也给出了界限的例外指数，不是以这种方式构建。
Simultaneous Diophantine approximation with a divisibility condition
本文研究了 ${\bf R}^2$ 中与连分数类似的联立有理逼近序列，证明在添加可除性条件后，先前关于 Littlewood 猜想的相关结果依然成立。
Primitive divisors of elliptic divisibility sequences over function fields with constant j-invariant
在椭圆曲线的$j$ -不变量为常数的情况下，证明了函数域上椭圆整除序列的最优Zsigmondy界.更详细地，给定具有无限阶的点$P$的椭圆曲线$E$，$P$的倍数$P$、$2P,\ldots$的分解子的序列$D_1$、$D_2, \ldots$在$\gcd(D_m, D_n) = D_{\gcd(m,n)}$的意义上是强整除序列。这是零属Fibonacci，Lucas和Lehmer序列的一属类似物。一个数$N$被称为序列的Zsigmondy界，如果每一项$D_{n}$和$n>N$代表一个新的素因子。在$\mathbf{Q}$上亏格零序列的最优一致Zsigmondy界是Bilu-Hanrot-Eschertier的$30$，2000，但是在亏格1上找到这样的界仍然是一个开放的问题，无论是在$\mathbf{Q}$上还是在函数域上。证明了函数域上一般椭圆可除序列的最优Zsigmondy界是$2$，如果$j$ -不变量是常数.在超奇异的情况下，我们给出了一个完整的分类，哪些条款可以和不能有一个新的素因子。
The elliptic curve discrete logarithm problem and equivalent hard problems for elliptic divisibility sequences
定义了椭圆整除序列理论中的三个困难问题（EDS结合、EDS剩余和EDS离散对数），每个困难问题在次指数时间内可解的充要条件是椭圆曲线离散对数问题在次指数时间内可解.我们还将EDS协会的问题与泰特配对和MOV，Frey-Rück和Shipsey EDS攻击的椭圆曲线离散对数问题的情况下，这些应用。
p-adic properties of division polynomials and elliptic divisibility sequences
对于椭圆曲线的K-有理点E（K）群中的一个给定点P，我们考虑值序列（F_1（P），F_2（P），F_3（P），.）若K是一个有限域，我们证明了该序列是周期的.如果K/Q_p是一个局部域，我们证明（在一定的假设下）存在一个幂q=p^e，使得对所有m > 0，当k趋于无穷大时，F_{mq^{k}}（P）的极限存在于K中，并且是Q（E）上的代数极限.我们应用这个结果证明了一个类似的椭圆整除序列的p-adic极限和代数性结果。
Divisibility and Arithmetic Properties of a Class of Sparse Polynomials
研究了一类以二项式系数为指数和系数的稀疏多项式序列的代数和算术性质。除了整除性和不可约性的结果，我们还考虑了有理根。这导致研究一类无穷的整数序列，具有有趣的性质，并满足线性递归关系。
Perfect powers in elliptic divisibility sequences
本文研究椭圆可除序列中完全幂的有限性问题，通过构造全实域上的Frey曲线并结合模性与降阶论证，在三个附加假设下给出肯定回答，且在Langlands纲领标准猜想下可放宽假设得到相同结论。
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
Mean Divisibility of Multinomial coefficients
令m_1，.，m_s是正整数。考虑由多项式系数定义的序列：a_n= \binom{(m_1+m_2+... +m_s)n}{m_1 n, m_2 n,..., m_s n}。固定一个正整数k \ge 2.证明了存在正整数C（k）使得对所有正整数t，\frac{\prod_{n=1}^t a_{kn}}{\prod_{n=1}^t a_n} \in \frac 1{C（k）} \Z，当且仅当GCD（m_1，.，m_s）=1.
Subsequences and Divisibility by Powers of the Fibonacci Numbers
设$F_n$为第$n$个斐波那契数。设$m, n$为正整数。通过$G(1,n,m) = F^m_n$定义序列$(G(k,n,m))_{k\geq 1}$，并为所有$k\geq 1$定义序列$G(k+1,n,m) = F_{nG(k,n,m)}$。我们表明，$F_n^{k+m-1}\mid G(k,n,m)$的所有$k, m, n\in\mathbb N$。然后我们计算$\frac{G(k,n,m)}{F_n^{k+m-1}}\pmod{F_n}$。
Transversality of sections on elliptic surfaces with applications to elliptic divisibility sequences and geography of surfaces
本文考虑域$k$上的椭圆曲面$\mathcal{E}$，该域具有零截面$O$和另一个无限级截面$P$.如果$k$具有特征零，我们证明了只有1000个点，其中$O$与$P$的倍数相切。等价地，存在整数的有限列表，使得如果$n$不能被它们中的任何一个整除，则$nP$不与$O$相切。这样的相切可以被解释为不太可能的相交。如果$k$具有特征零或$p>3$，而$\mathcal{E}$非常一般，则我们证明了$O$和$nP$之间不相切。我们将这些结果应用到椭圆整除序列的平方自由度和地理表面。特别地，我们构造了具有$K$样本和$K^2$无界的任意固定几何亏格的轻度奇异曲面。
Divisibility properties of sporadic Apéry-like numbers
1982年，Gessel证明了与$ζ(3)$的无理性相关联的Apéry数满足Lucas同余。我们的主要结果是证明相应的同余所有零星Apéry样序列。在某些情况下，我们能够采用的方法，由于麦金托什，Samol-van Straten和罗兰-Yassawi建立这些一致性。然而，对于通常标记为$s_{18}$和$(η)$的序列，我们需要更精细的分析。作为一个应用，我们调查模这些序列是周期的号码。特别是，我们证明了Almkvist-Zudilin数是周期模$8$，一个特殊的属性，他们共享的Apéry数。我们还调查素数不划分任何条款的一个给定的Apéry序列。
Index Divisibility in Dynamical Sequences and Cyclic Orbits Modulo $p$
令$ϕ(x) = x^d + c$是次数至少为2的整数多项式，并考虑序列$(ϕ^n(0))_{n=0}^\infty$，它是$0$在$ϕ$迭代下的轨道。令$D_{d,c}$表示正整数集合$n$，其中$n \mid ϕ^n(0)$。我们给出了$D_{d,c}$在有向图方面的一个特征，并描述了它的一些性质，包括它的基数和其中包含的素数。特别地，我们研究了哪些素数$p$具有$0$的轨道是单$p$ -圈模$p$的性质.我们证明了当$d$是偶数时，这类素数的集合是有限的，并猜想当$d$是奇数时，这类素数的集合是无限的。
Common Divisors of Elliptic Divisibility Sequences over Function Fields
设E/k（T）是定义在特征为零的有理函数域上的椭圆曲线。修正E的维尔斯特拉斯方程。对于E（k（T））中的点R，写作x_R = A_R/D_R^2，其中互素多项式A_R（T）和D_R（T）在k [T]中。对于n \ge 1的序列{D_{nR}}称为R的"椭圆整除序列".设E（k（T））中的P，Q为独立点.我们猜想deg（gcd（D_{nP}，D_{mQ}））对于m，n \ge 1是有界的，并且对于无穷多个n \ge 1，gcd（D_{nP}，D_{nQ}）= gcd（D_{P}，D_{Q}）.我们在j（E）在k中的情况下证明了这些定理。更一般地说，我们证明类似的声明与k（T）替换为任何曲线的功能领域和P和Q允许躺在不同的椭圆曲线。如果k是特征为p的有限域，并再次假设j（E）在k中，我们证明了对于满足gcd（n，p）= 1的无穷多个n，deg（gcd（D_{nP}，D_{nQ}））> n + O（sqrt {n}）.
Recurrence sequences connected with the $m$--ary partition function and their divisibility properties
本文引入了一类与$m$ -元分拆函数有关的序列，并研究了它们的同余性质。特别是，我们获得了有关$m$ -ary分区$(b_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$和$m$ -ary分区（没有间隙）$(c_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$的序列的事实。我们证明，例如，对于任何自然数$2<h\leq m+1$在这两个序列$(b_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$和$(c_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$任何剩余类模$h$出现无限多次。此外，我们给出了序列$(b_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$和序列$(c_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$的模$m$的基- $m$表示的特征的新证明。我们还提出了一个通用的方法，找到这样的特征模的任何权力的$m$。使用我们的方法，我们得到的描述$(b_{m}(n)\mod{μ_{2}})_{n\in\mathbb{N}}$，其中$μ_{2}=m^{2}$，如果$m$是奇数和$μ_{2}=m^{2}/2$，如果$m$是偶数。
On the divisibility of some truncated hypergeometric series
设$p$是奇素数，且$r\geq 1$ .假设$α$是一个$p$ -adic整数，其中某个$1\leq a<(p+r)/(2r+1)$的$α\equiv2a\pmod p$。本文证实了Sun的一个猜想，并证明了$${}_{2r+1}F_{2r}\bigg[\begin{matrix}α&α&\ldots&α\\ &1&\ldots&1\end{matrix}\bigg|\,1\bigg]_{p-1}\equiv0\pmod{p^2},$$，其中截断的超几何级数$$ {}_{q+1}F_{q}\bigg[\begin{matrix}x_0&x_1&\ldots&x_{q}\\ &y_1&\ldots&y_q\end{matrix}\bigg|\,z\bigg]_{n}:=\sum_{k=0}^n\frac{(x_0)_k(x_1)_k\cdots(x_q)_k}{(y_1)_k\cdot (y_q)_k}\cdot\frac{z^k}{k!}. $$
Power Products in Elliptic Divisibility Sequences and Prime-Incidence Obstructions
研究椭圆可除序列中有限乘积为素数ρ次幂的条件，证明在D_1被2或3整除的假设下，索引的大素数因子必须满足ρ-平衡块约束。
Elliptic divisibility sequences and undecidable problems about rational points
Julia Robinson通过公式（\forall \exists \forall \exists）（F=0）给出了有理数Q中有理数Z的一阶定义，其中\forall -量词在总共8个变量上运行，并且其中F是多项式。这意味着Q的Q_5-理论是不可判定的。我们证明了一个关于椭圆曲线的猜想提供了一个解释Z在Q与量词复杂性\forall \exists，只涉及一个普遍量化的变量。这从两个方面提高了在Q中定义Z的复杂性，并意味着Q的Q_3-理论，甚至Q_2-理论都是不可判定的（回想一下，Q的希尔伯特第十问题是Q的Q_1-理论是否不可判定的问题）。简而言之，假设这个猜想成立，Q上存在一个单参数超曲面族，人们无法确定它们是否都有一个有理点。该猜想与椭圆曲线上的椭圆整除序列及其像在有理2-下降下的性质有关，即在适当的剩余类中存在本原因子，讨论了如何证明该猜想的弱密度版本，并给出了一些算法.
On terms in a dynamical divisibility sequence having a fixed G.C.D with their indices
令$F$和$G$是整数多项式，其中$F$的次数至少为$2$。定义序列$(a_n)$由$a_n=F(a_{n-1})$为所有$n\ge 1$和$a_0=0.$设$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$是所有正整数$n$的集合，使得$k\mid \gcd(G(n),a_n)$，如果$p\mid \gcd(G(n),a_n)$为某些$p$，则$p\mid k.$设$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}$是$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$的子集，使得$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}=\{n\ge 1 : \gcd(G(n),a_n)=k\}$。本文证明了一类$(F,G)$的$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}$和$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$的渐近密度的存在性，并计算了$G(x)=x.$的$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}$和$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$的显式密度
On the Lucas and Lehmer sequences in Dedekind domains
该研究将 Lucas 与 Lehmer 序列的强整除性推广到 Dedekind 整环，并在函数域中证明相应的 Zsigmondy 型定理与本原素因子结果。
Primitive divisors on twists of the Fermat cubic
我们证明了，对于费马三次函数的一个扭曲上的椭圆整除序列u^3+v^3=m，其中m是无立方的，第一项之后的所有项都有一个本原因子。
Greatest Common Divisor results on semiabelian varieties and a Conjecture of Silverman
可除性序列是整数序列$\{d_n\}$，使得如果$m$整除$n$，则$d_m$整除$d_n$。Bugeaud，Corvaja，Zannier等人的结果表明，对应于乘法群子群的两个整除序列的gcd以受控的方式增长。西尔弗曼指出，类似的行为应该出现在许多代数群。我们推广了Ghioca-Hsia-Tucker和Silverman关于椭圆曲线的结果，证明了Silverman关于函数域上阿贝尔簇和分裂半阿贝尔簇的猜想的一个类似结果，并推广了这个结果.我们采用的工具来自理论的不太可能的交叉点，以及所谓的贝蒂映射相关的阿贝尔计划的一部分的属性。
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