Number of Vertices of the Polytope of Integer Partitions and Factorization of the Partitioned Number
$n$的整数划分的多面体是相应的$n$维整数点的凸包。它的顶点是重要的，因为每个分区是它们的凸组合。计算结果显示了$v(n),$的有趣的特点，多面体的顶点数：它的图有一个锯齿形的最高峰在素数$n$的。我们用N计数的偶数$n$的大量分区来解释$v(n)$的形状。大都会和公关部斯坦这些分区是另外两个分区的凸组合。我们发现$n$被3整除也减少了$v(n),$的值，这是由三个而不是两个其他的凸组合的分区所造成的，并刻画了任意整数多面体中这样的整数点的凸表示。为了接近总理$n$现象，我们使用一个特定的整数分类，并证明了图的$v(n)$分层到层对应的结果类。我们的主要猜想是$v(n)$依赖于$n.$的约数集。我们还初步论证了循环群上Gomory主角多面体的顶点数具有类似于$v(n).$的特征
2018-10-03 math.CO
Balanced convex partitions of lines in the plane
我们证明了Dujmović和Langerman的火腿三明治定理的一个推广。给定两组$A, B$的$n$线的每一个在平面上，我们证明了它是可能的划分成$r$凸区域的平面，使以下成立。对于分区的每个区域$C$，存在$A$的$c_r n^{1/r}$行的子集，其成对交叉在$C$中，并且这同样适用于$B$。在此语句中，$c_r$仅取决于$r$。我们还证明了对$n$的依赖是最优的。
2019-10-14 math.CO math.MG
Convex fair partitions into an arbitrary number of pieces
FORA Capital, LLC（FORA资本有限责任公司）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Institute for Information Transmission Problems RAS（俄罗斯科学院信息传输问题研究所）
论文证明了任意平面凸集可被分成m个等面积等周的凸部分，且该结果此前仅对素数幂m=p^k成立，同时讨论了高维扩展和多函数均等化技术的困难。
2026-03-20 math.AT math.CO math.MG
Radon partitions in convexity spaces
Tverberg定理断言R^d中的每一个（k-1）（d+1）+1个点都可以被划分为k个部分，使得这些部分的凸包有一个公共相交。考尔德和埃克霍夫问是否有一个纯粹的组合推导特沃伯格定理的特殊情况下k=2。我们打破了纯粹的组合推理的希望，但表明k=2的情况确实意味着每一组O（k^2 log^2 k）点允许将Tverberg划分为k部分。
2010-09-13 cs.CG math.CO math.MG
'Congruent Partitions' of Polygons - a Short Introduction
我们介绍的问题，分区2D区域（通常是凸区域）成相互一致的片（“瓷砖”）。
2010-07-31 math.CO
Convex caterpillars are Schur-Positive
Stanley的一个显著结果证明了$A$型非交叉分划格的极大链集是Schur-正的，其中下降由一个特殊的边标号定义. Goulden和Yong提出了这些链和标记树之间的双射。利用Björner的$EL$ -标号的Adin-Roichman变体，我们证明了$A$型的非交叉分划格中的极大链子集是Schur-正的，其基础树是凸毛虫.
2020-06-12 math.CO
The Polytope of Dual Degree Partitions
我们确定了单图在$n$顶点上的所有对偶度划分的凸包的极值点和面。
2006-12-02 math.CO
Determining the essentially different partitions of all Japanese convex tangrams
在这份报告中，我们考虑了16种可能的凸形七巧板的集合，这些七巧板可以由7种所谓的“Sei Shonagon Chie no Ita”（或日本）tans组成，见[10]。这套日本谭是略有不同，从众所周知的一套7中国谭，其中13（出16）凸七巧板可以形成。文[4]、[6]研究并解决了确定13个“中国”凸七巧板的所有本质不同剖分的问题。在本报告中，我们将解决同样的问题，为“日本”凸七巧板。解决这两个问题的方法或多或少是类似的，但“日本”问题比“中国”问题难得多，因为“日本”解决方案的数量比“中国”解决方案的数量多得多。事实上，只有少数“日本”七巧板形状的解决方案可以通过大量澄清图表支持的严格分析来找到。其余形状的解决方案必须使用专用的计算机程序来确定。这两种方法将在这里讨论，并提出了所有本质上不同的解决方案与“日本”晒黑。据我们所知，所有提出的结果尚未发表之前。
2018-11-29 math.CO math.HO
Noncrossing Partitions From Cones and Semicircles
Lafayette College（拉法耶特学院）
研究凸多边形边上的点配置生成的非交叉划分格，探讨其三种变体及与卡特兰数的关联。
2026-04-15 math.CO
Convex equipartitions of colored point sets
我们发现，任何$d$着色的点在一般的位置在$\mathbb{R}^d$可以被划分成$n$子集不相交的凸包，这样的点集和所有的颜色类被划分尽可能均匀。这扩展了Holmsen，Kynčl & Valculescu（2017）的结果，并建立了他们一般猜想的特例。我们的证明利用Soberón和Karasev在2010年独立获得的结果，关于$\mathbb{R}^d$中的$d$连续测度在$n$凸区域上的同时均分。这给出了具有期望属性的$\mathbb{R}^d$的凸分区，除了点可能位于区域的边界上。为了解决这些点的模糊分配，我们建立了一个网络流问题。连续测度的均分给出了一个分数流。然后，整数流的存在产生点集的期望划分。
2017-12-14 math.CO math.MG
Discrete Decreasing Minimization, Part II: Views from Discrete Convex Analysis
我们继续考虑在第一部分中讨论的整基多面体上的离散递减极小化问题。问题是在整基多面体中寻找一个字典序最小整向量，其中向量的分量按降序排列。本文的研究可以看作是Fujishige（1980）关于连续变量的基多面体的字典序最优基和主剖分的工作的离散对应部分。第二部分有两个目标。第一个是提供结构性意见，从离散凸分析（DCA）的结果，第一部分得到的建设性和算法的方法。第二个目标是为DCA方法在其他离散结构如M-凸集的交集、流和子模流上的离散减极小化铺平道路。我们从DCA中M-凸集和M-凸函数的基本事实推导出第一部分的结构结果。本文给出了在第一部分中用迭代方法构造的典型划分的一个直接特征。这揭示了离散情况下的典型划分和连续情况下的主划分之间的精确关系。此外，这个结果需要一个邻近定理，说明每个递减极小元包含在包含（唯一）分数递减极小元（最小范数点）的小盒子中，进一步导致一个连续松弛算法，用于寻找M-凸集的递减极小元。这样就完全阐明了连续情况和离散情况之间的关系。此外，我们提出了网络流，两个M-凸集的交集，和子模流的DCA最小-最大公式。
2020-06-30 math.CO
Noncrossing Partitions From Hull Configurations
本文研究了围栏配置所确定的非交叉划分格，证明其为布尔子偏格的并集，并在特定条件下具有对称链分解。
2026-04-15 math.CO
High-dimensional envy-free partitions
研究高维空间中无嫉妒划分问题，证明若干凸划分空间可实现任意观察者间的无嫉妒分配，并支持多组同时划分。
2023-11-16 math.CO
'Fair' Partitions of Polygons - an Introduction
我们解决这个问题：给定一个正整数$N$，任意二维凸多边形区域能否被划分为若干块$N$凸块，使得所有块的面积和周长相同？对于$N$ =2，这个问题的答案很容易是“是”。我们证明答案是“是”的$N$ =4，也讨论了更高的权力2。
2010-11-21 math.CO math.HO
Residue formulae for vector partitions and Euler-MacLaurin sums
给定一个有限的向量集，它跨越一个格，并位于一个实向量空间的半空间中，对于这个向量空间中的每个向量$a$，可以关联一个多面体，该多面体由集合中向量的非负线性组合组成，其总和为$a$。这个多面体称为$a$的分割多面体。如果$a$是整数，这个多面体包含一个有限的一组格点对应于非负整数线性组合。与积分$a$相关联的划分多面体是有理凸多胞体，并且任何有理凸多胞体都可以规范地实现为划分多面体。我们考虑的问题，计算的数目的格点在分区多面体，或者，更一般地说，计算的指数-多项式函数的值的总和在这样的多面体的格点。我们给出了明确的公式，这些数量使用的概念，由于Jeffrey-Kirwan的多维剩余。我们表明，特别是，这些数量对$a$的依赖是指数多项式的“大邻域”的商会。我们的方法依赖于一个定理的分离变量的生成函数，或更一般地说，周期性的亚纯函数与极点的安排仿射超平面。
2002-02-24 math.CO
Tverberg Partition Graphs
本文针对有限点集的 Tverberg 划分族构造了一个图，并证明了该图的最小度、最大度、最大度顶点数、团数及连通性的界。
2023-10-12 math.CO
Nested sets, set partitions and Kirkman-Cayley dissection numbers
本文给出了著名的关于凸多边形剖分数的Kirkman-Cayley公式的一个显式双射证明。我们的出发点是由\(\{1,2,...,n\}\)的\(k\)子集与基数\(\geq 2\)构成的嵌套集合的集合与将\(\{1,2,...,n+k-1\}\)划分为具有基数\(\geq 2\)的\(k\)部分的集合之间的双射对应。
2014-06-23 math.CO
On Tverberg partitions
Tverberg在1966年的一个定理中断言，每个$n=T(d,r)=(d+1)(r-1)+1$点的集合$X\subset\mathbb{R}^d$可以被划分成$r$两两不相交的子集，这些子集的凸包有一个公共点。因此，每个这样的划分将$n$的整数划分归纳为$r$部分（即，$r$整数$a_1,\ldots,a_r$满足$n=a_1+\cdots+a_r$），其中部分$a_i$对应于每个子集中的点数。本文证明了对任何划分$a_i\le d+1$，$i=1,\ldots,r$，存在一个$n$点集$X\subset\mathbb{R}^d$，使得$X$的每个Tverberg划分都导出$n$上的相同划分，由部分$a_1,\ldots,a_r$给出.
2017-05-15 math.CO
Generalizations of the Yao-Yao partition theorem and the central transversal theorem
我们推广了姚-姚划分定理，证明对于$R^d$中的任何光滑测度，都存在使用$(t+1)2^{d-1}$凸区域的等分，使得每个超平面至少错过$t$区域的内部。此外，我们提出了严格的界限上的最小数量的超平面，其工会包含的边界的均分到$n$地区的措施。我们还提出了一个简单的证明Borsuk-Ulam型定理Stiefel流形，使我们能够推广的中心横截定理和证明结果桥接姚-姚分割定理和中心横截定理。
2021-07-13 math.CO
Colorful Intersections and Tverberg Partitions
本文证明了在离散几何中的彩色Helly定理和Tverberg定理之间进行插值的定理，展示了满足特定条件的凸集族必然存在Tverberg k-划分，并扩展了关于r维横截的相关工作。
2024-03-22 math.CO math.MG
Convex Rank Tests and Semigraphoids
凸秩检验是对具有理想几何性质的对称群的划分。由这种划分定义的统计检验涉及对等价类中的所有排列进行计数。每个类由数据指定的偏序集的线性扩张组成。我们的方法改进了现有的非参数统计的秩检验，如符号检验和游程检验，并适用于有序数据的探索性分析。我们建立了一个双射之间的凸秩检验和概率的条件独立结构称为semigraphoid。次模秩检验的子类是从次模函数的锥面或置换面体的Minkowski和式导出的。我们列举了这种秩检验的所有小实例。特别令人感兴趣的是图形测试，它对应于图形模型和图形关联面体。
2008-02-16 math.CO math.ST stat.TH
New Lower Bounds for Tverberg Partitions with Tolerance in the Plane
设$P$是$d$维空间中的一组$n$点. Tverberg定理表明，如果$n$至少是$(k-1)(d+1)+1$，则$P$可以划分为凸壳相交的$k$集合。具有此属性的分区称为{ \em Tverberg分区}。如果分区在从$P$中删除任何一组$t$点后仍然是Tverberg分区，则该分区具有容差$t$。只要$n$足够大，在任何维度上都存在容差Tverberg划分。令$N(d,k,t)$为$n$的最小值，使得对于$\mathbb{R}^d$中的任何$n$点集合存在容许Tverberg分区。只有少数精确值的$N(d,k,t)$是已知的。本文建立了$N(2,2,2)$的一个新的紧界.我们还证明了$k\ge 2$和$t\ge 1$的$N(2,k,t)$的许多新的下界。
2020-02-22 math.CO
Sharp upper and lower bounds on a restricted class of convex characters
设$\mathcal{T}$是一棵无根二叉树，其叶子有$n$不同的标记。从遗传学领域中获得它的名字，$\mathcal{T}$上的凸特征是简单的叶划分，使得由划分的块诱导的最小生成子树相互不相交。在早期的工作Kelk和Stamoulis（进展应用数学84（2017），pp. 34--46）将$g_k(\mathcal{T})$定义为每个块至少具有$k$叶的凸字符的数量。给出了$g_1$和$g_2$的精确表达式，其中$\mathcal{T}$的拓扑被证明是不相关的，并且注意到对于$k \geq 3$拓扑中性不再成立。在这篇文章中，对于每一个$k \geq 3$，我们描述树拓扑实现的最大值和最小值的$g_k$，并确定相应的表达式和指数界的$g_k$。最后，我们简要地反映这些结果可能的算法应用。
2021-07-22 math.CO q-bio.PE
Inscribed Tverberg-Type Partitions for Orbit Polytopes
本文拓展Tverberg定理相关研究，证明对r阶群的忠实满维正交表示，ℝᵈ中t(r,d)-d个点的一般集可划分为r个子集，其凸包各取一点能构成等距群含该群的凸d多面体的顶点，且点数最优，涵盖平面正r边形等多种情形。
2022-07-24 math.CO math.RT
Compositions constrained by graph Laplacian minors
受对称约束的组合物，超凸分区，超凸组合物的例子的启发，我们开始研究的分区和组合物的限制图拉普拉斯未成年人。我们提供了一个完整的描述的多元生成函数的情况下，这样的组合物的树。我们回答了一个问题，由于科蒂尔，萨维奇和Wilf关于超凸的组成，我们描述为组成的拉普拉斯未成年人的周期约束，我们扩展这个解决方案的研究组成的拉普拉斯未成年人的叶周期约束。连接的建立和approximately由拉普拉斯未成年人的素数长度和代数/组合性质的自反单形的叶圈约束的成分之间。
2012-02-09 math.CO math.NT
The Erdős-Szekeres problem for non-crossing convex sets
本文证明了Bisztriczky和Fejes T{ó}th关于平面凸体排列的一个猜想与Goodman和Pollack关于拓扑仿射平面中点集的一个猜想之间的等价性。作为这个等价的一个推论，我们改进了Pach和Tóth关于不相交凸体的Erdens-Szekeres定理的上界，以及Fox，Pach，Sudakov和Suk最近得到的关于不相交凸体的Erdens-Szekeres定理的上界.我们的方法也意味着改进的正分数Erd \H{os} -Szekeres定理的不相交（和非交叉）凸体，以及推广的分区Erdens-Szekeres定理的Pór和Valtr安排的非交叉凸体。
2013-08-31 math.CO
New results on the coarseness of bicolored point sets
设$S$为平面中$n$点的双色（红色和蓝色）集合。如果存在凸集$C$使得$I=C\cap S$，则$S$的子集$I$是岛.一个岛的差异是它所包含的红色点的数量减去蓝色点的数量的绝对值。$S$的凸划分是将$S$划分为具有成对不相交凸包的岛。凸划分的差异是其最小差异岛的差异。$S$的粗糙度是具有最大偏差的$S$的凸划分的偏差。Bereg等人最近定义了这一概念[CGTA 2013]。在本文中，我们研究以下问题：给定一个集合$S$的$n$点在平面上的一般位置，如何将他们中的每一个（红色或蓝色），使所产生的2色点集具有小粗糙度？证明了每个$n$ -点集$S$都可以着色，使得其粗度为$O(n^{1/4}\sqrt{\log n})$ .这个界几乎是紧的，因为存在$n$ -点集，使得每一个2-着色至少给出$Ω(n^{1/4})$粗糙度.此外，我们证明了存在一种近似算法用于计算2色点集的粗糙度，其比率介于$1/128$和$1/64$之间，解决了Bereg等人[CGTA 2013]提出的一个开放问题。我们所有的结果考虑$k$ -可分离的岛屿的$S$，对于一些$k$，这是由相交的$S$与最多$k$半平面。
2013-11-29 cs.DM math.CO math.MG
Equipartition of several measures
我们证明了以下几个结果：任何$d$措施在$\mathbb R^d$可以同时划分成$k$平等的部分由凸分区（这一特殊的结果是独立证明的巴勃罗Soberón）。另一个例子是：如果$q$是素数幂，则平面上的任何凸体都可以被划分为面积和周长相等的$q$部分.上述结果部分回答了A. Kaneko，M.卡诺河Nandakumar，N.拉玛纳·拉奥和我巴兰尼本文的证明受到M. Gromov和Y.梅玛丽安证明这些事实的主要拓扑工具是V.A.瓦西里本文的一个较新的版本，与A. Hubard和B.阿罗诺夫是{arXiv：1306.2741}。
2013-06-14 math.AT math.CO math.MG
