Free planes in lattice sphere packings
我们证明了对于$n$维球的每一个格点填充，只要$n$足够大，就存在一个$(n/\log_2(n))$维仿射平面，它不与任何球相交.这样的仿射平面称为自由平面，我们的结果改进了以前的界限。
2003-08-11 math.MG
Three-point bounds for sphere packing
我们定义了三个点的范围内的球体包装，完善的线性规划的界限，我们计算这些界限数值使用半定规划，通过选择一个截断半径的三个点函数。其结果是，我们得到了新的上界的球堆积密度在4至7和9至16维。我们还给出了一个不同的三点约束格包装和猜想，这第二界是尖锐的4维。
2022-06-30 math.MG
On Contact Numbers of Finite Lattice Sphere Packings and the Maximal Coordination of Monatomic Crystals
我们的算法特征的最大接触数问题的有限全等格子球填充在$\mathbb{R}^d$和显示，在$\mathbb{R}^3$这个问题是等价于确定最大协调的单原子晶体。
2016-02-06 math.MG
Optimal packing of spheres in $\mathbb R^d$ and extremal effective conductivity
通过对含有理想导电球形夹杂物的复合材料的能量$E$（有效电导率）的优化，研究了球形夹杂物在$\mathbb R^d$中的最佳堆积。结果表明，在最佳填充下，球体位置上的$E$达到最小值。的能量估计的结构近似的框架。这种方法产生上界，有时精确值的最大浓度的球体在$\mathbb R^d$。构造了一个求解与Delaunay图类相关联的球的最优位置的构造性算法。
2014-12-23 math.MG
A Proof of Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve
在1969年，Fejes Toth提出，在欧几里得三维空间中，任何一个相等的球的堆积，使得每个球都被其他12个球接触，都是由六边形层组成的。本文验证了这一猜想。
2012-09-26 math.MG
A Breakthrough in Sphere Packing: The Search for Magic Functions
本文是为《新阿尔奇·沃尔·维斯昆德》杂志撰写的一篇关于球填充理论的两个最新突破性结果的论述。其中包括对亨利·科恩、阿比纳夫·库马尔、斯蒂芬·D·卡耐基的采访。米勒和玛丽娜·维亚佐夫斯卡。
2016-07-07 math.MG
On Contact Numbers of Finite Lattice Sphere Packings of 20-27 Balls
对于20-27个球，给出了以单位球的最大接触数作为假定最佳接触数的经验构造。
2016-03-17 math.MG
Average kissing numbers for non-congruent sphere packings
柯比圈填充定理指出，每个有限可平面图都可以被实现为R^3中（非全等）圈的填充的神经。我们研究了R^3中非全等球面有限填充的平均吻数，作为对这种填充可能的神经的第一个限制。我们证明了所有填充的平均接吻数的上确界k满足12.566 ~ 666/53 <= k < 8 + 4*sqrt（3）~ 14.928.我们利用资源耗尽论证得到了上界的上界，并利用S^3中包含球冠填充的构造得到了上界的上界.我们的结果与两个关于平均接吻数的天真假设相矛盾：它是无界的，或者它是由全等球面的无限堆积而最大化的。
1994-05-13 math.MG
New upper bounds on sphere packings II
我们继续研究的线性规划界的球形包装介绍科恩和Elkies。利用θ级数给出了该定理的另一种证明，并给出了相关的结果和图解。
2002-06-28 math.MG
The Strong Dodecahedral Conjecture and Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve
本文简述了欧氏空间中关于球面填充的两个定理的证明。第一个是K。Bezdek强十二面体猜想：半径为1的球的堆积中的每个有界Voronoi胞的表面积至少是半径为1的正十二面体的表面积。第二个定理是L。Toth的接触猜想，它断言在三维空间中，任何全等球的包装，使得每个球都被其他12个球接触，都由六边形层组成。这两个证明都是计算机辅助的。这些定理的完整证明出现在作者的著作《稠密球填充》和相关的预印本中
2012-11-19 math.MG
On contact numbers of locally separable unit sphere packings
在欧氏$d$ -空间中的一个多球填充的接触数是填充中的球接触对的数目。球填充的一个突出的子类是由所谓的完全可分球填充形成的：在这里，球在欧几里得$d$ -空间中的填充被称为完全可分，如果任何两个球可以被一个超平面分开，使得它与填充中每个球的内部不相交。Bezdek、Szalkai和Szalkai（Discrete Math.339（2）：668-676，2016）在欧几里得$d$ -空间中用$n$和$d$给出了$n$单位球的完全可分填充的接触数的上界。本文改进了它们的上界，并将新的上界推广到单位球的局部可分填充。我们称单位球的填充为局部可分填充，如果填充的每个单位球与与它相切的单位球一起形成完全可分填充。在平面上，我们证明了一个结晶的结果，通过表征所有的局部可分包装的$n$单位盘具有最大的接触数。
2021-05-14 math.MG
On contact numbers of totally separable unit sphere packings
联系电话是接吻电话的自然扩张。本文给出了欧氏d-空间中n个单位球的全可分填充中的接触数的估计，其中n>1，d>1。
2015-09-18 math.MG
Sphere Packings in Hyperbolic Space: Periodicity and Continuity
这篇论文被撤回是因为在引理4.3中发现了一个错误。虽然本文的其余部分似乎是正确的，但这个错误使定理3.1和定理3.3的证明无效。
2006-06-22 math.MG
Sphere packings II
早期的论文描述了一个程序来证明开普勒猜想的球包装。本文实现了该方案的第二步。球体填充导致$R^3$分解为多面体。多面体分为两类。第一类多面体称为准正四面体，其密度至多为正四面体的密度。其余类别中的多面体的密度最多为正八面体的密度（约0.7209）。
1998-11-11 math.MG
Some properties of optimal functions for sphere packing in dimensions 8 and 24
研究了一类实变量函数序列，并猜想它们一致收敛于具有一定正性和增长性的函数。我们的结构暗示了Cohn和Elkies的猜想，这反过来又暗示了8维和24维球体填充问题的完整解决方案。我们给出了这些假设的极限函数的数值证据以及一些算术性质。鉴于维亚佐夫斯卡最近对8维科恩-埃尔基猜想（以及球体填充问题）的解决方案，这些猜想在24维中最受关注。
2016-03-15 math.MG
Sphere packings IV
这是第六次在一系列的文件给予证明开普勒猜想，其中声称，密度包装的全等领域在三维空间是从来没有大于$π/\sqrt{18}\approx 0.74048...$。这是离散几何中最古老的问题，也是希尔伯特第18问题的重要组成部分。实现该密度的堆积的示例是面心立方堆积。本文完成了Math.MG/9811073中程序第四步的一部分：证明了如果某个标准区域的边数大于四边，则星的得分小于$8 \pt$。
2002-05-20 math.MG
Bounds for Local Density of Sphere Packings and the Kepler Conjecture
利用局部密度不等式方法得到了R^n中球堆积密度的上界.这种方法首先由L. Fejes-Toth在1956年证明了开普勒猜想，即R^3中的密积球填充是“炮弹填充”。L. Fejes-Toth，W. Y. Hsiang和T.海尔斯到开普勒猜想都是基于（不同的）局部密度不等式。最近T. Hales和S. P. Ferguson提出了一个修改过的Otrignal Hales方法来证明开普勒猜想的广泛细节。我们描述了特殊的局部密度不等式undelying黑尔斯和弗格森的方法，并勾勒出他们的证明的一些特点。
2000-08-18 math.MG
Sphere packings V
黑尔斯计划证明开普勒猜想球包装由五个步骤，如果完成，将共同构成一个证明的猜想。我们执行程序的第五步[在数学MG/9811073中概述]，证明某种组合排列（五面体棱柱）的局部密度小于面心立方晶格堆积。我们证明了各种关系的局部密度使用基于计算机的区间运算方法。总之，这些关系意味着局部密度约束。
1998-11-11 math.MG
Sphere packings III
这是第五次在一系列的文件给予证明开普勒猜想，其中声称，密度包装的全等领域在三维空间是从来没有大于$π/\sqrt{18}\approx 0.74048...$。这是离散几何中最古老的问题，也是希尔伯特第18问题的重要组成部分。实现该密度的堆积的示例是面心立方堆积。本文实现了数学MG/9811073中概述的程序的第三步：证明如果所有标准区域都是三角形或四边形，则总分小于$8 \pt$（不包括五角棱镜的情况）。
2002-05-20 math.MG
New Sphere Packings from the Antipode Construction
本文利用对跖方法作用于 $Λ_{24}$ 和 $P_{48p}$ 的次优截面，在七个维度上构造出创纪录密度的非格球体堆积。
2025-05-05 math.MG
Sphere packings I
我们描述了一个程序来证明球填充的开普勒猜想。然后，我们执行该计划的第一步。每一个填充决定了空间分解成德劳内单形，这些单形被组合成有限的配置，称为德劳内星。一个分数，这是有关的包装密度，被分配给每个Delaunay星。我们猜想每个Delaunay星的分数至多是面心立方和六角密堆积中的星的分数。这个猜想暗示了开普勒猜想。为了完成程序的第一步，我们证明了每个满足一定正则性条件的Delaunay星都满足猜想。
1998-11-11 math.MG
A Mathematical Theory for Random Solid Packings
几个世纪以来，相同物体的填充一直吸引着科学家和外行，特别是球体填充和相同正四面体的填充。几个世纪以来，数学家一直试图确定密排堆积;晶体学家和化学家也对晶格堆积着迷了几个世纪。另一方面，物理学家、地质学家、材料科学家和工程师几十年来一直受到神秘的随机堆积的挑战。半个多世纪以来，人们通过实验证明了稠密的随机球堆积和松散的随机球堆积的存在。然而，对它们的严格定义仍然缺失。本文的目的是回顾随机固体填料并建立其数学理论。
2014-10-05 math.MG
Contact numbers for congruent sphere packings in Euclidean 3-space
继续Harborth（1974）和作者（2002）的研究，我们研究了以下两个关于球填充的基本问题。回想一下，单位球的任意有限堆积的接触图（即，是欧氏空间中的（简单）图，其顶点对应于填充元，并且如果对应的两个填充元彼此接触，则其两个顶点通过边连接。在欧氏空间中，求n个单位球的填充的接触图的最大边数是接触图的一个基本问题。我们的方法找到最大的接触数的下限和上限估计是一个组合的分析和组合的想法，它也是基于最近的一些结果的球包装。最后，我们还感兴趣的是上述问题的以下更特殊的版本。也就是说，让我们想象我们被给予一个格单位球，它的中心点在欧几里得3-空间中形成格L（并且某些单位球对彼此接触），然后让我们生成n个单位球的填充，使得n个单位球的每个中心都选自L。正如在一般情况下，我们感兴趣的是找到良好的估计，最大接触数的包装的n个单位球获得这种方式。
2011-09-28 math.MG
Visualization of sphere and horosphere packings related to Coxeter tilings generated by simply truncated orthoschemes with parallel faces
在本文中，我们描述和可视化的dennial球和horoball包装配置属于简单的截断$3$维双曲Coxeter正交格式的平行面。这些美丽的包装排列描述并展示了上述正交方案和相应的考克斯特群的非常有趣的结构。我们使用$3$维双曲空间$\boldsymbol{H}^3$的Beltrami-Cayley-Klein球模型进行可视化，并使用Python软件制作了图片。
2021-10-26 math.MG
Sphere packing bounds via spherical codes
球填充问题要求在欧几里得空间中全等球的填充的最大密度。目前最好的上界在所有足够高的维度是由于Kabatiansky和Levenshtein在1978年。我们重新审视他们的论点，并提高他们的边界由一个常数因子，使用一个简单的几何参数，我们扩展的参数，包装在双曲空间，它给出了一个指数的改善，以前已知的界限。此外，我们证明了Cohn-Elkies线性规划界总是至少与Kabatiansky-Levenshtein界一样强，这一结果类似于编码理论中的Rodemich定理。最后，我们推导了双曲型线性规划界，并证明了罗德米奇定理的类似物。
2013-12-21 math.MG
Compact packings of the space with two sizes of spheres
紧密填料是球体的特定填料，其可以被看作是瓦片，并且是使密度最大化的良好候选者。我们证明了具有两种球尺寸的欧几里得空间的紧填充恰好是那些通过用较小的球填充相等球的紧填充的八面体孔而得到的紧填充。
2019-05-12 cond-mat.mtrl-sci math.MG
Separating circles on the sphere by polygonal tilings
我们说，一个平铺分离盘的包装在欧几里德平面，如果每个瓷砖包含的只是一个成员的包装。证明圆盘的每一个局部有限填充都存在一个由凸多边形构成的分离镶嵌是一个已知的初等几何问题。在本文中，我们表明，这种分离性质仍然适用于球上和双曲平面的圆填充。此外，我们表明，在欧氏平面圆是唯一的凸盘，其包装与类似的副本总是可以分开的多边形平铺。类似的说法在球面上不成立，在双曲平面上也不知道。
2021-11-06 math.MG
Compact packings of space with three sizes of spheres
三维欧几里得空间的球面填充是紧的，如果它只有四面体孔，也就是说，到球面的距离的任何局部极大值正好与四个球面等距。本文描述了三种不同尺寸的球形紧凑填料。它们是单位球的紧密堆积，孔以四种不同的方式被更小的球填充。
2019-12-04 cs.DM math.MG
Upper bounds for packings of spheres of several radii
给出了单位球面中不同球冠的填充密度和欧几里得空间中不同凸体的平移密度的上界定理。这些定理通过半定规划的应用，推广了球冠和凸体填充的线性规划界。我们进行明确的计算，获得新的边界包装的两种不同大小的球冠和二进制球包装。我们还稍微提高了包装相同的领域的经典问题的界限。
2012-06-12 math.MG math.OC
Quaternion Orders and Sphere packings
我们介绍了一个模拟的Bianchi群的合理四元数代数，并用它来构建球包装，是类似的阿波罗圆包装被称为积分结晶包装。
2018-09-06 math.GR math.MG math.NT
The local-global principle for integral bends in orthoplicial Apollonian sphere packings
本文介绍了一种正交Apollonian球面填充，它是通过用4-正交切图依次反转8个球面的构形而得到的球面填充。我们将证明存在这样的填充，其中所有组成球的弯曲是积分的，并建立这些填充中弯曲集合的渐近局部-整体原理。
2014-01-13 math.GR math.MG math.NT
The sphere packing problem in dimension 8
本文证明了欧几里得空间$\mathbb{R}^8$中单位球填充的密度不大于$E_8$ -格填充的密度。
2017-04-04 math.MG math.NT
A conceptual breakthrough in sphere packing
本文介绍了Viazovska的突破性解决方案的球包装问题的八个方面，以及其扩展到24个方面的科恩，库马尔，米勒，Radchenko，和Viazovska。
2016-11-05 math.MG math.NT
Self-similar space-filling sphere packings in three and four dimensions
反演几何可以用来生成精确的自相似空间填充球填充。我们提出了一种构造方法，在二维和推广到搜索包装在更高的层面。我们新发现了29个三维和13个四维拓扑，其中10个和5个，分别是轴承。为了区分和表征的包装拓扑结构，我们数值估计它们的分形维数，我们分析他们的接触网络。
2016-07-28 cond-mat.other math.MG
On Dense Tetrahedra in Binary Sphere Packings
HSE University（高等经济大学）；Laboratoire LIP, ENS Lyon & Inria Lyon（里昂高等师范学院与法国国家信息与自动化研究所里昂实验室）
本文研究三维空间中不等球体堆积分解中四面体的密度，通过结合几何洞察与区间算术计算，改进了特定尺寸球体堆积密度的上界。
2026-06-26 cs.CG math.MG
A Lower Bound on the Density of Sphere Packings via Graph Theory
利用图论方法，我们给出了一个新的证明，即对于所有足够大的$n$，存在密度至少为$cn2^{-n}$的$\R^n$中的球填充，超过经典Minkowski界的一个因子线性的$n$ .这符合一个常数最有名的下界的密度球包装由于罗杰斯，达文波特罗杰斯，和球。建议的方法使得有可能描述这样的包装与复杂性$\exp(n\log n)$，这是显着低于其他方法的点。
2004-02-09 math.CO math.MG
Dual linear programming bounds for sphere packing via modular forms
通过在模形式空间上进行优化以产生对偶线性规划中的可行点，我们得到了线性规划的球面填充界的新限制。在8和24维的情况下，线性规划的界限是尖锐的，我们表明，它来的最好的包装密度在12，16，20，28，和32维附近。更一般地说，我们提供了一个系统的技术来证明这种分离。
2021-04-19 math.MG math.NT
A Taxonomy of Crystallographic Sphere Packings
在过去的半个世纪里，由平面上三个相互相切的圆产生的阿波罗圆填充启发了对其他类型的空间填充的研究，无论是在二维还是更高维。最近，Kontorovich和Nakamura引入了晶体球填充的概念，$n$ -具有对称群的球的维度填充是$\mathbb{H}^{n+1}$的等距。至少有三个来源，使晶体包装，即多面体，反射扩展Bianchi群，和各种高维二次型。当与Koebe-Andreev-Thurston定理一起应用时，Kontorovich和Nakamura的结构定理保证了从$n=2$中的多面体生成晶体学填充。结构定理同样允许我们从$n=2$中的反射扩展Bianchi群生成填充，通过应用Vinberg算法来获得适当的Coxeter图。在$n>2$中，当与Vinberg算法一起使用时，结构定理允许我们探索对于给定的二次型，$\mathbb{H}^{n+1}$中的某些Coxeter图是否允许填充。Kontorovich和Nakamura的线性定理表明，只存在1000类这样的超积分填充，它们都存在于$n\le20$维中。在这项工作中，我们系统地确定了所有已知的晶体球填料的例子。
2019-03-07 math.MG math.NT
Extreme problems of circle packings on a sphere and irreducible contact graphs
最近，我们列举了单位球面上的所有局部刚性圆填充，直到等距，且圆数N<12。这个问题等价于不可约接触图的计数。在本文中，我们表明，通过使用不可约图的列表可以解决各种问题的极端包装，如Tammes问题的球和射影平面，最大接触问题，Danzer的和其他问题的不可约接触图。
2014-10-03 math.CO math.MG
Lack of Sphere Packing of Graphs via Non-Linear Potential Theory
证明了对所有d，格网Z^{d+1}或H^{d+1}的余紧双曲格或3-正则树\times Z在R^d中不存在拟球填充.对其他一些图也证明了类似的结果。而不是使用一个直接的几何方法，我们使用的主要工具是从非线性位势论。
2010-11-13 math.CO math.MG
Locally optimal 2-periodic sphere packings
球体填充问题是一个古老的难题。我们考虑在晶胞中有m个球的填充（m-周期填充）。对于m = 1（格填充）的情形，Voronoi证明了存在多个不等价的局部最优解，并给出了一个算法来枚举它们，而且这种计算已经在d = 8维的情形下实现。本文将Voronoi方法推广到m > 1，并给出了一个计算任意维上所有局部最优2-周期球填充的方法，只要有n个局部最优2-周期球填充.我们在d = 3，4和5中实现了这一计算，并表明在这些维度中没有2-周期填充超过最佳晶格的密度。在d = 6中执行部分枚举。
2019-11-12 cond-mat.stat-mech math.MG math.NT
On the hard sphere model and sphere packings in high dimensions
证明了密度为$Θ(d \cdot 2^{-d})$的$\mathbb R^d$的球填充熵的一个下界.熵度量了这种填充的丰富程度，我们的结果明显强于仅从稠密填充的存在获得的平凡下界。我们的方法还提供了一个新的，基于物理学的证明$Ω(d \cdot 2^{-d})$下界的最大球堆积密度显示，预期的堆积密度的随机配置从硬球模型至少是$(1+o_d(1)) \log(2/\sqrt{3}) d \cdot 2^{-d}$时，逸度参数的比例，由一个单一的球覆盖的体积至少是$3^{-d/2}$。这种球堆积密度的界限首先由罗杰斯实现，随后达文波特和罗杰斯、鲍尔、万斯和文卡特什对领先常数进行了改进。
2018-04-09 math-ph math.MG math.MP
Identifying contact graphs of sphere packings with generic radii
本文证明了Ozkan等人关于通用半径球体填充的无应力猜想对接触图形式为G⊕K2的球体填充成立，并证明了其逆命题，即G⊕K2是通用半径球体填充的接触图当且仅当G是无环的penny graph。
2024-01-03 math.CO math.MG
On compact packings of Euclidean space with spheres of finitely many sizes
本文研究欧几里得空间中恰好含 n 种半径的紧致球体堆积，引入异微扰集概念，证明固定异微扰集下所有可能半径配置的集合是有限的。
2023-12-21 math.CO math.MG
Variations on five-dimensional sphere packings
Microsoft Research New England（微软研究院新英格兰）；Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院数学系）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文分析了Szöllősi最近提出的猜想最优五维 kissing 配置，并构造了新的配置，扩展了Conway和Sloane的猜想最优堆叠列表，同时提出了新的九维 kissing 配置。
2026-03-04 math.CO math.MG
Densest local packing diversity. II. Application to three dimensions
对于N = 1054的任意取值，得到了N个三维全同非重叠球在相同大小的固定中心球的半径Rmin（N）内的密排局部填充.在本文件的前身[A. B.霍普金斯，F.H. Stillinger和S. Torquato，Phys.Rev.E81041305（2010）]中，我们描述了我们的方法，用于找到d维欧氏空间Rd中N个球的假定的denominator包装，并给出了R2中N值高达N = 348的那些包装。本文分析了R3中密度局部填充的性质和特征，并利用Rmin（N）的知识，利用任意d下的方法，构造了球填充的关联函数对的可实现性条件和无限球填充的最大密度上界.在R3中，我们发现了广泛的变化，在dennial本地包装，包括众多的包装对称性，如完美的四面体和不完美的二十面体对称。我们比较了中心球附近N个球的密集局部填充与N+1个点与短程排斥和长程吸引对势相互作用的最小能量配置，例如，12-6 Lennard-Jones，并发现它们在一般情况下是完全不同的，一个结果，有可能影响成核理论。我们还比较了在R3中的无限堆积的堆积变体的有限子集（Barlow堆积）的无限局部堆积，并且发现，由相似性度量测量，无限局部堆积几乎总是与具有关于单个中心球测量的最小数量的配位壳的Barlow堆积的子集最相似，例如，FCC Barlow填料的子集。我们还观察到，密集的局部包装是占主导地位的球安排的中心，精确的距离R…
2010-09-15 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
High-dimensional sphere packing and the modular bootstrap
我们进行了数值研究的无旋模bootstrap的共形场论与当前代数$U(1)^c \times U(1)^c$，或等价的线性规划界球包装$2c$维。我们给出了一个更详细的图片有限$c$的行为比以前可用的，我们推断为$c \to \infty$。我们的外推表明，在高维度的球堆积密度边界的指数改善。此外，我们研究这些界限时，可以紧。除了已知的情况下$c=1/2$，$4$，和$12$和固定的情况下$c=1$，我们的计算数值上排除了尖锐的边界为所有其他$c<90$，通过结合模块引导与线性规划界的球形码。
2020-12-14 hep-th math.MG
Sphere Packing and Quantum Gravity
我们建立了一个精确的模块化引导，用于约束二维CFTs的频谱之间的关系，并在欧几里德几何的球包装问题。手征代数$U(1)^c$的模Bootstrap界精确地映射到$d=2c$维中球堆积密度的Cohn-Elkies线性规划界。我们还表明，早期开发的相关共形引导的解析泛函可以适应这种情况。对于$c=4$和$c=12$，这些泛函精确地再现了Viazovska [1]和Cohn等人[2]最近用来解决8维和24维球体填充问题的“魔函数”。同样的泛函也适用于一般的二维CFTs，只有Virasoro对称。在大中心荷的限制下，我们将球填充与三维量子引力中黑洞谱的边界联系起来，并解析地证明了任何这样的理论都必须有一个非平凡的$Δ_0 \lesssim c/8.503$维初态.
2019-09-17 hep-th math.MG math.NT
Spherical codes, maximal local packing density, and the golden ratio
d维欧氏空间Rd中的离散局部填充（DLP）问题涉及在一个固定的单位直径球附近放置N个不重叠的单位直径球，使得从固定球的中心到周围N个球的中心的最大距离最小. DLP问题的解决方案是相关的实现对关联函数包装的不重叠的领域，并可能被证明是有用的，在改进后的最佳已知的上界的最大包装分数的领域包装在尺寸大于3。在Rd中的最优球面编码问题涉及到将N个单位直径的不重叠球面的中心放置到半径为R的球面上，使得R最小化。证明了在任意维数下，N个球面的最优球面编码问题的所有在1和黄金分割比之间的解也是相应的DLP问题的解。因此，对于任何单位直径的非重叠球体的堆积，半径小于或等于黄金比例的球形区域以任意球中心为中心，不能包含比可以放置在该区域表面上的球中心数量多一个的球中心数量。
2010-03-18 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
Geometry and Arithmetic of Crystallographic Sphere Packings
我们引入的概念，“晶体球包装”，定义为一个其极限集是一个几何有限的双曲反射群在一个更高的维度。我们首次展示了一个无穷族的共形不等价的，这样的所有半径是倒数的整数。然后，我们证明了一个相反方向的结果：“超积分”只存在于200多个“可分解类”中，所有这些类的维数都小于30。
2017-12-01 math.GT math.MG math.NT
Densest local sphere-packing diversity: General concepts and application to two dimensions
利用非线性规划方法结合位形空间的随机搜索，得到了N个相同且不重叠的球在相同大小的固定中心球的半径Rmin（N）内的密集局部填充. d维欧氏空间中的Rmin（N）的知识允许构造球填充的关联函数对的可实现性条件和无限球填充的最大密度的上界。本文主要研究二维圆盘问题。我们发现并提出了假定的densitivepackings和相应的Rmin（N）为选定的值N = 348，并使用这些知识来构建这样一个可实现的条件和上限。我们还分析了最大密集堆积的性质和特征，发现它们的对称性和接触网络存在显著的变化，并且即使对于大N，绝大多数也与三角晶格有很大的不同。我们的工作对包装问题、成核理论和表面物理学具有影响。
2010-02-02 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
Computability questions in the sphere packing problem
我们考虑的集的尺寸，有一个最佳的球包装与特殊的正则性（分别是一个格，或一个周期集与一个给定的限制的数量的翻译，或任意的周期集）。我们表明，所有这些集都是甲骨文可计算的，给定一个甲骨文，以增加柯尔莫哥洛夫复杂性的一组相关的球形代码。
2022-12-09 cs.IT math.IT math.LO
Complementary bodies in sphere packing
本文研究立方密堆积中空隙形成的球截多面体互补体，推导其表面积与体积比，并证明截断四面体和八面体如何铺砌球间空隙，深化了对经典堆积问题及其几何互补体的理解。
2025-06-18 cs.CG math.AG math.MG
From sphere packing to Fourier interpolation
本文探讨维亚佐夫斯卡用模形式构造特殊函数解决八维球堆积问题，进而引出傅里叶分析中拉琴科与维亚佐夫斯卡的插值定理。
2024-07-20 math.FA math.MG math.NT
